I B

3.16 Явление самоиндукции
Если по замкнутому контуру течет ток I, то он
создает вокруг себя магнитное поле с индукцией B.
С этим магнитным полем связан магнитный
поток Ф, пронизывающий сам контур.
Если ток
I изменять, то будет меняться и
магнитный поток Ф. Вследствие этого в контуре будет
возникать ЭДС.
Данное
явление
называют
самоиндукцией.
Возникшую ЭДС называют ЭДС самоиндукции
.

s
Согласно закону Био-Савара индукция магнитного
поля B пропорциональна силе тока I .
С другой стороны, из определения (3.9.1)
ФВ   ВdS   Вn dS
S
S
магнитный поток Ф пропорционален индукции
Поэтому
магнитный
поток
должен
пропорционален току и можно записать
Ф = L·I
B.
быть
(3.16.1)
где L – коэффициент пропорциональности, называемый
индуктивностью контура.
Индуктивность L зависит от формы и размеров
контура, а также от магнитных свойств окружающей
среды.
Если контур жесткий и окружающая среда не
содержит ферромагнетиков, то индуктивность является
величиной постоянной, не зависящей от силы тока.
Единицей
измерения
индуктивности
является
генри
1 Гн = 1Вб/А
1Гн
– равен индуктивности такого контура, у которого
при силе тока в 1А возникает сцепленный с ним поток Ф,
равный 1
Вб.
Вычислим в качестве примера индуктивность и ЭДС
самоиндукции соленоида, находящегося в вакууме.
Согласно (3.11.3) магнитный поток (потокосцепление)
через соленоид, состоящий из N витков площадью S
каждый, равен
где
В
Фс = ВSN
- магнитная индукция внутри соленоида, равная
n = N/a
Подставляя
B   0 nI
– плотность витков,
В
а
в потококосцепление
– длина соленоида.
Фс , получаем
N
Фс  0 nISN  0 SNI
a
Следовательно, индуктивность соленоида равна
2
N
2
2
L  0
S  0n aS  0n V
a
где V
(3.16.2)
= aS
– объем соленоида.
Отсюда следует, что размерность
постоянной
0
равна
Гн
[ ]  м
0
магнитной
для общего случая.
 Фарадея
(3.13.1) и
Найдем ЭДС самоиндукции
Для этого используем закон
s
подставим в него магнитный поток

Ф
(3.16.1)
dФ
d( LI )
dI
dL
 -L  I
s =dt
dt
dt
dt
(3.16.3)
Если при изменении силы тока контур
деформируется, то индуктивность контура не меняется
не
L = const
тогда ЭДС самоиндукции равна

dI
s = -L
dt
(3.16.4)
Знак минус в формуле (3.16.4) говорит о том, что
индуктивность замедляет изменение тока в контуре.
Например, если ток по знаку положителен и с
течением времени возрастает, то
dI
dt
>0

s
0
Этот результат находится в согласии с правилом
Ленца :
ЭДС самоиндукции создает отрицательный по
знаку индукционный ток, который препятствует
нарастанию тока в цепи.
3.17 Экстратоки замыкания и размыкания
Явление самоиндукции приводит к тому, что при
замыкании или размыкании цепи ток изменяется не
мгновенно, а постепенно.
А) Рассмотрим как меняется ток
при размыкании цепи. Пусть имеется
цепь, состоящая из источника тока
,
индуктивности L и сопротивления R .
Если сопротивление источника
пренебрежимо мало, то в цепи течет
ток равный

I0


R
В момент времени
t=0
отключим источник тока,
одновременно замкнув цепь накоротко переключателем П.
Как только сила тока в цепи начнет убывать,
возникнет ЭДС самоиндукции
dI

которая создаст индукционный ток

s
= -L
dt

I
s
R
Исключая , sполучаем дифференциальное уравнение для
нахождения тока
(3.17.1)
dI R
 I =0
dt L
Решим данное уравнение. Разделяем переменные
dI
R
  dt
I
L
Интегрируя, находим
Откуда
R
 t
L
I(t)  C1  e
R
lnI   t + C
L
С1 найдем
I(t = 0)  I 0 = C1
Значение постоянной
условия
Таким образом
R
 t
I(t)  I 0  e L
из начального
(3.17.2)
Значит ток в цепи обращается в нуль не мгновенно, а
убывает постепенно по экспоненциальному закону.
Через время, равное
L
(3.17.3)
R
сила тока уменьшается в
е

раз. Время
называют
постоянной времени цепи. Формулу (3.17.2) можно
записать в виде
t


I(t)  I0  e
Из (3.17.3 - 3.17.4) следует, что
индуктивность L и меньше сопротивление
постоянная времени
(3.17.4)
чем больше
R, тем больше
 и тем медленнее спадает ток в цепи.
Б)
Рассмотрим случай замыкания цепи.
После подключения ЭДС
в цепи возникнет ток,
который достигнет своего окончательного значения I0 не
мгновенно, а через некоторое время, постепенно возрастая.
Это связано с тем, что в цепи, наряду с ЭДС
действует ЭДС самоиндукции
, которая препятствует
s
росту тока.
Поэтому в законе Ома надо учесть обе ЭДС



IR =
 + = 
s
dI
-L
dt
Данное уравнение можно переписать как

dI R
 I=
dt L
L
(3.17.5)
Уравнение
(3.17.5)
линейное
неоднородное
дифференциальное уравнение. Оно отличается от (3.17.1)
наличием в правой части величины

.
L
Известно, что решение неоднородного уравнения
равно сумме любого его частного решения и общего
решения однородного уравнения. Частным решением
уравнения (3.17.5) является

I  I
R
0
Поэтому общее решение уравнения (3.17.5) можно
записать в виде
 Rt
I(t)  I 0 + C1  e L
Константу интегрирования
условия
С1 найдем из начального
I(t = 0) = 0 = I 0 + C1
Откуда
C 1 = -I 0
Поэтому окончательно получаем
R
t
 t


L
I(t)  I 0 (1- e
) = I 0 (1- e )
(3.17.6)
Данная функция описывает нарастание тока в цепи
после подключения к ней ЭДС.
3.18 Явление взаимной индукции
Пусть имеются два контура. Если в контуре
1
течет
ток I1, то он создает магнитный поток, пронизывающий
контур 2
2
21 1
Ф L I
где
L21
- взаимная индуктивность контуров.
При изменении тока
в контуре
ЭДС

2
2
I1
возникает
индукции
dI1
  L21
dt
Аналогично, при протекании в контуре
тока I2
создается магнитный поток, пронизывающий контур 1
2
Ф1  L12 I 2
При изменении тока
I2
в контуре
ЭДС электромагнитной индукции

1
возникает
dI 2
1   L12
dt
Контуры
1 и 2 называют связанными, а явление
возникновения ЭДС в одном из контуров при изменении
тока в другом называют взаимной индукцией.
Расчеты
показывают,
что
в
ферромагнетиков
коэффициенты
индуктивности контуров одинаковы
отсутствие
взаимной
L21 = L12
Значение этих коэффициентов зависит от формы,
размеров, взаимного расположения контуров и
окружающей их среды.
3.19 Магнитное поле в веществе
До сих пор предполагалось, что проводники
находятся в вакууме. Если же они находятся в какой-то
среде (магнетике), то магнитное поле изменится.
Это связано с тем, что всякое вещество под
действием внешнего магнитного поля В0, созданного
токами текущими по проводникам, приобретает
магнитный момент (намагничивается).
В результате вещество создает собственное
магнитное поле В´, которое накладывается на внешнее
поле В0 . Результирующее магнитное поле равно
В = В0 + В´
(3.19.1)
Суммарное магнитное поле В сильно меняется на
межатомных расстояниях.
Однако, при макроскопическом рассмотрении такое
детальное поведение поля
В не обнаруживается.
Поэтому, как и в случае электрического поля, в качестве
характеристики магнитного поля в веществе используют
значение поля, усредненное по физически малому объему.
Далее будем предполагать, что в формуле (3.19.1)
присутствуют именно усредненные макроскопические
поля.
Магнитное поле возникшее в веществе
В´,
как и
внешнее поле В0, не имеет источников, поэтому
дивергенция каждого из них, а значит и результирующего
поля В равна нулю
ФB 
BdS

0

S
Поэтому теорема Гаусса справедлива не только для
магнитного поля в вакууме, но и для суммарного
магнитного поля в веществе
B  B0  B  0
'
Для объяснения намагничивания тел Ампер
предположил, что в молекулах вещества циркулируют
круговые токи.
Каждый из таких токов создает вокруг себя
магнитное поле. В отсутствие внешнего поля эти
молекулярные
токи
и
их
магнитные
моменты
ориентированы беспорядочно. Поэтому созданное всеми
молекулами магнитное поле и магнитный момент равны
нулю.
Под действием внешнего магнитного поля В0
молекулы приобретают преимущественную ориентацию.
В результате вещество намагничивается – возникает
поле В´, суммарный магнитный момент всех молекул
становится отличным от нуля.
Для описания намагничивания веществ используют
магнитный момент единицы объема - эту величину
называют намагниченностью J.
Намагниченность вещества в некоторой его точке
дается выражением
1
J
V
 pm
(3.19.2)
V
где V - физически бесконечно малый объем в окрестности
рассматриваемой точки, pm – вектор магнитного момента
одной молекулы. Суммирование ведется
по всем
молекулам, находящимся в объеме V.