  

ЗАДАНИЯ ПО ВСЕЙ ТЕМЕ «РЯДЫ»
РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ.
Задание 1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму
2n  1

 n n  1
2
n 1
2
Задание 2. Исследовать на сходимость указанные ряды:

n!
а)  n
n 1 n
с)

2

n
n  1n
n 1
n n 3n

d)
2
 tan
n 1

2
2

n
n 1
e)
в)

2

4 n
1
 1  sin n 
n 1
ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ
Задание 3. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды:
а)


n 1
 1n1
n  7n
2   1
в)   1
n
n 1

n
n
.
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯД МАКЛОРЕНА.
Задание 4. Найти радиус сходимости степенного ряда:
x
2
а) 1  
x2
xn
 ...  n  ...
4
2
x
3
в) 3x  34 x 4  39 x 9  ...  3n x n  ...
2
x
9
с) sin x  2 sin  4 sin  ...  2 n sin
d) x 
2
x
 ...
3n
2! 2 3! 3
n!
x  3 x  ...  n x n  ...
2
2
3
n
Задание 5. Разложить в ряд Маклорена функцию:
а) f ( x)  cos 5 x
Задание 6. Вычислить
1
e
в) f ( x) 
x2
1 x
приближенно с точностью   0,0001
Задание 7. Вычислить 3 10 приближенно с точностью   0,001
Задание 8. Используя разложение подынтегральной функции в степенной
ряд, вычислить определенные интегралы с точностью   10 3 :
3
а)  arctan x dx
2
3
в)
2
x
0
6
sin x dx
РЯДЫ ФУРЬЕ.
Задание 9. Разложить в ряд Фурье периодическую T  2  функцию
  x,    x  0
f ( x)  
0 x 
 0,
Задание 10. Разложить в ряд Фурье периодическую T  2l  2 функцию
1,  1  x  0
1
f ( x)   ,
x0
2
 x, 0  x  1
Задание 11. Разложить в ряд Фурье периодическую T  2l  4 функцию
0,5x 2  1,  2  x  0
f ( x)  
0 x2
 2,
ОТВЕТЫ
1. Ряд сходится и его сумма S=1.
2. а) Ряд сходится (признак Даламбера)
в) ряд сходится (признак Коши)
с) ряд сходится (интегральный признак)
d) ряд расходится. (предельный признак сравнения. Сравнить с
гармоническим рядом)
е) ряд расходится (необходимый признак сходимости не выполняется)
3. а) ряд сходится абсолютно
в)
ряд
расходится.
(Указание:

 1   1 .
2   1



1

2



n
n
n 1
n 1
n 1 n

n
n
n
Рассмотреть сходимость двух рядов.)
4. а) R=2
в) R=1/3
n

 1 5 2 n x 2 n
5. a) cos 5 x  
,
2n !
n 0

6. e
7.
3

1
2
 e  1
c) R=∞
x 
1 1 1
1
1
 


 0,6065
2 8 48 384 3840
10  2,154
8. a) 0,385
b) 1,572
d) R=e

x2
n
b)
   1 x n 2 ,
1  x n 0
x 1
a0 
9.

2
f ( x) 
a0 
10.

3
;
2
f ( x) 
a0 
5
;
2
4
2
an 
;

2

 2n  1
cos2n  1x
 2n  1

n 1
an 
3 2

4 2
2
2
 2n  1
2
n 1
 2 2n  12
cos2n  1
x

n 1
2
2
sin nx
n
n 1

bn  
;
;
11.

2
1
n

cos2n  1x

 2n  1
an 
5 2
f ( x)   2
4 
bn  
;
2

1
1
n
sin nx
n
n 1



bn 
1  2 1
n

n 1

1  2 1
2 1

2
 n 1
n
2n  1
n 1
 sin nx
2