Задача 1. В магазине сахар можно купить в упаковках по 1 кг. На

Задачи группы Пифагора для учеников 6 – 8 классов.
Срок представления решений третьего тура 16 января 2012 г.
Решения посылай на почтовый адрес Tähe 4 – 143, Tartu 51010 (на конверте напиши KUUBIK).
Результаты и задачи следующего тура смотри на сайте http://www.teaduskool.ut.ee/kuubik
Задача 1. В магазине сахар можно купить в упаковках по 1 кг. На этой неделе действует
следующая кампания: покупая за один раз более трёх упаковок сахара, каждая упаковка,
начиная с четвёртой, продаётся со скидкой. На этой неделе Катя разом купила 9 кг сахара и
заплатила за покупку 11 евро и 40 центов. А Дима разом купил 12 кг сахара и заплатил за всё
14 евро и 70 центов.
a) Какова обычная цена одной упаковки сахара в этом магазине?
b) Сколько всего центов Дима и Катя могли бы сэкономить, если бы заплатили за 21 кг
сахара, как за одну покупку?
Задача 2. Дима и Катя записывают каждый по 3 последовательных натуральных числа, и
каждый считает сумму записанных им чисел. Найди, какие числа записали ребята, если
a) сумма записанных Катей чисел равна 123, а сумма записанных Димой чисел 123321;
b) разность сосчитанных ребятами сумм равна 246, а сумма сосчитанных ими сумм 642.
Задача 3. Бабушка из сада принесла две корзинки овощей и фруктов. В первой корзинке
лежало всего 25 фруктов (яблоки, груши и сливы), причём каждого из видов не менее двух
штук. Во второй корзинке лежало 28 овощей (огурцы, помидоры, морковь и лук), причём
каждого из видов не менее трёх штук.
a) Сколько каждого из видов фруктов могло лежать в первой корзине, если известно, что
слив там было в 6 раз больше, чем груш? Найди все различные возможности.
b) Сколько каждого из видов овощей могло лежать во второй корзине, если известно, что
огурцов там было на 4 больше, чем помидор, которых в свою очередь там было на 5 больше,
чем моркови? Найди все различные возможности.
Задача 4. Из восьми карточек с цифрами от 1 до 8 составили сумму двух четырёхзначных
чисел (см. рисунок),
значение которой равно 9999. За один ход разрешается поменять местами любые две
карточки с цифрами.
a) Дима сделал 3 хода. Найди наибольшее возможное значение суммы, которую он мог
получить.
b) Катя хочет за несколько ходов получить наименьшее возможное значение суммы. Какому
числу равно желаемое значение, и за какое наименьшее количество ходов Катя может его
получить?
Задача 5. Найди все натуральные числа, которые удовлетворяют всем перечисленным
условиям.
a) Это число 3-значное, и первая цифра этого числа в 3 раза больше последней. Это число
делится на 3, и одна из его цифр равна 3.
b) Это число 4-значное, и первая цифра этого числа в 4 раза больше последней. Это число
делится на 4, и одна из его цифр равна 4.
Задача 6. Вывеска магазина KAUBAMAJA состоит из отдельных букв K, A, U, B, A, M, A, J и A,
каждая из которых имеет подсветку. При включении подсветки сначала зажигается первая
буква K, через секунду она гаснет и одновременно зажигается вторая буква A, которая через
секунду гаснет и одновременно зажигается третья буква U и т.д. Очерёдность зажжения
подсветки букв за первые 20 секунд работы показана в следующей таблице.
время в
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
секундах
светящаяся
A M A B U A K A U B
K A U B A M A J A J
буква
a) Сколько раз за первые 5 минут после включения подсветки зажжётся буква K?
b) На какой секунде после включения подсветки буква A зажжётся в 1000-ый раз?
Задача 7. На листке бумаги нарисован квадрат , площадь
которого равна 144 см2. На стороне выбрана точка так, что
|| || 7, на стороне выбрана точка так, что |
| |
| 3,
ହ
на стороне выбрана точка так, что || || ଷ, а на стороне
выбрана точка так, что || || 1 (см. рисунок).
a) Найди длины отрезков , , и .
b) Вычисли площадь четырёхугольника .
Задача 8. Фотопринтер печатает фотографии только на листе фотобумаги размером 10 15
см. Фотографию на целый лист (см. рисунок A) принтер печатает за 4 минуты, а чистый лист
(см. рисунок B) проходит через принтер за 1 минуту.
a) Сколько времени принтер будет печатать одну фотографию, размер которой равен
половине листа фотобумаги (см. рисунок C)?
b) Сколько времени принтер будет печатать одну паспортную фотографию размером 4 5
см (см. рисунок D)?
Задача 9. Изображённая на рисунке фигура состоит из 22
единичных квадратиков. Эту фигуру и образуемые из неё части
можно разрезать только по сторонам единичных квадратов, только
по прямой линии и только так, чтобы после разреза фигура
распадалась на две части.
a) Дима разрезал эту фигуру так, что у него получились только
квадраты. Сколько квадратов всего у него могло получиться? Найди все возможности.
b) Катя разрезала такую же фигуру так, что у неё получились только прямоугольники.
Сколько прямоугольников всего у неё могло получиться?
Замечание. Квадрат также является прямоугольником!
Задача 10. В школе учатся 90 семиклассников. На осенних каникулах им было предложено
поучаствовать в следующих мероприятиях: посмотреть спектакль, посетить музей и сходить
в поход. В итоге 40 семиклассников посмотрели спектакль, 30 сходили в поход и 20
посетили музей. Также выяснилось, что 8 семиклассников ходили на спектакль и в поход, 6
ходили в поход и в музей, 7 ходили в музей и на спектакль, а на всех трёх мероприятиях
побывали только 5 семиклассников.
a) Сколько семиклассников сходили только на спектакль?
b) Сколько семиклассников не пошли ни на одно из мероприятий?
Задача 11. Дима использует только те косточки домино, на половинках которых
изображено различное число точек. Из них он составляет такие прямоугольники, что в
каждом ряду и в каждом столбце не было бы половинок домино с одинаковым числом точек.
Например, из всех различных косточек домино, на которых изображены от 1 до 3 точек,
Дима составил следующий прямоугольник.
Далее вместо самих точек будем записывать их количество на одной половинке косточки
домино.
a) Дима из всех различных косточек домино, на которых изображены от 1 до 5 точек,
составил следующий прямоугольник. Покажи, как располагаются косточки домино в этом
прямоугольнике.
b) Составь такой прямоугольник, который может получить Дима из всех различных
косточек домино, на которых изображены от 1 до 6 точек. Покажи расположение косточек
домино в полученном прямоугольнике.
Задача 12. В некоторой стране регистрационные номера транспортных средств состоят из
букв английского алфавита от A до Z (их 26 штук) и цифр от 0 до 9, причём как буквы, так и
цифры в одном номере могут повторяться. Регистрационные номера для велосипедов,
мотоциклов и автомобилей имеют различный вид:
•
•
•
на номере велосипеда два первых знака – буквы, а два следующих знака – цифры
(например, AC14 или BB08);
на номере мотоцикла два первых знака – буквы, а три следующих знака – цифры
(например, ZA001 или MT333);
на номере автомобиля три первых знака – буквы, а три следующих знака – цифры
(например, ABC123 или XXY266).
a) Какому наибольшему количеству велосипедов можно выделить регистрационный номер
в этой стране?
b) Во сколько раз больше можно в этой стране зарегистрировать автомобилей, чем
мотоциклов?