Решите матричные уравнения, т

1. Решите матричное уравнение, т.е. найдите множество матриц Х, для
2 3 1 0
которых справедливо данное равенство X 

.
4 5 0 1
2. Найти корни многочлена f(x) = x4-3x3+2x2-9x+9.
3. Исследуйте на совместность и найдите множество решений
 3 x1  2 x2  x3  x4  1

системы:  3 x1  2 x2  x3  x4  2 .
 3x  2 x  5 x  4 x  2
2
3
4
 1
4. Является ли линейным пространством над полем R множество матриц
с обычными операциями сложения матриц и умножения матрицы на элемент
 0  

, ,  R  .
поля R: 


  
5. Докажите, что следующая система векторов действительных линейных
пространств линейно независима: (5, 3, 1), (1, 1, 1), (1, 4, 2).
6. Исследуйте, являются ли данные векторы (функции) линейно
независимыми. В случае утвердительного ответа найдите нетривиальную
комбинацию, равную 0: sinx, cosx.
7. Проверьте, образует ли следующая система строк базис в пространстве
R , и найдите координаты строки а = (3, 7, 13) в этом базисе: е 1 = (1, 0, 0), е2 =
(0, 1, 0), е3 = (0, 0, 1).
3
8. Выясните, являются ли следующая система векторов, заданная
координатами в некотором базисе, линейно независимой: а1 = (1, 2, 3), а2 = (3, 6,
9).
9. Выясните, является ли следующая система векторов линейно
независимой (в пространстве R3): а1 = (1, 2, 1), а2 = (2, 4, 3), a3 = (4, 8, 5).
10. Является ли подпространством действительного линейного
пространства R3 множество всех векторов, ортогональных заданной плоскости?
11. Найти матрицу линейного оператора, переводящего векторы а 1(1; 2),
а2(3; -1) соответственно в векторы b1(6; 9), b2(11; -8).
2  1
12. Линейный оператор f в базисе е1, е2 имеет матрицу 
. Найдите
3 4 
f(a), где a = 3е1–2е2.
13. Найдите базис ядра линейного оператора f пространства V, заданного
1 1
в некотором базисе матрицей А = 
.
1
2


14. Вычислите х  у в ортонормированном базисе х(1, 2, 1, 2), у(3, 1, -1, 2).
15. Найдите корни из единицы степени 3.
x2 y2 z 2
16. Выясните, какая фигура задана уравнением


 1.
4
9 16
17. Составьте уравнение фигуры, полученной вращением вокруг оси Ох
 z  2  0,
прямой 
.
y

0

18. Упростите уравнение плоской фигуры второй степени и сделайте
рисунок этой фигуры: 5х2 +4ху +8у2 –32х –56у +80 = 0.
19. Какая фигура задается следующим уравнением: 5х2 – 9у2 – 3-х +18у –
9 = 0.
20. Какая фигура задается следующим уравнением: х2 + у2 –2х + 4у – 4 =
0.
21. Найдите расстояние между параллельными прямыми: х = 1 – 2t, y =
3t, z = -2 + t и x = 7 + 4t`, y = 5 – 6t`, z = 4 – 2t`.
22. Даны вершины треугольника А(1, -22, -4), В(3, 1, -3), С(5, 1, -7).
Составьте уравнения его высоты, проведенной из вершины В к
противоположной стороне.
23. Составьте каноническое уравнение прямой: х + у + 2z – 3 = 0, x – y + z
– 1 = 0.
24. Составьте каноническое уравнение прямой, проходящей через точку
М0(2, 0, 3) параллельно вектору а(3, -2, -2).
25. Составьте общее уравнение плоскости, которая проходит через точку
М0(1, 1, 1) параллельно векторам а1(1, 2, 0), а2(0, 1, 3).
26. Напишите уравнение плоскости, проведенной через точку А(1, -2, 3)
параллельно плоскости, проходящей через точки М1(1, 1, 1), М2(2, 0, -1), М3(3,
4, 5).
27. Составьте уравнения сторон квадрата, зная, что точка А(-4, 5)
является его вершиной и одна из его диагоналей лежит на прямой 7х – у + 8 =
0.
28. Даны три вершины треугольника А(1, -2), В(5, 4) и С(-2, 0). Составьте
уравнения его медиан.
29. Найдите расстояние между параллельными прямыми х – 2у + 3 = 0 и
2х – 4у + 7 = 0.
30. Даны две смежные вершины квадрата А(0, 3) и В(4, 0). Составьте
уравнения его сторон.