1-я контрольная работа Задача № 1.33 Вычислить центральный момент третьего порядка (3) по данным таблицы: Производительность труда, м/час Число рабочих 80.5 – 81.5 81.5 – 82.5 82.5 – 83.5 83.5 – 84.5 84.5 – 85.5 7 13 15 11 4 Производительность труда, м/час 80.5 – 81.5 81.5 – 82.5 82.5 – 83.5 83.5 – 84.5 84.5 – 85.5 Итого: XI 81 82 83 84 85 Число рабочих, mi 7 13 15 11 4 50 mixi 567 1066 1245 924 340 4142 (xi-xср)3 (xi-xср)3mi -6,2295 -0,5927 0,004096 1,560896 10,0777 -43,6065 -7,70515 0,06144 17,16986 40,31078 6,2304 x m 4142 82,84 50 m x x * m 6,2304 0,1246 50 m x ср i i i 3 * 3 i 1 i Ответ: 3=0,1246 Задача № 2.45 Во время контрольного взвешивания пачек чая установлено, средний вес у n=200 пачек чая равен x =26 гр. А S=1гр. В предложение о нормальном распределение определить у какого количества пачек чая ве будет находится в пределах от ( x 1) до ( x 1) . Р(25<x<27)=P (1 m=n*p=200*0,3634 73 x 26 1) =2Ф(1)-1=0,3634 1 Ответ: n=73 Задача № 3.17 На контрольных испытаниях n=17 было определено x =3000 ч . Считая, что срок службы ламп распределен нормально с =21 ч.., определить ширину доверительного интервала для генеральной средней с надежностью =0,98 P( X t X t n 1 t Ф (0,98) 2,33 x t n ) (t ) , 2988 n x t 3011 n Ответ: [2988< <3012] Задача № 3.69 По данным контрольных испытания n=9 ламп были получены оценки x =360 и S=26 ч. Считая, что сроки служб ламп распределены нормально определить нижнюю границу доверительного интервала для генеральной средней с надежностью 0,95 S S X t ) (t ) , n 1 n 1 t St (0,95;9) 0,129 S x t 358 n 1 P( X t Ответ: 358 Задача № 3.71 По результатам n=7 измерений средняя высота сальниковой камеры равна x =40 мм, а S=1,8 мм. В предложение о нормальном распределение определить вероятность того, что генеральная средняя будет внутри интервала (0,98 x ;1,02 x ) . P( x t S S 1,02 x x 0,98 x x x t ) Ф( ) Ф( ) S S n n S 0,98 x n t2 1,17 x t2 S 1,02 x n t1 1,17 x t1 P Ф(t2 ) Ф(t1 ) 0,516 Ответ: P=0,516 Задача № 3.120 По результатам измерений длины n=76 плунжеров было получено x =50 мм и S=7 мм. Определить с надежностью 0,85 верхнюю границу для генеральной средней. S S x t ) n 1 n 1 t St ( ; v n 1) St 1 (0,85;75) 0,126 P( x t x t S 7 50 0.126 50,2 n 1 75 Ответ: 50,2 Задача № 3.144 На основание выборочных наблюдений за производительностью труда n=37 рабочих было вычислено x =400 метров ткани в час S=12 м/ч. в предложение о нормальном распределение найти вероятность того, что средне квадратическое отклонение будет находится в интервале от 11 до 13. P (11 13) P( 2n S 2v 1 t 2n S) 2v 1 t Ф 1 (t ) 2n S 11 2v 1 t t 1,57 Ф 1 (1,57) 0,8836 Ответ: P(11<<13)=0,8836 Задача № 4.6 С помощью критерия Пирсона на уровне значимости =0,02 проверить гипотезу о биноминальном законе распределения на основание следующих данных. Mi Mt i 85 117 120 85 miT mi 85 120 25 37 (mi-miT)2 117 85 10 9 (mi-miT)2/ miT 1024 1225 8,752137 14,41176 25 10 37 9 144 1 3,891892 0,111111 27,1669 2факт.=(mi- miT)/ miT=27,17 2табл.= (=2, =0,02)=7,824 2факт>2табл Ответ: Выдвинутая гипотеза о нормальном отвергается с вероятностью ошибки альфа. законе распределения 2-я контрольная работа Задача 4.29 По результатам n =4 измерений в печи найдено X X = 254 C. Предполагается, что ошибка измерения есть нормальная случайная величина с = 6 C. На уровне значимости = 0.05 проверить гипотезу H0: = 250 C против гипотезы H1: = 260 C. В ответе записать разность между абсолютными величинами табличного и фактического значений выборочной характеристики. 1 > 0 выберем правостороннюю критическую область. t набл t кр X 0 N (0;1) t 2 (1 2 ), (t ) e 2 0 1 z2 2 dz t набл 0,66, t кр 1,64 Ответ: Т.к. используем правостороннюю критическую область, и tкр > tнабл, то на данном уровне значимости нулевая гипотеза не отвергается (|tкр| - |tнабл |=0,98). Задача 4.55 На основание n=5 измерений найдено, что средняя высота сальниковой камеры равна X 51 мм, а S=1,2 мм. В предположение о нормальном распределение вычислить на уровне значимости =0,01 мощность критерия при гипотезе H0 : 50 и H1 : 53 X 1 1 1 P(t t кр ) [Ф() Ф( n )] 2 1 1 [1 Ф( 0 n t кр )] 3,2 2 t кр Ф 1 (1 2 ) 2,33 Ответ: 23 Задача 4.70 На основании n = 15 измерений найдено, что средняя высота сальниковой камеры равна X = 70 мм и S = 3. Допустив, что ошибка изготовления есть нормальная случайная величина на уровне значимости = 0.1 проверить гипотезу H0: 2 S 2 1 мм2 при конкурирующей гипотезе 2 S 2 1 . В ответе записать разность между абсолютными величинами табличного и фактического значений выборочной характеристики. 02 12 построим левостороннюю критическую область. 2 набл nS 2 02 13,5 P( 2 кр2 (1 ; n 1)) 1 кр2 5,368 Вывод: 2 набл кр2 на данном уровне значимости нулевая гипотеза не 2 отвергается ( | кр2 | | набл | 8,132 ). Задача 4.84 По результатам n = 16 независимых измерений диаметра поршня одним прибором получено X = 82.48 мм и S = 0.08 мм. Предположив, что ошибки измерения имеют нормальное распределение, на уровне значимости = 0.1 вычислить мощность критерия гипотезы H0: 2 0.01 при конкурирующей гипотезе H1: 2 0.005 . 02 12 построим левостороннюю критическую область. 02 2 1 1 P( 2 кр (1 ; n 1)) 0.23 1 2 Ответ: 23; Задача 4.87 Из продукции двух автоматических линий взяты соответственно выборки n1 = 16 и n2 = 12 деталей. По результатам выборочных наблюдений найдены X 1 = 180 мм и X 2 = 186 мм. Предварительным анализом установлено, что погрешности изготовления есть нормальные случайные величины с дисперсиями 12 6 мм2 и 22 11 мм2. На уровне значимости = 0.025 проверить гипотезу H0: 1 = 2 против H1: 1 < 2. Т.к. H1: 1 < 2, будем использовать левостороннюю критическую область. t набл X1 X 2 12 n1 4,96 22 n2 2 t кр (1 2 ), (t ) 1 2 t e z2 2 dz 0 t кр 1,96 Вывод: | t набл | t кр гипотеза отвергается при данном уровне значимости. Задача 4.96 Из двух партий деталей взяты выборки объемом n1 = 16 и n2 = 18 деталей. По результатам выборочных наблюдений найдены X 1 = 260 мм, S1 = 6 мм, X 2 = 266 мм и S2 =7 мм. Предполагая, что погрешности изготовления есть нормальные случайные величины и 1 2 , на уровне значимости = 0.01 проверить гипотезу H0: 1 = 2 против H1: 1 2. t набл X1 X 2 n1 n2 2,587 n1 n2 n1 S12 n2 S 22 n1 n2 2 t кр St 1 ( ; n1 n2 2) 2,750 Вывод: | t набл | t кр при данном уровне значимости гипотеза не отвергается. Задача 4.118 Из n1 = 200 задач первого типа, предложенных для решения, студенты решили m1 = 152, а из n2 = 250 задач второго типа студенты решили m2 = 170 задач. Проверить на уровне значимости = 0.05 гипотезу о том, что вероятность решения задачи не зависит от того, к какому типу она относится, т.е. H0: P1 = P2. В ответе записать разность между абсолютными величинами табличного и фактического значений выборочной характеристики. m pi i , p1 0.76, p 2 0.68 ni l p m i 1 l n i 1 2 набл i 0.716 i l 1 p (1 p ) i 1 P ( 2 кр2 ( , l 1)) кр2 3,841 ( p i p) 2 ni 3,55 2 Вывод: набл кр2 нулевая гипотеза при данном уровне значимости принимается 2 ( | кр2 | | набл | 0,29 ). Задача 1.39: Вычислить центральный момент третьего порядка (3*) по данным таблицы: Урожайность (ц/га), Х 34,5-35,5 34,5-36,5 36,5-37,5 37,5-38,5 38,5-39,5 Число колхозов, mi 4 11 20 11 4 Решение: Урожайность (ц/га), Х x Xi mixi (xi-xср)3 (xi-xср)3mi 34,5-35,5 Число колхозов, mi 4 35 140 -8 -32 34,5-36,5 11 36 396 -1 -11 36,5-37,5 20 37 740 0 0 37,5-38,5 11 38 418 1 11 38,5-39,5 4 39 156 8 32 Итого: 50 - 1850 - 0 x m 1850 37 50 m x x 0 0 50 m i i i 3 * 3 i i Ответ: 3*=0 Задача 2.34: В результате вариационный ряд: анализа технологического процесса получен Число дефектных изделий 0 1 2 3 4 Число партий 79 55 22 11 3 Предполагая, что число дефектных изделий в партии распределено по закону Пуассона, определить вероятность появления 3 дефектных изделий. Решение: 0 0.4647 m p m x 1 0.3235 2 0.1294 3 0.0647 4 0.0176 0.3235 0.2528 0.1941 0.0704 0.8408 0.016816 n 50 50 j 0.016816 3 0.016816 4.755 10 6 P P( x j ) e e 0.9833 7.79 10 7 j! 3! 6 i i Ответ: P=7.79*10-7 Зпадача 3.28: В предложении о нормальной генеральной совокупности с =5 сек., определить минимальный объем испытаний, которые нужно провести, чтобы с надежностью =0.96 точность оценки генеральной средней времени обработки зубчатого колеса будет равна =2 сек. Решение: Ф(t ) P x t x t n n (t ) 0.48 t 1 (0.48) 2.05 t n 5 2.055 2 n n=(5.1375)3=26.3927 Ответ: n=27 Задача 3.48: На основании измерения n=7 деталей вычислена выборочная средняя и S=8 мк. В предположении, что ошибка изготовления распределена нормально, определить с надежностью =0.98 точность оценки генеральной средней. Решение: St(t,=n-1)==St(t,6)=0.98 S S x t n 1 x t t St 1 (0.98) 1.131 S 8 t 0.131 0.4278 n 1 6 n 1 Ответ: =0.4278 Задача 3.82: На основании n=4 измерений температуры одним прибором определена S=9 С. Предположив, что погрешность измерения есть нормальная случайная величина определить с надежностью =0.9 нижнюю границу доверительного интервала для дисперсии. Решение: nS 2 nS 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 0.9 0.05 2 2 22 7.815 nS 2 22 492 324 41.4587 7.815 7.815 Ответ: 41.4587 Задача 3.103: Из 400 клубней картофеля, поступившего на контроль вес 100 клубней превысили 50 г. Определить с надежностью =0.98 верхнюю границу доверительного интервала для вероятности того, что вес клубня превысит 50 г. Решение: m pq pq m (t ) t p t n n n n 0 . 98 (t ) 0.49 2 t=2.33 pq 1 m 0.25 0.75 t 2.33 0.3 n n 4 400 Ответ: 0.3 Задача 3.142: По результатам 100 опытов установлено, что в среднем для сборки вентиля требуется Xср=30 сек., а S=7 сек. В предположении о нормальном распределении определить с надежностью =0.98 верхнюю границу для оценки генеральной совокупности. Решение: t=2.33 2n 2n S 2 1 t (t ) 0.98 0.49 2 2 1 t S (t ) 2n 2 100 S 2 1 t 2 99 1 2.33 7 8.457 Ответ: 8.457 Задача 4.18: Гипотезу о нормальном законе распределения проверить с помощью критерия Пирсона на уровне значимости =0.05 по следующим данным: 6 8 mi miT 13 17 22 29 28 20 15 10 Решение: 2 кр 2 набл mi miT (mi-miT)2 (mi-miT)2/ miT 6 8 4 0.5 13 17 16 0.941 22 29 49 1.6897 28 20 64 3.2 15 10 3 3 25 1.9231 Итого: - - 8.2537 8.2537 5.991 ( 2, 0.05) 2 набл кр2 5.991 8.2537 2.2627 2 набл кр2 значит отвергаем Ответ: -2.2627 1.36. Вычислить дисперсию. Производител ьность труда Число рабочих 81,5-82,5 82,5-83,5 83,5-84,5 9 15 16 Средняя производитель ность труда 82 83 84 3 3 84,5-85,5 85,5-86,5 Итого 11 4 55 S 2 xi x x x m m i i i 85 86 m /m 2 i i 82 * 9 83 * 15 84 * 16 85 * 11 86 * 4 83,75 55 (82 83,75) 2 * 9 (83 83,75) 2 * 15 (84 83,75) 2 * 16 (85 83,75) 2 * 11 (86 83,75) 2 * 4 S 55 27,56 8,44 1 17,19 20,25 74,44 1,35. 55 55 2 2.19. Используя результаты анализа и предполагая, что число дефектных изделий в партии распределено по закону Пуассона, определить теоретическое число партий с тремя дефектными изделиями. m fi Pm Pm*fi fi теор. 0 164 288,75 288 1 76 0,34 25,84 26 2 40 0,116 4,64 5 3 27 0,026 0,702 1 4 10 0,004 0,04 0 5 3 0,001 0,003 0 Итого 320 320 320 m – число дефектных изделий в партии, fi – число партий, fi теор. = теоретическое число партий e m Pm m! 76 80 81 40 15 x 0,68 320 e 0, 68 0,5 Теоретическое значение числа партий получается округлением Pm*fi. Соответственно, теоретическое количество партий с тремя дефектными изделиями равно 1. 3.20. По выборке объемом 25 вычислена выборочная средняя диаметров поршневых колец. В предложении о нормальном распределении найти с надежностью γ=0,975 точность δ, с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание, зная, что среднее квадратическое отклонение поршневых колец равно 4 мм.. P( x t n xt n ) t n t Ф ( ) Ф 1 (0,975) 2,24 1 4 5 2,24 1,792 3.40. По результатам семи измерений средняя высота сальниковой камеры равна 40 мм., а S=1,8 мм.. В предположении о нормальном распределении определить вероятность того, что генеральная средняя будет внутри интервала (0,98х;1,02х). P(0,98 x 1,02 x) ? S S P( x t x t ) n 1 n 1 S 0,98 x x t n 1 0,02 x n 1 1,0887 S t St 1 ( ;6) 1,0887 t 0,4; 1 0,6 3.74. По данным контрольных 8 испытаний определены х=1600 ч. и S=17ч..Считая, что срок службы ламп распределен нормально, определить вероятность того, что абсолютная величина ошибки определения среднего квадратического отклонения меньше 10% от S. P( nS 2 22 2 nS 2 12 ) P(0,9 S 1,1S ) ? nS 2 15,3 2 3,14 P( 2 22 ) P( 2 9,86) 7 0,20 3.123. P ( 2 9,86) 0,20 1 2 0,6 1 2 По результатам 70 измерений диаметра валиков было получено х=150 мм., S=6,1 мм.. Найти вероятность того, что генеральная средняя будет находиться внутри интервала (149;151). ? P( x t 150 t S x t n 1 S 149 n 1 S ) n 1 69 1,36 6,1 t t St 1 ( ; 69) 0,2 0,8 3.126 По результатам 50 опытов установлено, что в среднем для сборки трансформатора требуется х=100 сек., S=12 сек.. В предположении о нормальном распределении определить с надежностью 0,85 верхнюю границу для оценки неизвестного среднего квадратического отклонения. P( 2n 2n S S ) 0,85 2 1 t 2 1 t 2n S ? 2 1 t t Ф 1 (0,85) 1,44 49 2n 100 120 S 12 14,27 8,41 2 1 t 2 * 49 1 1,44 4.10 С помощью критерия Пирсона на уровне значимости α=0,02 проверить гипотезу о законе распределения Пуассона (в ответе записать разность между табличными и фактическими значениями χ2). miT mi 80 125 39 12 ∑=256 100 52 38 100 200 (mi-miT)2 400 5329 1 4 5734 (mi-miT)2/miT 4 102,5 0,03 0,4 122,63 2 набл 122,63 5 1 1 3 0,02 кр2 (3;0,02) 9,837 9,837 122,63 112,793 Гипотеза противоречит закону распределения Пуассона.