Задача № 1.2. Зависимость скорости от времени прямолинейно

Задача № 1.2. Зависимость скорости от времени прямолинейно
движущегося тела задана уравнением v = s + 2t2 (м/c). Масса тела 1 кг.
Определить: среднее ускорение за первые 2 с движения; силу,
приложенную к телу в момент времени t = 3 c; путь, пройденный телом за
промежуток времени от t1 = 1 с до t2 = 2 c.
РЕШЕНИЕ
Среднее ускорение определяется по формуле
(1)
С учетом зависимости скорости от времени выражение (1) примет вид
(2)
Произведем вычисления по формуле (2) для t1 = 1 с; t2 = 2 c
Используя основное уравнение динамики поступательного движения, имеем
F = 1·4t = 4·3 = 12 Н.
Пройденный путь
;
Задача 1.22. Колесо радиуса 0,2 м с равномерно распределенной по ободу
массой 5 кг вращается относительно неподвижной оси, перпендикулярной
его плоскости и проходящей через его центр, так, что зависимость угла
поворота колеса от времени задается уравнением φ = 5 + 4t2 – t3 (рад).
Определить для момента времени t = 1 с: момент импульса колеса; момент
действующей силы; кинетическую энергию колеса.
РЕШЕНИЕ
Модуль угловой скорости
(1)
Момент инерции колеса
,
(2)
где R – радиус колеса.
Момент импульса колеса
.
(3)
С учетом (1) и (2) формула (3) примет вид
.
Момент действующей силы на основании основного закона динамики
вращательного движения
.
Кинетическая энергия колеса
.
(4)
С учетом (1) и (2) формула (4) примет вид
.
Задача №1.29.
На горизонтальной платформе, вращающейся вокруг вертикальной оси,
проходящей через ее центр, стоит человек и держит на вытянутых руках две
одинаковые гири массой по 2 кг каждая, при этом расстояние от оси
платформы до каждой гири 0,75 м. Платформа вращается, делая 1 об/с.
Человек сближает гири так, что их расстояние до оси платформы становится
равным 0,4 м, а частота оборотов увеличивается до 1,2 об/с. Определить
момент инерции платформы с человеком, считая его постоянным, а гири
материальными точками.
Дано:
Найти:
Решение:
Человек, держащий гири, составляет вместе со скамьей
замкнутую механическую систему, поэтому
импульса
значение.
момент
этой системы должен иметь постоянное
Следовательно,
для
данного
случая
, где
момент инерции тела человека и угловая скорость
скамьи и человека с вытянутыми руками;
момент инерции тела
человека и угловая скорость скамьи и человека с опущенными руками.
Выразим угловые скорости
учетом
того,
что
соотношением
угловая
и
через частоты вращения
скорость
связана
с
, тогда
частотой
и
, с
вращения
или
.
Момент инерции системы, рассматриваемой в этой задаче, равен сумме
момента инерции платформы с человеком и момента инерции гирь в руках
человека. Так как размер гирь много меньше расстояния их от оси вращения,
то момент инерции гирь можно определить по формуле момента инерции
материальной точки:
и
и
, где
масса гири;
первоначальное и конечное расстояние от гири до оси вращения.
Тогда
или
или
или
выразим
искомый
момент
, отсюда
инерции
платформы
с
человеком
.
Ответ: момент инерции платформы с человеком равна
.
Задача №1.32.
Шар начинает вращаться относительно оси, проходящей через его центр, с
постоянным угловым ускорением
. Определить момент силы,
которой надо подействовать на шар, чтобы через 10 с после начала движения
он приобрел момент импульса
Дано:
; работу этой силы за 10 с.
Найти:
Решение:
Из основного уравнения динамики вращательного движения определим
момент силы, действующий на шар
где
момент инерции шара,
,
его угловая скорость.
Момент импульса вращающегося тела определяется по формуле
отсюда выразим момент инерции шара
,
а
с
учетом
итого,
,
и подставим в формулу (1)
что
имеем
.
Работа этой силы равна
Тогда
, где угол поворота шара
.
.
Ответ: момент силы равен
, а работа, совершенная этой силой равна
450 Дж.
Задача №2.8.
Бесконечно большая плоскость и длинная нить расположены,
как
показано
на
рис.10;
.
Определить силу, действующую на заряд
точках А и В; работу перемещения заряда
в
из точки А в точку В.
Считать, что распределение зарядов не нарушено взаимодействием.
Дано:
Найти:
Решение:
Сила, действующая на заряд, помещенный в поле,
определяется
формулой
,
где
напряженность поля в точке, в которой находится
заряд .
Определим напряженность поля, создаваемого, по
условию задачи, бесконечной, заряженной плоскостью и бесконечной
заряженной нитью. Поле, создаваемой бесконечной заряженной плоскостью,
однородно, и его напряженность в любой точке одинакова и равна
.
Поле, создаваемое бесконечной заряженной нитью, неоднородно. Его
напряженность зависит от расстояния и определяется формулой
.
Согласно принципу суперпозиции электрических полей, напряженность поля
в точке, где находится заряд , равна векторной сумме напряженностей
:
результирующий
и
. Так как векторы находятся на одной прямой, то
вектор
.
напряженности
в
точке
А
равен
Как видно из рисунка расстояние от нити до точки А равно
Тогда
.
, а сила, действующая на заряд в точке А
равна
. Знак «минус» показывает, что напряженность нити больше напряженности
поля и сила будет направлена в сторону поля.
Аналогично, найдем силу, действующую на заряд в точке B, с учетом того,
что
расстояние
от
нити
до
точки
В
равно
:
. Сила, действующая на заряд в точке В направлена в сторону нити.
Работу, совершенную этой силой, определим по формуле
Потенциал
в
точке
.
А
равен
, а
потенциал
поля
в
точке
равен
B
.
Тогда
работа
равна
Ответ: сила, действующая на заряд в точке А равна 335 мкН, а в точке В –
115 мкН; работа по перемещению заряда из точки А в точку В равна 135
мкДж.
Задача №2.24.
Цилиндрический конденсатор состоит из двух коаксиальных обкладок
высотой 10 см и радиусами 2 см и 5 см, пространство между которыми
заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью равной 7.
Конденсатор заряжен до напряжения 200 В.
Определить энергию,
заключенную между цилиндрическими поверхностями коаксиальными с
осью конденсатора высотой 10 см и радиусами 3 см и 4 см.
Дано:
Найти:
Решение:
Энергию конденсатора найдем по формуле:
Емкость цилиндрического
формулой
.
конденсатора
определяется
Т.к.
нам
необходимо
найти
энергию
между
цилиндрическими
поверхностями, находящимися внутри цилиндрического конденсатора, то эта
энергия будет равна
Подставим числовые значения:
Ответ: энергия, заключенная между цилиндрическими поверхностями, равна
2,7 мкДж.
Задача №2.36.
В
некоторого проводника
выделяется количество тепла
длиной 2 м за 2 с
. Определить: напряжение на
концах проводника; скорость упорядоченного движения и подвижность
электронов в проводнике, считая концентрацию электронов
Дано:
Найти:
.
Решение:
Количество тепла, которое выделяется в проводнике вычисляется по
формуле:
, где
– сопротивление проводника, который равен
. Отсюда
Отсюда выразим напряжение:
Подставим числовые значения:
Заряд, протекающий по проводнику равен
где
–
количество
электронов,
, отсюда
которое
, силу тока равна
найдем
, отсюда
по
формуле
.
Приравняем правые части уравнений (1) и (2) и выразим отсюда скорость:
Подставим числовые значения:
Подвижностью
называют
коэффициент
пропорциональности
между скоростью носителей тока и величиной приложенного электрического
поля
, т.е.
Ответ: напряжение на концах проводника равно 126,5 В; скорость
упорядоченного движения равна 39,5 мкм/с, а подвижность электронов в
проводнике равна
.