Кинематика - Мордовский государственный университет имени

Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
”Мордовский государственный университет им.Н.П.Огарева”
А.В.Шорохов
Кинематика
Учебное пособие
САРАНСК
ИЗДАТЕЛЬСТВО МОРДОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2010
УДК 531.1
ББК В2
Ш796
Р е ц е н з е н т ы:
кафедра физики и методики обучения физике Мордовского государственного
педагогического института им. М.Е. Евсевьева;
доктор физико-математических наук профессор В.Д.Кревчик;
доктор физико-математических наук профессор В.А.Маргулис
Шорохов А.В.
Ш796
Кинематика : учеб. пособие / А. В. Шорохов. – Саранск : Изд-во
Мордов. ун-та, 2010. – 52 с.
ISBN 978–5–7103
Учебное пособие содержит систематическое изложение кинематики, являющейся
первой частью курса теоретической механики. Основные теоретические положения проиллюстрированы примерами. Методы решения задач показаны на типовых примерах.
Предназначено для студентов физических специальностей.
УДК 531.1
ББК В2
Учебное издание
ШОРОХОВ Алексей Владимирович
КИНЕМАТИКА
Учебное пособие
Печатается в авторской редакции в соответствии с представленным
оригинал-макетом
Подписано в печать
Формат 68 × 84 1/16. Усл. печ. л. 3,02. Тираж 100 экз. Заказ №
.
Издательство Мордовского университета
Типография Издательства Мордовского университета
430005, Саранск, ул. Советская, 24
ISBN 5-7103-1137-5
c Шорохов А.В., 2010
⃝
c Оформление. Издательство
⃝
Мордовского университета, 2010
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Глава 1. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ . . 6
1. Векторный способ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Координатный способ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3. Естественный способ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Глава 2. ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В РАЗЛИЧНЫХ
СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1. Движение материальной точки в полярных координатах . . . . 16
2. Движение материальной точки в криволинейных координатах 19
Глава 3. КИНЕМАТИКА СЛОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ
ТОЧКИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1. Сложение скоростей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Сложение ускорений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 4. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА . . . . .
1. Степени свободы. Обобщенные координаты системы. Связи .
2. Кинематика простейших движений абсолютно твердого тела .
2.1 Поступательное движение абсолютно твердого тела . . . . . . .
2.1 Вращательно движение абсолютно твердого тела
25
26
33
33
36
36
вокруг неподвижной оси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3. Углы Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Глава 5. КИНЕМАТИКА ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.
2.
3.
4.
5.
Общая характеристика плоскопараллельного движения . . . . .
Скорости точек плоской фигуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Мгновенный центр скоростей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ускорение точек плоской фигуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Мгновенный центр ускорений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
42
44
46
50
52
1
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теоретическая механика является одной из важнейших частей курса
теоретической физики, поскольку, во-первых, именно в данном курсе формулируются основные понятия всей теоретической физики, а во-вторых, изучаемые методы теоретической механики, например, лагранжев формализм,
обладают достаточной общностью и лежат в основе других фундаментальных дисциплин. Поэтому освоение студентами курса теоретической механики
является условием понимания остальных разделов теоретической физики.
Несмотря на наличие большого числа учебников по данному курсу, студенты часто испытывают проблемы с усвоением нужного материал, так как
существующие учебники, стремясь максимально строго и полно изложить
основы механики, делают изложенный материал чрезвычайно громоздким и
трудно читаемым. И такой разрыв между объемом и и содержанием лекционного материала и существующих учебников все увеличивается. Кроме
того, существующие задачники по теоретической механики, как правило, не
связаны непосредственно с содержанием того или иного учебника, поэтому
студенты испытывают сложности с поиском необходимого для решения задач теоретического материала. Тем более это касается курса теоретической
механики, предназначенного студентам физических специальностей, для которых важнейшим моментом обучения является использование полученных
теооретических знаний для решения практических задач.
В пособии компактно и, в то же время, с достаточной строгостью, изложена первая часть курса теоретической механики ”Кинематика”. Особенно
подробно изложены такие вопросы, традиционно вызывающие сложность при
их изучении, как ”сложное движение материальной точки” и ”плоскопараллельное движение”. Излагаемый по каждому разделу теоретический материал проиллюстрирован примерами и типовыми задачами, что должно помочь
приобретению практических навыков и лучшему усвоению теории.
Содержание пособия соответствует полной программе курса теоретической механики для студентов специальности ”Физика”. По данному пособию
студенты могут проверить и дополнить свои лекционные записи. В результате студенты должны свободно ориентироваться в теоретических вопросах
кинематики и быть способны свободно читать существующие учебники по
теоретической механике.
ВВЕДЕНИЕ
Теоретическая механика занимается изучением механического движения макроскопических тел. Под механическим движением понимается изменение положения тела в пространстве относительно некоторого выбранного
тела, называемого телом отсчета. При этом подразумевается, что скорость
движения тел мала по сравнению со скоростью света. Механическое движение происходит в пространстве (изменяется положение тел друг относительно друга) и во времени (изменение относительного расположения обладает
длительностью), существование которых постулируется. Пространство и время в классической механике считаются абсолютными, то есть пространство
является трехмерным евклидовым пространством, а время – непрерывно изменяющейся величиной, текущей от прошлого к будущему. Абсолютное пространство изотропно и однородно, а абсолютное время однородно, одномерно
и одинаково во всем пространстве. Связав с телом отсчета систему координат
и дополнив часами, получим систему отсчета. Заметим, что в классической
механике пространство и время являются независимыми.
Теоретическая механика, как и любая другая наука, использующая математический аппарат, имеет дело не с реальными телами, а с их моделями.
Такими моделями в механике являются модели материальной точки, системы
материальных точек, абсолютно твердого тела, сплошной среды. При построении модели у реальных тел оставляют только главные, определяющие свойства и отбрасывают второстепенные, то есть происходит идеализация объекта. Выбор адекватной модели для конкретной задачи является искусством
исследователя.
В основе теоретической механике лежат принципы (постулаты), которые принимаются на веру без доказательств, как обобщение опытных фактов.
При этом сама наука строится дедуктивным методом. Исходя из принципов,
путем строгих математических выводов возводится все здание классической
механики.
Движение одного и того же тела в разных системах отсчета будет выглядеть по-разному (соответственно будут разными и законы движения). Наиболее просто движение выглядит в системах отсчета, называемых инерциальными. Существование инерциальных систем отсчета постулируется и составляет основное содержание первого принципа классической механики –
3
принципа относительности Галилея.
Принцип относительности Галилея [1]. Существуют системы координат (называемые инерциальными), обладающие следующими свойствами.
1. Все законы природы во все моменты времени одинаковы во всех инерциальных системах координат.
2. Все системы координат, движущиеся относительно инерциальной равномерно и прямолинейно, инерциальны.
В инерциальных системах отсчета изолированное тело либо покоится, либо
движется равномерно и прямолинейно.
Прежде чем рассматривать законы движения механических объектов,
необходимо научиться описывать его движение в пространстве и времени,
то есть определиться со способом задания положения объекта относительно
выбранной системы отсчета. Решению этой задачи посвящен первый раздел
теоретической механики, называемый кинематика. В кинематике движение
описывается только с геометрической точки зрения, отвлекаясь от вопроса о
причинах его возникновения.
Глава 1
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ
ТОЧКИ
Простейшей моделью классической механики является модель материальной точки, под которой понимается тело, размерами которого можно
пренебречь при описании его движения. Можно или нет считать тело материальной точкой зависит от конкретной задачи. Например, Землю можно
считать материальной точкой, если мы рассматриваем её движение вокруг
Солнца. В то же время если рассматривается движение искусственного спутника Земли, то необходимо учитывать реальную форму Земли.
Рассмотрим кинематику (от др.греч. κινηµα – движение) материальной точки. Кинематически описать движение материального объекта – это
значит указать способ задания положения объекта относительно выбранной
системы отсчета и определить важнейшие механические характеристики движения – траекторию, скорость и ускорение. Существуют три способа задания
движения материальной точки: векторный, координатный и естественный.
1. Векторный способ.
При векторном способе движение материальной точки задается радиусвектором ⃗r, направленным из центра системы координат, связанной с неподвижным телом отсчета.
Конец радиус-вектора с течением времени описывает траекторию
M
движения точки (траектория – это
r
Dr
совокупность всех положений, после-
r
M1
1
довательно занимаемых материальной точкой при ее движении в про-
O
Рис. 1. Векторный способ задания движения
странстве). При этом важно отметить, что в классической механике
функция ⃗r(t) всегда непрерывна. Таким образом, если мы найдем зави-
симость ⃗r = ⃗r(t), то опишем движение точки.
Пусть материальная точка движется из точки M , положение которой
5
задается радиус-вектором ⃗r(t) в точку M1 , описываемую радиус-вектором
−−−→
⃗r1 ≡ ⃗r(t + ∆t) по некоторой дуге M M1 (рис. 1). Вектор M M1 = ⃗r1 − ⃗r, соединяющий начальное и конечное положения точки, называется вектором
перемещения, а длина дуги M M1 – пройденным путем. Заметим, что пройденный путь совпадает с перемещением только тогда, когда материальная
точка движется прямолинейно в одну сторону.
Определим среднюю скорость движения точки как отношение перемещения к промежутку времени, за который это перемещение произошло:
⃗vcp =
∆⃗r
.
∆t
(1)
В пределе ∆t → 0 получим мгновенную скорость (или просто скорость) материальной точки ⃗v как отношение бесконечно малого приращения
радиус-вектора d⃗r к бесконечно малому промежутку времени dt, за который
произошло перемещение точки:
⃗v =
d⃗r
= ⃗r˙.
dt
(2)
Очевидно, что вектор скорости направлен по касательной к траектории движения.
Аналогично определим среднее ускорение материальной точки
w
⃗ cp =
∆⃗v
∆t
(3)
и мгновенное ускорение (или просто ускорение), характеризующее быстроту
изменения вектора скорости
d⃗v
d2⃗r
w
⃗=
= 2 = ⃗v˙ = ⃗r¨.
dt
dt
(4)
2. Координатный способ
При координатном способе задания движения положение материальной точки в пространстве определяется тремя независимыми координатами.
Рассмотрим сначала декартову прямоугольную систему координат с неподвижными ортами ⃗i, ⃗j, ⃗k. Положение материальной точки в такой системе
описывается координатами x, y, z (рис. 2). Соответственно уравнения движе6
ния будут иметь следующий вид:


 x = x(t),
y = y(t),


z = z(t).
(5)
Радиус-вектор материальной точки в этом случае непосредственно
z
M(x,y,z)
выражается через ее координаты
⃗r(t) = x(t)⃗i + y(t)⃗j + z(t)⃗k.
r
(6)
Если исключить из уравнений
движения (5) время, то получим
k
i
уравнение траектории.
y
Oj
При этом скорость материальной точки определяется выражением
x
d⃗r
dx
dy
dz
= ⃗i + ⃗j + ⃗k =
dt
dt
dt
dt
(7)
= vx⃗i + vy⃗j + vz⃗k.
⃗v =
Рис. 2. Координатный способ задания движения материальной точки.
Здесь vx , vy , vz – проекции вектора скорости на соответствующие координатные оси.
Скорость материальной точки может быть также описана ее абсолютной величиной
v = |⃗v | =
√
vx2 + vy2 + vz2
(8)
и направлением относительно координатных осей c помощью направляющих
косинусов, задающих косинусы углов между вектором скорости и соответствующими ортами
vx
vy
vz
cos(⃗v ,⃗i) = , cos(⃗v , ⃗j) = , cos(⃗v , ⃗k) = .
v
v
v
(9)
Ускорение может быть описано способом, аналогичным скорости:
w
⃗=
dvx⃗ dvy ⃗ dvz ⃗
d⃗v
=
k = wx⃗i + wy⃗j + wz⃗k.
i+
j+
dt
dt
dt
dt
Абсолютная величина ускорения определяется формулой
√
w = |w|
⃗ = wx2 + wy2 + wz2 ,
(10)
(11)
7
а его направление относительно координатных осей также можно задать c помощью направляющих косинусов, которые определяют косинусы углов между вектором ускорения и соответствующими ортами:
wx
wy
wz
cos(w,
⃗ ⃗i) =
, cos(w,
⃗ ⃗j) =
, cos(w,
⃗ ⃗k) =
.
w
w
w
(12)
3. Естественный способ.
Данный способ описания движения применяется тогда, когда известна
траектория движения материальной точки. Отметим на кривой начало отсчета (точка O) и выберем положительное направление отсчета. Тогда каждому положению точки M будет соответствовать криволинейная координата
s = s(t) (рис. 3а). Зависимость s(t) будет являться уравнением движения
материальной точки.
-
O
O
M
s=s(t)
Ds
Dr
M
M1
+
а
б
Рис. 3. Естественный способ задания движения.
Найдем скорость и ускорение материальной точки при естественном
способе задания движения. Вначале определим среднюю скорость:
⃗vcp =
∆⃗r
∆⃗r ∆s
=
.
∆t
∆s ∆t
(13)
Здесь ∆s – путь, пройденный материальной точкой за время ∆t (рис. 3б).
Перейдем к пределу ∆t → 0, чтобы получить мгновенную скорость:
∆s d⃗r ds
∆⃗r
lim
=
= ⃗τ v.
∆s→0 ∆s ∆t→0 ∆t
ds dt
⃗v = lim ⃗vcp = lim
∆t→0
(14)
Здесь v = ds/dt – абсолютная величина скорости, а ⃗τ = d⃗r/ds – единичный вектор, касательный к кривой s в точке M и коллинеарный с вектором
скорости.
8
Найдем ускорение материальной точки, воспользовавшись его определением:
w
⃗=
d⃗v
d
dv d⃗τ
= (⃗τ v) = ⃗τ
+ v.
dt
dt
dt
dt
(15)
Покажем, что вектор d⃗τ /dt ортогонален вектору ⃗τ и найдем его абсолютное значение.
Для этого рассмотрим произвольный
Da0
a0
Df
единичный вектор ⃗a0 , направление которого
меняется с течением времени. Так как норма вектора ⃗a0 равна единице, то справедливо
соотношение a⃗0 2 = a⃗0⃗a0 = 1. Продифферен-
a0
цируем обе части данного тождества по времени. В результате получим
Рис. 4. Поворот единичного вектора
2⃗a0
d⃗a0
= 0.
dt
(16)
Отсюда следует, что векторы a⃗0 и da⃗0 /dt взаимно ортогональны. Теперь пусть
за время ∆t вектор ⃗a0 повернулся на угол ∆φ (рис. 4).
Считая угол поворота ∆φ малым, получим (см. рис. 4)
∆⃗a0 = a0 sin ∆φ ≈ ∆φ .
2 2
2
(17)
Следовательно, |∆⃗a0 | ≈ ∆φ. Разделим обе части данного соотношения
на ∆t и устремим ∆t к нулю ∆t → 0. Тогда получим
d⃗a0 dφ
dt = dt = ω,
(18)
где ω = dφ/dt – угловая скорость вращения вектора ⃗a0 .
Вернемся к нашей задаче. Из приведенного выше доказательства следует, что
d⃗τ
= ⃗nω,
dt
(19)
где ⃗n – вектор главной нормали к траектории движения точки, лежащий (как
и вектор ⃗τ ) в соприкасающейся плоскости [2] (рис. 5).
9
Таким образом, движение ма-
V
териальной точки можно представить в виде поступательного движе-
M t
ния вдоль касательной со скоростью
n
v и мгновенного вращения с угловой
Соприкасающаяся
плоскость
скоростью ω, которую можно выразить через радиус кривизны траектории и абсолютную скорость матери-
Рис. 5. Соприкасающаяся плоскость.
альной точки:
ω = 2πν =
v
2πv
= .
2πρ ρ
(20)
Здесь ρ – радиус кривизны траектории, совпадающий с радиусом соприкасающейся окружности в данной точке кривой, ν – частота движения при
равномерном движении точки по окружности.
Формулу (19) можно переписать в следующем виде:
d⃗τ
(21)
=ω
⃗ × ⃗τ ,
dt
если заметить, что векторы ⃗τ и ⃗n ортогональны, а вектор ω
⃗ перпендикулярен
мгновенной плоскости вращения.
С учетом вышесказанного перепишем ускорение (15) в следующем виде:
dv
v2
w
⃗ = ⃗τ
+ ⃗n = w
⃗τ + w
⃗ n.
dt
ρ
(22)
Формула (22) выражает теорему Гюйгенса: ускорение точки
при криволинейном движении равно геометрической сумме тангенциального ускорения w
⃗ τ и нормального
V
M t
n
ускорения w
⃗ n . Тангенциальное уско-
wt
w
wn
рение характеризует быстроту измеРис. 6. Ускорение при криволинейном движенения величины модуля скорости, а нии
нормальное – быстроту изменения направления скорости. При этом тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории (если wτ > 0,
то w
⃗ τ ↑↑ ⃗v , если wτ < 0, то w
⃗ τ ↑↓ ⃗v ), а нормальное – вдоль вектора главной
нормали к центру кривизны траектории (рис. 6).
10
Поскольку векторы тангенциального и нормального ускорения взаимно
ортогональны, то полное ускорение будет направлено вдоль диагонали прямоугольника, составленного из данных векторов, а его модуль определится
по формуле
w=
√
wτ2 + wn2
(23)
Если wτ = 0, то движение будет равномерным, то есть происходить с
постоянной по модулю скоростью. Если wn = 0 (v ̸= 0, то есть ρ = ∞),
то движение будет прямолинейным. Движение, при котором wτ = wn = 0
(v ̸= 0), называется равномерным прямолинейным движением. Заметим, что
любое криволинейное движение является ускоренным.
Пример 1.1
Одним из простейших случаев криволинейного движения является движение материальной точки по окружности. Рассмотрим точку M движущуюся по окружности радиуса R. Тогда за время ∆t она пройдет вдоль дуги
окружности путь σ = Rφ (рис. 7). В данном случае σ будет являться криволинейной координатой. Найдем скорость точки и ускорение точки M согласно
формулам (14) и (22) соответственно:
⃗v = v⃗τ = σ̇⃗τ = Rφ̇⃗τ = Rω⃗τ ;
w
⃗ τ = v̇⃗τ = Rφ̈⃗τ = Rω̇⃗τ = Rε⃗τ , w
⃗n =
v2
⃗n = ω 2 R⃗n.
R
(24)
(25)
Величина ε = ω̇ называется
угловым ускорением. Найдем полное
wt
w
M
wn
f
s
O
ускорение точки:
√
√
w = wτ2 + wn2 = R ε2 + ω 4 . (26)
При равномерном движении по окружности ε = 0. Тогда полное ускорение
w = Rω 2 .
Задача 1.1. Найти уравнение траектории, скорость v, тангенциальное ускорение wτ , нормальное
Рис. 7. Движение точки по окружности
ускорение wn , абсолютную величину
11
ускорения w, а также радиус кривизны траектории ρ для момента времени
t = 2с, если уравнения движения материальной точки имеют вид
{
x = 2 sin( πt
8 ) − 3(см),
y = 3 cos( πt
8 ) + 4(см).
(27)
Для нахождения уравнения траектории исключим из уравнений движения время:
{
x+3
πt
2 = sin( 8 ),
y−4
3
(x + 3)2 (y − 4)2
2 πt
2 πt
=⇒
+
=
sin
+
cos
= 1.
4
9
8
8
= cos( πt
).
8
(28)
Следовательно, траекторией движения точки является эллипс с полуосями
a = 2, b = 3 и с центром в точке (−3, 4).
Найдем проекции скорости на оси координат:
πt
3π
πt
dx π
= cos , vy = − sin .
dt
4
8
8
8
Абсолютное значение скорости
√
√
π2
πt 9π 2 2 πt
2
2
2
v = vx + vy =
cos
+
sin
≈ 1 см/с.
16
8
64
8
Найдем тангенциальное ускорение
vx =
dv
sin(πt/4)
5π 2
√
wτ =
≈ 0, 1 см/с2
=
2
2
dt
256 cos (πt/8) + 2.25 sin (πt/8)
(29)
(30)
(31)
Найдем нормальное ускорение. Для этого вначале вычислим модуль
полного ускорения материальной точки через его проекции на оси x и y:
wx =
dvx
π2
πt
= − sin
≈ −0, 2 см/с2 ,
dt
32
8
3π 2
πt
dvy
=−
cos
≈ −0, 3 см/с2 .
wy =
dt
64
8
Тогда полное ускорение
√
w = wx2 + wy2 ≈ 0, 36 см/с2 .
(32)
(33)
(34)
Теперь выразим полное ускорение через его проекции (нормальное ускорение и тангенциальное ускорение) на две другие взаимно ортогональные оси
√
w = wτ2 + wn2 . Отсюда
√
wn = w2 − wτ2 ≈ 0, 35 см/с2 .
(35)
12
Заметим, что нормальное ускорение можно вычислить и по стандартной формуле wn = v 2 /ρ, используя хорошо известные математические соотношения,
определяющие радиус кривизны траектории [2]. Однако удобнее сначала вычислить тангенциальное ускорение, а лишь затем найти радиус кривизны
траектории ρ = v 2 /wn . В нашем случае ρ ≈ 2, 86 см. Задача 1.2. Движение груза 1
описывается уравнением x = c2 t2 +
R2
+ c1 t + c0 , где t – время, а c0 , c1 ,
r2
c2 – постоянные. В начальный момент (t0 = 0) координата груза x0 =
1
= 10 см, а его скорость v0 = 8 см/с.
В момент t2 = 5 с координата гру-
x
за x2 = 150 см. Определить коэффициенты c0 , c1 и c2 , при которых
R3
осуществляется движение груза 1, а
r3
также вычислить скорость и ускорение груза 1 и точки M для момента времени t1 = 4 с, если r2 = 20 см,
M
R2 = 40 см, r3 = 30 см и R3 = 60 см.
Вычислим скорость груза 1,
Рис. 8. Рисунок к задаче 1.2
который совершает поступательное
движение v = dx/dt = 2c2 t + c1 . Най-
дем коэффициенты c0 , c1 и c2 из следующей системы уравнений:

2

 x0 = c2 t0 + c1 t0 + c0 ,
x2 = c2 t22 + c1 t2 + c0 ,


v0 = 2c2 t0 + c1 .
(36)
Подставляя в эту систему данные, приведенные в условии задачи, получим c0 = 10, c1 = 8, c2 = 4, 4. Таким образом, уравнение движения груза
имеет следующий вид:
x = 4, 4t2 + 8t + 10(см),
(37)
а его скорость и ускорение
v = 8, 8t + 8 (см/с),
w=
dv
= 8, 8 (см/с2 ).
dt
(38)
13
Следовательно, движение груза 1 равноускоренное.
Найдем скорость и ускорение груза в момент времени t1 = 4 с: v1 =
43, 2 см/с, w1 = 8, 8 см/с2 .
Теперь рассмотрим точку M , которая совершает круговое движение.
Угловая скорость верхнего шкива ω2 = v/R2 = 0, 22t + 0.2 в момент времени t1 = 4 с равна: ω2 = 1, 08 с−1 . Тогда скорость ремня vr = ω2 r2 =
4, 4t + 4 в момент времени t1 равна 21, 6 см/с. Так как скорость всех точек ремня одинакова, то его скорость будет передаваться и точкам нижнего
шкива, соприкасающимся с ним. Отсюда угловая скорость нижнего шкива
ω3 = vr /r3 = 0, 15t + 0, 13 в момент времени t1 равна 0, 73 с−1 . Скорость
точки M в этом случае равна vM = ω3 R3 = 4, 2 см/с. Найдем угловое ускорение точки M : εM = ω˙3 = 0, 15 с−2 . Тогда тангенциальное ускорение точки
wτ = R3 ε = 9 см/с2 , а нормальное ускорение wn = ω32 R3 = 1, 35 см/с2 . И,
√
наконец, полное ускорение точки M : wM = wτ2 + wn2 = 9, 1 см/с2 . Глава 2
ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА
Часто при решении конкретной задачи бывает удобно пользоваться не
декартовой системой координат, а криволинейной системой, в которой движение материальной точки может выглядеть проще. Такое часто случается,
когда система обладает той или иной симметрией. Рассмотрим вначале движение материальной точки в полярных координатах, а затем рассмотрим
общий случай произвольных криволинейных координат.
1. Движение материальной точки в полярных координатах.
Пусть материальная точка движется в некоторой плоскости xOy (рис. 9).
Движение точки, происходящее в
y
неподвижной плоскости, часто опи-
M
сывают с помощью полярных координат: расстояния r от точки до полю-
r
са O и угла φ между полярной осью
(x) и отрезком, соединяющим полюс
p0
r0
f
и рассматриваемую точку. Уравне-
x
O
ния движения материальной точки в
полярных координатах имеют вид:
{
r = r(t),
(39)
Рис. 9. Движение материальной точки в поφ = φ(t).
dp0
dt
лярных координатах
Полярные и декартовы координаты связаны между собой очевидными
соотношениями x = r cos φ, y = r sin φ.
Найдем скорость и ускорение точки M . Пусть ⃗r0 – единичный вектор,
направленный вдоль радиус-вектора, соединяющего полюс и точку M . Найдем скорость согласно ее определению:
⃗v =
d
dr d⃗r0
d⃗r
= (⃗r0 r) = ⃗r0 +
r.
dt
dt
dt
dt
(40)
Производная от единичного вектора ⃗r0 определяется формулой (18):
dφ
d⃗r0
= p⃗0 ,
dt
dt
(41)
15
где p⃗0 – единичный вектор, повернутый против часовой стрелки на угол π/2
относительно вектора ⃗r0 . Оси, задаваемые единичными векторами ⃗r0 и p⃗0 ,
называются радиальной и трансверсальной соответственно. В результате получим следующее выражение для скорости материальной точки в полярных
координатах
⃗v =
d
(⃗r0 r) = ⃗r0 ṙ + p⃗0 rφ̇ = ⃗vr + ⃗vφ .
dt
(42)
Проекция скорости на радиальную ось vr = ṙ называется радиальной
скоростью. Она характеризует быстроту изменения длины полярного радиуса r. Проекция скорости на трансверсальную ось vφ = rφ̇ называется трансверсальной (поперечной) скоростью. Она характеризует быстроту изменения
направления движения точки.
Теперь вычислим ускорение материальной точки:
d⃗v
d2 r d⃗r0 dr
d2 φ
dr dφ d⃗p0 dφ
w
⃗=
= ⃗r0 2 +
+ p⃗0 r 2 + p⃗0
+
r .
dt
dt
dt dt
dt
dt dt
dt dt
(43)
Подставим в данную формулу производные от единичных векторов
d⃗r0 /dt = p⃗0 dφ/dt и d⃗p0 /dt = −⃗r0 dφ/dt, получим
[
( )2 ]
[ 2
]
2
dr
dφ
dφ
dr dφ
w
⃗ = ⃗r0
−r
+ p⃗0 r 2 + 2
=w
⃗r + w
⃗ φ.
dt2
dt
dt
dt dt
(44)
Здесь wr = r̈ − rφ̇2 = v̇r − ω 2 r – радиальное ускорение, wφ = rφ̈ + 2ṙφ̇ =
= εr + 2ωvr – √
трансверсальное ускорение. Соответственно модуль полного
ускорения w = wr2 + wφ2 .
Таким образом, движение материальной точки, описываемое в полярных координатах, является сложным движением, состоящим из поступательного движения по радиусу со скоростью vr и вращательного движения с угловой скоростью ω.
Иногда бывает удобно использовать понятие секторной скорости, которая определяется следующей формулой:
1
V⃗sec = ⃗r × ⃗v .
2
(45)
Очевидно, что выражение dσ = (1/2)|⃗r × d⃗r| представляет собой площадь сектора, очерчиваемого радиус-вектором при перемещении точки на
16
dr
r
V
ds
df
Vsec
r
r
O
O
б
а
Рис. 10. Секторная скорость
d⃗r (рис. 10а). Тогда модуль секторной скорости Vsec равен скорости, с которой изменяется площадь, очерчиваемая радиус-вектором материальной точки (рис. 10б). Выражение для модуля секторной скорости можно переписать и
в другом виде, заметив, что dσ = r · rdφ/2 (рис. 10а). Тогда модуль секторной
скорости Vsec = r2 φ̇/2.
Задача 2.1[6, с. 8]. Точка движется по плоской траектории с постоянной секторной скоростью, причем величина линейной скорости точки обратно
пропорциональна ее расстоянию ρ от начала координат. Найти уравнение траектории, уравнения движения ⃗r(t) и ускорение точки как функцию ρ, если
⃗r(0) = ⃗r0 , ⃗v (0) = ⃗v0 .
По условию задачи
Vsec = ρ2 φ̇/2 = const
(46)
и величина линейной скорости v обратно пропорциональна расстоянию ρ от
начала координат v = a/ρ (a = const). В полярных координатах модуль
скорости материальной точки можно найти, используя формулу (42):
a2
v = 2 = ρ̇2 + ρ2 φ̇2 .
ρ
2
(47)
Исключим из уравнений (46) и (47) φ̇, получим
2
a2
4Vsec
ρ̇ + 2 = 2 .
ρ
ρ
2
(48)
Разделим в данном уравнении переменные
∫ρ
ρdρ =
ρ0
∫t √
2 dt,
a2 − 4Vsec
(49)
2 t.
a2 − 4Vsec
(50)
0
получим
ρ2 = ρ20 + 2
√
17
Теперь найдем φ, подставив данное выражение в (47)
φ̇ =
2V
√ sec
2 t
ρ20 + 2 a2 − 4Vsec
(51)
и разделив в полученной формуле переменные
∫φ
∫t
dφ = 2Vsec
φ0
0
ρ20 + 2
√
dt
.
2 t
a2 − 4Vsec
(52)
В результате получим
ρ20 + 2
Vsec
φ=√
ln
2
a2 − 4Vsec
√
2 t
a2 − 4Vsec
+ φ0 .
ρ0
(53)
Исключив из уравнений (50) и (53) время, получим уравнение траектории
[√
]
2
a2 − 4Vsec
ρ = ρ0 exp
(φ − φ0 ) .
(54)
2Vsec
Найдем трансверсальное ускорение, используя его определение и формулу
(46):
wφ = ρφ̈ + 2ρ̇φ̇ = 0.
(55)
Таким образом, ускорение имеет только радиальную составляющую wρ :
a2
wρ = ρ̈ − ρφ̇ = − 3 .
ρ
2
(56)
Постоянные vsec и a находятся из начальных условий:
1
Vsec = ρ0 v0 sin α,
2
a = ρ0 v0 .
(57)
2. Движение материальной точки в криволинейных
координатах
Рассмотрим общий случай движения материальной точки в произвольных криволинейных координатах. Пусть ⃗e1 , ⃗e2 , ⃗e3 – базисные векторы некоторой криволинейной системы координат. В этом случае любой вектор в пространстве R3 , в том числе и радиус-вектор материальной точки ⃗r, может быть
18
разложен в данный момент времени по базисным векторам криволинейной
системы
(58)
⃗r = q1⃗e1 + q2⃗e2 + q3⃗e3 .
Коэффициенты разложения qi (i = 1, 2, 3) называются криволинейными (обобщенными) координатами точки, в отличие от прямолинейных декартовых, и однозначно определяют ее положение в пространстве. Наиболее
известными примерами криволинейных координат являются полярные, цилиндрические и сферические координаты.
Между прямолинейными и криволинейными координатами должна существовать взаимооднозначная функциональная зависимость



x
=
x(q
,
q
,
q
),

1 2 3

 q1 = q1 (x, y, z),
y = y(q1 , q2 , q3 ),
q2 = q2 (x, y, z),




z = z(q1 , q2 , q3 ).
q3 = q3 (x, y, z).
(59)
Все функции, входящие в данные соотношения должны быть гладкими, и
соответствующий Якобиан не равен нулю
∂q ∂q
2
1
∂x
∂x
∂(q1 , q2 , q3 ) ∂q1 ∂q2
= ∂y ∂y
∂q ∂q
∂(x, y, z)
2
1
∂z
∂z
∂q3
∂x
∂q3
∂y
∂q3
∂z .
̸= 0
(60)
Рассмотрим более подробно геометрические характеристики криво-
q3
линейных координат (рис. 11). Для
q = const
2
e1
ку M0 (q01 , q02 , q03 ) в пространстве и
e2
проведем через нее концом радиус-
M0
q = const
3
q1
этого возьмем произвольную точ-
e3 q1 = const
вектора три координатные линии,
q2
фиксируя поочередно значения двух
координат из трех. Например, первая координатная линия описыва-
r =
Рис. 11. Движение материальной точки в ется концом радиус-вектора ⃗
криволинейных координатах
= ⃗r(q1 , q02 , q03 ). Такая линия будет
являться годографом вектора ⃗r, образованного непрерывным изменением ⃗r
19
при непрерывном изменении только первой криволинейной координаты. Проведя касательные к этим линиям в точке M0 , получим координатные оси
криволинейной системы координат. Единичные векторы координатных осей
и будут являться базисными векторами ⃗ei (i = 1, 2, 3) криволинейной системы
координат. При этом поверхности q1 = const, q2 = const, q3 = const называются координатными поверхностями. Если векторы ⃗ei взаимно ортогональны,
то криволинейные координаты называют ортогональными.
Из сказанного выше очевидно, что частные производные ∂⃗r/∂qi совпадают по направлению с соответствующими единичными векторами криволинейной системы ⃗ei :
∂⃗r
= Hi⃗ei ,
∂qi
(61)
где множители Hi называются коэффициентами Ламе. Как следует из (61),
коэффициенты Ламе равны:
√( )2 ( )2 ( )2
∂⃗r ∂y
∂z
∂x
+
+
,
Hi = =
∂qi
∂qi
∂qi
∂qi
(62)
где было использовано, что
∂x⃗ ∂y ⃗ ∂z ⃗
∂⃗r
=
i+
j+
k.
∂qi
∂qi
∂qi
∂qi
(63)
Найдем скорость материальной точки в ортогональных криволинейных
координатах. Согласно определению скорости
∑ ∂⃗r
d⃗r
∂⃗r
∂⃗r
∂⃗r
⃗v =
=
q̇1 +
q̇2 +
q̇3 =
q̇i .
dt
∂q1
∂q2
∂q3
∂q
i
i=1
3
(64)
Производные q̇i называются обобщенными скоростями. Принимая во внимания (61), получим
3
3
∑
∑
∂⃗r
⃗v =
q̇i =
Hi q̇i⃗ei .
∂q
i
i=1
i=1
(65)
Таким образом, проекции скорости на оси криволинейной системы координат
вычисляются по формулам
vi = Hi q̇i .
20
(66)
Вычислим ускорение точки в криволинейных ортогональных координатах. Ортогональные проекции ускорения wi на направления единичных векторов ⃗ei равны скалярному произведению wi = w⃗
⃗ ei :
[ (
)
( )]
d⃗v
1 d⃗v ∂⃗r
1 d
∂⃗r
d ∂⃗r
wi = ⃗ei =
=
⃗v
− ⃗v
.
dt
Hi dt ∂qi
Hi dt
∂qi
dt ∂qi
Учитывая, что
( )
d ∂⃗r
∂ 2⃗r
∂ 2⃗r
∂ 2⃗r
=
q̇1 +
q̇2 +
q̇3 ,
dt ∂qi
∂qi ∂q1
∂qi ∂q2
∂qi ∂q3
(67)
(68)
и дифференцируя (65) по криволинейным координатам
∂ 2⃗r
∂ 2⃗r
∂ 2⃗r
∂⃗v
=
q̇1 +
q̇2 +
q̇3 ,
∂qi
∂q1 ∂qi
∂q2 ∂qi
∂q3 ∂qi
получим из сравнения (68) и (69)
( )
d ∂⃗r
∂⃗v
=
.
dt ∂qi
∂qi
(69)
(70)
Теперь продифференцируем (65) по обобщенным скоростям, получим
∂⃗r
∂⃗v
=
.
∂qi
∂ q̇i
Подставляя (70) и (71) в (67), получим для проекций ускорения
[ (
)
]
1 d
d⃗v
∂⃗v
wi =
⃗v
− ⃗v
.
Hi dt
dq̇i
∂qi
(71)
(72)
Если ввести обозначение T = v 2 /2, то выражение для wi можно записать в более простом виде:
[
]
∂T
1 d ∂T
−
.
wi =
Hi dt ∂ q̇i ∂qi
(73)
Таким образом, для вычисления ускорения точки в криволинейных ортогональных координатах необходимо сначала найти коэффициенты Ламе,
затем вычислить квадрат скорости точки v 2 = H12 q̇12 + H22 q̇22 + H32 q̇32 , а потом
найти проекции ускорения по формуле (73).
Пример 2.1. Найдем скорость и ускорение материальной точки в сферической системе координат. Положение точки задается в сферической системе тремя криволинейными координатами: q1 = r (r ≥ 0) – расстоянием до
начала координат, полярным q2 = φ (0 ≤ φ ≤ 2π) и азимутальным углами
q3 = θ (0 ≤ θ ≤ π) соответственно (рис. 12).
21
Декартовы координаты выра-
z
жаются через сферические следующими соотношениями:


 x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,


z = r cos θ.
ef
er
M(r,f,q)
eq
(74)
q
r
O
Найдем коэффициенты Ламе
f
по формуле (62), получим
H1 = Hr = 1, H2 = Hφ =
y
x
= ρ sin θ, H3 = Hθ = r.
Теперь найдем проекции скоро-
Рис. 12. Сферическая система координат.
сти согласно (66)
vr = ṙ,
vφ = rφ̇ sin θ,
vθ = rθ̇,
(75)
а также квадрат скорости
v 2 = ρ̇2 + ρ2 φ̇2 sin2 θ + ρ2 θ̇2 .
(76)
Вычислим производные ∂T /∂qi и ∂T /∂ q̇i :
∂T
∂T
= r(θ̇2 + φ̇2 sin2 θ),
= ṙ;
∂r
∂ ṙ
∂T
∂T
= 0,
= r2 φ̇ sin2 θ;
∂φ
∂ φ̇
∂T
∂T
= r2 θ̇.
= r2 φ̇2 sin θ cos θ,
∂θ
∂ θ̇
(77)
Подставим полученные производные в (73), чтобы найти проекции ускорения:
wr = r̈ − r sin2 θφ̇2 − rθ̇2 ,
wφ = r sin θφ̈ + 2 sin θṙφ̇ + 2r cos θφ̇θ̇,
wθ = rθ̈ + 2rθ̈ − r sin θ cos θφ̇2 .
(78)
Глава 3
КИНЕМАТИКА СЛОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Иногда бывает удобно описывать движение материальной точки по отношению к двум системам координат, одна из которых, как правило, не является инерциальной. Пусть имеется некоторая неподвижная инерциальная
система отсчета K и система отсчета K1 , движущаяся относительно K по
некоторому заданному закону (рис. 13). Рассмотрим движение точки M относительно данных систем отсчета. Необходимо установить, как связаны между
собой кинематические характеристики движения в подвижной и неподвижной системах отсчета.
Движение точки M относительно K1 называется относительz
M
''K''
1
z
r
R
''K''
r
O'
k
y
Oj
i
ным или собственным движением.
Движение K1 , переносящее точки M
относительно K, называется переносным движением. Движение точки M относительно инерциальной
x
h
системы K называется абсолютным
движением.
Положение системы отсчета K1
x
относительно K задается вектором ρ⃗
⃗ ⃗ ⃗
Рис. 13. Сложное движение материальной и ориентацией ортов i, j, k.
точки
Заметим, что уравнения движения точки имеют разный вид в системах отсчета K и K1


x = x(t), 
ξ
=
ξ(t),



− урав-я движения в K1 . η = η(t), − урав-я движения в K.
y = y(t),




z = z(t),
ζ = ζ(t),
При изучении сложного движения каждое движение рассматривается
по отдельности. Мысленно остановим переносное движение и рассмотрим относительное, тогда координаты точки M (x, y, z) меняются в относительном
движении. Мысленно закрепим точку M с подвижной системой, тогда координаты (x, y, z) – постоянные в переносном движении.
23
1. Сложение скоростей
В классической механике рассматривается движение со скоростями много меньшими скоростей света, поэтому ход времени в системах K и K1 одинаков t = t1 . Вычислим скорость при сложном движении точки. Очевидно,
что
⃗ = ρ⃗ + ⃗r = ρ + x⃗i + y⃗j + z⃗k.
R
Согласно определению скорости
(
) (
)
⃗
d⃗
ρ
d⃗i
d⃗j
d⃗k
dx⃗ dy⃗ dz ⃗
dR
=
+ x +y +z
+
i+ j+ k .
⃗vабс =
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
(79)
(80)
Здесь ⃗vабс – абсолютная скорость материальной точки, то есть ее скорость
относительно неподвижной системы координат. Заметим, что дифференцировать необходимо и орты подвижной системы координат, так как они меняют свое положение в пространстве с течением времени. Последняя скобка
в (80) представляет собой относительную скорость материальной точки ⃗vотн ,
то есть ее скорость относительно подвижной системы координат K1 :
⃗vотн =
dx⃗ dy⃗ dz ⃗
i + j + k,
dt
dt
dt
(81)
а оставшиеся слагаемые в (80) представляют собой переносную скорость, то
есть ту скорость, которую имела бы точка M , если бы она в данный момент
времени была жестко связана с подвижной системой координат:
⃗vпер =
d⃗
ρ
d⃗i
d⃗j
d⃗k
+x +y +z .
dt
dt
dt
dt
(82)
В выражение для переносной скорости входят производные от единичных векторов, чьи координаты зависят от времени. Преобразуем эти производные, используя полученную ранее при изучения естественного способа
задания движения формулу для производной от единичного вектора (21)
d⃗i
=ω
⃗ пер × ⃗i,
dt
d⃗j
=ω
⃗ пер × ⃗j,
dt
d⃗k
=ω
⃗ пер × ⃗k,
dt
(83)
где ω
⃗ пер является мгновенной угловой скоростью вращения подвижной системы отсчета относительно точки О.
24
В результате получим
⃗vпер =
d⃗
ρ
+ω
⃗ пер × ⃗r.
dt
(84)
Таким образом, абсолютную скорость можно записать в виде
⃗vабс = ⃗vпер + ⃗vотн ,
(85)
где ⃗vотн определяется формулой (81), а ⃗vпер – формулой (84).
Рассмотрим частный случай, когда начала координат обоих систем совпадают (например, такая ситуация возникает при рассмотрении движения
гироскопов). В этом случае ρ⃗ = 0 и d⃗
ρ/dt = 0 и, следовательно, абсолютная
скорость будет иметь следующий вид:
⃗vабс =
⃗
dR
d⃗r
= ⃗vотн + ⃗vпер =
+ω
⃗ пер × ⃗r.
dt
dt
(86)
⃗ = ⃗r, и мы получим
Так как начала обеих систем координат совпадают, то R
er
d⃗r
d⃗
=
+ω
⃗ пер × ⃗r.
dt
dt
(87)
Здесь вектор d⃗r/dt является производной вектора ⃗r в неподвижной системе
координат и называется полной или абсолютной производной вектора, а векer/dt является производной вектора ⃗r в подвижной системе координат и
тор d⃗
называется относительной или локальной производной.
2. Сложение ускорений
Найдем абсолютное ускорение материальной точки. Воспользуемся, как
обычно, определением ускорения:
w
⃗ абс =
d⃗vабс
d⃗vотн d⃗vпер
=
+
.
dt
dt
dt
Вначале вычислим производную от относительной скорости
(
) ( 2
)
d⃗vотн
d dx⃗ dy⃗ dz ⃗
d x⃗ d2 y⃗ d2 z ⃗
=
i+ j+ k =
i+ 2j + 2k
dt
dt dt
dt
dt
dt2
dt
dt
(
)
dx d⃗i dy d⃗j dz d⃗k
+
+
+
.
dt dt dt dt dt dt
(88)
(89)
25
Выражение в первой скобке в (89) представляет себой относительное ускорение w
⃗ отн . Преобразуем выражение во второй скобке. Снова воспользуемся
формулой для производной единичного вектора (21), получим
dx d⃗i
dx
=ω
⃗ пер × ⃗i = ω
⃗ пер × (⃗vотн )x⃗i.
dt dt
dt
(90)
dy d⃗j
dy
=ω
⃗ пер × ⃗j = ω
⃗ пер × (⃗vотн )y⃗j,
dt dt
dt
(91)
dz d⃗k
dz
=ω
⃗ пер × ⃗k = ω
⃗ пер × (⃗vотн )z⃗k.
dt dt
dt
(92)
Аналогично
Сложим полученные выражения, получим
dx d⃗i dy d⃗j dz d⃗k
+
+
=ω
⃗ пер × ⃗vотн .
dt dt dt dt dt dt
(93)
Таким образом, полную производную от абсолютной скорости по времени можно представить в виде суммы двух слагаемых:
d⃗vотн
=w
⃗ отн + w
⃗ 1,
dt
(94)
где относительное ускорение имеет вид
w
⃗ отн
d2 x⃗ d2 y⃗ d2 z ⃗
= 2 i + 2 j + 2 k,
dt
dt
dt
(95)
а дополнительное ускорение
w
⃗1 = ω
⃗ пер × ⃗vотн
(96)
возникает из-за влияния переносного движения на относительное, а именно
из-за влияния переносного движения на относительную скорость (при ненулевой ω
⃗ пер вектор относительной скорости поворачивается относительно абсолютной системы координат за счет вращения подвижной системы координат).
Теперь вычислим полную производную по времени от переносной ско26
рости.
[
]
d⃗vпер
d d⃗
ρ
=
+ω
⃗ пер × (x⃗i + y⃗j + z⃗k) =
dt
dt dt
d2 ρ⃗ d⃗ωпер
d
= 2 +
× ⃗r + ω
⃗ пер × (x⃗i + y⃗j + z⃗k) =
dt
dt
dt
2
d ρ⃗
d⃗i
d⃗j
d⃗k
= 2 + ⃗εпер × ⃗r + ω
⃗ пер × (x + y + z )+
dt
dt
dt
dt
2
dx
dy
dz
d ρ⃗
+ω
⃗ пер × ( ⃗i + ⃗j + ⃗k) = 2 + ⃗εпер × ⃗r+
dt
dt
dt
dt
+ω
⃗ пер × ω
⃗ пер × ⃗r + ω
⃗ пер × ⃗vотн .
(97)
Таким образом, производную по времени от относительной скорости можно
представить в виде суммы двух слагаемых, имеющих разный физический
смысл:
d⃗vпер
=w
⃗ пер + w
⃗ 2.
dt
(98)
Здесь
w
⃗ пер =
d2 ρ⃗
τ
n
+w
⃗ пер
+w
⃗ пер
2
dt
(99)
является переносным ускорением, причем по своему смыслу часть переносного ускорения
τ
w
⃗ пер
= ⃗εпер × ⃗r
(100)
является его тангенциальной составляющей, а часть
n
w
⃗ пер
=ω
⃗ пер × ω
⃗ пер × ⃗r
(101)
является его нормальной составляющей.
При этом второе дополнительное слагаемое в (97)
w2 = ω
⃗ пер × ⃗vотн
(102)
описывает влияние относительного движения на переносное (заметим, что
оно по виду совпадает с (96)), а именно, из-за влияния относительного движения на переносную скорость (при ненулевой относительной скорости положение точки в подвижной системе меняется, а значит, меняется и переносная
скорость).
27
Сложив полученные выражения для производных по времени от относительной и переносной скорости, можно записать абсолютное ускорение
материальной точки при сложном движении в следующем виде (теорема Кориолиса):
(103)
w
⃗ абс = w
⃗ отн + w
⃗ пер + w
⃗ кор ,
где дополнительное ускорение
w
⃗ кор = 2 ω
⃗ пер × ⃗vотн
(104)
называется ускорением Кориоли́са и описывает взаимное влияние друг на
друга переносного и относительного движений.
Пример 3.1. Рассмотрим на примере влияние переносного и относительного движений друг на друга. Пусть по радиусу вращающейся платформы движется точка M . Свяжем с платформой неинерциальную систему отсчета K1 , а с поверхностью земли – инерциальную систему отсчета K.
Если бы диск не вращался, то
точка M совершала бы прямолинейное движение со скоростью ⃗vотн отноr
сительно инерциальной системы отсчета. Путь теперь диск вращается с
O
M
угловой скоростью ω
⃗ пер . Тогда будет
v
происходить изменение направления
скорости ⃗vотн в неподвижной системе
ОТН
v
ОТН
wпер
координат K, то есть у точки за счет
переносного движения появится до- Рис. 14. Движение точки по радиусу вращаполнительное ускорение w
⃗1 = w
⃗ n = ющегося диска
=ω
⃗ пер ×⃗vотн , по смыслу нормальное. Теперь рассмотрим влияние относительного движения на переносное. Если бы точки не совершала относительное
движение, то она двигалась бы по окружности со скоростью ⃗vпер = ω
⃗ пер × ⃗r.
Пусть теперь точка движется по радиусу диска. Тогда радиус окружности,
по которой движется точка, будет увеличиваться, то есть появляется добавочное ускорение w
⃗2 = w
⃗τ = ω
⃗ пер × ⃗vотн , по смыслу тангенциальное. Для
доказательства рассмотрим положение точки M в два близких момента вре28
мени:
t:
t + ∆t :
(1)
⃗vпер = ω
⃗ пер × ⃗r,
(2)
⃗vпер = ω
⃗ пер × (⃗r + ∆⃗r).
(105)
Тогда ускорение будет иметь вид:
(2)
(1)
ω
⃗ пер × (⃗r + ∆⃗r) − ω
⃗ пер × ⃗r
⃗vпер − ⃗vпер
= lim
=ω
⃗ пер × ⃗vотн . (106)
w
⃗ 2 = lim
∆t→0
∆t→0
∆t
∆t
Таким образом, дополнительное ускорение w
⃗ кор = 2 ω
⃗ пер ×⃗vотн , возникающее за счет влияния друг на друга относительного и переносного движения,
совпадает с ускорением Кориолиса, как и должно быть.
Задача 3.1. По ободу круглого диска радиуса R = 50 см движется
3π 2
точка M согласно уравнению φ =
t рад (рис. 15а). Диск вращается вокруг
2
оси, перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через точку O, с
угловой скоростью ω = (3+4t) с−1 . Найти абсолютную скорость и абсолютное
ускорение точки M для момента времени t1 = 1 с.
f
O1
M
f
w
w
O
O1
M
O
б
а
Рис. 15. Рисунок к задаче 3.1
Определим, в каком положении находится точка M согласно условию задачи. В момент времени t = 1 с угол φ = 3π/2. Нарисуем правильное
положение точки M (рис. 15б). Найдем направления относительной и переносной скорости. В относительном движении точка движется по окружности
радиуса R с центром в точке O1 , поэтому относительная скорость направлена
по касательной к ободу диска в точке M (рис. 16). В переносном движении
√
точка также движется по окружности, но радиуса r = 2R с центром в точке
O (рис. 16).
Таким образом, по абсолютной величине
vотн = Rφ̇ = R3πt ≈ 471 см/с,
(107)
29
Vпер
Vотн
M
O1
R
135
0
Vабс
r
Vпер
w
Vотн
O
б
а
Рис. 16. Направления скоростей
vпер = rω =
√
2R(3 + 4t) ≈ 495 см/с.
(108)
Заметим, что частота ω по смыслу является переносной, т.е. ω ≡ ωпер .
Найдем абсолютную скорость ⃗vабс , векторно сложив переносную скорость ⃗vпер и относительную скорость ⃗vотн (рис. 16б). По теореме косинусов
√
2 + v 2 − 2v
0
vабс = vотн
(109)
отн vпер cos(135 ) ≈ 891 см/с.
пер
Определим направления ускорений. Удобно разложить каждое из ускорений на тангенциальную и нормальную составляющую, поскольку и относительное и переносное движения представляют собой движение по окружности. На рис. 17a показано направление каждого из ускорений в соответствии
с их физическим смыслом.
Найдем абсолютную величину каждого из ускорений согласно стандартным формулам, полученным при рассмотрении кругового движения:
2
dvотн
vотн
2
n
=
= 3πR ≈ 471 см/с , wотн =
≈ 4437 см/с2 ;
dt
R
(110)
2
√
vпер
dvпер
2
n
= 4 2R ≈ 283 см/с , wпер =
≈ 3500 см/с2 .
=
dt
r
(111)
τ
wотн
τ
wпер
Вектора ω и vотн взаимно ортогональны, поэтому
wкор = 2ωvотн = 6594 см/с2 .
(112)
Чтобы найти абсолютное ускорение
w
⃗ абс = w
⃗ отн + w
⃗ пер + w
⃗ кор ,
30
(113)
y
M
wотнn wкор
O1
n
wотн
wкор
45
w
n
пер
wперt
45
0
wперn
wпер
t
w
t
wотн
O
x
0
t
wотн
б)
а)
Рис. 17. Направления ускорений
необходимо найти проекции всех составляющих ускорения на две взаимноперпендикулярные оси (рис. 17б):
n
n
τ
(w
⃗ абс )x = wотн
+ wкор + wпер
cos(450 ) − wпер
sin(450 ) ≈ 13283 см/с2 ,
τ
τ
n
(w
⃗ абс )y = −wотн
− wпер
cos(450 ) − wпер
sin(450 ) ≈ −3119 см/с2 .
Наконец, получим абсолютное ускорение
√
⃗ абс )2x + (w
⃗ абс )2y ≈ 14030 см/с2 .
wабс = (w
(114)
Глава 4
ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ
АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
1. Степени свободы. Обобщенные координаты системы. Связи
Прежде чем переходить к описанию движения абсолютно твердого тела,
рассмотрим ряд необходимых в дальнейшем понятий классической механики.
Как было показано в предыдущих разделах, положение материальной точки в пространстве однозначно задается тремя координатами (не обязательно
декартовыми). В случае, если имеется N материальных точек, то, очевидно,
необходимо иметь 3N независимых координат, чтобы определить положение
системы в пространстве. В общем случае число независимых координат, определяющих положение системы в пространстве, называется числом степеней
свободы системы s, а сами независимые координаты q1 , q2 , ..., qs называются
обобщенными координатами. Производные от обобщенных координат называются обобщенными скоростями q̇1 , q̇2 , ..., q̇s .
Теперь рассмотрим абсолютно
твердое тело, под которым понима-
z
ется система точек, расстояние меж-
A
ду которыми не меняется со времеB
нем, и найдем число его степеней сво-
C
боды. Так как реальное пространство
является трехмерным, то положение
тела в нем определяется положением
трех любых его точек, не лежащих
на одной прямой (рис. 18). Положе-
O
y
x
Рис. 18. Абсолютно твердое тело
ние самих трех точек задается 9 координатами:

A(x1 , y1 , z1 ) 

B(x2 , y2 , z2 ) 3N = 9.


C(x3 , y3 , z3 )
(115)
Однако не все координаты точек A, B и C являются независимыми. Так как
32
тело абсолютно твердое, то расстояние между данными точками не меняется:

√
AB = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 = const = C1 

√
2
2
2
BC = (x3 − x2 ) + (y3 − y2 ) + (z3 − z2 ) = const = C2 i = 3. (116)

√

CA = (x1 − x3 )2 + (y1 − y3 )2 + (z1 − z3 )2 = const = C3
Таким образом, любые три координаты из девяти можно выразить через остальные с помощью трех уравнений (116). Такие уравнения называются уравнениями связей, а сами ограничения, накладываемые на координаты,
скорости или ускорения точек системы, называются связями. Подчеркнем,
что ограничения должны носить геометрический или кинематический характер, но не динамический. Как правило, связи представляют из себя тела, с
которыми соприкасается объект при движении (поверхности, нити, шарниры
и т.п.). Связи уменьшают число степеней свободы системы.
Если на систему не наложены
связи, она называется свободной, если наложены, то несвободной. Зна-
z
Vz
чит твердое тело имеет s = 9 − 3 =
wz
Vy
y
O
wy
Vx
wx
x
= 6 степеней свободы. Отметим, что
каждое независимое движение имеет
одну степень свободы. В частности,
движение свободного твердого тела
можно представить как сложное дви-
Рис. 19. Сложное движение твердого тела
жение, состоящее из трех поступа-
тельных движений вдоль осей декартовой системы координат со скоростями vx , vy , vz , и трех вращательных движений вокруг этих осей с угловыми
скоростями ωx , ωy , ωz (s = 6 = 3 пост + 3 вращ).
Пример 4.1. Пусть материальная точка движется по поверхности сферы. Свободная материальная точка имеет три степени свободы. Поверхность
сферы представляет собой связь, уравнение которой f (x, y, z) = x2 +y 2 +z 2 −
R2 = 0 (R – радиус сферы). Следовательно, такая система имеет s = 3−1 = 2
степени свободы.
В этом примере уравнение связи f (x, y, z) = 0 не зависит от времени. В общем случае если уравнение связи не зависит от времени, то связь
называется стационарной.
33
Пример 4.2. Рассмотрим математический маятник, длина которого
меняется со временем l = l(t) и который совершает движение в плоскости
xOy. В этом случае уравнение связи будет иметь вид f (x, y, t) = x2 + y 2 −
− l2 (t) = 0, а система будет иметь s = 2 − 1 = 1 степень свободы.
В этом примере уравнение связи f (x, y, t) = 0 зависит от времени. В
общем случае если уравнение связи явно зависит от времени, то связь называется нестационарной.
Пример 4.3. Пусть точка M1 движется по заданному закону x1 =
= f1 (t), y1 = f2 (t), z1 = f3 (t), а точка M2 должна двигаться так, чтобы в
любой момент времени ее скорость ⃗v2 была направлена в точку M1 . Примером такого движения является самонаводящаяся на цель ракета.
Вектора ⃗v2 = ẋ2⃗i + ẏ2⃗j + ż2⃗k
и M1⃗M2 = (x2 − x1 )⃗i + (y2 − y1 )⃗j +
+ (z2 − z1 )⃗k сонаправлены, следовательно, их проекции на оси координат должны быть пропорциональны
ẋ2
ẏ2
ż2
=
=
= λ.
x2 − x1
y2 − y1
z2 − z1
(117)
Отсюда получим
{
M1
v2
M2
Рис. 20. Движение по программе движения.
ż2 [x2 − f1 (t)] = ẋ2 [z2 − f3 (t)],
ẏ2 [x2 − f1 (t)] = ẋ2 [y2 − f2 (t)].
(118)
Следовательно, на уравнения движения точки M2 наложены две связи, зависящие от времени и от скорости.
Если связи накладывают ограничения и на координаты, и на скорости
точек, они называются неголономными (кинематическими) связями. Если
связь накладывает ограничение только на координаты точек, то связь называется голономной (геометрической). Таким образом, в последнем примере
на движение материальной точки наложены две нестационарные неголономные связи, а сами уравнения связи представляют собой программу движения
материальной точки.
Пример 4.4. Рассмотрим две материальные точки, связанные между
собой нерастяжимой нитью. Очевидно, что в этом случае уравнение связи
имеет вид f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − l2 ≤ 0, то есть выражается неравенством.
34
В общем случае связи, выражающиеся неравенствами, называются односторонними, а связи, выражающиеся равенствами, называются двусторонними или удерживающими. В последнем примере связь является односторонней.
2. Кинематика простейших движений абсолютно твердого тела
Описать движение твердого тела – означает описать движение каждой
его точки. Рассмотрим, как кинематически описываются простейшие движения твердого тела.
2.1. Поступательное движение абсолютно твердого тела
При поступательном движении любая прямая, проведенная в теле, перемещается параллельно сама себе, или, другими словами, при поступательном движении перемещения всех точек тела геометрически равны. В качестве
примеров поступательного движения можно привести движение эскалатора
метро, движение лыжника с трамплина и т.п.
Так как любая прямая однозначно определяется двумя точками, то для описания поступатель-
z
A
ного движения достаточно рассмот-
r
B
rA
го любые две точки тела (рис. 21).
rB
O
реть движение отрезка, соединяюще-
y
Рассмотрим движение отрезка
AB. Положения точек A и B связаны
x
Рис. 21. Поступательное движение
следующей формулой
⃗rB = ⃗rA + ⃗r.
(119)
Вычислим скорость точки B:
d⃗rA d⃗r
d⃗rB
=
+ .
(120)
dt
dt
dt
Последняя производная в (120) равна нулю, так как r = BA = const
и направление вектора ⃗r остается постоянным. Следовательно, ⃗vA = ⃗vB , то
есть при поступательном движении все точки твердого тела движутся с одинаковыми скоростями. Очевидно, что и ускорения всех точек тела при поступательном движении равны w
⃗A = w
⃗ B = const. Таким образом, можно
35
сделать вывод, что все точки тела при поступательном движении двигаются одинаково (одинаковы скорость, ускорения, траектории). Следовательно,
для описания поступательного движения твердого тела достаточно описать
движение одной точки (как правило, центра масс).
2.2. Вращательно движение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси
Рассмотрим произвольное твердое тело, вращающееся вокруг закрепленной оси z. Мысленно свяжем с телом две плоскости: неподвижную P и
жестко связанную с телом Q. Тогда положение точек тела будет определяться
углом поворота φ относительно неподвижной плоскости (рис. 22а). Очевидно,
что такая система имеет одну степень свободы s = 1, так как положение твердого тела однозначно определяется обобщенной координатой q = φ. Зная зависимость угла поворота φ от времени, можно найти угловую скорость ω = φ̇
и угловое ускорение ε = φ̈ твердого тела относительно оси z.
w z
z
w
Df
P
R
M1
Df
Dr
M
f
ar
Q
а
б
Рис. 22. Вращательное движение твердого тела
Рассмотрим траекторию движения одной из точек твердого тела (рис. 22б).
Точка M за время ∆t перейдет в точку M1 , при этом она пройдет путь ∆s,
−−−→
равный длине дуги M M1 , и совершит перемещение M M1 , равное ∆⃗r. Из
рис. 22б видно, что ∆s = R∆φ, а R = r sin α. Следовательно,
∆s = r∆φ sin α,
36
(121)
где α – угол между векторами ⃗r и ∆⃗
φ.
Очевидно, что движение любой точки твердого тела по окружности
будет определено, если будут заданы ориентация плоскости, в которой лежит окружность, и направление поворота. Характеристикой, удовлетворяющей этим двум требованиям, является вектор поворота ∆⃗
φ (или бесконечно
малого поворота, если ориентация плоскости меняется), который направлен
вдоль оси вращения в ту сторону, чтобы поворот происходил против часовой
стрелки (правило буравчика). Заметим, что если ось вращения неподвижна,
то векторы ∆⃗
φ, угловой скорости ω
⃗ = d⃗
φ/dt и углового ускорения ⃗ε = d⃗ω /dt
направлены одинаково.
С учетом вышесказанного, формулу (121) можно переписать и в векторном виде, заметив, что вектор ∆⃗r ортогонален как вектору ∆⃗
φ, так и
вектору ⃗r:
∆⃗r = ∆⃗
φ × ⃗r.
(122)
Разделим обе части последнего равенства на ∆t и устремим ∆t к нулю.
В результате получим
⃗v =
d⃗r
=ω
⃗ × ⃗r.
dt
(123)
Найдем ускорение точек твердого тела при вращательном движении
вокруг оси:
w
⃗=
d⃗v
d
d⃗ω
d⃗r
= (⃗ω × ⃗r) =
× ⃗r + ω ×
= ⃗ε × ⃗r + ω
⃗ × ⃗v .
dt
dt
dt
dt
(124)
Здесь w
⃗ τ = ⃗ε ×⃗r является тангенциальным ускорением, а w
⃗ n – нормальным ускорением.
3. Углы Эйлера
Будем рассматривать движение твердого тела как сложное движение,
состоящее из движения какой-либо выбранной точки тела O (полюса) и движения остальных точек тела относительно полюса (как правило, в качестве
полюса удобно выбирать центр масс тела). Обозначим положение произвольной точки M твердого тела в неподвижной системе координат x1 y1 z1 посред⃗ а в подвижной xyz посредством ⃗r (рис. 23).
ством R,
37
В этом случае движение точки M твердого тела будет являться сложным движением, и положение точки M в пространстве будет задаваться
⃗ = ρ⃗ + ⃗r. Если бы точки тела не были жестко связаны
радиус-вектором R
между собой, то для описания положения системы необходимо было бы взять
3N независимых координат.
Однако, так как все точки твердого тела жестко связаны между со-
z1
z
бой, для однозначного задания поло-
M
жения твердого тела в пространстве
r
R
необходимо иметь только шесть обобщенных координат (справедливость
y
O
x
r
данного утверждения была показана
y1
O'
в предыдущих разделах). В качестве
таких координат удобно взять коор-
x1
динаты радиус-вектора центра масс
Рис. 23. Задание положения точек твердого
твердого тела и три координаты, за- тела
дающие ориентацию твердого тела в пространстве. Удобно данную ориентацию задавать с помощью трех углов, называемых углами Эйлера (рис. 24).
Углы Эйлера вводятся следующим способом. Совместим начала
подвижной и неподвижной систем
координат (для определения углов
Эйлера это не принципиально). То-
z1
f
z
y
гда плоскость xOy подвижной систе-
q
мы координат пересечет плоскость
O
x1 Oy1 подвижной системы по некото-
Прямая ON , очевидно, ортого-
y1
y
f
q
рой прямой ON которая называется
линией узлов.
y
N
x
x1
нальна осям z и z1 , а положительное
Рис. 24. Углы Эйлера
направление ON задается направлением векторного произведения ⃗nz × ⃗nz ′ ,
где ⃗nz и ⃗nz ′ – орты осей z и z ′ соответственно.
Угол θ (0 ≤ θ ≤ π) между осями z1 и z называется углом нутации.
Угол ψ (0 ≤ θ ≤ 2π) между ON и осью x называется углом прецессии. Угол
38
φ (0 ≤ φ ≤ 2π) между ON и x1 называется углом собственного вращения.
Направления углов Эйлера ψ, θ, φ определяется стандартным правилом винта при повороте вокруг осей z1 , ON и z, соответственно.
Как уже отмечалось ранее, движение твердого тела является сложным движением, поэтому скорость любой точки твердого тела V⃗1 может быть
представлена в виде суммы скорости поступательного движения центра масс
V⃗ и вращательного движения вокруг центра масс, которое задается скоростью изменения углов Эйлера:
⃗ × ⃗r,
V⃗1 = V⃗ + Ω
(125)
⃗ – угловая скорость вращения твердого тела, которая будет одинакова
где Ω
для всех точек тела.
⃗ через углы Эйлера и их производные. Для
Выразим угловую скорость Ω
⃗˙ θ,
⃗˙ φ
этого найдем проекции угловых скоростей ψ,
⃗˙ на оси подвижной системы
⃗˙ направлена вдоль оси z. Угловая скорость θ
координат. Угловая скорость ψ
направлена вдоль линии узлов и ее проекции на оси координат имеют вид
θ̇x = θ̇ cos ψ,
θ̇y = −θ̇ sin ψ,
θ̇z = 0.
(126)
Угловая скорость φ
⃗˙ направлена вдоль оси z1 и ее проекции на оси координат имеют вид
φ̇x = φ̇ sin θ sin ψ,
φ̇y = φ̇ sin θ cos ψ,
φ̇z = φ̇ cos θ.
(127)
⃗ имеет следующие проекции на оси
Таким образом, угловая скорость Ω
подвижной системы:
Ωx = φ̇ sin θ sin ψ + θ̇ cos ψ
Ωy = φ̇ sin θ cos ψ − θ̇ sin ψ
(128)
Ωz = φ̇ cos θ + ψ̇.
Данные уравнения называются кинематическими уравнениями Эйлера.
Глава 5
КИНЕМАТИКА ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
1. Общая характеристика плоскопараллельного движения
Плоскопараллельным движением называется движение, при котором
все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. Таким образом, расстояние всех точек тела от неподвижной
плоскости остается постоянным во время движения. В качестве примеров
плоскопараллельного движения можно привести движение колеса по прямолинейному рельсу (рис. 25а) и движение кривошипно-шатунного механизма (рис. 25б) (кривошипно-шатунный механизм – устройство, служащее для
преобразования возвратно-поступательных движений поршня во вращательное движение коленчатого вала).
VB
B
A
VC
C
O
w
B
A
б
а
Рис. 25. Примеры плоскопараллельных движений
Пусть некоторое тело движется плоскопараллельно относительно неподвижной плоскости Q (рис. 24).
Пересечем тело плоскостью P ,
параллельной Q. Возьмем произвольную точку A полученного сечения и проведем через нее прямую AA′ , перпендикулярную плоскости сечения. Очевидно, что все точ-
P
s
A
B
ки, лежащие на этой прямой, будут
двигаться аналогично точке A. То
A'
Q
B'
же самое можно сказать про прямую BB ′ и т.д. Следовательно, вме40
Рис. 26. Плоскопараллельное движение
сто изучения пространственного движения тела достаточно рассмотреть движение любого сечения тела S, параллельного неподвижной плоскости. Положение сечения на плоскости определяется двумя точками сечения (отрезком,
соединяющим эти точки).
Рассмотрим произвольный отрезок AB, лежащий в сечении (рис. 26).
Положением отрезка полностью определяется положение сечения. Пусть точки A и B имеют координаты A(x1 , y1 ) и B(x2 , y2 ). Так как расстояние между
√
точками не меняется со временем, то AB = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 = const.
Следовательно, данная система имеет s = 4 − 1 = 3 степени свободы и
для описания плоскопараллельного движения твердого тела необходимы три
обобщенных координаты.
Рассмотрим подробно движение отрезка AB (рис. 27).
Из любого начальное положеB
B1
f
A
(I)
D
f
f
A1
(II)
ние в любое конечное отрезок (сечение) можно перевести с помощью
двух независимых движений (последовательность не играет роли): поступательного переносного движения (I) в плоскости сечения xOy и
Рис. 27. Последовательность независимых
относительного вращательного двидвижений
жения вокруг оси z (II), проходящей через произвольную точку отрезка (например, точку A или точку D), которую принято называть полюсом. Заметим, что в данном случае имеются две поступательные и одна вращательная
степени свободы, а само движение тела является сложным, состоящим из поступательно движения вместе с полюсом и вращательного движения вокруг
полюса. Так как направление и угол поворота φ одни и те же для разных
полюсов, то и угловая скорость ω, и ε будут одинаковыми для всех полюсов.
Следовательно, выбор полюса определяется исключительно соображениями
удобства. В частности, в качестве полюса часто бывает удобно принимать ту
точку, скорость которой известна.
2. Скорости точек плоской фигуры
Пусть нам дано некоторое сечение P (рис. 26) тела, совершающего пло41
скопараллельное движение. Пусть известна скорость произвольной точки A
данного сечения (фигуры). Возьмем данную точку за полюс и за начало подвижной системы координат (рис. 28).
Из рис. 28 видно, что ⃗rB = ⃗rA +
+ ⃗r. Найдем скорость точки B:
y
d⃗rB
d⃗rA d⃗r
⃗vB =
=
+
= ⃗vA + ⃗vBA .
dt
dt
dt
По своему смыслу ⃗vB является аб-
''K''
1
r
x
''K''
солютной скоростью ⃗vабс , ⃗vA является переносной скоростью ⃗vпер , а ⃗vBA
A
rB
rA
– относительной скоростью ⃗vотн . Так
O
как расстояние между точками A и
B не меняется в процессе движения
B
Рис. 28. Сложное движение точек фигуры
(тело абсолютно твердое), то ⃗vBA представляет собой линейную вращательную скорость точки B вокруг полюса – точки A: ⃗vBA = ω
⃗ × ⃗r. Тогда для
скорости точки B получим следующую формулу (формулу Эйлера):
⃗
⃗vB = ⃗vA + ω
⃗ × BA.
(129)
Таким образом, скорость любой точки плоской фигуры равна векторной сумме скорости полюса и линейной вращательной скорости этой точки
вокруг полюса.
Из формулы (129) легко получить два следствия:
1). Если в данный момент времени
ω = 0, то скорости всех точек тела геометрически равны (мгновенно-
vA
AC=BC'
поступательное распределение скоростей.)
2). Проекции скоростей двух точек
C'
C
A
B
vB
плоской фигуры на прямую, соеди- Рис. 29. Равенство проекций скоростей на
няющую эти точки, алгебраически прямую, соединяющую две точки фигуры.
равны (⃗vB )AB = (⃗vA )AB (рис. 29).
Последнее утверждение непосредственно следует из того факта, что
скорость точки B относительно A направлена перпендикулярно отрезку AB.
42
3. Мгновенный центр скоростей
Докажем утверждение:
При движении плоской фигуры в каждый момент времени существует единственная точка, связанная с фигурой, скорость которой в данный
момент времени равна нулю.
Выберем произвольную точку A за полюс. Предположим, что существует такая точка P , мгновенная скорость которой равна нулю. Тогда
согласно формуле Эйлера (129)
−→
⃗vP = 0 = ⃗vA + ω
⃗ × P A.
(130)
Распишем данное равенство в проекциях на оси координат. Пусть ось z
направлена перпендикулярно плоскости фигуры, тогда ω
⃗ = ω⃗k, ⃗vA = ẋA⃗i +
+ ẏA⃗j, P A = (xP − xA )⃗i + (yP − yA )⃗j + (zP − zA )⃗k. Учтем, что
⃗k
⃗i
⃗j
−→ ω
⃗ × PA = 0
0
ω
= −(yP − yA )ω⃗i + (xP − xA )ω⃗j.
xP − xA yP − yA zP − zA Тогда из (130) следует
xP − xA =
ẋA
ẏA
, yP − yA = − ,
ω
ω
(131)
или в векторном виде
−→ ω
⃗ × ⃗vA
PA =
.
ω2
(132)
Если в данный момент времени ω = 0 (мгновенно-поступательное движение),
то точка P , как следует из формулы (132), находится на бесконечности.
Таким образом точка P всегда может быть найдена по формуле (132),
что и доказывает наше утверждение. Точку P принято называть мгновенным центром скоростей. Используя формулу (132), можно найти положение мгновенного центра скоростей,
если известны угловая скорость и скорость полюса. Для этого необходимо
сначала повернуть вектор ⃗vA на угол π/2 против часовой стрелки, смотря с
конца вектора ⃗vA , потом от точки A в направлении повернутого вектора ⃗vA
отложить отрезок длиной vA /ω. Конец этого отрезка будет мгновенным центром скоростей P . Однако чаще всего вектор ω бывает неизвестен, при этом
43
бывают известны скорости хотя бы двух точек плоской фигуры. Рассмотрим
данный случай подробнее.
Выберем точку P в качестве полюса, тогда из формулы Эйлера для
любых точек фигуры A, B, C и т.д. следует (учитывая, что ⃗vP = 0)
⃗vA = ω
⃗ × P⃗A,
⃗vB = ω
⃗ × P⃗B,
⃗vC = ω
⃗ × P⃗C
(133)
и т.д.
Следовательно, плоскопараллельное движение по распределению скоростей можно представить как вращательное движение вокруг мгновенного
центра скоростей, то есть поворота вокруг оси z, проходящей через точку P .
Эту ось называют мгновенной осью вращения, а точку P – мгновенным центром вращения. Понятие мгновенной оси вращения, проходящей через точку
P , имеет смысл только для распределения скоростей, но не для ускорений,
поскольку для распределения ускорений необходимо знать два близких друг
к другу положения скоростей, а мгновенная ось меняет свое направление
как относительно тела, так и в пространстве. В процессе движения положение мгновенного центра скоростей меняется. Геометрическое место положений мгновенного центра на неподвижной плоскости называется неподвижной
центроидой, а геометрическое место положений мгновенного центра скоростей в связанной с фигурой системе координат называется подвижной центроидой. При этом при движении системы подвижная центроида катится
без скольжения по неподвижной. Например, при движении колеса (рис. 25а)
неподвижной центроидой будет прямая, по которой движется колесо, а подвижной центроидой будет обод диска.
−→
−−→
Вектор ω
⃗ перпендикулярен плоскости фигуры (⃗ω ⊥ AP , ω
⃗ ⊥ BP и т.д.),
поэтому векторные произведения в (133) можно переписать в скалярном виде:
vB
vA
vA
=
=
= ... = ω.
AP
BP
CP
(134)
Данная формула дает правило вычисления скоростей точек плоской фигуры,
если известны величина угловой скорости вращения вокруг мгновенно центра
скоростей ω ≡ ωp и расстояние до центра.
Из формулы (133) также следует, что векторы скорости точек плоской фигуры ортогональны векторам, соединяющим данную точку фигуры и
44
полюс. Следовательно, чтобы найти положение мгновенного центра скоростей, необходимо восстановить перпендикуляры к скоростям любых двух
точек плоской фигуры. На пересечении перпендикуляров и будет находиться мгновенный центр скоростей. На рис. 30 приведены некоторые примеры нахождения мгновенного центра скоростей. На рис.30а мгновенный центр
скоростей находится на бесконечности, так как движение является мгновеннопоступательным, на рис. 30б мгновенный центр скоростей находится в точке
B, поскольку ее скорость в данный момент времени равна нулю, на рис. 30с
изображен общий случай расположения мгновенного центра скоростей.
vA
A
vA
vB=0
w
A
O
O
B(P)
w
vB
B
б
а
P
vA
A
O
w
vB
B
в
Рис. 30. Нахождение мгновенного центра скоростей
Таким образом, чтобы найти скорость любой точки плоской фигуры,
необходимо, во-первых, зная направления скоростей двух точек фигуры, найти положение мгновенного центра скоростей, во-вторых, по формуле (134)
найти угловую скорость вращения вокруг мгновенного центра ωp (зная модуль одной из двух скоростей) и, наконец, снова используя формулу (134),
найти скорость нужной точки.
4. Ускорение точек плоской фигуры
Покажем, что ускорение точек плоской фигуры можно представить в
виде, аналогичном скорости, а именно как сумму ускорений поступательно45
го и вращательного движений. Пусть точка A является полюсом, тогда по
формуле Эйлера
⃗
⃗vB = ⃗vA + ω
⃗ × BA.
(135)
Продифференцируем данное соотношение по времени, получим
d⃗vB
d⃗vA d⃗vBA
=
+
.
dt
dt
dt
(136)
Здесь w
⃗ B = d⃗vB /dt – ускорение точки B, w
⃗ A = d⃗vA /dt – ускорение точки A, w
⃗ BA = d⃗vBA /dt – ускорение точки B относительно точки A. Последнее
слагаемое определяет ускорение, которое имеет точка при вращении вокруг
полюса. Следовательно, его можно переписать в виде суммы нормального и
n
τ
тангенциального ускорений w
⃗ BA = w
⃗ BA
+w
⃗ BA
= ω 2 BA + εBA. Однако при
нахождении ускорения точки данным способом возникают сложности, связанные с проблемой определения углового ускорения. Как правило, угловое
ускорение находят согласно его определению как производную от угловой
скорости ε = dω/dt, но, как было показано выше, угловая скорость обычно
находится в данный момент, т.е. представляет собой число, а не функцию времени. Поэтому более распространенным является способ, используемый в том
случае, если известно направление движения (ускорения) какой-либо точки
плоской фигуры. Проиллюстрируем данный способ на конкретном примере
Задача 5.1. Для заданного положения кривошипно-шатунного механизма найти скорость и ускорение точки B, если ωOA = 2 с−1 , εOA = 3 с−2 ,
OA = 50 см, AB = 80 см, α = 450 (рис. 29а).
Решение задачи состоит из нескольких этапов, представляющих собой алгоритм решения подобного рода задач. Подробно рассмотрим каждый
пункт данного алгоритма.
1. Определяем направление скоростей двух точек плоской фигуры и находим
положение мгновенного центра скоростей.
Из рис. 31а видно, что скорость точки B направлена вертикально вверх,
а скорость точки A направлена горизонтально (поскольку точка A движется
по окружности, а скорость направлена по касательной к траектории). Найдем положение мгновенного центра скоростей, проведя перпендикуляры к
скоростям точек A и B (рис. 31б).
2. Вычисляем мгновенную угловую скорость вращения плоской фигуры.
46
O
O
wBA
eBA
wBA
eBA
A
A
VA
VB
B
B
a
a
P
б
а
Рис. 31. Движение кривошипно-шатунного механизма
Скорость точки A равна vA = OA · ωOA = 100 см/с. Из треугольника
△ ABP получим BP = AP = AB cos 450 ≈ 56, 6 см, CP ≈ Тогда согласно
формуле (134) ωp = vA /AP = 1, 77 см−1 .
3. Находим необходимые скорости точек фигуры.
Для нахождение скорости точки B снова будем использовать формулу
(134): vB = ωp · BP ≈ 100, 2 см/с.
4. Определяем направления ускорений.
O
wBA
eBA
t
wA
мы тангенциальных и нормальных
wAn
ускорений, выбрав за полюс ту точ-
A
ку, ускорение которой известно. В на-
wBAn
wBAt B
Представим ускорения рассматриваемых точек системы в виде сум-
a
шем случае это точка A. Изобразим
на рисунке и ускорение самой точки
A (рис. 32).
5. Находим абсолютную величину
Рис. 32. Ускорения точек механизма
тангенциальных и нормальных со-
ставляющих ускорения точек (тех, которые можно найти из данных условий).
Найдем вначале ускорение точки A относительно точки O
2
wAn = ωOA
· OA = 200 см/с2 , wAτ = εOA · OA = 150 см/с2 .
(137)
Теперь вычислим ускорение точки B. Нормальное ускорение точки B
47
находится стандартно, так как нам известна угловая скорость точки B относительно мгновенного центра скоростей:
n
wBA
= ωp2 · BA = 250, 6 см/с2 .
(138)
Для вычисления тангенциального ускорения точки B относительно точки A необходимо знать угловое ускорение εp , которое невозможно найти напрямую, как было показано ранее. Поэтому для нахождения ускорения точки
B необходимо использовать тот факт, что нам известно направление ускорения точки B.
6. Вводим систему координат, связанную с точкой, ускорение которой нам неизвестно, таким образом, чтобы проекция тангенциального ускорения данной точки на выбранную ось равнялась нулю.
wAn
t
wA
y
wB
x
A
wBAn
wBAt
450
B
Выберем ось x вдоль отрезка
BA, а ось y – перпендикулярно ей,
τ
Рис. 33. Ускорения точек в выбранной систевдоль направления ускорения w
⃗ BA
ме координат
(рис. 33).
7. Находим абсолютную величину ускорения точек системы.
Так как
n
n
w
⃗B = w
⃗ An + w
⃗ Aτ + w
⃗ BA
+w
⃗ BA
,
(139)
n
(wB )x = wAn cos 450 − wAτ sin 450 + wBA
≈ 285 см/с2 .
(140)
то
Проекция ускорения на ось x получилась положительная, следовательно, ускорение точки B направлено вертикально вверх. Зная проекцию ускорения точки B на ось x и направление полного ускорения данной точки, легко
найти полное ускорение точки B:
(wB )x
≈ 407 см/с2 .
0
cos 45
Найдем проекцию ускорения точки B на ось y:
wB =
τ
(wB )y = wB sin 450 = wAn sin 450 + wAτ cos 450 + wBA
.
48
(141)
(142)
τ
Отсюда wBA
≈ 40 см/с2 . Следовательно, тангенциальное ускорение точки B
направлено вдоль направления оси y.
Зная тангенциальное ускорение, вычислим мгновенное угловое ускорение точки B:
τ
wBA
εp =
≈ 0.5 с−1 .
BA
(143)
8. Находим ускорения остальных точек системы.
По вычисленным значениям угловой скорости и углового ускорения находим нормальные, тангенциальные и полные ускорения остальных точек
системы (если это требуется в условиях задачи). 5. Мгновенный центр ускорений
Иногда бывают известны угловое ускорение ε и угловая скорость ω точек плоской фигуры. В этом случае для решения задач и нахождения ускорений точек тела удобно бывает рассматривать движение тела относительно
мгновенного центра ускорений, то есть точки, связанной с телом, ускорение
которой в данный момент времени равно нулю.
Покажем, что мгновенный центр ускорений всегда существует (будем
считать, что ω и ε не равны нулю одновременно).
Пусть точка A является полюсом. Тогда, как было показано ранее, ускорение любой точки плоской фигуры B можно выразить через ускорение точки A и тангенциальное и нормальное ускорения данной точки относительно
точки A
−→
−→
w
⃗B = w
⃗ A + ⃗ε × BA + ω
⃗ × (⃗ω × BA).
(144)
Пусть w
⃗ = 0. Запишем (144) в проекциях на оси координат. Выберем направление оси z перпендикулярно плоскости фигуры, тогда ω
⃗ = ω⃗k, ⃗ε = ε⃗k,
BA = (xB − xA )⃗i + (yB − yA )⃗j + (zB − zA )⃗k.
Из (131) следует, что
−→
⃗ε × BA == −(yB − yA )ε⃗i + (xB − xA )ε⃗j
(145)
−→
ω
⃗ × BA = −(yB − yA )ω⃗i + (xB − xA )ω⃗j.
(146)
49
Следовательно,
⃗i
⃗j
−→
ω
⃗ × (⃗ω × BA) = 0
0
−(xB − xA )ω (yB − yA )ω
⃗k ω =
0 = −(xB − xA )ω 2⃗i − (yB − yA )ω 2⃗j.
Тогда из (144) следует
{
(wA )x = (xB − xA )ω 2 + (yB − yA )ε,
(wA )y = −(xB − xA )ε + (yB − yA )ω 2 .
(147)
Данная система имеет решение относительно xB − xA и yB − yA только
в том случае, если определитель ω 4 + ε2 ̸= 0. Тогда ее решение имеет вид
[ 2
]
1
ω
(w
)
−
ε(w
)
,
A
x
A
y
ε2 + ω 4
[ 2
]
1
2
ε
(w
)
+
ω
(w
)
yB − yA = 2
A x
A y .
ε + ω4
xB − xA =
(148)
Или в векторной форме:
−→
BA =
( 2
)
1
ω
w
⃗
+
⃗
ε
×
w
⃗
.
A
A
ε2 + ω 4
(149)
Таким образом, точка B всегда может быть найдена по формуле (15),
что и доказывает наше утверждение. Формула (15) дает и геометрический
способ нахождения мгновенного центра ускорений (точки B).
Для нахождения мгновенного центра ускорений необходимо повернуть
вектор ускорения точки A в направлении вращения фигуры (если движение
ускоренное) или в направлении, противоположном вращению (если движение
замедленное), на угол α (tg α = ε/ω 2 ). Затем, чтобы получить мгновенный
центр ускорений (точка B), необходимо от точки A в направлении поверну√
того вектора отложить отрезок BA = wA / ε2 + ω 4 .
Если нам известно положение мгновенного центра ускорений, то ускорение любой точки фигуры (например, точки C) вычисляется согласно стандартным формулам, используемым при нахождения ускорения при вращении
относительно неподвижной оси:
w
⃗C =
τ
w
⃗ CB
+
n
w
⃗ CB
,
wC =
√
ε2 + ω 4 .
(150)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Арнольд В. И. Математические методы классической механики / В. И. Арнольд. – М. : Наука, 1979. – 432 с.
2. Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия / А. В. Погорелов. – М. :
Наука, 1976. – 176 с.
3. Ландау Л. Д. Теоретическая механика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. –
М. : Наука, 1973. – 208 с.
4. Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике / Ю. Г. Павленко. –
М. : Изд-во Моск. ун-та, 1991. – 336 с.
5. Павленко Ю. Г. Задачи по теоретической механике / Ю. Г. Павленко. – М. :
Изд-во Моск. ун-та, 1988. – 344 с.
6. Ольховский И. И. Задачи по теоретической механике для физиков / И. И.
Ольховский, Ю. Г. Павленко, Д. С. Кузменков. – М. : Изд-во Моск. ун-та,
1977. – 390 с.
7. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков / И. И. Ольховский. – М. : Наука, 1970. – 448 с.
51