Задача (дословно). В магнитном поле с большой высоты падает

Задача (дословно).
В магнитном поле с большой высоты падает кольцо, имеющее диаметр d и сопротивление R.
Плоскость кольца все время горизонтальна. Найти установившуюся скорость падения кольца, если
вертикальная составляющая индукции магнитного поля изменяется с высотой H по закону 𝐵 =
𝐵0 (1 + 𝛼𝐻), где 𝛼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
Решение (дословно).
(Рисунок – уровень земли, ось H – вертикально вверх, точка H=0 на земле; над уровнем земли
изображено падающее кольцо в двух положених. В верхнем: показано направление нормали 𝑛⃗ и
⃗⃗⃗ − вертикально вверх, скорости 𝑣 – вертикально вниз, указано
индукции магнитного поля 𝐵
значение высоты кольца над землей - 𝐻1 . В нижнем - указано положение кольца и значение
высоты на землей - 𝐻2 .)
Пусть n – нормаль к плоскости кольца, тогда магнитный поток, созданный вертикальной
2
составляющей магнитного поля, 𝛷 = 𝐵𝑆 = 𝐵0 (1 + 𝛼𝐻)𝑆, где 𝑆 = 𝜋𝑑 ⁄4 – площадь контура. ЭДС
индукции, возникающая в кольце,
𝛦𝑖 = - 𝛷′ (𝑡) = −(𝐵0 (1 + 𝛼𝐻)𝑆)’ = −𝐵0 𝑆𝛼𝐻 ′ (𝑡).
Производная 𝐻 ′ (𝑡) = 𝑣𝐻 – это проекция скорости кольца на ось H. Так как проекция скорости
кольца направлена против оси H, то 𝑣𝐻 = −𝑣, где 𝑣 – модуль скорости кольца и 𝛦𝑖 = 𝐵0 𝑆𝛼𝑣. По
𝐸
𝐵 𝑆𝛼𝑣⁄
кольцу протекает индукционный ток 𝐼 = 𝑖⁄𝑅 = 0
𝑅 . В результате в кольце за промежуток
2
времени 𝛥𝑡 выделяется количество теплоты 𝑄 = 𝐼 𝑅𝛥𝑡.
На высоте 𝐻1 кольцо обладает механической энергией
𝑊1 = 𝑚𝑔𝐻1 +
𝑚𝑣 2
𝑚𝑣 2
,
2
На высоте 𝐻2 - 𝑊2 = 𝑚𝑔𝐻2 + 2 (𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡).
По закону сохранения энергии
𝐵0 𝑆𝛼𝑣⁄ 2
𝑅 ) 𝑅𝛥𝑡 ⇒ 𝑚𝑔(𝐻1 −
(𝐵0 𝑆𝛼𝑣)2
𝐻2 ) =
𝛥𝑡
(1)
𝑅
Разность (𝐻1 − 𝐻2 ) есть расстояние, пройденное кольцом при равномерном движении, поэтому
(𝐻1 − 𝐻2 ) = 𝑣𝛥𝑡, и уравнение (1) примет вид
𝑊1 = 𝑊2 + 𝑄 ⇒ 𝑚𝑔𝐻1 = 𝑚𝑔𝐻2 + 𝐼 2 𝑅𝛥𝑡 ⇒ 𝑚𝑔(𝐻1 − 𝐻2 ) = (
𝑚𝑔𝑣 𝛥𝑡 =
(𝐵0 𝑆𝛼𝑣)2
𝑅
𝛥𝑡 ⇒ 𝑚𝑔 =
(𝐵0 𝑆𝛼𝑣)2
𝑅
𝑚𝑔𝑅
2
0 𝑆𝛼)
⇒ 𝑣 = (𝐵
16𝑚𝑔𝑅
2 2
0 𝜋𝑑 𝛼)
= (𝐵
.