.2 9.2.1 Задача 1. По проводу, согнутому ... течет ток 14 А. ...

.2 Примеры решения задач
9.2.1 Задача 1. По проводу, согнутому в виде кольца радиусом 11 см,
течет ток 14 А. Найти напряженность поля в центре кольца и в точке,
лежащей на перпендикуляре к плоскости кольца, восстановленном из его
центра, на расстоянии 10 см от центра.
Решение.
R=11 см = 0,11 м
I =14 А
d =10 см = 0,10 м
H1-? H2-?
Анализ единиц:
Вычисления:
Напряженность магнитного поля в центре кольца
определим по формуле
H1 
I
2R
в точке, лежащей на перпендикуляре к плоскости
кольца
IR 2
H2 
3 .
2( R 2  d 2 ) 2
H 
А  м2
3
А  м2 А


м
м3
( м2 ) 2
14
H1 
 63,6 А/м
2  0,11
14  0,112
0,1694
H2 

 26,1 А/м
2  (0,112  0,12 )  0,112  0,12 0,0065
Ответ: Н1=63,6 А/м,
Н2=26,1 А/м
9.2.2 Задача 2. По горизонтальному проводнику длиной 20 см и массой
2 г течет ток 5 А. Определить индукцию магнитного поля, в которое нужно
поместить проводник, чтобы он висел не падая.
Решение.
l=20 см=0,2 м
m=2 г= 0,002 кг
I=5А
B-?
На проводник действует сила тяжести mg, которая равна
и противоположна по направлению силе Ампера
FA=IBl,
mg
B
т.е. mg=IBl, откуда
.
I l
Анализ единиц: [B]=
Н
кг( м / с 2 )
=
=Тл
А м
А м
2  10 3  9,8
Вычисления: B 
 20  10 3  20 мТл
5  0,2
Ответ: В = 20 мТл
9.2.3 Задача 3. Протон описал окружность радиусом 5 см в однородном
магнитном поле с индукцией 20 мТл. Определить скорость протона.
Решение.
R =5 см=0,05 м
В магнитном поле на заряженную частицу действует
B =20 мТл=0,02 Тл сила Лоренца Fл=qB, которая сообщает частице
q =1,610-19 Кл
нормальное ускорение.
-27
m=1,6710 кг
m 2
По второму закону Ньютона
qB 
-?
R
qBR
откуда скорость частицы

m
Анализ единиц:
Вычисления:
[ ] 
=
Кл  Тл  м Кл  м  Н А  с  кг  м м



кг
А  м  кг
А  кг  с 2
с
1,6  10 19  2  10 2  5  10 2
1,67  10
 27
 9,6  10 4 м/с.
Ответ:  = 9,6 104 м/с.
9.2.4 Задача 4. Соленоид, содержащий 1000 витков провода, находится
в
однородном магнитном поле, индукция которого изменяется со
скоростью B/t=20 мТл/с. Ось соленоида составляет с вектором магнитной
индукции 60. Радиус соленоида 2 см. Определить ЭДС индукции,
возникающей в соленоиде.
Решение.
N=103
B / t=20мТл/с=0,02Тл/с
 =60
r =2 см=0,02 м
 i -?
ЭДС индукции, возникающая в соленоиде:
N Ф
i  
t
Магнитный поток:
Ф =BScos =B r2cos.
С учетом этого запишем  i = - N r2cos
B
.
t
Тл  м 2 Вб В  с


 В.
с
с
с
Анализ единиц:
[i]=
Вычисления:
 i = -2010-33,14410-41030,5=12,510-3В= -12,5 мВ.
Ответ:
 i = -12,5 мВ.
9.1.5 Задача 5. Однослойная катушка площадью 10 см2, содержащая
100 витков провода, помещена в однородное магнитное поле с индукцией
8 мТл параллельно линиям магнитной индукции. Сопротивление катушки
10 Ом. Определить, какой заряд пройдет по катушке, если отключить
магнитное поле.
Решение.
S=10 см2=1010-4м2 По определению сила тока, возникающего в катушке
q
N=100
I

B=8 мТл=810-3Тл
t
R=10 Ом
С другой стороны, по закону Ома
U
q-?
I
R
Т.к. в катушке возникает ЭДС индукции, то U = i ;
 NФ NФ0 BSN


t
t
t
BSN
I
Rt
BSN
q BSN
, откуда q 

t Rt
R
i 
Таким образом
Тогда
 
Анализ единиц:  q 
Тл  м
Ом
2

Вс
Ом
 А  с  Кл
8  10 3  10 3  10 2
Вычисления:  q 
 8·10-5 Кл = 80 мкКл
10
Ответ: Δ q =80 мкКл.
9.2.6 Задача 6. Определить энергию магнитного поля соленоида, в
котором при силе тока 5 А возникает магнитный поток 0,5 Вб.
Решение.
I =5 А
Ф =0,5 Вб
W-?
Энергия магнитного поля
LI 2
W
2

найдем, что L 
I
Из формулы Ф=LI
I 2 I
W

2I
2
и
Анализ единиц: [W]= ВбА = Тлм2А= ВсА = Дж.
Вычисления:
5
2
W = 2,5  =1,25 Дж.
Ответ: W =1,25 Дж.
9.2.7 Задача 7. По трем длинным проводам, расположенным в одной
плоскости, параллельно друг другу на расстоянии 3 см друг от друга текут
токи силой I1 = I2 и I3 = I1 + I2. Определить положение прямой, в каждой
точке которой индукция магнитного поля, создаваемого токами, равна нулю.
Решение.
B3
r= 3 см = 310-2м
I1 = I2
I3 = I1 + I2 .
х-?
r
r
x
О
B1
I1
I2
B2
I3
Y
Рисунок 9.1 – Схема расположения проводников
Пусть токи I1 , I2 и I3 текут в плоскости, перпендикулярной рисунку, в
направлении от нас (направления токов указаны на рисунке крестиками).
Векторы индукций магнитных полей, создаваемых токами, направлены по
правилу буравчика по касательной в любой точке линии индукции
(обозначены на рисунке пунктирными окружностями).
Очевидно, что
искомая прямая, на которой вектор индукции
магнитного поля равен нулю, расположена между токами I2 и I3 на каком-то


расстоянии х от тока I2. Действительно, векторы индукции B1 и B 2 полей,
создаваемых
в точке О токами I1 и I2, направлены вниз, а вектор индукции

B 3 поля, создаваемого в этой точке током I3, направлен вверх. Согласно
принципу суперпозиции магнитных полей,


B1 + B 2 + B 3 = 0,
или в скалярной форме относительно оси Y
B1 + B2 - B3 = 0.
Индукция поля, образованного бесконечно длинным прямым
проводником с током, равна
 0 I
.
B
2r
Тогда
0 I 2
0 I 1
0 ( I 1  I 2 )
;
;
.
B2 
B1 
B3 
2х
2 ( r  х)
2 ( r  х)
Подставив выражения , получим
0 I 1
0 I 2 0 ( I 1  I 2 )
+
= 0,
2х
2 ( r  х)
2 ( r  х)
или после преобразования 4х2 + rх - r2 = 0, откуда
 r  r 2  16r 2  3  10  2  12 ,4  10  2
х=
.

8
8
Следовательно, х ≈ 1,2 ·10-2 м. Второй корень квадратного уравнения
отбрасываем, так как он соответствует точке, расположенной между токами
I1 и I2, что невозможно.
Ответ: х ≈ 1,2 ·10-2 м
9.2.8 Задача 8. По двум длинным прямым проводникам, находящимся
на расстоянии 5 см друг от друга, протекают токи силой по 10 А в одном
направлении. Определить индукцию магнитного поля в точке, находящейся
на расстоянии 3 см от каждого проводника.
Решение
B1
B
α
A
B2
D
C
r= 3 см = 310-2м
l = 5 см = 5·10-2 м
I1 = I2 = I = 10 А
Рисунок 9.2 – Схема расположения проводников
В-?

Вектор магнитной
индукции
поля в точке А равен векторной сумме
B


индукций B1 и B 2 полей, создаваемых в этой точке каждым током в


отдельности (см. рис). Направление векторов B1 и B 2 определяем по правилу
буравчика. Числовое значение индукции магнитного поля в точке А может
быть найдено по теореме косинусов:
В  В12  В22  2 В1 В2 сos
(29)
Индукции магнитных полей, создаваемых каждым током в точке А,
соответственно равны:
0 I
0 I
;
.
B2 
B1 
2r2
2r1
Поскольку r1 = r2 = r,
В1 = В2, то выражение (29) примет вид
В  2 В12  2 В12 cos   B1 2  2 cos 
(30)
Из  АDC по теореме косинусов найдем l 2 = r12  r22  2r1 r2 cos  ,
r12  r22  l 2 2r 2  l 2
откуда cos  
.

2r1 r2
2r 2
Подставив выражение для В1 и соs в уравнение (30), получим
0 I
2( 2r 2  l 2 ) 0 I
В
2

4r 2  l 2
2
2
2r
2r
2r
Анализ единиц:
В  
Вычисления:
Гн  А
мм
2
м
Вб
м2
 Тл
В
4  3,14  10 7  10
2  3,14( 3  10
2
)
2
Ответ: B= 66,6 мкТл
4  ( 3  10  2 ) 2  ( 5  10  2 ) 2  66 ,6  10 6 Тл= 66,6 мкТл.