Пермский институт ФСИН России Кафедра естественнонаучных дисциплин МАТЕМАТИКА Учебно-методические материалы Заочное обучение Специальность 110400 - Зоотехния Пермь 2010 г. Математика: Учебно-методические материалы (заочное обучение)/ Пермский институт ФСИН России Пермь 2010. 23с. Материалы подготовлены преподавателем - методистом майором внутренней службы Герасимовой Р.В. Утверждены на заседании кафедры ЕНД протокол №7 от 10 июня 2010г Герасимова Р.В. © ПИ ФСИН России © Пояснительная записка Потребность в изучении дисциплины Математика слушателями, обучающимися по специальности 110400 - Зоотехния вызвана необходимостью анализа и обработки большого объёма служебной информации, с которой будут работать выпускники школы, а также применением ряда математических методов при решении служебных задач, стоящих перед правоохранительными органами. Целевая установка Целью изучения дисциплины Математика является усвоение фундаментальных понятий в области математики, приобретение твёрдых знаний в теории пределов для последовательностей и функций, дифференциальном и интегральном исчислении, теории вероятностей и математической статистики и теории дифференциальных уравнений. Выполнение контрольной работы закрепляет знания в области изучения дисциплины Математика. Структура курса Программа изучения дисциплины Математика предусматривает 24 часов аудиторных занятий, из них по 12 часов лекций и практических занятий, выполнение одной контрольной работы и сдачу экзамена. Требования к экзамену Экзамен проводится в письменной форме. Слушатель должен ответить на вопросы теста. Методические указания по выполнению контрольной работы Контрольная работа даётся в 30 вариантах. Выполняется один из них, исходя из порядкового номера в журнале по списку. Варианты заданий приведены в таблице в конце брошюры. Для выполнения контрольной работы используется школьная тетрадь объёмом 12…18 листов. На обложке тетради оформляется Герасимова Р.В. © ПИ ФСИН России © 1 надпись: Контрольная работа по дисциплине Информатика и математика слушателя ___ учебной группы!!! Далее указываются: специальное звание, фамилия, имя, отчество, номер зачётной книжки (обязательно) и номер варианта. Выполнение каждого задания и ответ на каждый вопрос начинается с новой страницы. Вначале указывается номер задания или вопроса и приводится его формулировка. Затем излагается ход выполнения задания или ответ на вопрос. В заключение каждого задания или вопроса указывается список литературы, которая использовалась при выполнении задания или при ответе на вопрос. Контрольная работа Выполните письменно указанные ниже задания в соответствии с номером варианта. Примечание. Требования и данные для выполнения заданий 1, 7 указаны ниже. Задание 1. Изложите теоретические вопросы в краткой форме. Контрольная работа даётся в десяти вариантах. Выполняется один из них, исходя из последней цифры номера своей зачётной книжки. Слушатель, номер зачётной книжки которого заканчивается на 1, выполняет вариант №1, на 2 - вариант №2, на 3 - вариант №3, на 4 - вариант №4, на 5 - вариант №5, на 6 - вариант №6, на 7 вариант №7, на 8 - вариант №8, на 9 - вариант №9, на 0 - вариант №10. Таблица 1 Задание 1 Герасимова Р.В. © ПИ ФСИН России © Вариант №1 1.1; 2.1; 1.5; 3.1 Вариант № 2 1.2; 2.2; 1.5; 3.2 Вариант №3 1.3; 2.3; 1.5; 3.3 Вариант №4 1.4; 2.4; 1.5; 3.1 Вариант №5 1.6; 2.5; 1.5; 3.2 Вариант №6 1.1; 2.6; 1.5; 3.3 Вариант №7 1.2; 2.1; 1.5; 3.1 2 Задание 1 Вариант №8 1.3; 2.2; 1.5; 3.2 Вариант №9 1.4; 2.3; 1.5; 3.3 Вариант №10 1.6; 2.4; 1.5; 3.1 1. Алгебра и начала математического анализа 1.1. Производная. Геометрический и физический смысл. 1.2. Дифференциал функции и его геометрический смысл. 1.3. Неопределенный интеграл и его свойства. 1.4. Определенный интеграл и его свойства. 1.5. Основные понятия и определения теории дифференциальных уравнений. 1.6. Случайные события и случайные величины. Способы представления случайных величин. 2. Аналитическая геометрия 2.1. Векторы на плоскости. 2.2. Векторы в пространстве. 2.3. Прямая на плоскости. 2.4. Плоскость и прямая в пространстве. 2.5. Линейное пространство. 2.6. Евклидово пространство. 3. Линейная алгебра 3.1. Матрицы 3.2. Определители линейных уравнений 3.3. Определители и система линейных уравнений Задание 2. Найти предел функции: 1. 2. 3. x2 x 6 x2 x2 sin( x 3) lim x 0 x3 x sin x lim x0 x lim Герасимова Р.В. © ПИ ФСИН России © 4. 5. 6. 3 cos 2 x 1 x 0 x2 x2 x 6 lim x 2 x 2 3 x 2 x2 2 lim 3 x 0 x 3x 1 lim 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. x3 x 3 x 3 2 x 1 lim x 1 x 1 1 lim ( x 1) x4 x2 2 3x 4 x 2 lim 2 x x 8 x 1 x 2 25 lim x5 x 5 sin 4 x lim x 0 sin 5 x x 2 5x 6 lim x x3 2 x 2x 3 lim 2 x 2 x 3 x 4 sin 2 2 x lim x0 x2 x2 x 2 lim x1 x3 1 5x 3 7 x lim x 1 2 x 3 sin x cos x lim x cos 2 x 4 lim 3 19. lim x0 20. lim x ( x 2 1) 50 x ( x 1)100 21. lim x2 1 x x 1 4 1 2 23. lim x 2 x 2 x 4 22. lim tgx sin x x3 tg 2 x 25. lim x sin 4 x 2 24. lim x 0 1 3 x x 1 1 5 x 26. lim 27. lim x 0 1 x2 1 x 1 1 x 9 x2 x3 3x 3 x 2 6x 8 29. lim x2 x3 8 x3 x 2 x 1 30. lim x1 x 3 3x 2 28. lim 1 x2 1 x2 x3 2x 2 Герасимова Р.В. © ПИ ФСИН России © 1 tgx 1 tgx sin 2 x 4 Задание 3. Найти производную функции: 1. y x2 x2 x2 sin x 2x 2. y 3. y ( x 2 4 x 2) 9 5. 6. x2 2 y x 1 y (sin x cos x) 20 y cos( x 2 2) 7. y 4. a2 x2 a2 x2 1 2x 19. y ln 1 2x 20. y x ln x arcsin 21. y sin 2 x 3 18. y ln x x 1 xtgx 23. y 1 x2 24. y 1 5 cos x 22. y e x x7 1 x 8. y x12 sin x 9. y (3x 2 6 x) 5 10. y tg( x 2 2 x) 26. 27. 28. x 2 2 x 3) 29. 14. y ln tg 5 x 15. y etg 3 x 16. y ln( x 2 2 x) 17. y ln ln Герасимова Р.В. © ПИ ФСИН России © 1 x2 arcsin 2 3 1 x y e (sin x cos x) 2 y tg 3 x 3tgx 3x x 3 y ctg 3 3 x 1 sin 2 x y 1 sin 2 x 2 y ( x 2)e x 25. y x12 sin x 11. y 4 12. y ln sin x 13. y ln( x 1 x 30. x 6 Задание 4. Вычислить неопределенный интеграл: dx ex x 1. y 2 12. y e 2 3 dx sin x cos 2 x x 2. y x 4 2 x 3 dx 2 13. x x y sin cos dx 2 2 14. x4 y dx 1 x2 15. 1 sin 3 x y dx sin 2 x 16. x y sin 2 dx 2 17. 1 1 1 y 2 3 dx x x x 18. 4x y 4 x 3 x3 9. y cos( 2 x 4)dx 19. y 4 10. y (3x 2 2 x )dx sin x 20. y 2 x e x dx 21. y ctg 2 xdx 22. x2 2 y 2 dx x 1 23. 1 1 y 4 3 x x 3. y 3 sin xdx 4 cos 2 x dx 4. y 2 sin x x2 5. y 2 dx x 1 6. y xdx ( x 2 3) 2 x 2 dx 7. y 4 3x 3 3 2 8. y 2 2 dx sin x cos x 5 2 3 11. y 2 1 x2 1 x Герасимова Р.В. © ПИ ФСИН России © dx 6 dx 3tg 2 x 4 dx sin 2 x dx ex y e x 1 2 dx cos x 24. 25. y 28. 3 x 1 dx x 29. 2 x x y sin cos dx 2 2 26. y 30. y 2 x 3 x dx y 2x 5x dx 10 x 1 1 dx y 2 2 x 25 x 5 2x 5x dx 10 x 27. Задание 5. Вычислить определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: 2 1 7. y 1 dx 2x sin 6 1 1. y 2 x 3 dx 5 4 0 8. x 2 x 7 dx 1 2. y 3 8 1 3 3. y 0 4 4. y 1 9. y dx 9 x2 10. x 1 dx x 3 x dx y x 2dx 0 1 11. y ( x x 2 )dx 0 dx 2 6 cos x 3 12. 3x3 2 x 2 4 y dx x3 1 Герасимова Р.В. © ПИ ФСИН России © 1 4 6. y 1 3 5. dx 25 x 2 3 y y 0 8 dx 1 x2 y 3x 4 3x 2 1 dx 1 x2 0 13. 23. 0 4 3 14. 3 y x sin xdx 24. 2 1 15. y xe 17. dx 18. y 26. y x 2 e x dx 1 2 2 2 1 4 3 2 0 27. y arctgxdx 0 1 x dx 1 x 28. y sin 2 xdx 0 29. 1 y x 2 4 dx x 1 30. y ln 2 xdx 2 19. a x dx 2 dx y x 1 1 y dx 0 1 2x 1 25. 0 1 dx x x 2 4 x2 a y x y 1 1 16. 4 y sin 4 xdx 2 y sin x cos 2 dx 0 e 1 20. dx y x e 1 0 21. y 1 dx x2 1 0 22. 1 4 y tg 3 xdx 0 Герасимова Р.В. © ПИ ФСИН России © 9 Задание 6. Найти интегралы методом подстановки: cos( 2 x 4)dx x 2 x dx 1. 4 2. 17. e3 x 5 dx x5dx 7 x6 1 19. ln( x 1)dx 3 18. xdx 3) 5 3. (x 4. (8 x 9) dx (8 x 1) x dx (3x 1) dx 2 7 5 5. 6 20. 3 5 22. (4 x 1) dx xdx 7. 2 (x 3) 5 x 2 dx 8. 3 x 1 dx 9. (2 x 3)3 10. 23. 2 7 3 x x 6 dx 12. 11. xdx 1 x 13. e cos xdx 2 25. 28. 6 (1 x 4 ) 5 dx x3 1 x 4 2 x 3 dx sin x x2 cos x dx xdx xdx (3 x 2 2 ) (7 2 x)dx 29. 2 x 7x 30. sin( 3 x 5)dx dx 15. e x e x 1 dx 16. (e2 x 2 x 2 )dx 2 Герасимова Р.В. © ПИ ФСИН России © dx e 27. 2e sin x 14. e 24. 26. x 2 2 xdx 2 x 3x 2 1 xdx x 2 dx 21. (3 5 x 3 )7 4 3 6. 10 Задание 7. Найти решение дифференциального уравнения: 1. xy y 0 16. y tgx y 1 17. 2 y dx dy 18. y sin x y ln y 4. y y 19. (1 y 2 )dx xydy 0 2 5. x y y 0 20. 2 x 1dy y 2 dx 0 2. yy x 0 3. xy y 0 7. xy xdx ( y x 8. 1 2 y xdx (1 x 2 )dy 0 2 2 6. 1 y dx (1 x )dy 21. y x 22. x 2dx ydy 2 2 9. xy 1 x y 1 y 23. x dy ( y 1)dx 0 y 2 y 10. e 1 x dy 2 x(1 e )dx 0 24. x y x y 0 25. y 4 x 5 11. x xy y( y xy) 0 26. y y 2 12. y xy 1 x y 27. y 2 x 2 3x 5 2 2 y y)dy 0 13. 2 y x y 14. y (2 y 1)ctgx 28. 29. 15. x 2 y y 2 0 1 y 2 у ху 0 y 1 y 2 5 30. y ( x 5) Задание 8. Построить гистограмму распределения случайной величины Х и определить основные параметры закона распределения. Число преступлений (хi) по годам наблюдения (i) представлено простым статистическим рядом в таблице №2. Герасимова Р.В. © ПИ ФСИН России © 11 Контрольная работа даётся в десяти вариантах. Выполняется один из них, исходя из последней цифры номера своей зачётной книжки. Слушатель, номер зачётной книжки которого заканчивается на 1, выполняет вариант №1, на 2 - вариант №2, на 3 - вариант №3, на 4 - вариант №4, на 5 - вариант №5, на 6 - вариант №6, на 7 - вариант №7, на 8 - вариант №8, на 9 - вариант №9, на 0 - вариант №10. Варианты заданий приведены в таблице 2 данной брошюры. Таблица №2 Годы Число преступлений по годам наблюдения, хi наблюде- Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант ния, i №10 №1 №2 №3 №4 №5 №6 №7 №8 №9 1983 149 162 185 173 205 185 217 188 168 171 1984 175 132 152 161 187 212 189 171 152 132 1985 134 152 174 174 163 172 178 162 179 152 1986 152 142 163 152 172 202 194 186 169 142 1987 163 183 139 192 199 186 152 192 142 151 1988 113 165 176 162 152 196 204 164 195 163 1989 153 128 161 186 208 206 173 175 154 146 1990 129 172 141 172 181 171 195 148 186 181 1991 145 153 181 193 198 226 161 172 172 124 1992 131 141 159 145 175 195 182 199 182 162 1993 151 131 182 189 182 211 202 156 158 174 1994 132 151 169 168 164 189 174 174 144 131 1995 126 161 155 194 212 213 185 166 164 144 1996 147 145 194 178 196 192 163 182 171 153 1997 169 154 148 208 171 173 196 195 165 161 1998 155 174 165 156 184 208 181 154 177 135 1999 139 137 172 185 168 194 203 173 147 178 2000 141 169 156 165 207 168 169 164 134 154 2001 122 158 143 157 185 184 188 183 153 148 Герасимова Р.В. © ПИ ФСИН России © 12 2002 162 147 167 176 172 191 171 153 185 168 2003 142 171 175 182 192 204 192 201 167 158 ПРИЛОЖЕНИЕ I. Руководство для выполнения Задания 8 В качестве примера решим следующую задачу. Число преступлений хi по годам наблюдения i представлено простым статистическим рядом таблицей 3: Таблица №3 i хi 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 137 124 147 131 132 152 115 146 121 133 142 128 142 136 157 Построить гистограмму распределения случайной величины Х, определить основные параметры закона распределения. Необходимо разбить статистический ряд на равные интервалы. Количество интервалов (q) выбирается произвольно. Допустим, q=5. Далее необходимо вычислить длину каждого интервала h по следующей формуле: х х min , где h max q хmax – максимальное значение случайной величины Х для своего варианта, для нашего примера хmax=157 хmin – минимальное значение случайной величины из статистического ряда для своего варианта, для нашего примера хmin=115 157 115 42 h 8,4 5 5 Далее составляется таблица группировки: Таблица 4 q=1 q=2 q=3 q=4 q=5 к 115-123,4 2 123,4-131,8 3 131,8-140,2 4 140,2-148,6 4 148,6-157 2 рк* 0,133 0,2 0,266 0,266 0,133 Интервал Герасимова Р.В. © ПИ ФСИН России © 13 Строка Интервал заполняется следующим образом: первый интервал начинается c минимального значения случайной величины (хmin) и заканчивается значением хmin +h = 115+8,4=123,4 Значения каждого последующего интервала больше значения предыдущего интервала на величину h. Необходимо помнить следующее: если значение случайной величины попадает в два интервала, то заносится один раз в интервал с большими значениями. Например: если случайная величина имела бы значение 140,2 то данное значение случайной величины заносится только в один четвёртый интервал, а не в третий и четвёртый интервалы одновременно; к: количество значений случайной величины из статистического ряда, попадающих в данный интервал. Например, второй интервал включает в себя все значения случайной величины от 123,4 до 131,8. Тогда из нашего статистического ряда попадают в этот интервал три значения случайной величины: 124, 128, 131, т.е. к=3; рк* : это относительная частота появления значений случайk ной величины в данном интервале: pk* где n – общее n число значений случайной величины в статистическом ряду, для нашего примера n=15. Для второго интервала рк* 3 0,2 15 По таблице группировки строится гистограмма распределения случайной величины: Герасимова Р.В. © ПИ ФСИН России © 14 К основным числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение. 1. Математическое ожидание в случаях группировки данных 5 вычисляется по следующей формуле: x q cp рк* q 1 где xq ср – среднее арифметическое значение всех значений случайной величины, попадающих в интервал q. Верхний предел суммы равен 5, потому что интервалов всего 5. При вычислении математического ожидания по любой формуле значение рк должно соответствовать значению относительной частоты случайной величины Х того интервала, в котором находится значение случайной величины. Например, относительная частота появления значений хi=115 и хi=121 в первом интервале равна 0,133 т.е. для первого интервала р1 = 0,133 Необходимо учитывать следующее. Допустим, что случайная величина имеет пограничное значение, например, 123,4 Тогда данное значение случайной величины нужно включать только в один интервал. Вычисляем среднее арифметическое значение для каждого интервала: для интервала q=1 хq1ср=(115+121)/2=118; для интервала q=2 хq2ср=(124+128+131)/3=127,7; Герасимова Р.В. © ПИ ФСИН России © 15 для интервала q=3 хq3ср=(132+133+136+137)/4=134,5; для интервала q=4 хq4ср=(142+142+146+147)/4=144,25; для интервала q=5 хq5ср=(152+157)/2=154,5 MX 118 0,133 127,7 0,2 134,5 0,266 144,25 0,266 154,5 0,133 135,93 136 2. В случаях группировки данных дисперсия случайной величины Х вычисляется по следующей формуле: 5 DX ( xqсс MX ) 2 * рк* q 1 (118 136) 2 0,133 (127,7 136) 2 0,2 (134,5 136) 2 0,266 (144,25 136) 2 0,266 (154,5 136) 2 0,133 121,09 121 3. Среднеквадратическое отклонение показывает отклонение случайной величины от математического ожидания на определённую величину σ в ту или иную сторону: DХ 121 =11 Герасимова Р.В. © ПИ ФСИН России © 16 Список теоретических вопросов и практических заданий для проведения экзамена 1. Аналитическая геометрия 2. Векторы на плоскости. 3. Векторы в пространстве. 4. Прямая на плоскости. 5. Плоскость и прямая в пространстве. 6. Линейная алгебра 7. Матрицы 8. Определители линейных уравнений 9. Определители и система линейных уравнений 10. Числовые последовательности. 11. Виды и способы задания последовательностей. 12. Числовые ряды. Виды рядов. 13. Числовые функции. Способы задания функций. 14. Свойства функции. 15. Предел функции. Свойства пределов. 16. Основные теоремы о пределах. 17. Геометрический смысл производной. 18. Физический смысл производной. 19. Основные теоремы производных. 20. Исследование функций с помощью производной. 21. Дифференциал функции. 22. Геометрический смысл дифференциала функции. 23. Неопределенный интеграл и его свойства. 24. Определенный интеграл и его свойства. 25. Методы интегрирования. 26. Формула Ньютона—Лейбница. 27. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. 28. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. 29. Случайные события. 30. Вероятность события. Основные теоремы теории вероятностей. Герасимова Р.В. © ПИ ФСИН России © 17 31. Случайные величины. 32. Закон распределения случайной величины. 33. Способы представления закона распределения случайной величины. 34. Числовые характеристики случайной величины. 35. Построение гистограммы по статистическому ряду. 36. Преобразование простого статистического ряда в таблицу группировки. 37. Построить график функции y ( x 4)( x 1)( x 2) 38. Вычислить предел lim x 2 x2 x 6 x2 39. Вычислить предел lim x 0 cos 2 x 1 x2 40. Вычислить предел 3x 2 4 x 2 x x 2 8 x 1 lim 41. Найти производную функции y (2 x 3) 8 42. Найти производную функции y x 2 sin 2 x 2 x cos 3x 43. Найти производную функции y x12 sin x 44. Найти значение производной функции y x x 1 в точке х0 = 0 45. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции y 3x 2 cos x в точке с абсциссой х0 = 0 46. Найдите первообразную функции f ( x) x cos x 47. Найдите первообразную функции f ( x) e x 12 48. Вычислить неопределенный интеграл Герасимова Р.В. © ПИ ФСИН России © 18 x dx 4 49. Вычислить неопределенный интеграл 5 (2 x 3) dx 50. Вычислить неопределенный интеграл (3x 5 4 2 x 1) dx sin 2 x 51. Вычислить неопределенный интеграл (x xdx 3) 5 2 52. Вычислить неопределенный интеграл cos(2 x 4)dx 53. Вычислить неопределенный интеграл dx sin x cos x 54. Вычислить определенный интеграл, используя формулу Ньютона—Лейбница 1 (2 x 3) 5 dx 0 55. Вычислить определенный интеграл, используя формулу Ньютона—Лейбница 3x3 2 x 2 4 dx 1 x3 2 56. Вычислить определенный интеграл, используя формулу Ньютона—Лейбница 3 dx 6 cos 2 x 57. Вычислить определенный интеграл, используя формулу Ньютона—Лейбница 4 1 x 1 dx x 58. Решите дифференциальное уравнение Герасимова Р.В. © ПИ ФСИН России © 19 y x sin x 59. Решите дифференциальное уравнение y sin x dx + cos x dy=0 60. Найдите все решения дифференциального уравнения xy y y 2 61. Найдите все решения дифференциального уравнения y 4 x y 1 62. По данным статистического ряда определить математическое ожидание и статистическую дисперсию: xi pi 2 0,08 4 0,12 6 0,28 8 0,32 10 0,15 12 0,05 63. По заданному простому статистическому ряду построить гистограмму: xi pi 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 0,08 0,12 0,15 0,11 0,15 0,05 0,1 0,05 0,03 0,05 0,11 Герасимова Р.В. © ПИ ФСИН России © 20 ЛИТЕРАТУРА a) Основная: 1. Алгебра и начала анализа. Часть I / Под ред. Г.Н. Яковлева. – М.: Наука, 1978. – 336с. 2. Алгебра и начала анализа. Часть II / Под ред. Г.Н. Яковлева. – М.: Наука, 1978. – 334с. 3. Р.О. Быкова, М.Р. Шабалина. Учебное пособие. Основы высшей математики. - Киров, ПВВКИУ, 1992. – 147с b) Дополнительная: 1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 2.- М.: Наука, 1978. - 574 с. Герасимова Р.В. © ПИ ФСИН России © 21