Аналогичные вычисления для диэлектриков

Аналогичные вычисления для диэлектриков
полярными молекулами дают такой же результат.
с
Из формулы
(1.14.10) следует, что в тех местах
диэлектрика, где дивергенция положительная, образуется
избыток отрицательных связанных зарядов.
Эти места являются источниками поля вектора
поляризации, из них линии вектора P расходятся.
В тех же местах диэлектрика, где дивергенция
отрицательная, образуется избыток положительных
связанных зарядов, к ним линии вектора поляризации
сходятся.
Эта зависимость показана на рисунках.
+
+
+ - +
+
-
+
P
+
+
-
- +
+
-
+
+
-
P
P>0 ' < 0 P<0 ' > 0
Связанные заряды, как и сторонние заряды,
выступают источниками электрического поля. Поэтому для
диэлектрика в формуле (1.8.8), выражающей теорему
Гаусса в дифференциальной форме, необходимо учитывать
все источники поля
1
(  E ) = divE = (    ') (1.14.11)
ε0
где  - плотность сторонних зарядов, а  ' - плотность
связанных зарядов,
E
- усредненное макроскопическое электрическое
поле в диэлектрике.
Найдем условия, при которых объемная плотность
связанных зарядов в диэлектрике  ' отлична от нуля.
Для этого подставим в (1.14.10) формулу (1.14.3) для
вектора поляризации P , в результате получим
 '  (  P ) = ( 0 E )
Раскроем
действие
оператора
градиента
на
выражение в круглых скобках. В неоднородном
материале диэлектрическая восприимчивость
в
общем случае является функцией от координаты точки,
поэтому с учетом (1.14.11), находим

 '   0( E ) =  0 E   0 (  E ) =
=  0 ( E   )   (    ')
Откуда
1
'
( 0 E   )
(1   )
(1.14.12)
Следовательно, объемная плотность связанных
зарядов в диэлектрике отлична от нуля, когда:
1) диэлектрик неоднороден (   0 )
2) плотность сторонних зарядов отлична от нуля (   0 )


Если диэлектрик изотропный и однородный, то   0.
Если в нем отсутствуют сторонние заряды, то   0 .
При соблюдении этих 2-х условий объемные связанные
заряды в диэлектрике отсутствуют  '  0 и при
помещении его в электрическое поле в нем будут возникать
только поверхностные связанные заряды с плотностью  '.
1.15. Уравнения Пуассона и Лапласа
Получим уравнение, из решения которого можно
определить электрический потенциал  в диэлектрике.
Для этого подставим в формулу (1.14.11) выражение
(1.10.1), связывающее напряженность электрического поля
с электрическим потенциалом
1
(  E ) = - (   ) = (    ' )
ε0



(   ) = divgrad =     2  2  2
x
y
z
2
2
2
2
где
 - дифференциальный оператор, называемый
оператором Лапласа (лапласианом).
В результате получаем
уравнение Пуассона
1
 = - (    ' )
ε0
(1.15.1)
Из его решения находится электростатический
потенциал
в любой точке диэлектрика, если известно
распределение сторонних
и связанных
зарядов.


'
В тех участках поля, где электрических зарядов нет
(    '  0 ), уравнение Пуассона принимает особенно
простой вид
(1.15.2)
 = 0
Это уравнение называется уравнением Лапласа – оно
является частным случаем уравнения Пуассона.
1.16. Вектор электрического смещения
Нахождение напряженности электрического поля E
из теоремы Гаусса (1.14.11) неудобно, так как входящая в
него объемная плотность связанных зарядов  ' ,
согласно (1.14.12) сама зависит от E .
Расчет поля можно упростить, если ввести
вспомогательный вектор, источником которого являются
только сторонние заряды с плотностью
.
Для этого подставим в формулу (1.14.11) плотность
связанных зарядов  ' из (1.14.10)

1
(   E ) = (   P )
ε0
или
( ε0 E + P ) = 
(1.16.1)
Отсюда следует, что искомым вектором является
вектор
(1.16.2)
0
D=ε E+P
который называется электрическим смещением или
электрической индукцией.
Подставим в (1.16.2) вектор поляризации
из (1.14.3)
P
D = ε0 E +  0 E = ε0 (1 +  ) E
ε = 1+
Величина
(1.16.3)
называется диэлектрической проницаемостью среды.
Вектор электрического смещения теперь можем записать в
виде
(1.16.4)
0
D = ε εE
Из формулы (1.16.4) следует, что вектора
D и E параллельны друг другу.
Однако, это справедливо лишь для изотропных
диэлектриков.
В анизотропных диэлектриках направления
векторов D и E в общем случае не совпадают.
С учетом (1.16.2) и (1.16.4) формулу (1.16.1) можно
переписать в виде
(1.16.5)
(  D ) = ρ
Проинтегрируем это уравнение по некоторому объему V
(


D
)
dV
=
ρdV


V
V
Применим к левому интегралу теорему ОстроградскогоГаусса
 (  D )dV =  DdS = Ф
D
V
S
где ФD - поток вектора смещения D через замкнутую
поверхность S, охватывающую объем V.
В результате получили
ФD =
Dd
S
=
ρdV


S
(1.16.6)
V
Эта формула выражает собой теорему Гаусса для
электрического смещения: поток вектора электрического
смещения через замкнутую поверхность равен сумме
сторонних зарядов внутри этой поверхности.
Единицей измерения электрического смещения является
Кл , а единицей измерения его потока [Ф D ] = Кл
[ D] =
м2
Из (1.16.6) следует, что заряд величиной 1 Кл создает
через охватывающую его поверхность поток смещения,
равный 1 Кл .
Поле вектора смещения D изображают с помощью
силовых линий, аналогично силовым линиям
напряженности электрического поля E .
Важное отличие между этими двумя векторами
состоит в том, что линии вектора смещения D могут
начинаться и заканчиваться только на сторонних
зарядах. Через связанные заряды линии вектора
смещения D идут не прерываясь.
В тоже время, силовые линии напряженности
электрического поля
E могут начинаться или
заканчиваться как на сторонних, так и на связанных
зарядах.
1.17. Пример вычисления поля в диэлектриках:
поле внутри плоской пластины
Пусть имеются две бесконечные параллельные,
разноименно заряженные плоскости с поверхностными
плотностями +σ и -σ . Эти поверхностные заряды
являются
несвободными
сторонними
зарядами,
нанесенными извне на две поверхности.
В вакууме электрическое поле между плоскостями
имело бы напряженность
смещение
D0 =  0 E0
E0 с величиной
с величиной

E0 
0
D0 =  0 E0  
и
.
Внесем между плоскостями пластину из однородного
изотропного диэлектрика.
Под действием поля E0 диэлектрик поляризуется и на
его поверхностях появляются связанные заряды с
плотностями σ' . Эти заряды
E0
E0
- +
создают внутри пластины
+
E
однородное поле с

'
+
+
напряженностью E' =

0
Поля E0 и E' направлены
навстречу друг другу, поэтому
суммарное поле внутри
диэлектрика равно
E = E0  E' 
1
0
(   ')
+
+
+
-
+
Е' 
+
-
 ' ' 
(1.17.1)
В пространстве между диэлектриком и заряженными
плоскостями поле не меняется и остается равным E 0
.
Поляризация
диэлектрика
пропорциональна
напряженности электрического поля в данной точке
пространства, поэтому согласно (1.14.8)
 '   0 E
Подставляя это выражение в (1.17.1), получаем
E=
откуда
1
0
(   ') 
1
0
(   0 E )
1
E0
E0
E=


 0 (1   )
(1   ) 
Таким образом
E=
E0

(1.17.2)
Следовательно, поле внутри диэлектрика ослабляется
в число раз по сравнению с полем в вакууме. Это связано
с поляризацией диэлектрика.
Умножим (1.17.2) на    , получим электрическое
смещение внутри пластины


D        
      D0  

Значит, электрическое смещение внутри пластины
такое же как и вне пластины, то есть оно непрерывно на
границе раздела вакуум/диэлектрик.
Выразим плотность связанных зарядов в диэлектрике
σ Для
через плотность
на плоскостях.
σ' сторонних зарядов
этого используем формулу (1.17.2) и прежние соотношения
E=
откуда
(  - ')
0

;
E=

  0
(  - ') 
=
E0
0
Следовательно
' =
 0
(  1)

(1.17.3)

1.18. Ротор вектора напряженности электрического поля
Ранее было показано (1.11.2), что циркуляция вектора
напряженности
электрического
поля
по
любому
замкнутому контуру L равна нулю
(1.18.1)
Edl
=
0

L
Существует теорема Стокса, согласно которой
интеграл по замкнутому контуру L равен интегралу по
поверхности
S, охватываемой этим контуром
Edl
=
[


E
]d
S


L
S
(1.18.2)
Вектор
[  E ] = rotE
(1.18.3)
называется ротором вектора E .
Поскольку равенство нулю циркуляции выполняется
для любого замкнутого контура L, то из (1.18.1) и (1.18.2)
следует
[


E
]d
S

0

S
Поверхность S , опирающаяся на контур тоже может
быть произвольной. Поэтому интеграл будет равен нулю,
лишь если равна нулю подинтегральная функция
[ E ]  rotE  0
(1.18.4)
Запишем последнее уравнение (1.18.4) вместе с
прежним уравнением (1.16.5)
(  D) = divD = ρ
(1.18.5)
[ E ]  rotE  0
Эти
два
уравнения
являются
основными
уравнениями электростатики.
Им должно удовлетворять электростатическое поле в
любом диэлектрике, в том числе и неоднородном по составу.