стр. 22-36

КРЫЛЬЯ В ПОТОКЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
КРЫЛО В ДОЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
В линейной постановке задачу об обтекании тонкого профиля сжимаемым газом можно решить с помощью одной из следующих теорем.
 . Пусть тонкий профиль y  y (x ) обтекается сжимаемым газом при числе M  M  в невозмущенном потоке и при угле атаки  . Тогда распределение
давления и коэффициент подъемной силы такого профиля будут те же самые,
что у утолщенного профиля y1  y1 ( x) :
y
y1 
,
(1)
1  M 2
обтекаемого несжимаемой жидкостью при угле атаки:

1 
.
1  M 2
(2)
 .
Пусть два одинаковых тонких профиля обтекаются при одном и том
же угле атаки. Первый обтекается сжимаемым газом при M  M  в невозмущенном потоке, а второй – несжимаемой жидкостью. Тогда коэффициент
давления p и коэффициент подъемной силы CY первого профиля выражаются
через коэффициент давления p1 и коэффициент подъемной силы второго
профиля CY 1 по формулам:
p1
CY 1
p
C

,
(3)
. (4)
Y
1  M 2
1  M 2
p  p
2 p  p


- коэффициент давления, p - давление
p
  V2  kM 2


 2 
в данной точке профиля, p - давление в невозмущенном потоке.
Предполагается, что распределение давления по профилю и коэффициент
подъемной силы в несжимаемой жидкости могут быть найдены теоретически
или с помощью опыта в аэродинамической трубе малых скоростей.
Здесь p 
Задачи 45 – 49
x
,
l
где   0,05 м , l  1м . Вдали от стенки М   0,6 . По линейной теории найти
45. Воздух обтекает синусоидальную стенку. Ее уравнение y   sin 2
22
расстояния от оси x , на которых возмущения скорости не превышают а) 1%,
б) 0,1% от V . Сравнить с затуханием возмущений в несжимаемой жидкости.
46. По линейной теории найти профиль y1  y1 ( x) и угол атаки 1 , под
которым его надо подвергнуть продувке в аэродинамической трубе малых
скоростей, чтобы узнать коэффициент подъемной силы симметричного профиля, заданного ниже таблицей, с учетом сжимаемости воздуха при М   0,7
x
и угле атаки   7,1 . В верхней строке даны значения x  в процентах , в
b


y
нижней строке соответствующие значения y B  y H  , где b– длина хорды проb
филя.
0,0 2,5 5,0 10 15
20
30
40
50
60
70
80
90
0,00 1,52 2,19 3,0 3,56 3,92 4,26 4,22 3,83 3,44 2,80 2,03 1,12
100
1,00

47. Коэффициент давления p1 без учета сжимаемости воздуха для верхней поверхности профиля ЦАГИ Д2-8% при угле атаки 1  3,5 дан в таблице в зависимости от расстояния по хорде (в процентах):
Номер
точки
x , в%

p1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
5
10
15
20
40
60
80
95
+0,1
-055
-0,72
-0,74
-0,68
-0,40
-0,18
-0,02
+0,08

По линейной теории найти коэффициент давления p с учетом сжимаемости для того же профиля, при том же угле атаки, если в набегающем потоке


M   0,56 . Сравнить эпюры p1 и p .
48. Для профиля (рис. 1), геометрические параметры которого и распределение давления при   15 заданы ниже таблицей, найти коэффициент
подъемной силы C y с учетом сжимаемости по линейной теории, если
M   0,5 .
23
Верхняя поверхность
А
1
2
3
Точки
Нижняя поверхность
5
6
7
8
4
9

x

y

p1
0,00
0,06
1,00
0,07
0,14
-1,11
0,29
0,20
-1,19
0,46
0,18
-0,58
0,72
0,16
-0,20
0,20
0,00
0,11
0,39
0,00
0,13
0,51
0,00
0,18
0,82
0,00
0,09
1,00
0,00
-0,10
Рис.1
49. Модель прямоугольного крыла размахом l1 =1,0 м и с хордой b1 =0,2 м
при продувке в аэродинамической трубе со скоростью V1 =30
м
сек
дала подъ-
емную силу 77,3 н. Условия в потоке были нормальные атмосферные. Рассчитать подъемную силу крыла в натуре в полете при нормальных атмосферных
условиях на уровне земли со скоростью V =239
м
,
сек
если линейные размеры
натуры в шесть раз больше соответствующих размеров модели. Углы атаки и
углы нулевой подъемной силы равны соответственно 5  и –5,2  и одинаковы
для натуры и модели.
КРЫЛО В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
В пределах линеаризованной теории, пригодной для тонких профилей
при малых углах атаки, коэффициент подъемной силы крыла
Y
Cy 
,
 V2
S
2
где Y - подъемная сила, S - площадь крыла, является функцией числа
Маха набегающего потока и угла атаки  . Он не зависит от формы профиля
24
4
.
2
M  1
Cy 
(5)
Коэффициент волнового сопротивления профиля
Х волн
C x волн 
,
 V2
S
2
где X волн - сопротивление, обусловленное наличием ударных волн в потоке, обтекающем профиль. В сверхзвуковом потоке C x вычисляется по формуле:
2
2 2  LB  LH  .
C х волн 
(6)
2
М 1
Здесь

1
1

LB    B d x1 ; LH    H2 d x1
2
0
0
- интегралы формы, отражающие влияние на волновое сопротивление

x
геометрии профиля; x1  1 ( b - хорда профиля;  B и  H см. рис. 2).
b
Рис.2
2
в данном
C x в олн 2 2  LB  LH
случае не зависит от числа Маха набегающего потока. Здесь не учтено сопротивление трения.
Коэффициент момента относительно передней кромки профиля
Аэродинамическое качество профиля K 
25
Cy

M0
( M 0  момент)
pV2
Sb
2
определяется соотношением:
1
2

Cm 
    H   B x1 dx1  .
2


0
M 1 
Cm 
(7)
Для симметричных профилей (  H   B ):
Cy
2
.
Cm 

M 2  1 2
Центр давления – точку на хорде, через которую проходит линия действия равнодействующей сил давления, можно найти из соотношения:
С
xЦ . Д  m  b .
(8)
Cy
x1 Ц . Д
 СЦ . Д называется коэффициентом центра давления. По
b
линеаризованной теории центр давления лежит на середине хорды для всех
симметричных профилей.
При определении Cm линеаризованная теория дает большую ошибку, чем
при определении C y и Cx волн.
Отношение
Линеаризованная теория профиля не применима при числах Маха, близких к единице (М  <1,1). Результаты более точные, чем по линейной теории
можно получить, используя теорию второго приближения. Эта теория основана на учете в выражении коэффициента давления вторых степеней малых
отклонений:

p  C1  C2 2 .
Здесь
(9)
kM 12  M 12  2
2
; C2 
.
2
2M 12  1
M 12  1
2
C1 
Аэродинамические характеристики профилей во втором приближении
определяются по формулам:
коэффициент подъемной силы
C y  2C1    0  ,
(10)
где угол нулевой подъемной силы  0  
коэффициент волнового сопротивления
26
1 C2
LH  LB  ;
2 C1
С y2
(11)
 C y  C x 0 ,
2C1
где Cx 0  C1 LH  LB   C2 N H  N B  - коэффициент сопротивления при
нулевой подъемной силе;
коэффициент момента:
Cm  C y  Cm 0 ,
(12)
C x волн 
где  

C2
1
1


C


C 2 ( LH  LB ) 
1

2
Q

Q
и
m0
H
B 
2
2 
C1

 C1 (QH  QB )  C2 ( PH  PB )
- коэффициент момента при нулевой подъемной силе.
Величины L, N , P и Q в формулах (10), (11), (12) представляют собою
интегралы, учитывающие влияние формы профиля на его аэродинамические
характеристики:
3
2
1
1
 dy   
 dy1  
 dy1  
 d x1 ; P    1  x1 d x1 ;
 d x1 ; N   
L   
0  dx1 
0  dx1 
0  dx1 
1
1 

Q   y 1 d x1
0


здесь x1 и y1 - координаты профиля в связанных осях; x1 и y1 - координаты, отнесенные к хорде профиля. Индексы “н” и “в” отличают интегралы,
вычисленные для нижней и верхней поверхностей профиля.
Отметим, что приведенные выше выражения для Cx 0 и C m 0 - приближенные.
Для профилей простой формы аэродинамические коэффициенты могут
быть подсчитаны непосредственным интегрированием избыточного давления
с учетом потерь в скачках уплотнения.
При сходе с задней кромки течение несколько отклоняется от направления невозмущенного потока перед профилем. Угол скоса потока очень мал и
им можно, во многих случаях, пренебречь при расчете поля скоростей и давлений вокруг профиля.
Задачи 50 – 75
50. Для ромбовидного профиля с максимальной относительной толщиной
5% найти C x и C y на режиме максимального качества крыла, если М  =2,2.
Выяснить, как влияет на величину максимального качества профиля учет сопротивления трения (считать коэффициент сопротивления трения C f =0,005).
27
Сравнить максимальное качество профиля с качеством плоской пластинки
при угле атаки, оптимальном для профиля.
Рис.3
Рис.4
51. Найти изменение коэффициента сопротивления профиля в форме
симметричного двойного клина (рис. 3) при смещении максимальной толщины с середины хорды на 0,15 длины хорды к носку. Угол атаки  =0.
52. Вычислить коэффициент волнового сопротивления профиля, изобраb
c
b
женного на рис. 4, если  =5  , =0,5, 1 =0,3, 2 =0,4. Сравнить с ромбом той
b
b
b
же относительной толщины.
53. Найти выражение коэффициента волнового сопротивления профиля в
форме двойного клина, не симметричного относительно хорды (рис. 5). Сравнить Cx волн клиновидного и ромбовидного профилей одинаковой относительной толщины, если угол атаки  =0. Доказать, что ромб имеет минимальное
сопротивление по сравнению с рассматриваемым классом профилей.
54. Найти выражение коэффициента волнового сопротивления несимметричного профиля (рис. 6) при нулевом угле атаки
Рис. 5
Рис. 6
55. Посчитать коэффициенты подъемной силы, сопротивления и момента
10-процентного профиля крыла, образованного снизу отрезком оси x длиной
L=1м., а сверху – параболой, в сверхзвуковом линеаризованном потоке при
угле атаки пять градусов.
28
56. Посчитать коэффициенты подъемной силы, сопротивления и момента
5-процентного профиля крыла, образованного снизу отрезком оси x длиной
l=1м., а сверху – параболой, в сверхзвуковом линеаризованном потоке при
угле атаки пять градусов.
57. Посчитать коэффициенты подъемной силы, сопротивления и момента
10-процентного профиля крыла, образованного снизу отрезком оси x длиной
l=1м., а сверху – синусоидой y  h sinx / l , в сверхзвуковом линеаризованном потоке при угле атаки пять градусов.
58. Найти выражение коэффициента волнового сопротивления профиля,
составленного из дуг двух окружностей (рис. 7). Рассмотреть, как частный
случай, профиль, составленный из отрезка прямой и окружности. Сравнить
Cx волн профилей в виде чечевицы и получечевицы с Cx волн профиля в виде ромба.
Рис.7
Рис.8
59. Рассчитать коэффициенты C y , Cx волн , Cm для клиновидного профиля
10% толщины, обтекаемого потоком при М  =1,8;  =0, если профиль имеет
отклоненный элерон. Хорда элерона 0,15
b , угол отклонения (рис. 8), 
Э
=5  .
60. Плоская пластинка обтекается плоскопараллельным потоком воздуха
при М  =2,02 под углом атаки  =15  . Найти поле чисел Маха. Сравнить C y ,
Cx волн , K , вычисленные по точной и по линеаризованной теории.
29
61. Найти поле чисел Маха и давлений вокруг плоской пластинки, обтекаемой плоско-параллельным потоком воздуха при М  =2,5 и  =8  . Построить по одной линии тока над пластинкой и под пластинкой. Задачу решить
без линеаризации с помощью газодинамических таблиц.
62. Определить скос потока за плоской пластинкой, обтекаемый потоком
при М  =2,5 под углом атаки  =26  .
63. Определить C y и Cx волн для ромбовидного профиля 10,5% толщины,
обтекаемого воздухом при М  =1,53 и  =6  . Найти коэффициент центра давления и коэффициент момента относительно передней кромки. Задачу решить
без линеаризации.
64. Сравнить волновое сопротивление двух бипланов бесконечного размаха, составленных из одинаковых треугольных профилей по схеме  и схеме  - биплан Буземана (рис. 9). Профили симметричны относительно линий
H
максимальных толщин. Углы кромок равны 4  . Отношение
=0,45. Коэфb
фициент скорости набегающего потока воздуха  1 =1,45. Угол атаки обоих
бипланов равен 0  . Задачу решить в линейной постановке.
Рис.9
Рис.10
65. Рассмотреть обтекание сверхзвуковым потоком (  1 =1,52) треугольного профиля в присутствии плоской стенки (рис. 10). Углы  равны 6  . ОтH
ношение
подобрать таким образом, чтобы отраженный скачок уплотнения
b
попал в угловую точку верхней поверхности профиля. Волны сжатия рассчитать без линеаризации. Волны расширения принять линейными. Объяснить
результат.
66. Рассчитать биплан Буземана, состоящий из двух треугольных профилей с относительной толщиной 5%. Максимальная толщина нижнего профиля
находится на расстоянии 0,4 длины хорды от передней кромки. Безразмерная
скорость невозмущенного потока  1 =1,50. При нулевом угле атаки у биплана
30
должно полностью гаситься волновое сопротивление. Задачу решить в линейной постановке.
67. Найти угол нулевой подъемной силы для клиновидного профиля с

относительной толщиной c =8%. Нижняя поверхность профиля плоская. Число Маха набегающего потока М 1 =2,5.
Указание: воспользоваться теорией профиля во втором приближении.
68. Воспользовавшись теорией профиля во втором приближении, определить положение центра давления на клиновидном профиле с плоской нижней

поверхностью, если максимальная относительная толщина профиля c =5%
находится на расстоянии xC =0,7 b от передней кромки и в невозмущенном
потоке М 1 =3,5; угол атаки профиля 6  .
69. По теории второго приближения рассчитать аэродинамические харакCy
теристики ( C y , Cx волн ,  0 ,
, Cm , х Ц . Д ) плосковыпуклого профиля, верхняя
C x в ол н
поверхность которого представляет собой синусоиду. Принять c =5%; М 1 =3,5;
 =5  .
70. Почему для числа Маха набегающего потока М 1 =1,33 кромку крыла
со стреловидностью  =30  следует называть сверхзвуковой, а со стреловидностью  =50  - дозвуковой?
71. Определить характер кромок крыла, изображенного на рис.11 при
числах Маха набегающего потока M 1(1) =1,37 и M 1( 2 ) =3,09.
Рис.11
Рис.12
31
72. Рассчитать подъемную силу, волновое сопротивление и положение
центра давления модели плоского прямоугольного изолированного крыла в
потоке воздуха. Размах крыла l =0,2 м; хорда b =0,04м; угол атаки
м
; температура
 =8  .Параметры потока воздуха: скорость V =458
сек
н

Т =180 К; давление р =10 4 2 .
м
Рассмотреть характер изменения давления в областях конического течения. Воспользоваться линейной теорией.
73. Построить изобары на плоском трапецевидном крыле при числе Маха
набегающего потока М 1  1,22 ; l  2b и   15 (рис.12).Угол атаки  < 4  .
74. Плоское треугольное крыло должно обеспечить горизонтальный полет самолета весом G  2  105 н на высоте H  14000 м в диапазоне скоростей
км
км
от V1  1850
до V2  2520
.Найти потребную площадь крыла и угол
час
час
атаки на скорости V2 , если угол атаки на обеих скоростях не должен превыdC y
шать 5  , а угол стреловидности передних кромок 60 . Определить
при
d
скоростях V1 и V2 .
Указание: решение провести по линейной теории, считая крыло изолированным.
75. Найти эффективное удлинение, обеспечивающее минимальное волновое сопротивление треугольного плоского крыла при заданных– нагрузке на
квадратный метр крыла, скорости и высоте полета. Найти условие, при котором волновое сопротивление крыла со сверхзуковыми передними кромками
меньше сопротивления крыла с дозвуковыми кромками. Найти зависимость
l 
оптимального отношения    f M   . Здесь l - размах изолированного
 b0  опт
 -крыла, b0 – максимальная хорда.
32
БОЛЬШИЕ СВЕРХЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ.
Течения газа с числами Маха, большими 4– 5, называются гиперзвуковыми. Критериями подобия для таких течений являются величины вида

M
(последний - для тел вращения).
K  M ; K  M c ; K  M ; K  
c

Здесь M – число Маха;  – угол наклона элемента обтекаемой поверхности к


направлению набегающего потока; c – относительная толщина профиля;  –
угол атаки;  – удлинение тела. Между углом наклона косого скачка  и углом  при гиперзвуковом обтекании имеет место соотношение:
2
k  1
1 
 k  1
 
 

(1)
 .

2
4
4
K



 

Коэффициент давления при переходе через косой скачок выражается (для
малых значений угла  ) формулой:
2
k  1

4  2
 k  1
p ск  
 

(2)
 ,

2
2
2
K



 

а в случае течения расширения:
2k

k 1 
k

1
2

1 
K    .
(3)
2

 


Связь между поворотом потока в волне расширения и числами Маха,
начальным и текущим, имеет вид:

2
pp 
kK2
2  1
1 
 
.
(4)
k  1  M M 1 
«Ньютоновская» теория обтекания основана на предположении, что
нормальная, по отношению к обтекаемой поверхности, составляющая количества движения невозмущенного потока газа теряется полностью при неупругом ударе частиц газа о поверхность. Коэффициент давления по этой
теории определяется в виде:


p  2 ,
2
(5)
причем p  0 для части поверхности, находящейся в “аэродинамической
тени”.
33
Разреженность газа (проскальзывание на обтекаемой поверхности) согласно классификации Тзяна необходимо учитывать, если
M
Re
<0,01 ( Re >1) или
M
<0,01 ( Re <1).
Re
L
,
d
где L – длина свободного пробега молекул газа, а d – характерный линейный
размер обтекаемого тела.
Критерием степени разреженности газа является число Кнудсена Kn 
Задачи 76 – 87
76. Экспериментальная зависимость коэффициента подъемной силы
плоской пластинки от угла атаки при М   5 представлена на рис.13. Пользуясь законом подобия для гиперзвуковых скоростей, найти C y плоской пластинки при М   10 и угле атаки   3 .
Рис.13

77. Для профиля с относительной толщиной c м од =8% найдены из опыта
при М  мод  4 и угле атаки  мод  7  величины коэффициентов подъемной силы и лобового сопротивления C y м од ; С х м од . Воспользовавшись критериями ги
перзвукового подобия, найти C y нат ; Сх нат натуры при c нат =4%; М  нат =8 и соответствующем угле атаки  нат .
78. Пользуясь условием М >> 1 , вычислить результирующую силу, приходящуюся на 1м 2 плоского прямоугольного крыла (вне концевых конусов
Маха) в полете на высоте H  30км , если число Маха полета М 1  15 и угол
атаки крыла 20 .
34
79. Необходимо найти на опыте распределение давления по боковой поверхности тела вращения, удлинение которого в натуре равно 8 и которое
предназначено для полета при М H  7 и  H  2 . Аэродинамическая труба
позволяет провести продувку модели при числе Маха М мод  4 . Каковы должны быть удлинение и угол атаки модели при продувке?
80. Найти асимптотическое соотношение между углом поворота гиперзвукового потока воздуха в косом скачке уплотнения и углом наклона косого
скачка, а также асимптотическое выражение коэффициента давления на косом скачке для больших значений параметра гиперзвукового подобия K .
p 
81. Вывести приближенное выражение явной зависимости M 1  f  02 
 p1 
(обращение формулы Рэлея), пригодное для достаточно больших чисел Маха.
Показатель изэнтропы взять равным 1,25 ; 1,33 ; 1,40 . Сравнить с точным значением при k  1,4 для М 1  2  4 .
Указание: воспользоваться тем, что коэффициент давления торможения

2 p02  p1 
за скачком p ск 
быстро стремится к пределу при возрастании М 1 .
kp1 M 12
82.Найти коэффициенты подъемной силы и волнового сопротивления
плоской пластинки при числе Маха набегающего потока воздуха М 1  16 и
угле атаки 5  .
83. Найти коэффициент давления для верхней стороны плоской пластинки, движущейся при числе Маха М 1  25 под углом атаки 12 .
Рис.14
84. По «ньютоновской» теории определить коэффициенты подъемной
силы, сопротивления давления и качество треугольного и ромбовидного профилей (рис. 14), если у обоих профилей угол атаки 4  , а относительная толщина 5%.
35
85. Найти коэффициент сопротивления давления тела вращения с пара
x
r
болической образующей r  ; m  6 (рис. 15),при нулевом угле атаки.
rm 2rm
Расчет провести по «ньютоновской» теории.
Рис.15
86. Тело с характерным размером d  3 м движется в воздухе со скорокм
стью 7,8
. Определить высоту Н над землей, при превышении которой
сек
необходимо применять для расчета модель обтекания со скольжением на поверхности тела.
Указание: Использовать классификацию областей аэродинамики по Тзяну.
87. В аэродинамической трубе имитируются высотные условия полета.
Модель, размеры которой в 100 раз меньше натуры, продувается при темпен
ратуре воздуха Tмод  160 К и давлении в рабочей части рмод  50 2 . Осном
вываясь на подобии, по числам Кнудсена, определить, какой высоте над землей соответствуют условия продувки.
Литература:
1. Давидсон В.Е. Основы газовой динамики в задачах. «Высшая школа»,
Москва. 1965.
2. Самойлович Г.С., Нитусов В.В. Сборник задач по гидроаэромеханике. «Наука», Москва. 1986.
3. Черный Г.Г. Газовая динамика. «Наука», Москва. 1980.
4. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. «Наука», Москва. 1970.
36