распределение единиц по группам в соответствии с принципом

ТЕМА 3
- понятие функции распределения
- математическое ожидание и дисперсия
- равномерное (прямоугольное) распределение
- нормальное (гауссово) распределение
-

2
распределение
- t - распределение Стьюдента
- F - распределение
- распределение суммы двух случайных независимых величин
- пример: распределение суммы двух независимых равномерно
распределенных величин
- преобразование случайной величины
- пример: распределение гармонического колебания со случайной
фазой
- центральная предельная теорема
- моменты случайной величины и их свойства
ЦЕЛЬ ЦИКЛА ЛЕКЦИЙ:
СООБЩИТЬ
НАЧАЛЬНЫЕ
СВЕДЕНИЯ О ВАЖНЕЙШИХ ФУНКЦИЯХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ И ИХ
СВОЙСТВАХ
ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Пусть x(k) - некоторая случайная величина.
Тогда для любого фиксированного значения x
случайное событие x(k)  x определяется как
множество всех возможных исходов k таких,
что
x(k)  x. В терминах исходной
вероястностной меры, заданной на выборочном
пространстве,
функция распределения
P(x)
определяется как вероятность, приписанная
множеству
точек
k,
удовлетворяющих
неравенству x(k)  x. Заметим, что множество
точек k, удовлетворяющих неравенству x(k)  x,
является подмножеством совокупности точек,
которые удовлетворяют неравенству x(k)  .
Формально
P( x )  Prob[x ( k )  x ]
(1)
Очевидно, что
P(a)  P(b) п ри a  b
P( )  0,
P()  1
(2)
(3)
Если область значений случайной величины
непрерывна, что и предполагается в дальнейшем,
то плотность вероятности (одномерная) p(x)
определяется дифференциальным соотношением
p( x )  lim  Prob[x  x ( k )  x  x ]

x
x 0


(4)
Следовательно,
p(x )  0,

 p(x )dx 1,

x
P(x )   p( )d ,

dP(x )  p(x ).
dx
(5)
(6)
(7)
Для того, чтобы можно было рассматривать
дискретные случаи, следует допустить наличие в
составе плотности вероятности дельта - функций.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
Пусть случайная величина x(k) принимает
значения из области от -  до + . Среднее
значение (иначе, математическое ожидание или
ожидаемое значение ) x(k) вычисляется с
помощью
соответствующего
предельного
перехода в сумме произведений значений x(k) на
вероятности наступления этих событий :

(8)
E x (k )   xp(x )dx   x ,

где E[ ] - математическое ожидание выражения в
квадратных скобках по индексу k. Аналогично
определяется
математическое
ожидание
действительной
однозначной
непрерывной
функции g(x) от случайной величины x(k)

E  g(x (k ))   g(x ) p(x )dx ,

(9)
где p(x) - плотность вероятности случайной
величины x(k). В частности, взяв
g(x)=x 2 ,
получим средний квадрат x(k) :

(10)
E x 2(k )   x 2 p(x )dx  2x .



Дисперсия x(k) определяется как средний квадрат
разности x(k) и ее среднего значения,
т. е. в этом случае g(x)= (x   x )2 и

 
2
E (x (k )   x )    (x   x )2 p(x )dx

 
  2x   2x   2x . (11)
По определению, стандартное отклонение
случайной величины x(k), обозначаемое  x , есть
положительное значение квадратного корня из
дисперсии. Стандартное отклонение измеряется в
тех же единицах, что и среднее значение.
ВАЖНЕЙШИЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
РАВНОМЕРНОЕ (ПРЯМОУГОЛЬНОЕ)
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.
Допустим, что эксперимент состоит в случайном
выборе точки из интервала [a,b] , включая его
конечные точки. В этом примере в качестве
значения случайной величины x(k) можно взять
числовое
значение
выбранной
точки.
Соответствующая функция распределения имеет
вид
0,

P ( x )   x  a,
 b a
1,

Поэтому
плотность
формулой
x  a;
a  x  b;
x  b.
вероятности

1
p(x )  (b  a) ,

0.
задается
a  x  b;
В данном примере вычисление среднего значения
и дисперсии по формулам (9) и (11) дает
 x  a  b,
2
2
 2x  (b  a) .
12
НОРМАЛЬНОЕ (ГАУССОВО)
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
z
x  x
,  x - среднее арифметическое, 2x - СКО.
x
1
 z2 
P( z)  2 exp   
 2
P( z) 




2
 2 
 exp    d 
 2

1 z
z  - значение z, соответствующее вероятности P(z)=1-,
т. е.
z
P( z )   P( z)dz  Pr ob z  z   1  

или

1  P( z )   P( z)dz  Pr ob z  z   
z
ХИ - КВАДРАТ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть z1, z2,... zn - n независимых случайных величин,
каждая из которых имеет нормальное распределение с
нулевым средним и единичной дисперсией.
2n  z12  z22    z2n
2 - хи- квадрат случайная величина с n степенями
свободы.

P(  )  2
2
n /2
 Г (n / 2)
 2
2 (( n / 2) 1)
2
  
1
e
, 2  0
плотность вероятности 2n .
DF: 100 - процентные точки 2 - распределения
обозначаются 2ni , т. е.



2
2
2
2
 P(  )d   Pr ob  n   ni  
 2ni
среднее значение и дисперсия равны
 
E 2n   2  n


E ( 2n   2 )2  22  2n
t - РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТЬЮДЕНТА
y, z - независимые случайные величины; y - имеет 2n распределение, z - нормально распределена с нулевым
средним и единичной дисперсией.
tn 
z
y n
величина t n - имеет t - распределение Стьюдента с n
степенями свободы
P(t ) 
Г(n  1) 2  t 
 1  
n Г (n 2)  n 
2 
( n 1)
2
DF: 100 - процентная точка t - распределения
обозначается t ni

 P(t )dt  Pr ob[t n  t ni ]  
t ni
Среднее значение и дисперсия равны
E[t n ]   t  0, n  1
E[(t n   t )2 ]  2t 
n
, n 2
n 2
F - РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
y1, y2 - независимые случайные величины; y1 имеет 2 распределение с n 1 степенями свободы; y2  2
распределение с n 2 степенями свободы. Случайная
величина:
Fn 1 , n 2 
y1 n1 y1  n 2

,
y2 n 2 y2  n 1
Fn1 , n 2 - F распределенная случайная величина с n 1 и n 2
степенями свободы.
P( F ) 
Г(n1  n 2 ) 2(n1 n 2 ) n1 / 2 F ( n1 / 2) 1
 n1  n 2 


 2 
Г(n1 / 2)Г(n 2 / 2)1  (n1F n 2 )
,
DF: 100 - процентная точка: Fn1, n 2 ;



 P(F )dF  Pr ob Fn1 , n 2  Fn1 , n 2 ;  
F n1 , n 2 ; 
Среднее и дисперсия равны :
E [Fn1 , n 2 ]   F 
E [(Fn1 , n 2
n2
, n2  2
n2  2
2n 22 (n1  n 2  2)
 F ) ]   
, n2  4
2
n1(n 2  2) (n 2  4)
2
2
F
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СУММЫ
ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Пусть x(k) и y(k) – случайные величины,
имеющие совместную плотность вероятности
p(x,y). Найдем плотность вероятности суммы
случайных величин
z( k )  x ( k )  y( k ).
При фиксированном x имеем y= z– x. Поэтому
p( x , y)  p( x , z  x ).
При фиксированном z значения x пробегают
интервал от – до +. Поэтому

p( z)   p( x , z  x )dx ,
(37)

откуда видно, что для вычисления искомой
плотности суммы нужно знать исходную
совместную плотность вероятности. Если x(k) и
y(k) – независимые случайные величины,
имеющие плотности p1 ( x ) и p2 ( y) соответственно,
то p( x , y)  p1 ( x ) p2 ( y)  p1 ( x ) p2 ( z  x ) и

p( z)   p1 ( x ) p2 ( z  x )dx .

(38)
ПРИМЕР: СУММА ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ,
РАВНОМЕРНО
РАСПРЕДЕЛЕННЫХ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.
Пусть две случайные независимые величины
имеют плотности вида
1
p1 ( x )  , 0  x  a;
a
1
p2 ( y)  , 0  y  a.
a
В остальных случаях p1 ( x )  p2 ( y)  0. Найдем
плотность вероятности p(z) их суммы z= x+ y.
Плотность вероятности p2 ( y)  p2 ( z  x ) для
0  z  x  a, т. е. для z  a  x  z. Следовательно, x
не превышает z. Кроме того, p1 ( x ) не равно нулю
для 0  x  a. По формуле (38) находим, что
2  1  2
z
dx

,
0  z  a;



2


a
a
0
 a 1 2
2a  z
 
p(z )      dx  2 , a  z  2a;
 
a
z  a a
0.


Иллюстрация:
Плотность вероятности суммы двух независимых,
равномерно распределенных случайных величин.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ
ВЕЛИЧИНЫ
Пусть x(t) - случайная величина с плотностью
вероятности p(x), и пусть g(x) - однозначная
действительная непрерывная функция от x.
Рассмотрим сначала случай, когда обратная
функция x(g) тоже является однозначной
непрерывной функцией от g. Плотность
вероятности p(g), соответсвующую случайной
величине g(x(k)) = g(k), можно определить по
плотности вероятности p(x) случайной величины
x(k) и производной dg/dx в предположении, что
производная существует и отлична от нуля, а
именно:
Prob g  g(x (k ))  g  g Prob x  x (k )  x  x 


g
g
Prob x  x (k )  x  x  x
(12)


x
g
Поэтому в пределе при dg/dx # 0
p( g)  p(x ) dx  p(x )
dg dg dx
(13)
Используя эту формулу, следует в её правой
части вместо переменной
x подставить
соответствующее значение g.
Рассмотрим теперь случай, когда обратная
функция x(g) является действительной n-значной
функцией от g, где n - целое и все n значений
равновероятны. Тогда
p( g)  np( x )
dg dx
(14)
ПРИМЕР:
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
ГАРМОНИЧЕСКОЙ
ФУНКЦИИ.
Гармоническая функция с фиксированными
амплитудой X и частотой f будет случайной
величиной, если её начальный фазовый угол =
(k) - случайная величина. В частности, пусть t
фиксировано и равно to, и пусть гармоническая
случайная величина имеет вид
0
x ( k )  x ( )  X sin 2 f t  ( k ) .
00


Предположим, что (k) имеет равномерную
плотность вероятности p() вида

1
p( )  (2 ) ,

0.
0    2 ;
Найдем плотность вероятности p(x) случайной
величины x(k).
В этом примере прямая функция x()
однозначно, а обратная функция (x) двузначна.
Из формулы (14), подставив вместо x величину ,
а вместо g величину x, получим
p(x )  2 p( )
dx d
п ри dx  0,
d
где
dx  X cos2 f t    X 1 sin 2 2 f t    X 2  x 2 .


00 
00 
d
Поэтому



p(x )   

0,

1
, x X;


X 2  x2

x X.
Соответствующая функция распределения имеет
вид
0,

 x
P(x )   
 X

1,
x  X ;
p( ) d  1    arcsin x ,  X  x  X ;
2
X
x X.
Графики функции P(x) и p(x) показаны на этом
рисунке:
а
б
Плотность вероятности и функция распределения
гармонической случайной величины :
а плотность вероятности;
б - функция
распределения.
ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
Пусть x1( k ), x 2 ( k ),..., x N ( k ) есть N взаимно
независимых
случайных
величин
с
произвольными и, возможно, различными
функциями распределения. Пусть  i и 2i –
среднее значение и дисперсия случайной
величины x i ( k )(i  1, 2, ..., N ) . Рассмотрим сумму
случайных величин
N
x ( k )   ai x i ( k ),
(50)
i 1
ai
где
произвольные
фиксированные
постоянные. Тогда среднее значение  x и
дисперсия случайной величины 2x имеют вид
N
N
 N
 x  E  x ( k )  E   ai x i ( k )    ai E  x i ( k )   ai  i ,
i 1
 i 1
i 1


2


2x  E ( x ( k )   x )2  E   ai ( x i ( k )   i )    ai22i .
i 1
 i 1
N
N
(51)
Средние значения вида x n принято называть
моментами случайной величины х
n-го
порядка;
Как и раньше, x - среднее значение,
2
значение
x - среднеквадратичное
момент второго порядка и т.д).
или
Справедливы следующие соотношения:
_________
___
___
x+y= x . y - среднее от суммы равно сумме
средних значений.
_____
___
___
xy= x . y - среднее от произведения равно
произведению средних (если случайные
величины независимы);
_ ___
___________
____
ах=ах-детерминированный множитель а
выносится за знак усреднения.