Последовательным соединением R-элементов

Модуль 2.1. Соединения R-элементов
Тема 2.1.1. Последовательное соединение R-элементов
Определение:
Последовательным соединением Rэлементов называется такое, при котором
элементы соединены друг за другом и через
них протекает один и тот же ток (между
ними нет ответвлений).
Рис. 2.1. Последовательное соединение R-элементов
Rвх  R1  R2  R3
Rвх 
n
 Rk
k 1
Вывод: при последовательном соединении
элементов их сопротивления складываются.
R-
Фрейм 2.1.1.2. Делитель напряжения
Делителем напряжения называется
последовательное соединение двух или
нескольких элементов (участков) цепи
Рис. 2.2. Делитель напряжения
U
i
R1  R2
u1  iR1
UR1
u1 
R1  R2
u2  iR2
UR2
u2 
R1  R2
ФДН
Тема 2.1.2. Параллельное соединение R-элементов и делитель тока
Фрейм 2.1.2.1. Параллельное соединение R-элементов
Параллельным соединением R-элементов
называется такое, при котором полюса элементов
присоединены к одним и тем же точкам (узлам)
цепи и на них одно и то же напряжение
Рис. 2.3. Параллельное соединение R-элементов
I  i1  i2  i3
I  Gвх u  G1u  G2u  G3u  (G1  G2  G3 ) u
Gвх  G1  G2  G3
Gвх 
n
 Gk
k 1
Вывод: при параллельном соединении элементов их
проводимости складываются
Фрейм 2.1.2.2. Делитель тока
Делителем тока называется параллельное
соединение двух или нескольких элементов
(участков) цепи. Схема простейшего делителя
тока, состоящего из двух параллельно
соединенных элементов цепи
I
u
G1  G2
i1  uG1
IG1
i1 
G1  G2
i2  uG2
IG2
i2 
G1  G2
Рис. 2.4. Делитель тока
ФДТ
IR2
i1 
R1  R2
IR1
i2 
R1  R2
Тема 2.1.3. Смешанное соединение R-элементов
Рис. 2.5. Смешанное соединение R-элементов
Рис. 2.6. Цепь с упрощением структуры
Рис. 2.7. «Свернутая» цепь
Модуль 2.2. Методы преобразования цепей с R-элементами
Тема 2.2.1. Преобразование треугольника элементов цепи в звезду
Фрейм 2.2.1.1. Вывод формул преобразования треугольника
сопротивлений в звезду
Рис. 2.9. Соединение R-элементов
треугольником
R1 
R12 R31
R12  R23  R31
R2 
Рис. 2.10. Соединение R-элементов
звездой
R12 R23
R12  R23  R31
R3 
R23 R31
R12  R23  R31
2.2.2. Преобразование звезды элементов цепи в треугольник
Фрейм 2.2.2.1. Формулы преобразования звезды сопротивлений в треугольник
Рис. 2.13. Соединение G-элементов
звездой
G12 
G1G2
G1  G2  G3
G23 
Рис. 2.14. Соединение G-элементов
треугольником
G2G3
G1  G2  G3
G31 
G3G1
G1  G2  G3
Тема 2.2.3. Преобразование источников напряжения и тока
Фрейм 2.2.3.1. Преобразование источника напряжения в источник тока
Рис. 2.15. Источник напряжения с
последовательным R-элементом
U u
i
R
u
iI 
R
Рис. 2.16. Источник тока с
параллельным G-элементом
U u
u
I
R
R
U
I
R
Модуль 2.4. Методы расчета сложных цепей
Тема 2.4.1. Метод контурного анализа (контурных токов)
Фрейм 2.4.1.1. Вывод уравнений метода контурных токов
i1R1  U1  i3 R3  U 2  i2 R2  0
i1  i1к
i2  i2к  i1к
i3  i1к  i3к
Рис. 2.25. Контур резистивной цепи
i1к ( R1  R2  R3 )  i2 к R2  i3к R3  U1  U 2
i1к R11  i2 к R12  i3к R13  U1к
 R11i1к  R12i2 к  ...  R1n in к  U1к

 R12i1к  R22i2 к  ...  R2n in к  U 2 к

...


к
к
к
к
R
i

R
i

...

R
i

U
 n1 1
n2 2
nn n
n
Фрейм 2.4.1.2. Уравнения метода контурных токов в матричной
R кi к  U к
 R11

к  R21
R 

R
 n1
U1к 
 к
к U 2 
U 
 ... 
 к
U n 
R12
R22
Rn 2
... R1n 
... R2n 

...

... Rnn 
i1к 
 к
i
iк   2 
 ... 
 к
i3 
- матрица контурных сопротивлений
- векторы контурных токов и
контурных напряжений
Фрейм 2.4.1.3. Параметры уравнений метода контурных токов
R11 , R22 , …, Rnn – собственные сопротивления контуров. Они
определяются, как арифметическая сумма сопротивлений ветвей,
входящих в рассматриваемый контур
R12 , R13 и т. д. – взаимные сопротивления контуров. Определяются как
сумма сопротивлений ветвей на границе между контурами. Если
контурные токи протекают во взаимном сопротивлении навстречу друг
другу, то сумма берется со знаком (-)
U1к , U2к , …, Unк
 контурные напряжения. Определяются как
алгебраическая сумма напряжений источников напряжения, входящих в
контур. Если контурный ток не согласован с напряжением источника, в
сумме берется знак «+», если согласован, е. е. контурный ток условно
протекает от плюса источника к минусу, в сумме берется знак «-»
Тема 2.4.2. Метод узлового анализа (метод узловых напряжений)
Фрейм 2.4.2.1. Вывод уравнений метода узловых напряжений
u1  u1у
u2  u2у  u1у
u3  u3у  u1у
G1u1  I1  G2 u2  I 2  G3u3  0
Рис. 2.27. Узел резистивной цепи
(G1  G2  G3 )u1у  G2u2у  G3u3у  I1  I 2
G11u1 у  G12u2 у  G13u3 у  I1 у
G11u1 у  G12u2 у  ...  G1n un у  I1 у

G12u1 у  G22u2 у  ...  G2n un у  I 2 у

...


у
у
у
у
G
u

G
u

...

G
u

I
 n1 1
n2 2
nn n
n
Фрейм 2.4.2.2. Уравнения метода узловых напряжений в матричной форме
G уu у  I у
 G11 G12
G
у  21 G22
G 

G
 n1 Gn 2
... G1n 
... G2n 

...

... Gnn 
 матрица узловых проводимостей
u у 
 1у 
u у  u2   вектор узловых напряжений
 ... 
 
unу 
I у 
 1у 
I у  I2 
 ... 
 
 I nу 
 вектор узловых токов
Фрейм 2.4.2.3. Параметры уравнений метода узловых напряжений
G11 , G22 , …, Gnn – собственные проводимости узлов. Вычисляются
как арифметическая сумма проводимостей ветвей, подключенных к
узлу
G12 , G13 и т. д. – взаимные проводимости узлов. Определяются как
сумма проводимостей ветвей, соединяющих два узла. Сумма берется
со знаком «-»
I1у I2у Inу - Узловые токи. Определяются как алгебраическая сумма
токов источников тока, подключенных к узлу. Если ток источник
направлен к узлу, в сумме он берется со знаком «+», если от узла –
берется знак «-»
Модуль 2.5. Теоремы об эквивалентных источниках
Тема 2.5.1. Теорема замещения
Фрейм 2.5.1.1. Формулировка теоремы замещения
Если в цепи имеется R-элемент, то его можно заменить эквивалентным
источником напряжения или источником тока
Рис. 2.29. Резистивная цепь с
выделенной нагрузкой
Рис. 2.30. Замещение
резистора источниками
Фрейм 2.4.2.4. Пример расчета цепи методом узловых напряжений
G1  G2  G3  G4  1 См
I1  I 2  10 A
,
Рис. 2.28. Пример
резистивной цепи с
источниками тока
I1у  I1  I 2
 2 1
 1 3

0
5
I 2у  I 2  I 3
u1у  1 В
u2у  2 В
I3  5 A
G u у  G u у  I у
12 2
 11 1
1

G21u1у  G22u 2у  I 2у
G11  G1  G2  2 См
G22  G2  G3  G4  3 См
G12  G21  G2  1 См
u1  u1у  1 В
u2  u1у  u2у  1 В
u3  u2у  2 В
Фрейм 2.4.1.4. Пример расчета цепи методом контурных токов
R1  R2  R3  R4  1 Ом
U1  U 2  10 В
U3  5 В
Рис. 2.26. Пример резистивной
цепи с источниками напряжения
R11  R1  R2  2 Ом
R22  R2  R3  R4  3 Ом R12  R21   R2  1 Ом
U 2к  U 2  U 3
U1к  U1  U 2
 2 1
 1 3

 R11i1к  R12i1к  U1к

 R21i1к  R22i1к  U 2к
0
5
i1к  1 А
i2к  2 А
i3  i2к  2 А
i2  i2к  i1к  1 А
i1  i1к  1 А
Фрейм 2.5.2.2. Доказательство теоремы Тевенена
Рис. 2.34. Замещение резистора
источником тока
Рис. 2.35. Исключение
источника тока
uаб'  uаб хх  u0
uаб ''  iаб R0
uаб  iаб Rаб  uаб '  uаб ''  u0  iаб R0
Рис. 2.36. Исключение
источников напряжения и
тока
u0  iаб ( R0  Rаб )
Фрейм 2.5.3.2. Доказательство теоремы Нортона
Электрическую цепь относительно зажимов элемента цепи можно заменить
эквивалентным источником тока с параллельным R-элементом
Рис.2.39. Короткое замыкание
нагрузки
I0 
U0
 U 0G0  iаб кз
R0
Рис. 2.38. Преобразование
эквивалентного источника
напряжения в источник тока
I0
uаб 
G0  Gаб