XIV городской турнир юных математиков «Кубок Управления

XIV городской турнир юных математиков
«Кубок Управления Образования»
Первый тур
1. Найдите все четырехзначные числа, у которых сумма первых трех цифр равна 19, а
сумма последних трех цифр равна 27.
2. Трое человек при входе в ресторан отдали швейцару свои шляпы, а при выходе
получили их обратно. Сколько существует вариантов, при которых каждый из них
получил чужую шляпу?
3. Сторона ВС параллелограмма АВСD вдвое больше стороны АВ. Биссектрисы углов А и
В пересекают прямую CD в точках М и N, причём MN = 12. Найдите стороны
параллелограмма.
4. В клетках квадратной таблицы 10  10 произвольным образом расставлены числа от 1
до 100. Пусть S1 , S 2 , …, S10 - суммы чисел, стоящих в столбцах таблицы. Могло ли
оказаться так, что среди чисел S1 , S 2 , …, S10 любые два соседних числа различаются
ровно на 1?
5. В треугольнике одна из медиан перпендикулярна одной из биссектрис. Докажите, что
одна из сторон этого треугольника вдвое больше другой.
6. Егор хотел купить на рынке 2 огурца, 3 помидора и 6 луковиц. Однако он все
перепутал и купил 2 луковицы, 3 огурца и 6 помидоров, затратив в точности
запланированную сумму. Расположите огурец, помидор и луковицу в порядке
возрастания цены, если известно, что огурец дороже помидора.
7. В телесериале ``Тайна Санта-Барбары" участвуют 36 героев. В каждой новой серии
происходит хотя бы одно из следующих событий: либо кто-то из героев узнает тайну,
либо кто-то узнает, что кто-то из героев не знает тайны, либо кто-то узнает, что кто-то из
героев знает тайну. Может ли показ сериала длиться не менее семи лет, если каждый
день будет демонстрироваться новая серия?
8. Имеется три конверта, на один из которых нужно наклеить марку. В каждом конверте
содержится листок с двумя утверждениями. В одном конверте оба утверждения истинны,
в другом — оба ложны, а в третьем конверте одно утверждение истинно, а другое —
ложно. Вот эти утверждения:
Конверт 1
1.1. На этот конверт не нужно наклеивать марку.
1.2. Обязательно нужно наклеить марку на второй конверт.
Конверт 2
2.1. Не нужно наклеивать марку на первый конверт.
2.2. Необходимо наклеить марку на третий конверт.
Конверт 3
3.1. Не следует наклеивать марку на этот конверт.
3.2. Требуется наклеить марку на первый конверт.
Определите, на какой конверт нужно наклеить марку.
XIV городской турнир юных математиков
«Кубок Управления Образования»
Первый тур
1. Найдите все четырехзначные числа, у которых сумма первых трех цифр равна 19, а
сумма последних трех цифр равна 27.
2. Трое человек при входе в ресторан отдали швейцару свои шляпы, а при выходе
получили их обратно. Сколько существует вариантов, при которых каждый из них
получил чужую шляпу?
3. Сторона ВС параллелограмма АВСD вдвое больше стороны АВ. Биссектрисы углов А и
В пересекают прямую CD в точках М и N, причём MN = 12. Найдите стороны
параллелограмма.
4. В клетках квадратной таблицы 10  10 произвольным образом расставлены числа от 1
до 100. Пусть S1 , S 2 , …, S10 - суммы чисел, стоящих в столбцах таблицы. Могло ли
оказаться так, что среди чисел S1 , S 2 , …, S10 любые два соседних числа различаются
ровно на 1?
5. В треугольнике одна из медиан перпендикулярна одной из биссектрис. Докажите, что
одна из сторон этого треугольника вдвое больше другой.
6. Егор хотел купить на рынке 2 огурца, 3 помидора и 6 луковиц. Однако он все
перепутал и купил 2 луковицы, 3 огурца и 6 помидоров, затратив в точности
запланированную сумму. Расположите огурец, помидор и луковицу в порядке
возрастания цены, если известно, что огурец дороже помидора.
7. В телесериале ``Тайна Санта-Барбары" участвуют 36 героев. В каждой новой серии
происходит хотя бы одно из следующих событий: либо кто-то из героев узнает тайну,
либо кто-то узнает, что кто-то из героев не знает тайны, либо кто-то узнает, что кто-то из
героев знает тайну. Может ли показ сериала длиться не менее семи лет, если каждый
день будет демонстрироваться новая серия?
8. Имеется три конверта, на один из которых нужно наклеить марку. В каждом конверте
содержится листок с двумя утверждениями. В одном конверте оба утверждения истинны,
в другом — оба ложны, а в третьем конверте одно утверждение истинно, а другое —
ложно. Вот эти утверждения:
Конверт 1
1.1. На этот конверт не нужно наклеивать марку.
1.2. Обязательно нужно наклеить марку на второй конверт.
Конверт 2
2.1. Не нужно наклеивать марку на первый конверт.
2.2. Необходимо наклеить марку на третий конверт.
Конверт 3
3.1. Не следует наклеивать марку на этот конверт.
3.2. Требуется наклеить марку на первый конверт.
Определите, на какой конверт нужно наклеить марку.