Математическая логика и теория вероятностей. 1. Из ОБЯЗАТЕЛЬНОГО МИНИМУМА ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ СОДЕРЖАНИЯ ОСНОВНЫХ а) элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Основная школа. -Множество. Элемент множества, подмножество. Объединение и пересечение множеств. Диаграммы Эйлера. -Понятие об аксиомах и теоремах. Обратная теорема. Следствие. Необходимые условия, достаточные условия. Доказательство от противного. Контрпример. -Перестановки и сочетания. Решение комбинаторных задач. Перебор вариантов. Правило умножения. Формула бинома Ньютона. -Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Среднее результатов измерения. -Понятие и примеры случайных событий. Частота события, вероятность, приближение частоты к вероятности. Геометрическая вероятность. -Исторические замечания. б) элементы статистики и теории вероятностей. Полная средняя школа. -Табличное и графическое представление информации; гистограммы выборок. -Поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества. Решение комбинаторных задач. -Классический способ нахождения вероятности случайных событий. Геометрические вероятности. Рассмотрение случаев и вероятность суммы несовместных событий, вероятность противоположного события. Вероятность и статистическая частота наступления события. в) элементы логики. Профильный уровень. Логические операции с высказываниями. Следствие и равносильность. Прямая и обратная теоремы. Необходимые условия, достаточные условия. Противоречие. Доказательство от противного. Метод математической индукции. Аксиоматический подход к построению отдельных разделов математики. г) элементы статистики и теория вероятностей. Профильный уровень. -Табличное и графическое представление результатов измерений: выборка, варианта, (вариационный) ряд данных, многоугольники распределения. Гистограммы выборок. Нормальное распределение и гауссова кривая. -Числовые характеристики рядов данных: среднее, квадратичное отклонение, дисперсия. Понятие о функциональных и корреляционных зависимостях. -Формулы для числа перестановок, размещений, сочетаний. Биномиальные коэффициенты, треугольник Паскаля и его свойства. -Геометрические вероятности. Сумма и произведение случайных событий. Независимость случайных событий. Независимые повторения испытаний с двумя исходами. Схема и формула Бернулли. Использование таблицы значений гауссовой функции. Вероятность и статистическая частота наступления события, представление о законе больших чисел. - Исторические замечания. 2.ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКОВ: а) Основная школа. элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей Уметь: -решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов и с использованием правила умножения; -проводить доказательства утверждений или опровергать их с помощью контрпримеров; -извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, на графиках; составлять таблицы, строить диаграммы и графики; -вычислять средние значения результатов измерений; -находить частоту события; -находить вероятности случайных событий, в том числе с использованием комбинаторики; применять полученные знания: -осуществляя систематический перебор вариантов при решении учебных и практических задач; в анализе реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков; -при сравнении шансов наступления случайных событий; - для оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставления модели с реальной ситуацией. б) Полная средняя школа. элементы статистики и теории вероятностей Уметь: -решать комбинаторные задачи методом перебора, с использованием правила умножения; -вычислять вероятности событий на основе подсчета числа исходов; -использовать статистические инструменты для анализа данных; Применять полученные знания: -при анализе информации статистического характера; в) Профильный уровень. элементы логики Уметь: -проводить логические операции с несложными высказываниями; -сравнивать множества истинности высказываний, устанавливая равносильность высказываний или логическое следование одного высказывания из другого; -формулировать высказывания, обратные и противоположные данным; -различать необходимость и достаточность того или иного условия; -применять метод математической индукции для доказательства математических утверждений; Применять полученные знания: -при установлении логических связей между различными повседневными явлениями; -для отличия аргументированных от неаргументированных суждений, -для выводов и заключений, обоснования, опровержения, иллюстрации утверждений примером, -поиска контрпримеров при ведении дискуссии, при создании и анализе устных и письменных текстов; г) Профильный уровень. элементы статистики и теории вероятностей Уметь: -решать комбинаторные задачи изученных типов; -вычислять вероятности события, пользуясь комбинаторными приемами, простейшими свойствами вероятности, схемой повторных испытаний; -использовать статистические инструменты для анализа данных; -находить числовые характеристики рядов данных измерений; Применять полученные знания: -при анализе информации статистического характера. 3. Из письма Министерства образования Российской Федерации от 23.09.2003 г. № 03-93 ин/13-03 «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы» (журнал Вестник образования № 21 – 2003): В письме говорится о том, что введение этих элементов в содержание математического образования является одним из важнейших аспектов модернизации содержания математического образования, так как роль этих знаний в современном мире повышается. «Изучение элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в основной и старшей школе станет обязательным после утверждения федерального компонента государственного стандарта общего образования. Но в связи с тем, что внедрение в практику работы этого нового материала требует нескольких лет и нуждается в накоплении методического опыта, Министерство образования Российской Федерации рекомендует образовательным учреждениям начинать его преподавание в основной школе с 2003/2004 учебного года. При этом предлагается ориентироваться на следующее содержание: Решение комбинаторных задач: перебор вариантов, подсчет числа вариантов с помощью правила умножения. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Диаграммы Эйлера. Средние результатов измерений. Понятие и примеры случайных событий. Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности. Перечисленный круг вопросов представляет собой некоторый минимум, доступный учащимся основной школы и достаточный для формирования у них первоначальных вероятностно-статистических представлений. В старшем звене эта линия получит дальнейшее развитие». Изучение элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей предлагается начать с 5-6 классов, или с 7 класса, а время на изучение этих тем предлагается найти, отказавшись от тем, не входящих в обязательный минимум содержания основной школы (корень степени п, степень с дробным показателем, метод интервалов, тригонометрический материал в курсе алгебры).