МОУ лицей № 57 Практикум по геометрии для 11 класса Решение задач ЕГЭ части С Составила: Антонова Н.В. учитель математики 1 Практикум по геометрии для 11 класса 1. В сферу радиуса 10 вписана четырехугольная пирамида, у которой все боковые ребра равны 5, а стороны прямоугольника, лежащего в основании, относятся как 1:2. Найдите объем пирамиды. Решение Так как пирамида вписана в сферу радиуса R = 10, то самая большая окружность радиуса R = 10 описана около ASC. S ASC – равнобедренный: AS = SC = 5. Обозначим: АВ = k AD = 2k. По теореме Пифагора B AC k 2 4k 2 5k 2 k 5 k 5 АO = OC = . Точка М – центр сферы. 2 По формуле Герона площадь ASM: S 12,5 2,5 2,5 7,5 6,25 15 . C O A D 1 2 Или площадь ASM: S 10 Дополнительный рисунок k 5 . 2 1 k 5 10 6,25 5 3 2 2 k 2,5 3. S АO = OC = C A 2,5 3 5 1,25 15. 2 SO 25 (1,25 15 ) 2 25 23,4375 1,25 O AB = k 2,5 3 AD = 2k 5 3 . Объем пирамиды 1 1 V S осн H 2,5 3 5 3 1,25 15,625 3 3 M Ответ: 15, 625. 2. Основание пирамиды SABCD – прямоугольник ABCD, площадь которого 32, а диагональ – 8. Ребро SC перпендикулярно плоскости основания, а расстояние от точки S до диагонали BD равно 5. Найдите объем пирамиды. Решение а) Так как ребро SC перпендикулярно плоскости основания, значит оно перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости основания. Поэтому треугольники SCD, SCN, SCB прямоугольные. S А D в) По теореме о трех перпендикулярах: CN BD. N С б) Кратчайшее расстояние от точки S до диагонали BD – это длина перпендикуляра SN. В 2 D г) Площадь BCD: S = 16 1 CN 8 16 2 CN = 4. A N C B Объем пирамиды V д) По теореме Пифагора из SCN SC = 3. 1 32 3 32 . 3 Ответ: 32. 3. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен , а высота пирамиды равна Н. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды. Решение Точка М – центр сферы, описанной около пирамиды SABC. MS = MC = MB = MA = R. Обозначим АС = а. S CC1 a 2 M C a2 3a 2 a 3 4 4 2 2 a 3 a . 3 2 3 По свойству медиан: CO B P O MSK подобен CSO: SC H 2 C1 A SK R S a2 H 3 2 K H С O H2 H 2 R 2 1 1 2 sin 6H 2 4 3 sin 2 1 a2 H2 . 2 3 1 a2 2 H 2 3 H Из SPC: sin 2 M a2 3 R a 2 H2 H a2 . (1) 2 6H 2 H 2 a . (2) 1 1 sin 2 4 3 2 sin 2 2 a2 3 Радиус сферы, описанной около пирамиды, получаем после подстановки (2) в (1) R 1,5Н . 1 2 cos Ответ: 3 1,5Н . 1 2 cos 4. Полушар радиуса R, вписанный в конус, касается его по окружности длины L. Найдите объем конуса. Решение Длина окружности S O1 A1 O L = 2r r L 2 1 Объем конуса V S H . 3 Введем обозначение: O1A1O = О1А1 = r ОА1 = R. r L Из OO1A1 cos . R 2R A1OA = - как накрестлежащий с O1A1O, SA – касательная к полуокружности A следовательно, ОА1 SA. R R R 2R 2 cos OA . L cos L OA шара, 2R OSA = . Прямоугольные треугольники ОА1А и SOA имеют общий угол А. R R Из OSA1 sin SO SO sin 2 4 2 R 2 L2 L sin 1 cos 1 2R 2R 2 SO R 4 2 R 2 L2 2R 2R 2 4 2 R 2 L2 1 3 Объем конуса V OA 2 SO . 8 4 R 6 3L2 4 2 R 2 L2 . Ответ: 8 4 R 6 3L2 4 2 R 2 L2 . 5. Дана правильная треугольная призма со стороной основания а. Через середины двух сторон основания проведена плоскость, составляющая угол 60 с основанием и делящая боковое ребро в отношении 3:4, считая от верхнего основания. Найти площадь сечения и объем призмы. Решение C1 NM – средняя линия ABC: NM K CL a 2 A1 B1 CO N A C O M L B 4 a2 a 3 4 2 1 a 3 CL 2 4 a 2 cos 60 CO a 3 1 a 3 CO : OK . cos 60 4 2 2 OK Площадь сечения призмы S 1 1 a a 3 a2 3 NM OK . 2 2 2 2 8 3 a 3 3a KC KC KO 2 2 4 KC 3a 7 21a CC1 7 . 4 44 16 sin 60 1 2 Объем призмы V a 2 3 21a 21 3 a 3 . 2 16 64 Ответ: 21 3 a 3 . 64 6. Расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней куба равно 4. Вычислить объем куба. Решение B1 Непересекающиеся диагонали 1D1 и А1В (расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями содержащими эти прямые). Поместим диагонали 1D1 и А1В в параллельные плоскости, получим две пирамиды с вершинами С1 и А: пирамиды правильные и их высоты лежат на диагонали АС1 (пирамиды АА1BD и С1СD1B1 C симметричны относительно центра куба). По условию задачи О1О2 = 4. Обозначим: АА1 = AD = a. Объем каждой из пирамид равен 1 1 1 V a 2 a a 3 , если площадь 3 2 6 C1 A1 D1 O2 O1 B D A основания ABD). BD a 2 a 2 a 2 Объем каждой из пирамид можно выразить через высоту h = AO1 = C1O2 1 1 3 1 V a 2 a 2 h a 2 3 h , если площадь основания A1BD. 3 2 2 6 1 1 a Получаем a 3 = a 2 3 h h . 6 6 3 a a 2a Диагональ АС1 равна AC1 a 2 a 2 a 2 a 3 или AC1 4 4. 3 3 3 2a Получаем a 3 = 4 a 4 3. 3 Объем куба V a 3 4 3 3 192 3. Ответ: 192 3. 5 7. В правильной треугольной пирамиде сечение, проходящее через вершину пирамиды и высоту основания, представляет собой прямоугольный треугольник, площадь которого равна S. Найдите объем пирамиды. Решение Обозначим KO = a OB = 2a (по свойству медиан треугольника). PO a 2a a 2 . Площадь сечения (прямоугольного 1 треугольника) S 3a a 2 2 P 2S 3a a 2 B A O K C a 4 2 S r - радиус 3 вписанной окружности. b 3 r , где b – длина стороны АВС. 6 4 b 3 2 S Из равенства = 6 3 b 24 2 S . Объем пирамиды 1 1 1 2 V V1 V2 2V1 2 S KC 2 S b 4 2 S S. 3 3 2 3 Ответ: 24 2 S S. 3 8. В шаре проведены две параллельные плоскости, расстояние между которыми равно 7. Радиус полученных сечений равен 5 и 12. Найдите площадь поверхности шара. (Число = 3). Решение Рассмотрим сечение шара диаметральной плоскостью. По теореме Пифагора 5 x2 + 122 = R2 (x + 7)2 + 52 = R2 . 7 12 x2 + 144 = (x + 7)2 + 25 x х = 5. R Радиус шара R 5 2 12 2 13 Площадь поверхности шара S 4R 2 4 3 132 2028. Ответ: 2028. 9. Площадь поверхности сферы, вписанной в конус, равна 100. Длина окружности, по которой сфера касается поверхности конуса, равна 6. Найдите радиус основания конуса. Решение 6 Площадь поверхности сферы S 4R 2 100 R = O1A1 = 5. Длина окружности l = 2r = 6 r = A1O2 = 3. По теореме Пифагора C O1O 2 R 2 r 2 4 . СA1O1 – прямоугольный: СО2 = х А1О2 – высота A 1O 2 x 4 . О2 Из равенства r x 4 х = 2,25. Высота пирамиды СО = СО2 + О1О2 + R = 11,25. A1 OСA O2СA1 O1 СО 2 А1О 2 СО АО OA = 15. Ответ: 15. A O 10. В наклонной призме ABCA1B1C1 все ребра равны. Углы BAA1 и СAA1 равны 60 каждый. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если расстояние от точки А1 до плоскости ВСВ1 равно 2 . Решение Проведем диагонали в боковых гранях призмы А1В и А1С. AА1С = AА1В – равносторонние, поэтому диагонали А1В = А1С = а. а - длина ребра призмы. Многогранник А1СВВ1С1 – B1 правильная пирамида, у которой все ребра равны, а следовательно, в основании квадрат со стороной а. А1О – высота A 1O 2 . По теореме Пифагора А C 1 1 B А СВ1 a 2 a 2 a 2 a 2 . 2 Из А1СО по теореме Пифагора а2 = 0,5а2 + 2 а = 2. Площадь боковой поверхности призмы 3 S 22 2 44 3 4. 2 Ответ: 4 3 4. CO O 60 С 11. В правильной треугольной призме, объем которой равен 48 3 , расположены два шара. Первый шар вписан в призму, а второй шар касается одного основания призмы, двух ее боковых граней и первого шара. Найдите радиус второго шара. Решение 7 C1 K1 C1 O V S H O1 С В N K Обозначим в призме АС = а. Объем призмы V 48 3 H = 2R. Радиус КО (см. рис. 2) a 3 6R R a 3 6R a . 6 3 1 6R 6R 3 2R 6 3 R 3 . 2 3 3 2 Из равенства 6 3 R 3 = 48 3 R = 2. 6R a 4 3. 3 По теореме Пифагора 2 2 KC 4 3 2 3 6 . (так как АВС – O1C 2r равносторонний, а, следовательно, равносторонний и треугольник, в который вписана окружность с центром О1, О1 – центроид). На рис. 3 ОN = R = 2 MN = r OO1 = 2 + r OM = 2 – r А B O O1 K MO1 2 r 2 2 r 2 8r . NC = 6 – R NC = 4. NC = MO1 + O1C2 4 8r 2r r2 – 6r + 4 = 0 D = 20 C r1 = 3 + 5 - не подходит по смыслу задачи. r2 = 3 – 5 . А C1 K1 O M K O1 C2 C N Ответ: 3 5. 8 12. В правильной треугольной пирамиде с двугранным углом при основании, равным 60, расположены два шара. Первый шар касается всех граней пирамиды, а второй шар, радиус которого равен 1, касается всех боковых граней пирамиды и первого шара. Найдите сторону основания пирамиды. Решение S KSO = 30 SO2 = 2 SM = 3 SO = 3 + 2R B A Точка O1 является точкой, медиане треугольника KCK1. K принадлежащей O SO1 = 2 OO1 SO = 3R 3 +2R = 3R R = 3 KO1 = 6 K C S KO = O2 M 6 2 32 3 3 . Для ABC KO = r AC = a = P 6r 3 63 3 3 18 . O1 Ответ: 18. K O B K 13. В кубе ABCDA1B1C1D1 расположен конус. Вершина конуса находится в точке D1, а центр его основания, точка О, лежит на диагонали BD1 и делит ее в отношении BO : OD1 = 1 : 3. Окружность основания конуса имеет с каждой гранью, содержащей точку В, ровно по одной общей точке. Определите отношение объема конуса к объему куба. Решение D1 C1 A1 B1 D P A O O O O C Точка О лежит на диагонали BD1. D1O = 3 OB Ось конуса лежит на диагонали ВD1, т.к. конус прямой, круговой, то основание конуса перпендикулярно ВD1. Окружность основания конуса касается грани АВСD точке Р, лежащей на биссектрисе угла АВС, т.е. на диагонали BD. OP – радиус основания конуса. B 9 Обозначим АВ = а BD = a 2 BD1 = a 3 D1 B1 3 a 3. 4 BOP BDD1 (по двум углам) r a 3/4 3 a 3 r . a a 2 4 2 4 2 1 Vкон r 2 H , объем куба Объем конуса 3 3 Vкуба a B 1 a 3 3 a 3 3 4 2 4 3 3 . 3 128 a Высота конуса H = D1O = O D P 2 Vкон Vкуба Ответ: 3 3 . 128 14. В шар вписана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, объем которой равен 54 6 . Прямая АВ1 образует с плоскостью АСС1 угол 30. Найдите площадь поверхности шара. Решение Так призма правильная, то боковые грани перпендикулярны основанию. Находим проекцию отрезка АВ1 на плоскость АСС1А1: А А1 В1 В0 (В1В0 А1С1, А1В0 В0С1) В1В0 плоскости А1АСС1 АВ0В1 = 90 В0АВ1 = 30 - по условию задачи Обозначим А1С1 = а B A O C O2 2 a 3 a B 0 B1 a 2 2 АВ1 = a 3 (против угла в 30) B1 2 A1 O1 C1 ВВ1 B0 а 3 2 а2 а 2 . Объем призмы V = SH = а3 6 54 6 4 1 3 а3 6 аа а 2 2 2 4 a3 = 216 a = 6 2 a 3 3 3 О1 В1 3 3 2 3 2 3 OO1 = BB1 = 6 2 O2O1 = 3 2 B 0 B1 Радиус шара R O 2 B1 3 2 2 3 2 2 Площадь поверхности шара S = 4R2 = 4 30 30 2 120 . Ответ: 120. 10 15. В конус с образующей 6 6 и высотой 12 вписан куб. Найдите объем куба. S Решение Нижнее основание куба лежит на основании конуса, вершины верхнего основания куба лежат на боковой поверхности конуса. Пусть а – ребро куба MN a 2 a 2 a 2 ON N1 а 2 2 O1 N 1 а 2 2 ОО1 = а SO1 = 12 – a. 2 Из OSA OA 6 6 12 2 6 2 OSA O1SN1 (по двум углам) a 2 O1 N1 SO1 2 12 a а = 6. OA 12 OA SO O1 M1 A N O Объем куба V = a3 = 63 = 216. M Ответ: 216. 16. В прямую призму, в основании которой лежит ромб с углом 60, вписан цилиндр. Расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно 5 3 . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если объем призмы равен 100. Решение B1 C1 O1 A1 D1 B C O O O O A D C1 O1 M 60 D1 ОО1 и DC1 – скрещивающиеся прямые. Расстояние между ними – это расстояние от прямой ОО1 до плоскости DD1C1C. О1М D1C1 О1М = R = 5 3 - радиус основания цилиндра. O1C1M = 30 O1C1 = 2O1M = 10 3 C1O1D1 – прямоугольный (диагонали ромба перпендикулярны). OC cos O1C1D1 = 1 1 D 1 C1 D 1 C1 O 1 C1 10 3 20 . cos O1C1 D1 cos 30 Высота ромба h = 2O1M = 10 3 Площадь ромба S = D1C1h = 20 10 3 = 200 3 Объем призмы V S H 200 3 H 100 . 100 1 . H 200 3 2 3 Площадь боковой поверхности цилиндра 1 S 2R H 2 5 3 5 . 2 3 Ответ: 5. 11 17. Основание четырехугольной пирамиды FABCD – ромб АВСD с углом 120, все двугранные углы при основании пирамиды равны между собой. Внутри этой пирамиды расположен конус, вершина которого – точка пересечения диагоналей ромба, а окружность основания конуса вписана в сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания и делящей боковое ребра FA в отношении 3 : 2, считая от вершины F. Определить отношение объема пирамиды к объему конуса. Решение F D1 C1 O1 A1 B1 D C 1) Объем пирамиды 1 1 3 а2H 3 V1 S1 H а 2 H . 3 3 2 6 a 5 2) AFB A1FB1 A1B1 = 0,6a A 1 B1 3 O1B1 = 0,3a . 3 r r 0,3а Из КО1B1 sin 60 . 2 O1 B1 Площадь основания конуса 2 2 0,3 3 а 0,27 а . S 2 r 2 4 2 O A 120 B C1 D1 O1 A1 30 K 3) AFО A1FО1 Hh 3 O1F = H – h H 5 4) Объем конуса h = 0,4H. 1 1 0,27 а 2 V2 S 2 h 0,4H 0,009 а 2 H . 3 3 4 B1 5) Отношение объема пирамиды к объему конуса а2H 3 V1 500 3 6 . 2 V2 0,009а H 27 Ответ: 12 500 3 . 27