План – конспект урока алгебры в 9-ом классе по теме: «Арифметическая прогрессия». Цель урока: проверить знания и умения учащихся по изученной теме: «Арифметическая прогрессия». В форме деловой игры выработать у учащихся навык самостоятельного приобретения знаний, развивать у учащихся логическое мышление, вдумчивость, внимательность. Оборудование урока: перепутанная таблица – лабиринт, карточки для домино. Ход урока. I. Оргмомент. Вступительное слово учителя: «Ребята, мы с вами изучили один из видов последовательностей – это арифметическую прогрессию. Сегодня вам предстоит обобщить полученные знания, и самостоятельно добыть новые знания. В этом вам поможет деловая игра. Перед вами так называемая таблица – лабиринт, в которой слева материал дан последовательно, а справа перепутан. Вам необходимо распутать эту «путаницу». По мере распутывания вы встретитесь с новыми понятиями и свойствами арифметической прогрессии, постарайтесь их выписать себе в тетрадь». II. Прохождение лабиринта (учащиеся получают таблицу - лабиринт и приступают к её «распутыванию»). III. Проверка своих результатов с ответами (выдаются учащимся карточки - ответы). IV. Запись в тетради материала, с которым познакомились сегодня на уроке. ТАБЛИЦА - ЛАБИРИНТ I. 1. Мы знаем, что любая последовательность имеет вид 2. Пусть в этой последовательности а1=4; а2=7; а3=10; … ; аn=31 , т.е. пусть мы имеем последовательность 3. В этой последовательности каждый последующий член равен 4. А в последовательности 14; 10; 6; 2; -2; -6 и т.д. каждый последующий член 4; 7; 10;…;31 предыдущему, сложенному с числом 3 равен предыдущему, сложенному с числом -4 а1; а2; а3; …;аn II. 5. Такие последовательности называются арифметическими прогрессиями. Слово «прогрессия» происходит от латинского слова 6. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой 7. Постоянное число, которое прибавляется к каждому предшествующему члену прогрессии, называется начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же постоянным для данной последовательности числом 3 и -4, т.е. d =3, d =-4 «прогресс»- движение вперёд («успех», «постоянное усиление»). Термин и обозначение ввели французские математики Ланьи (1692) и Безу (1797) 8. Следовательно, разности разностью прогрессии и записанных выше прогрессий будут обозначается буквой d III. 9. В зависимости от знака разности арифметическая прогрессия может быть 10. Если d = 0, то прогрессия имеет постоянные члены, например, 11. Если вернуться к определению арифметической прогрессии, то можно рекуррентно записать, что любой последующий член прогрессии аn+1 равен 12. Рекуррентная формула для определения любого члена прогрессии не всегда удобна, 13. Поэтому важно найти другую формулу общего члена , по которой можно было бы находить его по данным а1 и d т.к. чтобы задать прогрессию, достаточно указать её первый член и разность например, при достаточно больших n возрастающей (если d > 0), например: 4; 7; 10; 13; 16; 19;… или убывающей (если d < 0), например: 14; 10; 6; 2; -2; -6;… а; а; а; … или -5; -5; -5;… аn + d «чесиччо» лат. - «бегу назад», «возвращаюсь», рекуррентный значит «возвратный», термин ввёл Муавр (1720) IV. 14. Выведем эту формулу, если а1 и d известны, то по рекуррентной формуле найдём а2 и а3: 15. Если известен а3 , то найдём а4: Коэффициент при d всегда на 1 меньше номера определяемого члена а11 = a1 + 10d и а15 = а1 + 14d и т.д. 16. Заметим, что если номер члена an = a1 + d (n – 1) n равен 3, то разность умножается Это и есть формула общего члена на коэффициент 2, если номер (выраженная не рекуррентно, а члена 4, то d ∙ 3 и т.д., т.е. в через первый член прогрессии и её общем виде: разность). Таким образом, можно не a2 = a1 + d Если известен a2 , то вычисляя, записать, что a5 = a1 + 4d; найдём a3 : a3 = a2 + d или a8 = a1 + 7d a3 = a1 + d + d = a1 + 2d или a11 и a15 равны соответственно: 18. Формула для an будет: a4 = a3 + d = a1 + 2d + d = a1 + 3d V. 19. Определить: 1) a6 , если a1 = 4, d = 3 2) a6 , если a1 = 14, d = 4 20. Формулу общего члена 6= an = a1 + d (n – 1) мы выведем методом, который называется 21. Вернёмся к прогрессии: 4; 7; 10; 13;16; 19;… и заметим, что второй член прогрессии 7 равен 4 10 14 2 2 (полусумме первого и третьего), пятый член 16 равен: 22. Эта запись означает, что каждый член обладает свойством 23. Проверить указанное свойство Для : 14; 10; 6; 2; -2; -6 10 2 12 ; 2 2 -2 = 2 ( 6 ) 4 2 2 быть средним арифметическим между двумя соседними членами прогрессии 13 19 32 2 2 (полусумме четвёртого и шестого членов). В общем виде: аn = an 1 an 1 2 методом неполной - сильной математической индукции, т.к. рассмотрены не все и не один, а несколько первых членов прогрессии 1) а6 =4+3(6-1)=4+3 5=19 2) а6 =14+(-4)(6-1)=14-20=6 VI. 24. Заметим так же, что в прогрессии 14; 10; 6; 2; -2; -6 a1 + an =14+(-6)=8 a2 + an-1 =10+(-2)=8 и 25. Эта запись означает, что сумма членов, равностоящих 26. Докажем это. Проверим истинность равенства: a1 + an = a2 + an-1 27. Известно, что an определяется при наличии данных a1 и d и в зависимости от n . Это означает, что 28. Обозначив an как всякую функцию через y , параметры a1 и d через b и k ,а аргумент через x, формулу an = a1 + d (n – 1) можно записать 29. Свойство членов арифметической прогрессии отражать линейную зависимость есть I. II. III. IV. V. VI. a1 + a1 + d (n –1) =? a1 + d + a1 + d(n –2) 2a1 + d (n – 1) = 2a1 +d (1+n –2) = = 2a1 + d (n – 1) a3 + an-2 =6+2=8 и т.д. a1 и d есть параметр, а n – аргумент их третье свойство от «концов» прогрессии, равны. Это есть второе свойство членов (оно будет использовано при выводе формулы суммы членов арифметической прогрессии). в другом виде: y = b + kx или y = kx + b . А это есть линейная функция. ОТВЕТЫ: 1-4; 2-1; 3-2; 4-3. 5-7; 6-5; 7-8; 8-6. 9-11; 10-12; 11-13; 12-10; 13-9. 14-17; 15-18; 16-14; 17-15; 18-16. 19-23; 20-22; 21-21; 22-20; 23-19. 24-25; 25-28; 26-24; 27-26; 28-29; 29-27.