1. Найти значение матричного многочлена f(A)

1. Найти значение матричного многочлена f(A)
1 0 
f ( x)  4 x 3  2 x 2  3x  1 A  

 0 1
3
1 0 
1 0  1 0  1 0 
4A  
  4

 

 0 1
 0 1  0 1  0 1
1 1  0  0 1 0  0  (1)   1 0 
1 0 1 0 
 4

  4


0

1

1

0
0

0

1

(

1)
0

1
0
1
0

1

 


 

1 1  0  0 1 0  0  (1) 
1 0  4 0 
 4

4





 0 1  1  0 0  0  1  (1) 
 0 1  0 4 
3
2
1 0 
1 0  1 0 
2A  

2





 0 1
 0 1  0 1
1 0  2 0
 2


0
1

 0 2
2
1 0  3 0 
3A  3 


 0 1  0 3 
1 0
1 

0 1
 4 0   2 0  3 0  1 0
f ( x)  4 x 3  2 x 2  3 x  1  




 0 4   0 2   0 3   0 1 
0
 4  2  3 1
 0 0 



0

4

2

3

1

  0 2 
2. Вычислить определитель.
1 2 5 9
1 1 7 4
d
1 3 3 4
1
2
3 4
Упростим определитель, умножив третью строку на (-1) и прибавив ее к четвертой.
1 2 5 9
1 2 5 9
1 1 7 4
1 1 7 4
d

1 3 3 4 (1) 1 3 3 4
1
2
3 4

0 1 0 0
Разложим по четвертой строке и дальше преобразуем:
1) умножим первую строку на (-1) и прибавим ко второй и третьей,
2) прибавим вторую строку к третьей
1 2 5 9
1 5 9 (1)
1 5 9
1 1 7 4
4 2
d
 (1)  (1) 1 7 4    0 2 5  
1 3 3 4
1 3 4 
0 2 5 
0 1 0 0
1 5
9
  0 2 5  1 2  (10)  20
0 0 10
Определитель треугольного вида равен произведению элементов главной диагонали.
3. Найти ранг матрицы приведением к ступенчатому виду. Указать
базисный минор.
Элементарными преобразованиями со строчками приведем матрицу к ступенчатому виду.
 1 2 1 0 5  (3)  ( 2)  ( 1)  1 2 1 0 5 





0 7 1 2 8  
 3 1 2 2 7 


 2 3 1 0 6 
 0 1 1 0 4  






 1 1 0 4 1 
 0 3 1 4 4 
 1 2 1 0 5 
 1 2 1 0 5 




0 1 1 0 4  (7)  ( 3)  0 1 1 0 4 




 0 7 1 2 8 
 0 0 6 2 20  2

 0 3 1 4 4 
 0 0 2 4 8  2





 1 2 1 0 5 
 1 2 1 0 5 




0 1 1 0 4 
0 1 1 0 4 




 0 0 3 1 10  
 0 0 3 1 10 




 0 0 1 2 4  ( 3)   0 0 0 5 2 
Так как получили четыре ненулевые строки, значит ранг матрицы равен 4.
1 2 1
0 1 1
Базисный минор 0 0 3
0
0
0
0
0
1
5
4. Решить матричное уравнение. Результат проверить умножением.
 54 33 
 3 2 5

 X  

 28 71 
 7 4 1
- AX=B
Умножение и равенство матриц возможно, когда выполняется следующее условие на их
размеры. [m, n]  [n, k ]  [m, k ] . Для данных матриц [2, 2]  [ n, k ]  [2,3] .
Значит
n  2, k  3 .
 x1
 x4
Пусть матрица X имеет вид: X  
 54 33   x1


 28 71  x4
x2
x5
x2
x5
x3   54 x1  33x4

x6   28x1  71x4
x3 
 . Выполним умножение матриц.
x6 
54 x2  33x5 54 x3  33x6   3 2 5 

28x2  71x5 28x3  71x6   7 4 1 
Приравняем соответствующие элементы матриц AX и B.
54 x1  33 x4  3;
54 x  33 x  2;
5
 2
54 x3  33 x6  5;

28 x1  71x4  7;
28 x2  71x5  4;

28 x3  71x6  1.
Перегруппируем уравнения: 1-е с 4-м; 2-е с 5-м; 3-е с 6-м. Получаем три системы линейных
уравнений. Решим их методом Гаусса. Правые части матриц этих систем равны, разные
лишь столбцы свободных членов. Запишем эти столбцы по порядку в расширенную
матрицу и приведем ее к ступенчатому виду.
 54 33 3 2 5  (1)   2 109 11 6 3 (14)  2 109 11
6 3 


  


 28 71 7 4 1  2
 28 71 7 4 1  
 0 1455 147 80 43 
Получаем систему:
2 x1  109 x4  11;
1455 x  147;
4

2 x2  109 x5  6;

1455 x5  80;
2 x3  109 x6  3;

1455 x6  43;
Находим неизвестные подстановкой.
147
49

x


;
4

1455 485

 x  11  109  49  3 ;
 1 2 2  485 485

 x5  80  16 ;

1455 291

 x  6  109 16  1 ;
 2 2 2  291 291

43
 x6 
;
1455


3 109  43 161


.
 x3 
2 2 1455 1455

 3
 485
Матрица X  
 49

 485
1
161 
291 1455 

16
43 

291 1455 
Сделаем проверку, перемножим матрицы A и X и проверим, верно ли равенство AX=B.
 3
54
33

  485


 28 71   49

 485
3
49

 54 485  33 485

 28 3  71 49

485
 485
1
161 
291 1455 

16
43 

291 1455 
1
16
161
43 
54
 33
54
 33
291
291
1455
1455   3 2 5 


1
16
161
43   7 4 1 
28
 71
28
 71

291
291
1455
1455 
5. Решить систему линейных уравнений тремя способами
1) методом обратной матрицы.
2) по формулам Крамера,
3) методом Гаусса.
 x1  x2  x3  2;

 x1  x2  x3  4;
 x  2 x  x  3.
2
3
 1
1)
Система уравнений в матричной форме: AX=B, где
1 1 1
x1
2
X  x2 , A  1 1 1 , B  4
1 2 1
x3
3
Следовательно, X=A-1B, где A-1 – обратная матрица к A.
A11
1
A 
A12
det( A)
A13
1
A21
A31
A22
A23
A32
A33
det(A) – определитель матрицы A
1 1 1
det( A)  1 1 1  1 1  (1)  1  2 1  (1) 1 1  1 1 1  1 1  2  (1) 1  (1) 
1 2 1
 1  2  1  1  2  1  4
A11  (1)11
1 1
1 1
 1 (1)  2 1  3 , A12  (1)1 2
 (1 (1)  11)  2 ,
2 1
1 1
A13  (1)13
1 1
1 1
 1 2  11  1 , A21  (1) 21
 ((1)  (1)  2 1)  1 ,
1 2
2 1
A22  (1) 2 2
1 1
1 1
 1 (1)  11  2 , A23  (1)23
 (1 2  1 (1))  3 ,
1 1
1 2
A31  (1)31
1 1
1 1
 (1) 1  11  2 , A32  (1)3 2
 (11  11)  0 ,
1 1
1 1
A33  (1)33
1 1
 11  1 (1)  2
1 1
3 1 2
3 1 2
1
1
A   2 2 0  2 2 0
4
4
1 3 2
1 3 2
1
3 1 2 2
3  2  (1)  4  2  3
8 2
1
1
1
X  2 2 0  4 
2  2  2  4  0  3  4  1
4
4
4
1 3 2 3
(1)  2  3  4  (2)  3
4 1
Ответ: X=(2;1;1)
2)
Решение системы – это вектор X  ( x1 , x2 , x3 )
x1 
d3
d1
d2
, x2 
, x3 
, где
d
d
d
1 1
d1
1
1
2
2 1
d1  4 1
3
2
1
1 - определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных,
1
1
1 - определитель, составленный из определителя d заменой первого
1
столбца на столбец свободных членов,
1 2
d2  1 4
1
1 - определитель, составленный из определителя d заменой второго столбца
1 3 1
на столбец свободных членов,
1 1 2
d3  1 1 4 - определитель, составленный из определителя d заменой третьего
1 2 3
столбца на столбец свободных членов.
1 1
d1
1
1
2
1
1  4
1
2 1 1
d1  4 1 1  2 1  (1)  4  2 1  ( 1) 1  3  1 1  3  2 1  2  ( 1)  4  ( 1) 
3 2 1
 2  8  3  3  4  4  8
1 2 1
d 2  1 4 1  1 4  (1)  1  3 1  2 1 1  1  4 1  1 1  3  2 1  ( 1) 
1 3 1
 4  3  2  4  3  2  4
1 1 2
d3  1 1 4  1 1  3  1  2  2  (1)  4 1  2 11  1 4  2  (1) 1 3 
1 2 3
 3  4  4  2  8  3  4
x1 
8
4
4
 2, x2 
 1, x3 
1
4
4
4
Ответ: X=(2;1;1)
3)
Запишем расширенную матрицу коэффициентов СЛУ, приведем ее элементарными
преобразованиями к треугольному виду.
1 1 1 2 (1)  1 1 1 2 
 1 1 1 2 






1 1 1 4     0 2 0 2  (3)   0 2 0 2 
1 2 1 3  
 0 3 2 1  2 
 0 0 4 4 






Получили СЛУ
 x1  x2  x3  2;

2 x2  2;
4 x  4.
3

Система совместна и определена. Подстановкой находим неизвестные.
 x3  1;

 x2  1;
 x  2  1  1  2;
 1
Ответ: X=(2;1;1)
6. Найти общее решение СЛУ и одно частное, не являющееся
базисным, и два базисных решения СЛУ
2 x1  x2  3x4  5;

 x1  2 x2  3x3  4;
 x  x  x  x  3.
 1 2 3 4
Запишем расширенную матрицу коэффициентов СЛУ, приведем ее элементарными
преобразованиями к треугольному виду.
 2 1 0 3 5  
 2 1 0 3 5 




 1 2 3 0 4  2    0 3 6 3 3   
 1 1 1 1 3  ( 2)   0 1 2 1 1  ( 3) 




 2 1 0 3 5 
 2 1 0 3 5 




  0 3 6 3 3  3   0 1 2 1 1
0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 




Получили СЛУ
2 x1  x2  3x4  5;

 x2  2 x3  x4  1.
Система совместна и неопределена. Пусть x1 , x2 - базисные переменные, x3 , x4 -свободные
переменные.
Подстановкой выражаем базисные переменные через свободные.
x2  1  2 x3  x4
4  2 x3  4 x4
1
1
x1  (5  x2  3 x4 )  (5  1  2 x3  x4  3 x4 ) 
 2  x3  2 x4
2
2
2
Общее решение:
X  (2  x3  2 x4 ; 1  2 x3  x4 ; x3 ; x4 )
Частное не базисное решение:
Придадим свободным переменным x3 , x4 значения, равные 2 и 1соответственно, и найдем
остальные переменные.
Пусть x3  2, x4  1  x2  2, x1  2 
a1  (2; 2; 2;1)
- произвольное частное решение.
Особые решения, получаемые в случае, когда свободные переменные равны нулю
называются базисными.
Пусть x3  0, x4  0  x2  1, x1  2 
b1  (2; 1;0;0)
- базисное решение.
Пусть теперь переменная x3 - свободная, а переменная x2 - базисная.
1
3
Пусть x2  0, x4  0  x3  , x1  
2
2
3 1
b2  ( ; 0; ; 0) - базисное решение.
2
2