004 Теория Магнитное поле

Магнитное поле.
Индукция магнитного поля.
Вокруг проводников с током и постоянных магнитов создается магнитное поле, действует
на токи и магниты.
Основная характеристика - В - индукция магнитного поля, измеряется в теслах (Тл),
направление по:
1. Действию на магнитную стрелку:
2. На рамку с током:
Рамка с током поворачивается в поле, ток и вектор индукции образуют правый винт.
Чтобы определить величину B используют рамку.
Собственный момент рамки Pm :
n - правая винтовая нормаль,
Pm  ISN  n
Момент силы, действующий на рамку с током в поле:
M  Pm  B
M  Pm  B  sin 
1.
  0o
M 0
2.
  90o
M  0( M  0)
3.
  90o
M  Pm  B
Индукция магнитного поля равна максимальному моменту сил, действующему на рамку с
током, деленному на собственный магнитный момент рамки:
M
B  max
Pm
Закон Био-Савара-Лапласса.
Напряженность магнитного поля: B  0 H , где  - магнитная проницаемость (для
 Ãí 
слабомагнитных сред почти 1),  0 - магнитная постоянная (  0  4 10 7   ), H ì 
A
напряженность магнитного поля (   ).
ì 
I dl  r
- Закон Био-Савара-Лапласса.
4 r 2
I dl
dH 
sin 
4 r 2
Силовая линия - воображаемая линия, в каждой точке которой вектор индукции или
напряженности направлен по касательной.
dH 
У магнитного поля линии всегда замкнуты.
Вывод индукции поля для отрезка проводника.
( I , R, 1 ,  2 )
Закон Б-С-Л: dH 
I dl
sin 
4 r 2
H   dH
R
AD
rd
 r ; из ACD : dl 

; из BAD : AD  r  sin( d )  r  d
sin 
sin  sin 
I r  d
dH 
sin 
4 sin   r 2
I 1
dH 
sin   d
4 R

I
I 1 2
(cos  2  cos 1 )
H
sin d  H 

4R
4 R 1
из AOB :
Вывод индукции поля для бесконечного прямого проводника.
1  0 o
 2  180o
H
I
2R
Вывод индукции поля для кругового витка с током.
Центр:
Закон Б-С-Л: dH 
I dl
4 R 2
2 nr
H

0
H
I dl I 2R

4 R 2 4R 2
I
2R
На оси кругового витка:
Магнитное поле кругового витка с током.
В центре О кругового витка радиуса R с электрическим током I векторы dB магнитных
полей всех малых элементов витка направлены одинаково - перпендикулярно плоскости
витка (за чертеж). Так же направлен и вектор В результирующего поля всего витка. По
закону Био - Савара - Лапласа,
 Id
dB  0
,
4R
где d  dl - угол, под которым из точки О виден элемент dl витка. Интегрируя это
R
выражение по всем элементам витка, т. е. по l от 0 до 2R или по  от 0 до 2 , получаем
I .
B 0
2R
Определим теперь магнитную индукцию поля витка с током в произвольной точке на оси
витка, т. е. на прямой OO’, проходящей через центр витка перпендикулярно его
плоскости. На рис. показан круговой виток радиуса R, плоскость которого
перпендикулярна плоскости чертежа, а ось OO’ лежит в этой плоскости. В точке С на оси
OO’ векторы
 I
dB  0 3 [dlr ]
4 r
для полей различных малых элементов dl витка с током I не совпадают по направлению.
Векторы dB1 и dB2 для полей двух диаметрально противоположных элементов витка dl1
 Idl
и dl2 , имеющих одинаковую длину ( dl1  dl2  dl ), равны по модулю: dB1  dB2  0 2 .
4r
Результирующий вектор dB1  dB2 направлен в точке С по оси OO’ витка, причем
 2 IRdl
dB1  dB2  2dB1sin  = 0 3 .
4r
Вектор В индукции в точке С для магнитного поля всего витка направлен также вдоль оси
OO’, а его модуль
R
 2 IRdl  2 IR 2
B  0 3  0 3 .
4r
4r
0
Если воспользоваться понятием вектора Pm магнитного момента витка с током, то
выражение можно переписать в форме:
B
H
0 2 Pm 0

4r 3
4
2 Pm
 R h 
2
2
3
.
IR
4
 R h 
2
2
3
Поле в соленоиде (только формулы)
Соленоидом называется цилиндрическая катушка с током, состоящая из большого числа
витков, проволоки, которые образуют винтовую линию.
In
N
H  (cos 1  cos  2 ) , где n  , N - кол-во витков. Разность углов равна 2.
2
l
Длинный соленоид: H  In
Магнитное поле движущегося заряда.
H
 
q r

4 r 3
Сила Ампера.
Действует на проводник с током в магнитном поле.
Если поле однородное, то проводник прямой: FA  IlB sin 

Для неоднородного поля и произвольного проводника: d FA  I d l  B
Сила Лоренца.
Действует на заряд, двигающийся в магнитном поле.
FË  q   B


1.   B сила перпендикулярна скорости, меняет направление.
FË  m
2
R
 qB

R
T
m
qB
2R


2m
qB
2. υ íå , è íå || B
Траектория - спираль
   sin 
n   cos 
m 
R
qB
h  nT
Эффект Холла.
Эффект Холла - возникновение дополнительной разности потенциалов в проводнике или
полупроводнике с током, помещенным в магнитное поле.
Fë  eB
Fý  eE
B  E ; j  en
j
U
1
B  U 
jBa
en
a
en
U  RjBa
R - постоянная Холла R 
1
en
Перейдем j  I :
I
I
j 
;
S ab
RIB
U
b
Эффект Холла (датчики Холла) используются для измерения магнитного поля.
Намагниченность, магнитная восприимчивость, магнитная
проницаемость.
Электроны в атомах движутся по круговым орбитам
- модель кругового витка с током.
Pm  IS n Некоторые атомы имеют собственные магнитные моменты.
n
Намагниченность: M 
P
i 1
mi
.

Магнитная восприимчивость: M  H
Магнитная проницаемость: B  0 ( H  M ) = 0 ( H  H ) = 0 (1  ) H , где H напряженность внешнего поля (поля макро-токов), M - поле вещества (микро-токов),
  (1  ) - магнитная проницаемость. B  0 H
Для однородной среды:  - число; для неоднородной:    (r ) ; для изотропной  - число
(функция); для анизотропной:  - матрица 3 на 3.
 показывает, во сколько раз среда усиливает магнитное поле.
Диамагнетики
Примеры: золото, серебро, вода.
Без поля собственный момент равен нулю: B  0  Pm  0
В поле: B  0  Pm  H ; M  H ,   0,   1
Вывод: Немного ослабляют магнитное поле   0,999998
Выталкиваются из поля (пример: пламя свечи)
Парамагнетики
Примеры: платина, аллюминий.
Без поля: Pm  0
В поле: B  0  Pm  H ; M  H ,   0,   1
Вывод: Немного усиливают магнитное поле.
Втягиваются в магнитное поля.
Ферромагнетики.
Примеры: железо, никель.
  1
 102 ;106 
Свойства:
1.    (H )
2. Остаточная намагниченность: вещество сохраняет сильную намагниченность после
выключения поля.
3. При нагревании становится парамагнетиком.
Теорема о циркуляции индукции магнитного поля.
(Закон полного тока)
 B  d l   B  dl  cos 
L
L
n
 B  d l  0  I i
i 1
L
Циркуляция вектора индукции магнитного поля по замкнутому контуру равна магнитной
постоянной умноженной на сумму токов, охватываемых этим контуром.
 B  d l  0 ( I1  I 2 )
L
Если циркуляция не равна нулю, то поле вихревое, силовые линии замкнутые.
Вывод индукции поля длинного соленоида.
I. l, d ; l  d ; N
 Bd l =  Bd l   Bd l   Bd l   Bd l =  Bd l  B  a
b


a
L
0  I i 0naI
n
0
N
l
B  0 nI
II. Тороид
 Bd l  B dl  B2r
  I  NI
L
L
0
i
0
NI
B  0
  0 nI
2r
c 0
d


0
a
Магнитный поток
d S  dS  n
d  B  d S  BdS cos 
Через конечную площадку:    Bd S [Вб]
S
Для однородного поля и плоской площадки:   BS cos
Теорема Гаусса для магнитного поля.
см. выше.
 Bd S  0
S
Нет точек, в которых начинается вектор B, силовые линии замкнуты или уходят на
бесконечность.
Граничные условия для индукции и напряженности магнитного поля.
По теореме о циркуляции:
H 1  H 2
B
B
B
H
 1   2
0
1  2
По теореме Гаусса:
Bn1  Bn 2
1H n1  2 H n 2
На границе раздела не меняются тангенциальная составляющая напряженности и
нормальная - индукции.
Явление электромагнитной индукции.
Это возникновение ЭДС в контуре при изменении магнитного тока через его поверхность.
Закон Фарадея.
d
dt
ЭДС индукции равна взятой со знаком минус скорости изменения потока.

Среднее  при изменении потока:  i  
t
i  
Природа возникновения индукционного тока.
  BS cos
Можно менять:
S
 движение проводника.

1.
Причина возникновения тока в движущихся проводниках - сила Лоренца.
2.
B - растет.
По гипотезе Максвелла: изменяющееся магнитное поле создает вихревое электрическое,
которое, действуя на электрон, создает ток.
A 1
1
 i    F d l =  q Ed l   Ed l
q ql
ql
l
d d

Bd S
dt dt S
d
l Ed l   dt S Bd S - первое уравнение Максвелла.
Изменяющееся магнитное поле создает вихревое электрическое.
Правило Ленца.
(куда течет индукционный ток)
Индукционный ток направлен так, чтобы своим потоком препятствовать изменению
потока, который его создает.
Ф - растет.
Индуктивность.
   Bd S
S

Âá
 Ãí ].
- индуктивность - статический коэффициент индукции [
I
À
Индукция - характеристика проводника, зависит от его геометрических размеров. (Во
сколько раз увеличивается ток, во столько увеличивается и поток.)
L
Явление самоиндукции.
Возникновение ЭДС в контуре при изменении силы тока в нем.
d
d
dL
dI
i  
=  ( LI )   I  L
dt
dt
dt
dt

0
контур не меняется.
dI
 c  L
dt
L - динамический коэффициент самоиндукции.
Вывод формулы индуктивности длинного соленоида.
Потокосцепление:   N - поток, сцепленный со всей катушкой.
  N  NBS  NS 0
B  0 H  0 nI
  LI
N
I
l
V

N 2S
 0 n 2 lS
l
N
  NS0 I
l
L  0
Токи при замыкании и размыкании цепи.
1. Размыкаем:
dI
 c  L
dt

I c
R
dI
IR   L
 dt : L, I
dt
dI
R
  dt
I
L
I
t
dI
R
 I   L 0 dt
I0
ln
I0
R
 t
I
L
R
R
I0
 e  Lt  I  I 0 e  Lt
I
2. Замыкаем:
  c
I
R
…вывод…
R
I  I 0 1  e  Lt

I0 
R


Энергия магнитного поля.
Работа по изменению магнитного потока:
dA  Fdx   FAdx  BLIdx  BIdS
dA  Id
W  A если ток меняется от I до 0
I
LI 2
W  A   Id    LIdI 
2
0
0
d  LdI
LI 2
W
2
Плотность энергии.
Рассмотрим длинный соленоид:
W LI 2  0 n 2 SlI 2


V
2V
2 Sl
B
B  0 nI  I 
 0 n


H
 0 n 2 B 2
B2



2
2 0
2 2 0 n 2
B
 0
 
BH
2
DE
2
Формулы верны для неоднородного поля.

Уравнения Максвелла в интегральной форме.
Описывает все электрические магнитные поля.
Первое уравнение:
 
d  
E
d
l


BdS
l
dt S
Циркуляция по замкнутому контуру вектора напряженности электрического поля равна
взятой со знаком минус скорости изменения магнитного потока через поверхность
ограниченную контуром.
Физический смысл:
Изменяющееся во времени магнитное поле создает вихревое электрическое.
Второе уравнение:

 

D  
l Hdl  S  jïð  t dS
Циркуляция по замкнутому контуру напряженности магнитного поля равна потоку через
поверхность ограниченную контуром плотности тока проводимости плюс плотность тока
смещения.
I
jïð 
S

D
jñì 
t
Физический смысл:
Токи проводимости и изменяющееся электрическое поле создают магнитное поле.
Третье уравнение:
 Dd S   dV
S
V
Поток через замкнутую поверхность вектора индукции электрического поля равен
интегралу по объему внутри этой поверхности от плотности электрического заряда.
Источник - электрические поля - заряды.
Силовые линии начинаются и заканчиваются на зарядах или бесконечности.
Четвертое уравнение:
 Bd S  0
S
Поток через замкнутую поверхность вектора индукции магнитного поля равен нулю.
Магнитных зарядов нет.
Силовые линии замкнутые или уходят на бесконечность.
По заданным: jïð ,ρ, B(t),D(t) можно рассчитать электрические и магнитные поля.
Систему дополняют материальными уравнениями:
Материальные ур-ия Максвелла: D  0 E , B  0 H .
Для областей с границами добавляют граничные условия:
Dn1  Dn 2 ; E 1  E 2
H n1  H n 2 ; B 1  B 2
Ротор и дивергенция
Дивергенция - поток через бесконечно малую поверхность.
Ротор - циркуляция по бесконечно малому контуру.
 - оператор Лапласа.



 i
j k
x y
z
Ax Ay Az


div A    A =
x
y
z
i

rot A    A =
x
Ax
j

y
Ay
k

z
Az
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме.
Первое уравнение:
B
rot E  
t
Ротор напряженности электрического поля равен взятой со знаком минус скорости
изменения магнитной индукции.
Второе уравнение:
D
rot H  j ïð 
t
Ротор напряженности магнитного поля равен плотности тока проводимости плюс
плотность тока смещения.
Третье уравнение:
div D  
Четвертое уравнение:
div B  0
Частные случаи:
1. Поля стационарны:
rot E  0
rot H  jïð
div D  
div B  0
ничего не меняется во времени.
2. Свободное пространство (без токов и зарядов):
B
rot E  
t
D
rot H  
t
div D  0
div B  0
электромагнитная волна.