Графический способ решения неравенств с параметром

Графический способ решение неравенств с параметром.
1.При каких значениях параметра a решением неравенства
(𝑥−𝑎)(𝑥−9)
5𝑥−25
> 0 является множество (−5; 5) ∪ (9; +∞)?
Решение:
Построим систему координат Oxa, и в этой системе построим линии 𝑥 − 𝑎 = 0,
𝑥 − 9 = 0, 5𝑥 − 25 = 0.Так как неравенство строгое, прямые изображаем пунктирной
линией.
a
0
5
9
x
Этими прямыми мы разбили всю координатную плоскость на части , теперь посмотрим
,координаты каких точек удовлетворяют нашему условию.
a
a=5
-5
0
5
9
x
Теперь на оси Ох отмечаем множество (−5; 5) ∪ (9; +∞), и осталось посмотреть при
каком значении а получаются эти промежутки. Ответ : при а =5.
2
2.Найдите все значения параметра а, при которых система {−𝑥 + 12𝑥 − 𝑎 ≥ 0
𝑥>5
имеет хотя бы одно решение.
Решение: В системе координат Оха строим графики функций −𝑥 2 + 12𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 5.
Так как первое неравенство нестрогое, то график квадратичной функции чертим
сплошной линией, а график прямой пунктирной. Далее выбираем общее решение двух
неравенств.
а
32
а=32
Ответ: при а≤32 система
имеет хотя бы одно решение.
0
5
6
12
3. Найдите все значения а, при которых область определения функции
3
9+6𝑥 log𝑥 𝑎
𝑦 = (𝑎 𝑥 ∙ 𝑥 (𝑥+3) log𝑥 𝑎 + 𝑎8+3 log𝑎 𝑥 − ( √𝑥 )
−0,5
− √𝑎22 )
содержит ровно три целых числа.
Решение: Составим систему неравенств, которая будет соответствовать всем условиям
существования данной функции.
𝑎>0
𝑎≠1
𝑥>0
𝑥≠1
(𝑥+3) log𝑥 𝑎
{𝑎𝑥 ∙ 𝑥
+ 𝑎8+3 log𝑎 𝑥 − ( 3√𝑥)
.
9+6𝑥 log𝑥 𝑎
− √𝑎22 > 0
𝑎>0
𝑎≠1
𝑥>0
Заменим данную систему на равносильную
.
𝑥≠1
{(𝑎 − 𝑥)(𝑎2 + 𝑎𝑥 + 𝑥 2 )(𝑎2𝑥 − 𝑎8 ) > 0
Множитель 𝑎2 + 𝑎𝑥 + 𝑥 2 больше 0 при любых значениях 𝑎 и 𝑥, множитель 𝑎2𝑥 − 𝑎8
заменяем на произведение (𝑎 − 1)(2𝑥 − 4).Получаем более упрощенную систему
неравенств
a
𝑎>0
𝑎≠1
𝑥>0
.
𝑥≠1
{(𝑎 − 𝑥)(2𝑥 − 8)(𝑎 − 1) > 0
1
0
4
x
Тогда общее решение системы
а
7
6
1
Ответ: при 𝑎 ∈ (7; 8]
0
4
7
х