J.D. Brown and M. Henneaux - Отдел теоретической физики
advertisement
Центральные заряды в канонической реализации асимптотической симметрии: пример из трехмерной гравитации J. Дэвид Браун и Марк Энно *** Центр Теоретической Физики, Университет Техаса в Остине, Остин, Техас 78712, США Резюме. Показано, что глобальные заряды калибровочной теории могут привести к нетривиальному центральному расширению асимптотической алгебры симметрии уже на классическом уровне. Это сделано, при изучении трехмерной гравитации с отрицательной космологической постоянной. В зависимости от граничных условий, принятых на пространственной бесконечности, асимптотической группой симметрии в этом случае будет или RxSO(2) или псевдоконформная группа в двух измерениях. В последней ситуации, в алгебре канонических генераторов появляется нетривиальный центральный заряд, который оказывается центральным зарядом Вирасоро. I. Введение В общей теории сформулированных относительности на и некомпактном в других калибровочных теориях, пространстве, понятие ("открытом") асимптотической симметрии, или "глобальной симметрии," играет фундаментальную роль. Асимптотическая симметрия преобразования, которые — это, по определению, те калибровочные оставляют рассматриваемые полевые конфигурации асимптотически инвариантными, и недавно было явно показано, что они существенны для определения полных ("глобальных") зарядов теории [1,2]. (Более ранние связи между асимптотической симметрией и сохраняющимися величинами в специфическом случае теории Эйнштейна, см. в работах [3,4] и в приведенных там ссылках.) Основная связь между асимптотической симметрией и глобальными зарядами была вновь подчеркнута в недавних статьях, имеющих дело с сектором монополей в SU(5) теории Великого Объединения [5] и с D=3 гравитацией и супергравитацией [6], где было подтверждено, что отсутствие асимптотической симметрии запрещает определение глобальных зарядов. Прежде всего, ненарушенная группа симметрии для монопольного решения не содержится в наборе асимптотических симметрий из-за топологических преград. Это запрещает определение имеющих физический смысл глобальных цветных зарядов, связанных с ненарушенной группой. Во втором случае, нетривиальные глобальные свойства конической геометрии, которая описывает элементарное решение для D=3 гравитации, предотвращают существование хорошо определенных пространственных трансляций и бустов, и следовательно, также импульса и "заряда Лоренца." В гамильтоновом формализме глобальные заряды появляются как канонические генераторы асимптотической симметрии инфинитезимальной симметрией данной теории: связана функция с каждой такой фазового пространства, которая порождает соответствующее преобразование канонических переменных. В общем, считается само собой разумеющимся, что алгебра скобок Пуассона для зарядов изоморфна алгебре Ли инфинитезимальных асимптотических симметрий, то есть, что Цель этой статьи состоит в том, чтобы подробно проанализировать этот вопрос. Оказывается, что, в то время как равенство (1.1) выполняется во многих важных примерах, в общем случае оно неверно. Скорее, глобальные заряды приводят только к "проективному" представлению асимптотической группы симметрии, В уравнении (1.2) "центральные заряды" которые не содержат канонических переменных, являются вообще говоря нетривиальными, то есть, они не могут быть устранены добавлением к генераторам констант . Возникновение классических центральных зарядов ни в коем случае не является особенностью общей теории относительности и калибровочных теорий, они естественно возникают и в гамильтоновой классической механике ([7], Приложение 5). Это следует из неединственности канонического генератора, связанного с данным (гамильтоновым) векторным полем на фазовом пространстве. Действительно, этот генератор определен только с точностью до постоянной, которая коммутирует с чем угодно. Соответственно, скобка Пуассона двух генераторов данной симметрии может отличаться на константу от генератора, связанного со скобкой Ли этой симметрии. Подобное явление происходит с асимптотической симметрией в калибровочных теориях. В этом случае гамильтонов генератор симметрии данной асимптотической отличается от линейной комбинации связей формализмa на поверхностный член , такой, что для хорошо определены функциональные производные [8]. , где канонического Но это требование фиксирует , и следовательно , только с точностью до произвольной постоянной. Эта неоднозначность сигнализирует о возможности появления центральных зарядов. Поскольку теория центральных зарядов в классической механике известна [7], мы здесь обсудим только те аспекты, которые являются специфическими для калибровочных теорий и асимптотических (в противоположность точным) симметрий. Это будет сделано путем детального рассмотрения трехмерной гравитации Эйнштейна с отрицательной космологической константой . В этом случае, мы покажем, что асимптотической группой симметрии будет или RxSO(2), или конформная группа в двух измерениях, в зависимости от выбора граничных условий на пространственной бесконечности. В последнем случае, в алгебре скобок Пуассона канонических генераторов появляется нетривиальный центральный заряд, фактически знакомый нам из теории струн [9]. Трехмерная гравитация с пример центральных зарядов представлена здесь прежде всего с целью дать в канонической реализации асимптотической симметрии. Однако, исследование трехмерной гравитации не является полностью академическим и представляет некоторый самостоятельный интерес, помимо связи с центральными зарядами. Действительно, предыдущий опыт работы с калибровочными теориями показал, что из моделей в низших размерностях можно кое-что узнать о классических и квантовых аспектах более сложных четырехмерных теорий. В гравитационном случае, три является критическим числом измерений, так как в меньшем числе измерений не существует никакой теории Эйнштейна обычного типа (то есть, с локальным принципом действия, использующим только псевдориманову метрику). Таким образом, чтобы лучше понять гравитацию Эйнштейна в высших измерениях, естественно обратиться к трехмерным моделям. Обсуждение включает некоторые тонкости, потому что алгебра связей общей теории относительности не является истинной алгеброй, она содержит канонические переменные. Этот факт имеет два следствия: (i) алгебра асимптотической симметрии является истинной алгеброй только асимптотически; (ii) не могут непосредственно использоваться стандартные теоретико-групповые аргументы. В ходе нашего исследования мы полагаемся на полезную теорему, которая была доказана в [10], касающуюся гамильтоновой динамики на бесконечномерных фазовых пространствах. Эта теорема устанавливает, при соответствующих условиях, что скобка Пуассона двух дифференцируемых функционалов не содержит в своей вариации никаких нежелательных поверхностных членов, и поэтому имеет хорошо определенные функциональные производные. Это свойство используется, чтобы доказать, что скобка Пуассона асимптотических генераторов симметрии дает (тривиальное или нетривиальное) проективное представление асимптотической группы симметрии. Должно быть подчеркнуто, что методы, развитые здесь при рассмотрении трехмерной гравитации, являются весьма общими и могут быть применены, например, к четырехмерной гравитации, чтобы доказать подобную теорему о представлении. Такая теорема неявно использовалась, но явно не демонстрировалась, например в [8,12]. Пример трехмерной гравитации с отрицательной космологической постоянной также демонстрирует ключевую роль, которую играют граничные условиям, определяющие структуру асимптотической группы симметрии, но не полностью продиктованные теорией. (На это было также указано в [11].) В заключение, позвольте нам отметить, что существование истинного центрального заряда исключается в специфическом случае, когда асимптотическая симметрия может быть понята как точная симметрия некоторой фоновой конфигурации. Действительно, в этой ситуации заряды, оцененные для этого фона, являются инвариантными при преобразовании асимптотической симметрии, так как сам фон остается неизменным. Выбирая произвольную постоянную в фона) = 0, из уравнения (1.2) видим, что так, чтобы (для исчезает. Однако, важный случай "фоновой симметрии" не исчерпывает всех интересных приложений понятия асимптотической симметрии. Например, бесконечномерная группа B.M.S. [3,4] не может быть реализована как группа изометрий некоторой четырехмерной метрики. Это дает дополнительное побуждение анализировать каноническую реализацию асимптотической симметрии на общих основаниях. II. Решение для 3-мерной гравитации при Эта глава содержит обсуждение решения для теории гравитации Эйнштейна в 2 + 1 измерениях с отрицательной космологической постоянной. Это решение поможет обосновать наш выбор соответствующих граничных условий, которые будут наложены на метрику в общем случае. В трех измерениях поле тяготения не содержит никаких динамических степеней свободы, так что пространство-время вдали от источников локально эквивалентно решению уравнений пространству при Эйнштейна без материи, а именно, анти-де-ситтерову Это легко увидеть, если заметить, что полный тензор кривизны может быть выражен через тензор Эйнштейна, а там, где выполняются уравнения Эйнштейна для пустого пространства, тензор кривизны сводится к тензору кривизны анти-де-ситтерова пространства. Материя, распределение которой предполагается ограниченным, не оказывает никакого влияния на локальную геометрию областей, свободных от источников и поэтому может повлиять только на глобальную геометрию пространства-времени. Основное решение, которое мы здесь рассматриваем, это локально анти-де-ситтерово пространство с радиусом кривизны , я но с необычной идентификацией точек, изменяющей глобальную геометрию. Идентификация точек с точками будет иметь эффект удаления "клина" с координатным углом и введения "скачка" для временной координаты. Поскольку тензор Риччи определен локально, он не изменяется при этой необычной идентификации нигде, кроме начала координат Следовательно, вакуумные уравнения Эйнштейна будут удовлетворяться всюду, кроме начала координат. Побуждение рассмотреть только что описанное пространство-время заключается в том, что оно является аналогом конической геометрии для 2+1 гравитации с для которой клин , связан с полной энергией, а скачок [12], связан с полным угловым моментом. Также интересно отметить, что так же, как в случае пространства де Ситтера [13], вырезание клина из анти-де-ситтерова пространства дает решение уравнений Эйнштейна с тензором энергии-импульса материальной точки. Можно также предположить, что метрика (2.1) применима к пустой области, внешней к более общему компактному распределению источников. Геометрически инвариантный характер клина и скачка может быть замечен следующим образом, не зависящим от деталей внутренности пространства-времени, содержащей источник. Сначала заметим, что даже при том, что пространство-время является локально максимально симметричным, единственными векторными полями Киллинга, совместимыми с необычной идентификацией точек являются линейные комбинации векторов Векторы и могут быть выбраны единственным образом (с точностью до констант нормировки) как единственные два векторных поля Киллинга, которые всюду ортогональны друг другу. С точностью до нормировки, является уникальным векторным полем, всюду ортогональным ко всем векторным полям Киллинга. Таким образом, координатными всегда линиями могут быть выбраны кривые, которые служат для метрики (2.1). Кроме того, рассмотрим собственную длину L кривой для траектории между точками ее пересечения с траекторией Изменение dL, когда кривая перемещается на собственное расстояние dS вдоль направления Для , таково, что dL/dS равняется длина L медленнее растет с собственным расстоянием, чем если бы пространство было глобально анти-де-ситтеровым. Наконец, скачок A пропорционален собственному времени между точками пересечения рассмотренных здесь траекторий. С этого времени нам будет удобнее писать метрику (2.1) с непрерывной переменной времени. Преобразования координат где имеет период дают , и нет никакого скачка по новому времени. Поля вектора Киллинга в этой системе координат являются линейными комбинациями Также заметим, что траектории если не будут выполнены условия и . образуют замкнутые времениподобные линии, и В результате, построенное пространство-время представляет разумное решение теории гравитации Эйнштейна только при и больших значениях r; в частности, это верно в асимптотическом пределе III. Глобальные заряды и R x SO(2) асимптотическая симметрия Процедура получения глобальных зарядов калибровочной теории в пределах гамильтонового формализма хорошо известна [8]. Первый шаг должен определить граничные условия на пространственной бесконечности, которым поля должны удовлетворять, а затем идентифицировать асимптотическую симметрию, которая сохраняет это асимптотическое поведение. Конечно, в частности для теорий гравитации, чтобы работать с гамильтоновой формулировкой, граничные условия на метрику пространстве-времени должны быть преобразованы в граничные условия на канонические переменные Подобным образом, асимптотическая симметрия пространства-времени определяет дозволенные вектора поверхностных деформаций для рассматриваемых пространственноподобных гиперповерхностей. Затем, чтобы граничные условия и асимптотические симметрии теории тяготения были приемлемы, должно быть возможным записать гамильтониан как обычную линейную комбинацию связей [14] плюс соответствующий поверхностный член . Этот поверхностный член который будет с этого времени считаться зарядом, должен иметь вариацию, сокращающую нежелательные поверхностные члены в вариации (3.1). Тогда гамильтониан, будет иметь хорошо определенные вариационные производные и может использоваться как генератор допустимых поверхностных деформаций. Практически, заряды обычно определяются из рассмотрения поверхностных членов, возникающих из вариации "объемной части" (3.1) гамильтониана, а именно, где и точка с запятой обозначает ковариантное дифференцирование в пределах пространственноподобной гиперповерхности. Используя принятое асимптотическое поведение полей и векторов это выражение можно переписать в виде полной вариации поверхностного интеграла. Тогда величина, отличающаяся знаком от этого поверхностного интеграла, с точностью до постоянной, определяет заряд (Как сказано во Введении, эта постоянная отражает неединственность канонических генераторов, и в главе V она будет связана с возможным существованием центральных зарядов в алгебре этих генераторов.) Для случая 2+1 гравитации с , аналогия с 2+1 гравитацией с [6,12] предлагает, чтобы мы ограничили метрику вне источников семейством метрик, определенным двумя параметрами и A, появляющимися в (2.2). Это ограничение служит граничным условием на метрику. Тогда асимптотические симметрии совпадают с векторными полями Киллинга и и асимптотической группой симметрии, связанной с этими граничными условиями, является R x SO(2). Значения зарядов, связанные с следующим образом. Обозначим компонентами этого вектора , для метрики (2.2) могут быть вычислены некоторую линейную комбинацию векторов с в пространственно-временной системе координат. Тогда компоненты описывают допустимую деформацию поверхности вне источника. Они связаны с пространственно-временными компонентами соотношениями где N — смещение и N i — сдвиги для пространственно-временной системы координат. Смещение и сдвиги вычисляются непосредственно из (2.2); в частности, и, так как также компоненты Единственными отличными . от нуля компонентами канонических переменных, необходимыми для вычисления выражения (3.3), являются что дает Таким образом, заряды, связанные с симметриями d/dt и d/dφ, с точностью до констант, имеют вид Они в точности совпадают с энергией и угловым моментом локально плоской 2+1 гравитации [6,12], так что предел этих зарядов при является тривиально правильным. IV. Конформная группа асимптотической симметрии Естественно спросить, не слишком ли строгим является ограничение метрики вне источников видом (2.2). В идеале, граничные условия могли бы быть ослаблены, чтобы группа асимптотических симметрий была расширена до группы анти-де-ситтера в 2+1 измерениях, а именно, O(2,2). Эта глава обращается к такому ослаблению граничных условий, хотя группа асимптотических симметрий, которая естественно возникает, будет не O(2,2), а конформной группой в двух измерениях. Идея ослабления граничных условий возникает из переписывания метрики (2.2) с помощью замен координат так, чтобы метрика теперь читалась так: Заметьте, что когда A= 0, доминирующие вклады в этой метрике и в глобально антиде-ситтеровом пространстве совпадают друг с другом и имеют вид В этом смысле, кажется естественным рассматривать метрику (4.2), по крайней мере когда A= 0, как "асимптотически анти-де-ситтерову." Понятие "асимптотически анти-де-ситтеровый" должно быть сделано точным, путем определения граничных условий, которым метрика должна удовлетворять. Если анти-де-ситтерова группа сохраняющей эти должна быть частью асимптотической симметрии, условия, то метрика, полученная из анти-де-ситтерова преобразования, действующего на (4.2), должна также быть "асимптотически анти-деситтеровой." Действуя на (4.2) (с A=0 или без A=0) всеми возможными преобразованиями анти-де-ситтеровой группы, мы получаем следующие граничные условия: Интересно сравнить граничные условия (4.3-4.4) с граничными условиями на метрику для гравитации в 3+1 измерении при [15]. Ограничивая пространственные сечения в 3+1-мерном случае до двух измерений (например, , мы видим, что различие между дозволенной метрикой и анти-де-ситтеровым пространством должно уменьшаться в 3+1 измерениях на одну степень быстрее, чем в 2+1 измерениях. После выбора граничных условий для метрики, асимптотическая симметрия описывается векторными полями, которые преобразуют метрики вида (4.3-4.4) в себя. Конечно, эти векторные поля будут включать в себя анти-де-ситтерову группу симметрии, O(2,2). Анализ уравнений преобразования Ли для метрики (4.3-4.4) показывает, что пространственно-временные компоненты этих векторов удовлетворяют условиям: с функциями, удовлетворяющими уравнениям: Для вышеупомянутых векторов, члены в компонентах и члены в r компонентах произвольны, и представляют собой чистые, или "собственные" [16], калибровочные преобразования. Таким образом, деформации, t-компонента которого ведет себя как как рассмотрим любой вектор , а r-компонента ведет себя Как будет показано ниже, такие векторы деформации не имеют никакого связанного с ними заряда и генераторы этих деформаций слабо исчезают. Тогда преобразования, описываемые этими векторами, являются чисто калибровочными, производящими эффекты, которые нельзя рассматривать как физически значимые. Итак, выражаясь точнее, асимптотическая группа симметрий будет определена как фактор-группа, полученная путем идентификации всех преобразований, описываемых векторами (4.5), которые могут отличаться членами в компонентах, или членами в r компонентах. Асимптотическая группа симметрии, определенная выше, изоморфна псевдоконформной группе в двух измерениях. Это можно видеть из (4.6), заметив, что функции и удовлетворяют конформным уравнениям Киллинга в двух измерениях с индефинитной метрикой, и если однажды выбрано решение остальные функции , то определены. Мы будем часто обращаться к асимптотической группе симметрии как просто к конформной группе. Конформная группа также возникает как асимптотическая группа симметрии из конформного анализа бесконечности [17]. Обозначая метрику (4.3-4.4) как конформно связанная с ней метрика , имеет при r=∞ поверхность с индуцированной метрикой Группа конформных движений на этой поверхности есть как раз псевдоконформная группа в двух измерениях. Из-за условий периодичности по координате конформные уравнениях Киллинга (4.6) можно проанализировать с помощью разложения Фурье. Тогда асимптотическая симметрия (4.5) может быть написана явно в терминах целых n как Алгебра группы для генераторов (4.7) может быть написана следующим образом: Заметьте, что анти-де-ситтерова группа O(2,2) — подгруппа, натянутая на вектора (4.7) с n = 0, 1. Однако, O(2,2) не инвариантная подгруппа, таким образом нет никакого очевидного способа ограничить асимптотическую симметрию только анти-деситтеровой группой. Ситуация здесь подобна 3+1 асимптотически плоской гравитации, которая имеет группу Spi (подобную BMS группе) асимптотических симметрий, содержащую группу Пуанкаре в качестве подгруппы. Напротив, группа асимптотической симметрии для гравитации в 3+1 измерениях с есть в точности анти-де-ситтерова группа O (2,3) [15]. До сих пор, асимптотическая симметрия рассматривалась как группа векторных полей, сохраняющих метрику пространства-времени (4.3-4.4) при переносе Ли. В каноническом формализме, эти векторные поля становятся дозволенными асимптотическими деформациями пространственноподобной поверхности, которая описана каноническими переменными Из (4.3-4.4), смещение и сдвиг должны иметь вид так, чтобы асимптотическое уравнениями (4.4), наряду с поведение канонических переменных давалось Однако, в каноническом эволюционируют согласно отличается от переноса Ли, Эйнштейна . формализме пространственноподобные гамильтонову развитию, которое, поверхности вообще говоря, если не выполняются пространственные уравнения Чтобы гарантировать, что пространственноподобные поверхности, первоначально удовлетворяющие граничным условиям (4.4) и (4.10), сохранят эти граничные условия под действием деформаций, порожденных гамильтонианом, необходимо наложить дальнейшие ограничения на канонические переменные [15]. В Приложении мы показываем что когда в окрестности бесконечности выполняются гамильтоновы связи сохраняются при гамильтоновой , тогда граничные условия (4.4,4.10) эволюции. Причина, по которой можно сформулировать дополнительные условия на канонические переменные в терминах связей, состоит в том, что пространственная часть тензора Эйнштейна определяющая различие между эволюцией Ли и гамильтоновой эволюцией, связана со связями через свернутые тождества Бианки. В 2 + 1 измерениях не требуется никаких дальнейших условий на канонические переменные, потому что имеется в точности три компоненты , которые должны быть ограничены тремя связями Конечно, пока пространственноподобная поверхность вложена в пространство-время, которое удовлетворяет уравнениям Эйнштейна, ограничения будут так или иначе удовлетворены, таким образом эти условия не имеют никаких серьезных последствий. Как описано в главе III, заряд асимптотическое поведение можно найти, принимая во внимание канонических переменных (4.4,4.10) и векторов деформации (4.5) и переписав интеграл (3.3) в виде полной вариации поверхностного интеграла. Этот поверхностный интеграл, взятый с противоположным знаком, а фактически линейный интеграл для 2+1 пространственно-временных измерений, определяет заряд образом, чтобы с точностью до постоянной, которая будет выбрана таким обращался в ноль для глобально анти-де-ситтерова пространства. Обозначив пространственную метрику глобально анти-де-ситтерова пространствавремени заряд получаем в виде: где горизонтальная черта указывает на ковариантное дифференцирование, согласованное с метрикой Это выражение для имеет ту же самую форму, что и выражение, полученное для 3+1-мерной гравитации с исчезает для [15]. Также заметьте что, как уже было упомянуто, заряд любой поверхностной деформации, которая описывает чисто калибровочное преобразование. Для пространства-времени (4.2) единственными отличными от нуля зарядами являются связанные с и а именно Эти два вектора A0 и B0 являются по существу генераторами асимптотической группы симметрии R x SO(2), рассмотренной в главе III, отличаясь них только нормировкой. Однако, "энергия" , полученная из (4.12a), по контрасту с (3.6a), больше не имеет желательного предела при Это также не должно быть удивительным, так как изменение координат (4.1) включало "канонические переменные" в виде α и A. Координата t в (4.2) больше не нормирована на собственное время в пределе и соответственно, нормальная компонента вектора деформации , , используемая, чтобы определить энергию, больше не нормирована на единицу в этом пределе. Наконец, будет важно для последующего понять асимптотическую форму компонент векторов поверхностной деформации (3.4) в терминах Эти компонеты даются в уравнении пространственно-временных конформной группы компонент некоторого вектора , ограниченного на поверхность t = const. Члены ведущего порядка в определены полностью, если заданы пространственно-временные компоненты . Но в более высоких порядках по членов O(1/r) в смещении N и сдвиге асимптотическая форма векторов зависят от неопределенных . Тогда, на гамильтоновом языке, поверхностных деформаций зависит от канонических переменных. (См. подробности в Приложении.) Фактически, зависимость от канонических переменных несущественна при установлении (4.11) как надлежащего поверхностного интеграла, который должен появиться в гамильтониане, или при оценке зарядов для пространства-времени, типа (4.2), потому что в этих целях, необходимо знать только в ведущем порядке по Однако, не только ведущий порядок важен для требования, что граничные условия на канонические переменные должны сохраняться при поверхностных деформациях. V. Каноническая реализация асимптотических симметрий Главной целью этой статьи является указать на возможное существование центральных зарядов в канонической реализации асимптотических симметрий. В этой главе мы явным образом выведем алгебру скобок Пуассона гамильтоновых генераторов для 2+1 гравитации с конформной группой асимптотических симметрий, а также получим центральные заряды. Из этого примера должно быть ясно, что для любой калибровочной теории глобальные заряды могут образовать центральное расширение алгебры асимптотических симметрий с потенциально нетривиальными центральными зарядами. Гамильтоновы генераторы для 2+1 где гравитации имеют вид —стандартные связи общей теории относительности, а — заряды. Когда разрешенные деформации определяются конформной группой асимптотических симметрий, заряды даются поверхностным интегралом в уравнении (4.11). Эти поверхностные интегралы строятся таким образом, что гамильтониан будет иметь хорошо определенные вариационные производные, и в результате, будет хорошо генерировать поверхностные деформации через скобки Пуассона. Асимптотические симметрии канонически реализуются факторгруппой генераторов поверхностных деформаций, которая определяется отождествлением двух гамильтоновых генераторов, описывающих ту же самую асимптотическую деформацию (из конформной группы) и отличающихся только чисто калибровочной деформацией. Именно в этом смысле мы будем, не совсем точно, ссылаться на гамильтоновы генераторы , как на дающие каноническую реализацию, или также, центральное расширение алгебры конформной группы. С другой стороны, фиксировать калибровку, так чтобы связи выполнялись в сильном смысле, это эффективно то же самое, что рассматривать факторгруппу, поскольку тогда асимптотическая часть вектора деформации определяет поверхностную деформацию всюду, и заряды сами по себе становятся хорошо определенными генераторами через скобку Дирака, см. [18]. Алгебра этих зарядов тождественна алгебре фактор-группы гамильтоновых генераторов, так что заряды также реализуют алгебру группы асимптотических симметрий. В принципе, алгебра генераторов может быть вычислена прямо из скобок Пуассона. Такой расчет, как правило, очень сложен, но для случая, который мы рассматриваем, ситуация еще хуже, поскольку компоненты вектора деформаций зависят от канонических переменных. Эта зависимость обсуждалась в конце главы 4, где было также показано, что вектор не зависит от канонических переменных в лидирующем порядке по , и таким образом, его асимптотическая форма может быть полностью определена только выбранным вектором конформной группы. Вывод, который мы здесь представляем, не зависит от дальнейших деталей для . И должно быть также подчеркнуто, что зависимость от канонических переменных не имеет логической связи с присутствием центральных зарядов в алгебре генераторов. Нашей исходной точкой при вычислении алгебры генераторов (5.1) является теорема, доказанная в [10]. Теорема является вполне естественной и утверждает, что скобка Пуассона двух хорошо определенных генераторов сама по себе является хорошо определенным генератором. Как было показано выше, заряды определены только с точностью до добавления постоянной, которая была выбрана в (4.11) так, чтобы глобальное анти-де-ситтерово пространство не имело заряда. В результате показано, что часть, образованная объемным интегралом скобки Пуассона, имеет тот же вид, как и (5.1), следовательно, поверхностный член, который должен возникать в этой скобке Пуассона может самое большее отличаться от заряда в уравнении (4.11) на константу , которая зависит только от асимптотического вида деформаций генератора . Тогда, если даны два вида (5.1), то их скобка Пуассона может быть записана как где — также хорошо определенный генератор вида (5.1). Чтобы продемонстрировать, что (5.2) есть центральное расширение алгебры конформной группы, должно асимптотический вид вектора деформации быть показано, дается скобкой Ли что . Конечно, это оставляет открытой возможность, что константы , так что центральное расширение тривиально. подождем до конца, чтобы вычислить константы Мы явным образом и показать, что они не могут быть поглощены переопределением канонических генераторов. Критическим шагом в этом анализе является понимание, что объемный член скобки Пуассона может быть вычислен в предположении, что есть чистые калибровки, в каком случае заряды исчезают. Действительно, скобка Пуассона определена в терминах вариационных производных гамильтоновых генераторов. генераторов включает добавление Определение этих зарядов в виде поверхностных интегралов, как раз таким образом, что вариации будут давать ``правую часть'' гамильтоновых уравнений, которые локальны по каноническим переменным и векторам деформаций, независимо от асимптотического поведения векторов вычислением скобки деформаций. Пуассона, Тогда в генератор, предположении, полученный что описывают чистые калибровочные деформации, может также отличаться от генератора, который был бы получен без этого предположения на члены, которые исчезают, когда есть чистые калибровки. Более того, эти дополнительные члены, появляющиеся в скобке Пуассона , есть как раз те самые поверхностные члены, которые возникают при интегрировании по частям. Ввиду вышеупомянутой теоремы, они должны быть в точности теми поверхностными интегралами, которые необходимы, чтобы сделать скобку хорошо определенным гамильтоновым генератором, когда векторам деформации разрешено описывать преобразования конформной группы на бесконечности. Таким образом, в предположении, что есть чистые калибровки, заряды исчезают, и скобки Пуассона могут быть здесь вектор дается обычной алгеброй поверхностных деформаций для векторов изменение компонент , [19] а вектора деформаций, порожденных под представляет собой действием поверхностных . Также скобки Пуассона, такие как должны быть вычислены с учетом интегрирования по и , так как это есть вектора чистых калибровочных деформаций, и они исчезают достаточно быстро на бесконечности, гарантируя, что вариационные производные могут быть хорошо определены. Тогда, в силу высказанных выше аргументов, скобка Пуассона в общем случае должна иметь вид (5.2), где даже если являются векторами конформной группы. Чтобы распознать $\zeta$ как специальный вектор конформной группы (4.5), напомним, что каждый такой вектор определяется единственным образом, с точностью до калибровочных членов, его ведущим вкладом по . Так как члены ведущего вклада всех векторов калибровочной группы не зависят от канонических переменных, отсюда следует, что дают вклады только высших порядков в в уравнении (5.3). Последний член в (5.3) также не будет давать вклада в в ведущем порядке, поскольку он является линейной комбинацией связей и их производных, которая должна убывать быстрее, чем любая степень (см. Приложение). В результате вектор может быть записан, в ведущем порядке, как Далее, тот факт, что правая часть (5.2) есть хорошо определенный генератор, гарантирует, что члены не ведущего порядка в (5.3) должны выпадать, таким образом, что удовлетворяет требованиям на вектор конформной группы во всех необходимых порядках по . Завершающим шагом в демонстрации того, что (5.2) есть центральное расширение алгебры конформной доказательство, что в ведущем порядке по деформаций совпадает конформной группы с группы, будет алгебра поверхностных алгеброй Ли векторов . Это можно сделать, записав сначала алгебру поверхностных деформаций в пространственно-временных координатах, через пространственно-временные компоненты векторов деформаций (где верхний индекс (3), ранее использованный для обозначения пространственно-временных компонент будет опущен): Эти выражения упрощаются при использовании асимптотического вида пространственной метрики (4.4), смещения и сдвигов (4.9) и при использовании (4.6), для того чтобы связать члены ведущих порядков в компонентах векторов конформной группы. Тогда алгебра поверхностных деформаций, как видно, совпадает с алгеброй Ли в ведущем порядке по и Предыдущие аргументы показывают, что вклад конформной группы в вектор деформации , т.е. та часть, которая не является чистой калибровкой, дается скобкой Ли говорит, что гамильтоновы . В результате уравнение (5.2) генераторы образуют центральное расширение алгебры конформной группы. Мы теперь вычислим центральные заряды явным образом и этим самым покажем, что центральное не расширение является тривиальным, поскольку центральные заряды не могут быть поглощены переопределением генераторов. Центральные заряды могут быть оценены непосредственно, учитывая, что скобка Дирака изменение заряда интерпретируется, как под действием поверхностной деформации единичной длины, порожденной , так что С другой стороны, так как заряды образуют центральное расширение алгебры конформной группы, Центральные заряды могут быть получены из уравнения (5.5), что легче всего сделать на поверхности глобально анти-де- ( 0) ситтерова пространства-времени, g . Так как заряд (4.11) был выбран так, что он исчезает для глобально антиде-ситтерова пространства-времени, то , и заряд , до того как поверхность деформируется, также равен нулю. В этом случае, центральный заряд сводится к значению заряда поверхности, деформированной с помощью Чтобы оценить на . на деформированной поверхности, выражение (4.11) может быть существенно упрощено путем перехода к координатам и использования известной асимптотической формы канонических переменных. Это дает что может быть упрощено еще более, с учетом того, что в ведущем порядке по . Тогда все что нам требуется — это метрические компоненты при , которые легко могут быть вычислены из деформированного анти-де-ситтерова пространствавремени по формуле: Выполняя все это для комбинациям приравненных всем возможным (4.7), мы находим, что единственными ненулевыми центральными зарядами оказываются следующие: (Если одна из величин деформацией, то предыдущие является чистой калибровочной аргументы показывают, что ассоциированные центральные заряды, как и должно быть, исчезают, см. [19]. Когда чистой калибровкой является , это происходит, поскольку исчезает для всех допустимых полевых конфигураций. Подобным образом, поскольку скобка Дирака интерпретирована как может быть , из этого следует, что центральные заряды исчезают, когда чистой калибровкой является .) Алгебра скобок Дирака для зарядов может теперь быть записана следующим образом: Должно быть ясно из этого расчета, что если все асимптотические симметрии являются точными симметриями анти-де-ситтерова пространства, то центральные заряды должны исчезнуть. Как показано во Введении, для любой теории, асимптотические симметрии которой являются точными симметриями некоторой фоновой полевой конфигурации, центральные заряды могут быть сделаны равными нулю, просто в результате того, что заряды могут быть выбраны равными нулю на этом фоне. В нашем случае, когда асимптотические симметрии не могут быть реализованы как точные симметрии некоторого фона, легко видеть, что центральные заряды нетривиальны. Например, скобка Ли из уравнения (4.8) реализуется в (5.6) как Если заряды переопределить и Ясно, что константы при помощи формул , то (5.7) принимает вид никогда не могут быть выбраны так, чтобы центральные заряды исключались для всех значений . Интересно отметить, что алгебра (5.6) является в действительности прямой суммой двух алгебр Вирасоро. Замена базиса обратима для через , и алгебра ассоциированных зарядов принимает вид Это просто обычная алгебра для канонических генераторов теории струн [9]. В качестве последнего замечания мы кратко укажем на некоторые аналогии с 4-мерной гравитацией в асимптотически плоском случае. Группа асимптотических симметрий является бесконечномерной ``группой Spi'' [4], пока поведение гравитационных переменных на пространственной бесконечности не ограничено при помощи условий четности, как в работе [8]. Тогда оказывается, что ``центральный заряд'' появляется в канонической реализации этих симметрий, в том смысле, что операторы Spi преобразуются неоднородно при асимптотических преобразованиях Spi. Однако однородная часть в алгебре скобок Пуассона генераторов не дает представления алгебры Spi (скобка двух бустов содержит нежелательное, зависящее от метрики и от угла преобразование) [20], так что ситуация в этом случае в действительности намного хуже. Это дает дополнительную мотивацию для наложения дополнительных граничных условий, чтобы исключить супертрансляционные неоднозначности [8,4]. Приложение: Проблема начальных данных В основном тексте мы показали, что пространственновременная метрика, удовлетворяющая граничным условиям (4.3-4.4), является асимптотически инвариантной при преобразованиях пространственно-временных координат (или "диффеоморфизмах"), которые становятся асимптотически элементами двумерной конформной группы, в смысле (4.5). Мы также показали, что в таком пространстве-времени, пространственная метрика и ее канонический импульс спадают на соответствующих сечениях как в (4.4,4.10). пространственноподобных Тогда рассмотрим следующую задачу с начальными данными: предположим, что на начальной поверхности t = 0 начальные данные имеют асимптотическое поведение (4.4,4.10). Можно ли найти такие функции смещения и сдвига, что эти начальные данные гамильтоновых могут уравнений, быть в развернуты, посредством пространственно-временную метрику, удовлетворяющую (4.3-4.4)? Этот вопрос не является просто обратным к анализу главы IV, потому что перенос Ли и гамильтонова эволюция совпадают только на поверхности связей (‘on shell’). Различие между ними измеряется динамическими компонентами тензора Эйнштейна. Эти компоненты, как оказывается, спадают слишком медленно на бесконечности, так что ими можно пренебречь только при более сильных граничных условиях на начальные данные (см. ниже). Это явление также имеет место в 3+1 гравитации [15]. Чтобы получить эти более сильные условия, сначала отметим, что начальные данные не могут просто быть продолжены посредством генератора , так как этот генератор не сохраняет граничные условия. Здесь adS ортогональной системе отсчета, и - компоненты в приспособленной к поверхностям t=const общего "конформного векторного поля," Чтобы сохранять граничные условия, компоненты вектора деформации должны включить "поправочные члены" порядка и они не являются "чисто калибровочными" (кроме величины , которая больше не будет представлять интереса). С пространственно-временной точки зрения, необходимость в (А.2, А.4) можно было предвидеть, заметив, что точно такие же члены появляются, если принять во внимание различие между фактическим и анти-де-ситтеровым смещением и сдвигом в формулах (См. обсуждение в конце главы IV.) Для определенности, рассмотрим случай асимптотической трансляции по времени Легко видеть, что полностью определяется до соответствующего порядка условием, что и - величина того же самого порядка, что (то есть, O(1/r3)). Как только это сделано, все скобки начинают вести себя правильно на бесконечности, так что остается проанализировать только уравнения для Элементарные вычисления показывают, величина того же самого порядка, что и в общем, будет . что , но что спадают слишком медленно, если выбрано должным образом. При ,и не использовании тождества Риччи для вторых ковариантных производных векторов эти два условия допускают решение для кривизна тогда и только тогда, когда пространственных сечений стремится к на бесконечности как То, чего наивно можно ожидать из (4.4), это , и это является причиной, по которой граничные условия (4.4,4.10) на бесконечности должны быть усилены. Когда выполняется (А.7), общее решение уравнения (А.6) дается формулой где — заданная локальная функция метрики и ее производных, явная форма которой не будет здесь представлять интереса. Член произволен и соответствует чисто калибровочному преобразованию. Это еще не все, поскольку условие совместимости (А.7) должно сохраняться во времени гамильтоновыми уравнениями. Эту проблему наиболее удобно анализировать, заметив, что (А.7) эквивалентно Скобку этого с генератором легко оценить. Это естественно приводит к дополнительным условиям, что функции связей должны спадать быстрее, чем любая степень Эти условия очевидно сохраняются при асимптотических преобразованиях из конформной группы, и следовательно, образуют замкнутое множество. Соответственно, когда начальные данные удовлетворяют (4.4,4.10) и являются решениями связей в окрестности гиперповерхности на бесконечности, они могут быть распространены путем, совместимым с требованием, чтобы получающееся пространство-время было асимптотически анти-деситтеровым. Это отвечает на вопрос, поднятый в начале этого Приложения. Также заметьте, что при этих условиях, эволюция Ли и гамильтонова эволюция эквивалентны, и пространствовремя, развитое из начальных данных удовлетворяет всем уравнениям Эйнштейна вблизи бесконечности. В качестве последнего момента, мы отметим, что зависимость от канонических переменных не оказывает никакого влияния на выражение для зарядов (которое следует из варьирования ). Это происходит, потому что поверхностный член, который возникает после принятия (А.8) во внимание, равен нулю, так как он пропорционален функциям связей . Благодарности. Мы благодарны Клаудио Тейтельбойму за его советы и поддержку. Это исследование было поддержано частично N.S.F. Grant #PHY-8216715 и исследовательскими фондами Центра Теоретической Физики Университета Техаса. Добавление. Коциклы недавно стали очень популярными ввиду их связи с аномалиями [21]. Коциклы также появляются в поле монополя [22], и также возникают в других областях физики [23]. Наша статья показывает существование возможно нетривиальных 2-коциклов (центральных зарядов) в канонической реализации алгебры асимптотической симметрии. Ссылки 1. Абботт, L. F., Дезер, С.: Стабильность гравитации с космологической постоянной. Nucl. Phys. B195,76 (1982) 2. Абботт, L. F., Дезер, С.: Определение заряда неабелевых калибровочные теории, Phys. Lett. 116B, 259 (1982) 3. Герок, Р.: Асимптотическая структура пространства-времени. В книге: Асимптотическая структура пространства-времени, Эспозито, F. P., Виттен, L. (редакторы). Нью-Йорк: Пленум Пресс 1977 3. Аштекар, А.: Асимптотическая структура поля тяготения на пространственной бесконечности. В книге: Общая теория относительности и тяготение: Спустя сто лет после рождения Альберта Эйнштейна, издание 2 Held, A. (редактор).. Нью-Йорк: Пленум Пресс 1980. См. также его вклад в Слушания Орегонской конференции по массе и асимптотической структуре пространства-времени. Флаэрти, F. (редактор).. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Шпрингер 1984 5. Нельсон, P., Манохар, А.: Глобальный цвет не всегда определен. Phys. Rev. Lett. 50, 943 (1983); Балачандран, A. P., Мармо, G., Мукунда, N., Нилссон, J. S., Сударшан, E. C. G., Заккария, Ф.: Топология монополей и проблема цвета. Phys. Rev. Lett. 50, 1553 (1983) 6. Энно, М.: Импульс, энергия, угловой момент и суперзаряд в 2 + 1 супергравитации. Phys. Rev. D29, 2766 (1984); Дезер, С.: 'Расстройство асимптотической инвариантности Пуанкаре в D = 3 гравитации Эйнштейна. Class. Quantum Grav. 2, 489 (1985) 7. Арнольд, В.: Математические методы классической механики. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Шпрингер 1978 8. Редже, T., Тейтельбойм, C: Роль поверхностных интегралов в гамильтоновой формулировке общей теории относительности. Ann. Phys. (Нью-Йорк). 88, 286 (1974) 9. См. например Шерк, Дж.: Введение в теорию дуальных моделей и струн. Rev. Mod. Phys. 47, 123 (1975) 10. Браун, J. D., Энно, М.: появится в J. Math. Phys. 11. Джакив, Р.: Введение в теорию квантов Янга-Миллса. Rev. Mod. Phys. 52, 661 (1980) 12. Дезер, S., Джакив, R., 't Хуфт, Г.: Трехмерная гравитация Эйнштейна: Динамика плоского пространства. Ann. Phys. 152, 220 (1984) 13. Дезер, S., Джакив, Р.: Трехмерная космологическая гравитация: Динамика постоянной кривизны. Ann. Phys. 153, 405 (1984) 14. См. например, Дирак, P. A. М.: Теория тяготения в гамильтоновой форме. Proc. Roy. Soc. A246, 333 (1958); Арновитт, R., Дезер, S., Мизнер, C. В.: В книге: Тяготение: введение в текущие исследования. Виттен L. (редактор).. Нью-Йорк: Вилей 1962 15. Энно, M., Тейтельбоим, C: Асимптотически анти-де-ситтеровы пространства. Commun. Math. Phys. 98, 391 (1985) 16. Бенгуриа, R., Кордеро, P., Тейтельбоим, C: Аспекты гамильтоновой динамики взаимодействующих гравитационного, калибровочного и хиггсовского полей с с приложениями к сферической симметрии. Nucl. Phys. B122, 61 (1977) 17. Пенроуз, Р.: В: Относительность, группы, и топология. ДеВитт C, ДеВитт B. (редакторы).. Нью-Йорк: Гордон и Брич 1964 18. Хансон, A., Редже, T., Тейтельбойм, К.: Принужденные гамильтоновы системы. Ace. Naz. dei Lincei, Рим 1976 19. Тейтельбойм, C: Коммутаторы связей отражают пространственно-временную структуру. Ann. Phys. (НьюЙорк). 79, 542 (1973) 20. Это было получено независимо A. Аштекаром и A. Магнон-Аштекар (частная коммуникация) 21. См. например, Фаддеев, Л. Д.: Операторная аномалия для закона Гаусса. Phys. Lett. 145B, 81 (1984); Алвейрз, O., Зингер, И. M., Зумино, Б.: Гравитационные аномалии и теорема об индексе семейства. Commun. Math. Phys. 96, 409 (1984); и ссылки там 22. См. например, Джакив, Р.: 3-коциклы в математике и физике. Phys. Rev. Lett. 54, 159 (1985); Гроссман, Б.: 3-коцикл в квантовой механике. Phys. Lett. 152B, 93 (1985); Ву, Y. S., Зи, А.: Коциклы и магнитный монополь. Phys. Lett. 152B, 98 (1985); Боулвар, D. G., Дезер, S., Зумино, Б.: Отсутствие 3коциклов в проблеме монополя Дирака. Phys. Lett. 153B, 307 (1985) 23. Например, в проблеме пространственно-временной симметрии калибровочных полей, см. Энно, М.: Замечания по пространственно-временной симметрии и неабелевым калибровочным полям. J. Math. Phys. 23, 830 (1982) Сообщил S. W. Хокинг Получено 13 марта 1985; в пересмотренной форме 15 октября 1985