 rotB j 

3.20 Напряженность магнитного поля
Применим операцию ротор к уравнению (3.19.1)
'
0
Ранее было получено
rotB  rotB  rotB
rotB0  0 j
где
j - плотность макроскопического тока.
Аналогичная формула имеет место и для вектора
'
собственной магнитной индукции
B
rotB  0 jмол
'
где
jмол - плотность молекулярных токов.
Поэтому ротор результирующего магнитного поля в
веществе можно записать в виде
rotB  [  B]  0 ( j  jмол )
j
(3.20.1)
Плотность молекулярных токов мол сама зависит
от магнитной индукции В.
Поэтому, чтобы найти rotB
надо знать плотность не
только макроскопических, но и молекулярных токов, что
сопряжено с определенными трудностями.
Чтобы обойти эти трудности, найдем величину,
которая определяется только макроскопическими токами.
Для этого выразим плотность молекулярных токов
через намагниченность
.
J
Рассмотрим некоторый замкнутый контур Г внутри
вещества. Сумма всех молекулярных токов, протекающих
через такой контур, равна

j мол dS
S
где S – поверхность, натянутая на контур Г.
В данный интеграл вклад дают лишь те
молекулярные токи Iмол, которые нанизаны на контур и
пересекают поверхность
S
только один раз.
Пусть
dl
– элемент контура, образующий с
намагниченностью J угол . На этот элемент нанизаны
молекулярные токи, центры которых находятся внутри
косого цилиндра.
Объем цилиндра равен
S мол cos dl
где S мол - площадь,
охватываемая одним
молекулярным током
(основание цилиндра).
Пусть
n
-
концентрация молекул, тогда ток,
охватываемый элементом контура
dl, равен
nI мол S мол cos dl
Но этой формуле можно дать и другую интерпретацию.
Действительно, произведение I
S - есть магнитный
момент
pm
мол
мол
одного молекулярного тока.
Поэтому nI мол S мол - есть магнитный момент
единицы объема, и значит, согласно определению (3.19.2),
равен модулю вектора намагниченности
J
.
Тогда величину
nI мол S мол cos
можно
рассматривать как проекцию вектора намагниченности
на направление элемента контура dl.
Поэтому
молекулярный
ток,
охватываемый
элементом dl, можно записать как (Jdl)
.
J
В
результате
ток,
созданный
молекулами,
находящимися вблизи элемента контура dl равен
nI мол S мол cos dl  ( Jd l )
Итак,
сумма
всех
охватываемых контуром Г

молекулярных
есть
j мол dS 
токов,
Jdl

Г
S
Преобразуем правый интеграл с помощью теоремы Стокса
Jdl

[


J
]
dS


Г
S
В результате получаем равенство

S
jмол dS   [  J ]dS
S
которое должно выполняться при произвольном выборе
контура Г и поверхности S. А это возможно, лишь если
равны подинтегральные функции
jмол  [  J ]
(3.20.2)
Следовательно, плотность молекулярных токов равна
ротору вектора намагниченности.
Подставим (3.20.2) в (3.20.1)
[  B]  0 j  0[  J ]
Это уравнение можно переписать в виде
[  (
B
0
 J )]  j
Откуда следует, что вектор
(3.20.3)
B
H=
-J
μ0
(3.20.4)
определяется только плотностью макротоков
.
j
Вектор H называется напряженностью магнитного
поля. Он характеризует магнитное поле макротоков.
С учетом (3.20.4) формула (3.20.3) принимает вид
[  H] = j
(3.20.5)
Ротор напряженности магнитного поля равен
вектору плотности макроскопических токов.
Возьмем поверхностный интеграл от обеих частей
этого равенства по поверхности S, натянутой на
замкнутый контур
Г
[


H]dS
=
jdS


S
S
Согласно теореме Стокса левый интеграл можно
представить в виде
[


H]dS
=

S
Hdl

Г
Следовательно
H
dl

jdS

I


Г
S
(3.20.6)
Если макроскопические токи текут по нескольким
проводам, охватываемым контуром, то формула (3.20.6)
принимает вид
Hdl

I

k

k
Г
Формулы
(3.20.7)
(3.20.7) выражают собой
теорему о циркуляции вектора напряженности H :
циркуляция вектора напряженности магнитного поля по
некоторому
контуру
равна
алгебраической
сумме
макроскопических токов, охватываемых этим контуром.
Напряженность магнитного поля
H является
аналогом электрического смещения D .
(3.20.6)
и
Из (3.20.7)
магнитного поля
следует размерность напряженности
A
[H ] 
м
Согласно (3.20.4) такую же размерность имеет и
намагниченность
J
.
Опыт показывает, что в не сильных магнитных полях
намагниченность
пропорциональна
напряженности
магнитного поля
J  H

где
- магнитная
безразмерная величина.
восприимчивость
(3.20.8)
магнетика,
Подставим (3.20.8) в (3.20.4)
Откуда
Величина
B
H=
- H
μ0
B
H=
μ0 (1 +  )
(3.20.9)
 1 
(3.20.10)
называется магнитной проницаемостью вещества.
Магнитная проницаемость показывает во сколько раз
магнитное поле макротоков изменяется в магнетике за
счет поля микротоков.
Формулу (3.20.9) можно переписать в виде
B
H=
μ0 
(3.20.11)
В изотропных средах направления векторов
индукции В и напряженности Н совпадают.
В анизотропных средах направления векторов В и
Н могут не совпадать.
Рассмотрим магнитное поле в вакууме.
У
вакуума
магнитная
восприимчивость
и
намагниченность равны нулю, а магнитная проницаемость
равна единице
 0
J =0
 1
Поэтому напряженность магнитного поля в вакууме
связана с магнитной индукцией формулой
B
H=
μ0
Найдем для примера напряженность магнитного поля
прямого тока, текущего в магнетике.
Согласно (3.3.1) магнитная индукция прямого тока
равна
0 I
B
2 R
Подставляя в (3.20.11), получаем напряженность
магнитного поля прямого тока в магнетике
I
H=
2π  R
(3.20.12)
3.21 Условия на границе раздела двух магнетиков
Пусть
имеются
два
однородных
магнитными проницаемостями
1
и
магнетика
2 . Найдем связь
векторов В и Н в двух средах на границе их раздела.
Построим вблизи границы
цилиндр с высотой h и
n
основаниями S .
Внешние нормали
n и n'
к основаниям направлены
в противоположные
стороны.
с
S
μ2
h
μ1
n'
Согласно теореме Гаусса поток магнитной индукции
ФВ через замкнутую поверхность цилиндра равен нулю
ФВ 
 BdS  0
(3.21.1)
S
С другой стороны, этот поток можно представить как
сумму потоков через два основания и боковую поверхность
цилиндра
ФВ  B1n 'S  B2n S   Bnбок  Sбок  0
Устремим высоту цилиндра к нулю h  0, тогда
потоком через боковую поверхность можно пренебречь и
получаем
B1n '  B2 n  0
Спроецируем вектора индукции
ту же нормаль (например
получим
n
В1
и
В2
на одну и
), тогда знак изменится и
B1n = B2n
Нормальная составляющая вектора
индукции на границе магнетиков непрерывна.
(3.21.2)
магнитной
Используя (3.20.11),
переписать в виде
равенство
H 1n  2
=
H 2n 1
или
(3.21.2)
можем
(3.21.3)
1 H 1n = 2 H 2n
Следовательно, нормальная составляющая вектора
напряженности магнитного поля на границе магнетиков
терпит разрыв.
Теперь выберем вблизи границы прямоугольный
контур АВCD длиной l = АВ и высотой h = AD, и
вычислим циркуляцию напряженности
контуру. Согласно (3.20.6)

ABCD
Пусть макроскопические
токи по границе не текут,
тогда

I=0
ABCD
и
Hdl  0
Н
по
этому
Hdl   jdS  I
S
l
μ2
μ1

С другой стороны, криволинейный интеграл можно
расписать в виде вкладов от его отдельных участков

ABCD
Hdl 

H l dl = H 1τ l - H 2τ l + < H l > 2h
ABCD
где H l - проекция вектора H на направление вектора
перемещения d l вдоль контура АВCD.
Устремляя h  0, получаем условие непосредственно
на границе
H 1τ = H 2τ
(3.21.4)
Тангенциальная составляющая вектора напряженности
магнитного поля на границе магнетиков непрерывна.
Выражая
Откуда
Н
через
В, находим
B1τ
0 1
B1τ 1
=
B2τ  2
=
B2τ
0  2
(3.21.5)
Тангенциальная составляющая вектора магнитной
индукции Вτ терпит скачок.
Итак, на границе раздела магнетиков :
1) нормальная составляющая вектора магнитной индукции
Вn и тангенциальная составляющая вектора
напряженности магнитного поля Н непрерывны,
2) тангенциальная составляющая вектора магнитной
индукции В и нормальная составляющая вектора
напряженности
Нn
терпят скачок.
Рассмотрим поведение линий магнитной индукции
при пересечении границы.
Из рисунка следует, что
tg1 B1 / B1n

tg 2 B2 / B2 n
С учетом (3.21.2) и (3.21.5)
получаем
tg1 1

tg 2 2
(3.21.6)
закон преломления магнитной индукции
Из закона преломления следует, что при переходе в
магнетик с большей магнитной проницаемостью  линии
индукции отклоняются от нормали, что приводит к их
сгущению.
Это используют для магнитной защиты приборов.
Приборы окружают железным
экраном, в толщине которого
происходит сгущение линий
магнитной индукции, что
приводит к ослаблению
магнитного поля внутри экрана.
3.22 Виды магнетиков
Формула (3.20.8)
J  H

определяет магнитную восприимчивость
единицы
объема вещества. Часто используют восприимчивость,
отнесенную к одному молю вещества
m . Они связаны
между собой формулой

 m  Vm
где
Vm
– молярный объем. Поэтому, в то время как
 m - имеет размерность
3
м
[m ] 
моль
величина безразмерная,
Vm
-
В зависимости от знака и величины магнитной
восприимчивости все магнетики делят на 3 группы:
1) диамагнетики –
χm
отрицательна и мала по величине
м
моль
3
χ m ~ -10
2) парамагнетики –
величине
3) ферромагнетики –
χm
-11
÷ 10
-10
положительна и тоже мала по
м
÷ 10
моль
3
χ m ~ 10
-10
-9
χm
положительна
и велика по величине
м
χm ~ 1
моль
3
Следовательно,
у
парамагнетиков
ферромагнетиков намагниченность J совпадает
и
по
направлению с напряженностью магнитного поля
Н,
Н
тогда как у диамагнетиков вектора
J
направлены в противоположные стороны.
и
Кроме того, у диамагнетиков и парамагнетиков
магнитная
восприимчивость χ не зависит от
напряженности магнитного поля.
В отличие от них у ферромагнетиков магнитная
χ
восприимчивость является
функцией от напряженности
магнитного поля.
Рассмотрим природу свойств магнетиков подробнее.