2. Классическая теория электронного газа в твердом теле.

Лекция №12
Тема: ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
ПРОВОДИМОСТИ МЕТАЛЛОВ
План: 1.Экспериментальное доказательство электронной природы
тока в металлах. Эффект Холла и его применение.
2. Классическая теория электронного газа в твердом теле.
3. Закон Видемана – Франца.
4. Трудности классической теории.
1.Экспериментальное доказательство электронной природы тока в
металлах. Эффект Холла и его применение.
Согласно классической теории проводимости металлы представляют
собой кристаллическую решетку, в которой движутся свободные электроны.
Эта теория была создана Друде и детально разработана Лоренцем. Ее
основные положения подтверждены целым рядом опытов.
Первый из них опыт Рикке (1901 г.), в котором электрический ток
пропускался через три, тщательно взвешенных и последовательно
соединенных цилиндра  Cu  Al  Cu  , в течение года. Несмотря на то, что
через цилиндры протекал огромный заряд  4  106 Кл  , обнаружить следы
переноса вещества не удалось. Это явилось доказательством того, что ионы
металлов в переносе заряда не участвуют.
В опыте Мандельштамма и Папалески (1913 г.) катушку из большого
числа витков приводили в быстрые крутильные колебания и при этом в
телефоне, на который была замкнута катушка, прослушивался шум,
обусловленный движением электронов.
В опыте Стюарта и Толмена (1916 г.) катушку приводили во вращение
м
(при этом линейная скорость проводника достигала 300 ) и затем резко
с
тормозили. Возникающий при этом импульс тока регистрировался
баллистическим гальванометром. По величине импульса тока можно было
определить
удельный
заряд
частиц
B
переносивших заряд. Стюарт и Толмен
I показали, что у всех металлов удельный

d
заряд частиц одинаков и совпадает со
значением удельного заряда электрона, а
знак заряда отрицательный.
Рис. 12.1. Эффект Холла.
Эффект Холла – возникновение в
проводнике (или полупроводнике) с током
плотностью j , расположенном в магнитном поле с индукцией B ,
перпендикулярной вектору плотности тока, поперечной разности
потенциалов (рис.12.1)
  R 
IB
,
d
12.1
1
- постоянная Холла, зависящая от рода вещества, d – толщина
en
образца.
По измеренному значению постоянной Холла R можно:
- определить концентрацию носителей при известном заряде;
- определить знак заряда, так как знак эффекта совпадает со знаком
носителей заряда.
Эффект Холла наиболее эффективный метод изучения энергии
носителей заряда в металлах и полупроводниках и используется при
создании датчиков Холла.
где R 
2. Классическая теория электронного газа в твердом теле.
Существование свободных электронов в металлах можно следующим
образом: при образовании кристаллической решетки валентные электроны,
наиболее слабо связанные с атомом, отрываются от него и становятся
свободными. Свободные электроны образуют электронный газ, обладающий
всеми свойствами идеального газа.
Применяя выводы молекулярно-кинетической теории к электронному
газу, можно найти среднюю скорость теплового движения электронов:
8kT
м
u
 u  105 .
m
с
Тепловое движение, являясь хаотическим, не может привести к
возникновению тока.
Из формулы плотности тока j  e  n  v можно определить среднюю
м
скорость упорядоченного движения электронов v  103 и таким образом
с
можно утверждать, что v  u .
Пусть в металлическом проводнике существует электрическое поле с
напряженностью E . В этом случае на электрон будет действовать сила
eE
F  e  E и он будет двигаться с ускорением a 
. К концу свободного
m
eE
пробега электрон приобретает скорость vm 
, где  - время свободного
m
пробега. Согласно теории Друде, электрон при столкновении с ионом отдает
ему всю энергию и останавливается, поэтому начальная скорость электрона
равна нулю, т.е. v0  0 . Так как электрон движется равноускоренно, то
v  v0 e  E  
средняя скорость электрона v  m
. Учитывая, что время

2
2m

, где  - длина свободного пробега
u
электрона, получим, что скорость упорядоченного движения электронов в
eE
металле v 
.
2m  u
Учитывая, полученное значение скорости для плотности тока в металле
получим выражение
n  e2  E  
.
12.2
j
2m  u
Если ввести обозначение
n  e2  
,
12.3

2mu
то будем иметь закон Ома в дифференциальной форме
12.4
j E.
К концу разгона электрон будет обладать кинетической энергией
mv2m e2  E 2   2
T

2
2m  u
Эту энергию электрон при столкновении с ионом будет передавать ему и
поэтому, проводник с током будет нагреваться. В единицу времени электрон
1 u
будет испытывать число столкновений z   . Так как концентрация
 
электронов равна n, то в единице объема в единицу времени, будет
nu
происходить число столкновений Z  z  n 
, и в единице объема будет

выделяться энергия
n  e2  E 2  
.
12.5
w  ZT 
2m  u
Учитывая обозначение 12.3, получим закон Джоуля – Ленца в
дифференциальной форме w    E 2 .
свободного пробега электрона  
3. Закон Видемана – Франца.
Металлы обладают не только высокой электропроводностью, но и
высокой теплопроводностью. Это объясняется тем, что носителями заряда и
энергии в металлах являются одни и те же частицы - электроны, которые,
перемещаясь в проводнике, переносят не только заряд, но и энергию.
В 1853 году Видеман и Франц на опыте установили закон, согласно
которому отношение коэффициента теплопроводности  к удельной
проводимости  для всех металлов при одной и той же температуре
одинаково и линейно растет с ростом температуры

12.6
 T .

Найдем значение  для идеального электронного газа. Из молекулярнокинетической теории следует, что коэффициент теплопроводности 
определяется по формуле
1
12.7
  n  m  u    cV ,
3
где
3 k
12.8
cV  
2 m
удельная теплоемкость электронного газа при постоянном объеме.
Подставляя 12.8, в выражение 12.7 получим:
1
12.9
  n u k  .
2

Тогда для отношения с учетом 12.3 получим выражение:

 3  k2
 2 T.

e
Если обозначить
3k 2
 2 ,
e
то получим закон Видемана – Франца 12.6. Полученное значение  хорошо
согласуется с экспериментальными данными.
4. Трудности классической теории.
Несмотря на очевидные успехи в объяснении ряда законов классическая
электронная теория проводимости металлов столкнулась с рядом
существенных затруднений:
- прежде всего, классическая теория не могла объяснить появления
свободных электронов в металлах;
ne2
- мы пришли к выводу о том, что  
, но средняя скорость
2mu
теплового движения электронов u
T и, следовательно,
зависимость удельной проводимости от температуры должна иметь
1
1
вид 
, но опыт говорит о том, что 
;
T
T
- если учесть наличие электронного газа, то теплоемкость металла
должна быть в 1,5 раза больше, чем у диэлектриков, чего на самом
деле нет;
- Совпадение опытного и теоретического значения  в законе
Видемана – Франца оказалось случайным. Когда Лоренц учел
распределение электронов по скоростям, то он получил значение 
резко отличающееся от опытного значения.
Указанные затруднения классической теории были разрешены в
квантовой теории.