1-й уровень 1. Точка S лежит вне плоскости треугольника ABC, SA AC, SAAB, AC = АB, BAC = 40. Выберите правильное утверждение. А. Прямые AB и BC перпендикулярны. Б. Прямая AС перпендикулярна плоскости SAB. В. Прямая SA перпендикулярна плоскости ABC. Г. Прямая AB перпендикулярна плоскости SAC. 2. Из точки A к плоскости проведен перпендикуляр AB и наклонные AC и AD. Выберите правильное утверждение. А. Если AC > AD, то ВС > BD. Б. Прямая AB не перпендикулярна прямой BC. В. Среди отрезков AD, AB, AC наибольшим является отрезок AB. Г. Если CAB = 45, то AB > ВС. 3. ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед, DC = CC1 = 1 см. Выберите правильное утверждение. AD = 2 см, А. Расстояние между плоскостями ABB1 и DCC1 равно 1 см. Б. Расстояние от прямой B1A1 до плоскости ABC равно 1 см. В. Расстояние от точки A до точки C равно 2 см. Г. Расстояние от точки A до плоскости BCC1 равно 2 см. 2-й уровень 4. Дана плоскость , перпендикулярная к ней прямая a и другая прямая b, которая не лежит в плоскости . Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные. А. Если b , то a и b пересекаются. Б. Если b a, то b перпендикулярна . В. Если b , то b a. Г. Если b , то a и b скрещивающиеся. 5. Через точку О пересечения диагоналей AC и BD прямоугольника ABCD проведен перпендикуляр SO к плоскости ABC. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные. А. Угол OSС больше угла OSB. Б. Если OA = 2 см, SO = 2 см, то SА = 2 2 см. В. Если SA = 10 см, OА = 5 см, то SАO = 30. Г. Расстояния от точки S до вершин прямоугольника разные. 6. Концы отрезка AB расположены по одну сторону от плоскости , точка С — середина отрезка AB. Точки A и B находятся на расстоянии 13 см и 8 см от плоскости , а расстояние между основаниями A1 и B1 перпендикуляров, проведенных через точки A и B к плоскости , равно 10 см. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные. А. Расстояние между прямыми AA1 и BB1 больше 10 см. Б. Длина отрезка AB равна 13 см. В. Точка C находится на расстоянии 10 см от плоскости . Г. Расстояние от точки С до плоскости равно сумме расстояний от точек A и B до плоскости . 3-й уровень 7. Расстояния от точки S до всех вершин прямоугольного треугольника ABC (C = 90) одинаковые, точка О — середина гипотенузы AB. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные. А. Прямая CO обязательно перпендикулярна прямой SO. Б. Прямая SO обязательно перпендикулярна плоскости АBС. В. Прямая CO обязательно перпендикулярна плоскости SАВ. Г. Если AC = 6 см, ВС = 8 см и CS = 13 см, то SO = 12 см. 8. Из точки А к плоскости проведен перпендикуляр AB и наклонные AC и AD. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные. А. Если AD = 2 см, BAD = 45, AC = 3 см, то CB = 1 см. Б. Если BD – BC = 1 см, то AD = AC. В. Если AB = 2 см, BC = 7 см, BD = 2 см, то AC = 3 см, AD = 2 см. Г. Если AC = AD, DAC = 60 и AB = BD, то DBC = 60. 9. Точка K равноудаленна от вершин равнобедренного треугольника ABC, KO — перпендикуляр к плоскости ABC, расстояние от точки K до плоскости ABC равно 1 см. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные. А. Середина отрезка KA находится на расстоянии 1 см от плоскости ABC. Б. Точка O обязательно является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. В. Если M, L, N — середины отрезков KA, KB, KC, то расстояние между плоскостями ABC и MLN равно 0,5 см. Г. Точка O обязательно является центром окружности, описанной около треугольника ABC. 4-й уровень 10. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B 1 C 1 D 1, в котором AB = a, BС = b, CC1 = c (a < b < c). Отметьте, ка кие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные. b2 c2 . a Б. Треугольник ABC1 может быть тупоугольным. В. Треугольник ABC1 может быть равнобедренным. Г. Отрезки AC1 и ВD1 пересекаются в точке, которая является серединой каждого из них. А. Величина угла C1AB равна arctg 11. Три отрезка SA, SB и SC имеют одинаковую длину a. ASB = BSC = CSA = 60. Из точки S проведен перпендикуляр SO к плоскости АВС . Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные. А. Плоскость, которая проходит через прямую АС и перпендикулярна прямой SВ, делит отрезок SВ пополам. Б. Угол между наклонной SA и перпендикуляром SО равен arccos В. Длина перпендикуляра SО равна 3 2 . a . 6 Г. Прямая SA перпендикулярна плоскости SBC. 12. Ребро куба ABCDA 1 B1C 1 D 1 равно a. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные. А. Расстояние от точки D до точки B1 равно 5 a. Б. Расстояние между плоскостью BDC1 и прямой B1D1 равно В. Расстояние от прямой BC до прямой A1D1 равно 3 a. a Г. Расстояние от вершины С до плоскости BDC1 равно . 3 a 2 .