Оценка эконометрических моделей в условиях нарушения основных предпосылок МНК: алгоритмы тестирования � Основные предпосылки МНК ассоциируются с теоремой Гаусса-Маркова и представляют собой перечень условий для случайных отклонений эконометрической модели, выполнение которых обеспечивает эффективную статистическую проверку значимости параметров регрессии � Часть предпосылок выполняется априори, невыполнение другой части не приводит к существенным нарушениям желаемых свойств оценок, получаемых с помощью МНК � Нарушение двух из пяти предпосылок относительно метода наименьших квадратов может привести к тому, что полученные оценки не будут обладать необходимыми свойствами несмещенности, состоятельности и эффективности � Предпосылки для случайных отклонений модели дополняются условиями относительно ошибок спецификации � предпосылка о гомоскедастичности случайных отклонений � гомоскедастичность – однородность наблюдений или постоянство дисперсии отклонений, т.е. дисперсия каждого отклонения t одинакова для всех значений x t , не зависит от момента времени t , в ее изменениях нет закономерности � гетероскедастичность, в противоположность гомоскедастичности - неоднородность наблюдений или непостоянство дисперсии отклонений � гетероскедастичность неэффективности оценок, случайных полученных отклонений с помощью приводит МНК (речь к о коэффициентах, свойство несмещенности и состоятельности сохраняется, что позволяет, не смотря ни на что использовать МНК), а также к смещенной и несостоятельной оценке дисперсионно-ковариационной матрицы МНК (речь о значениях дисперсий коэффициентов, т.е. стандартных ошибках) � в общем случае неизвестными являются как величины случайных отклонений модели t , так и значения дисперсии случайных отклонений: для выборочной оценки первых используются эмпирические значения отклонений et , для дисперсии соответственно – et 2 � условие гомоскедастичности, т.е. однородности или постоянства дисперсии отклонений, может быть записано, как нулевая гипотеза H 0 : D t 2 для t H 0 : D i D j 2 для i, j H 0 : D1 D 2 ... D n 2 ; 2 const � альтернативная гипотеза представляет собою гетероскедастичности H1 : D t 2 для t H1 : D1 D 2 ... D n 2 условие � тестирование гомоскедастичности случайных отклонений на практике � истинная гетероскедастичность возникает в пространственных выборках при зависимости масштаба изменений эндогенной переменной от одной из экзогенных переменных, называемой иногда фактором пропорциональности (классический пример – доходы и расходы) � истинная гетероскедастичность возникает также и во временных рядах, когда эндогенная переменная имеет большой интервал качественно неоднородных значений или высокий темп изменения � истинная гетероскедастичность возникает в любой модели, в случае если качество данных варьирует внутри выборки � ложная гетероскедастичность всегда вызывается спецификацией модели � альтернативная гипотеза принимает вид H1 : D t 2 xt k ошибочной � Тест Парка Для проверки гипотезы о гомоскедастичности случайных отклонений модели на основе теста Парка строится зависимость дисперсии случайных отклонений от степенной функции экзогенной переменной, по которой предполагается гетероскедастичность yt b0 b1 x1t b2 x2 t et H1 : D t 2 xt k D t et 2 H1 : et 2 2 xt k ln et 2 ln 2 xt k ln et 2 ln 2 k ln xt ln et 2 0 1 ln xt Оценки параметров 0 , 1 возможно получить с помощью МНК, а гипотезы относительно выполнения предпосылки переформулировать H 0 : гомоскедастичность et 2 2 1 0 H 0 : гетероскедастичность et 2 2 xt k 1 0 � Пример. Выполните следующую последовательность действий в командном поле для проведения теста Парка в пакете Eviews LS Y C X1 (оценка исходной модели регрессии) GENR E=RESID (создание переменной Е остатков модели регрессии, аналогично команде New Object) GENR LNE=LOG(E^2) (создание переменной логарифма оценки дисперсии отклонений модели регрессии) GENR LNX1=LOG(X1) (создание переменной логарифма экзогенной переменной модели регрессии) LS LNE C LNX1 (построение вспомогательной модели регрессии для теста Парка) � Пример. Для проверки нулевой гипотезы используем значение статистики t-статистики коэффициента 1 при экзогенной переменной вспомогательной модели. Используем критическую точку распределения Стьюдента при уровне значимости 0,05 и значении степеней свободы n m 1 44 1 1 42 : t крит t Поскольку значение статистики t 3,027695 2,018 tкрит t 2 ; n m 1, 2 ; n m 1 2,018 . то H 0 должна быть отклонена в пользу H1 при выбранном уровне значимости. Следовательно, предпосылка Гаусса-Маркова о гомоскедастичности случайных отклонений модели нарушается. Р-вероятность для t-статистики также показывает, что гипотеза H 0 отклоняется и при уровне значимости 0,01. � Тест Глейзера Для проверки гипотезы о гомоскедастичности случайных отклонений модели на основе теста Глейзера строится зависимость модуля случайных отклонений от степенной функции экзогенной переменной, по которой предполагается гетероскедастичность yt b0 b1 x1t b2 x2 t et H1 : D t 2 xt k D t et 2 H1 : et 2 xt k 2 Значение k определяется следующим образом: вспомогательная модель вида et 0 1 xt p строится для нескольких значений некоторого интервала p1; p2 p , выбираемых из с заданным шагом h выбирается модель с наибольшим значением R 2 , по которой проверяется гипотеза H 0 : гомоскедас тичность et 2 1 0 H 0 : гетерос кедастичность et 2 et 2 xt k 2 1 0 � Пример. Выполните следующую последовательность действий в командном поле для проведения теста Глейзера в пакете Eviews LS Y C X1 (оценка исходной модели регрессии) GENR E=RESID (создание переменной Е остатков модели регрессии, аналогично команде New Object) GENR ABSE=ABS(E) (создание переменной логарифма оценки дисперсии отклонений модели регрессии) LS ABSE C X1^P (построение вспомогательной модели регрессии для теста Глейзера) После определения вспомогательного уравнения с наибольшим значением коэффициента детерминации проверка нулевой гипотезы проводится аналогично тесту Парка. � Пример. Модель с оптимальным коэффициентом детерминации R 2 0,225355 получена при p 4,5 k 2 p 9. Для проверки нулевой гипотезы статистики t-статистики коэффициента 1 при используем значение экзогенной переменной вспомогательной модели. Используем критическую точку распределения Стьюдента при уровне значимости 0,05 n m 1 44 1 1 42 : tкрит t t 3,495484 2,018 t крит t 2 2 ;n m 1 ; n m 1 и значении степеней свободы 2,018 . Поскольку значение статистики , то H 0 должна быть отклонена в пользу H1 при выбранном уровне значимости. Следовательно, предпосылка Гаусса-Маркова о гомоскедастичности случайных отклонений модели нарушается. Р-вероятность для tстатистики также показывает, что гипотеза H 0 отклоняется и при уровне значимости 0,01. � Тест Вайта Для проверки гипотезы о гомоскедастичности случайных отклонений модели на основе теста Вайта строится зависимость квадрата случайных отклонений от всех экзогенных переменных, их квадратов, а также перекрестных произведений yt b0 b1 x1t b2 x2 t et et 2 0 1 x1t 2 x 2 t 3 x1t 2 4 x 2 t 2 5 x1t x 2 t u t Для проверки нулевой гипотезы используем значение статистики n R 2 , где n число наблюдений, R 2 - коэффициент детерминации вспомогательной модели. С помощью таблицы критических значений 2 -распределения находим критическую 20,05 2 5,99 . точку Поскольку значение статистики n R 2 44 0,166652 7,332688 5,99 2 0,05 (2) , то H 0 должна быть отклонена в пользу H1 при этом уровне значимости. Р-вероятность для статистики n R 2 показывает, что гипотеза H 0 не отклоняется при уровне значимости 0,02 . Тест Вайта допускает использование при проверке гипотезы о гомоскедастичности распределения Фишера. При использовании F-статистики нулевая гипотеза также отклоняется в пользу альтернативной о гетероскедастичности отклонений модели: находим значение критической точки в таблице распределения Фишера для уровня значимости 0,05 и значений степеней свободы 1 m 2, 2 n m 1 41: Fкрит 3,226. Поскольку Fнабл Fкрит , то нулевая (основная) гипотеза отклоняется, т.е. коэффициент вспомогательной модели регрессии в тесте Вайта статистически значим Rвспм2 0 , следовательно, существует статистически значимая зависимость между дисперсией отклонений модели и значениями экзогенной переменной и случайные отклонения исходной модели не обладают желаемым свойством постоянства дисперсии, т.е. гомоскедастичностью � предпосылка об отсутствии автокорреляции случайных отклонений � автокорреляция – «корреляция внутри себя», корреляционная связь между значениями одного и того же случайного процесса x t в моменты времени t1 и t 2 � автокорреляция – это статистическая взаимосвязь между последовательностями величин одного ряда, взятых со сдвигом, для временных рядов, очевидно, со сдвигом по времени � автокорреляция случайных отклонений приводит к неэффективности оценок, полученных с помощью МНК (речь о коэффициентах, свойство несмещенности и состоятельности сохраняется, что позволяет, не смотря ни на что использовать МНК), а также к смещенной и несостоятельной оценке дисперсионно-ковариационной матрицы МНК (речь о значениях дисперсий коэффициентов, т.е. стандартных ошибках) � тестирование автокорреляции случайных отклонений на практике � истинная или чистая автокорреляция возникает во временных выборках и вызывается зависимостью случайного члена от прошлых значений � ложная автокорреляция всегда вызывается ошибочной спецификацией модели � автокорреляция также отличается направлением (знаком) и порядком H 0 : отсутствие автокоррел яции covei ; e j 0 H 0 : автокоррел яция covei ; e j 0 � автокорреляция первого порядка et et 1 ut � автокорреляция второго порядка et 1 et 1 2 et 2 ut � сезонная автокорреляция et et 4 t (для кварталов) � Тест Бреуша-Годфри Для проверки гипотезы об автокорреляции случайных отклонений модели порядка k на основе теста Бреуша-Годфри строится зависимость переменной случайных отклонений от всех экзогенных переменных, а также лаговых переменных отклонений до порядка k включительно yt b0 b1 x1t b2 x2 t et et 0 1 x1t 2 x2 t 1 et 1 2 et 2 ... k et k ut Для проверки нулевой гипотезы используем значение статистики (n k ) R 2 , где n число наблюдений для исходной модели. Фактически из объема исходной выборки вычитается наблюдения, на которые сократилась наша выборка вследствие построения вспомогательной регрессии теста Бреуша-Годфри с лаговыми переменными, R 2 - коэффициент детерминации вспомогательной модели. С помощью таблицы критических значений 2 -распределения находим критическую точку 2 0,05 k . Если значение наблюдаемой статистики будет превышать значение критической точки – H 0 отклоняется при этом уровне значимости. � Пример. Выполните следующую последовательность действий в командном поле для проведения теста Бреуша-Годфри для проверки гипотезы об отсутствии автокорреляции первого порядка в пакете Eviews LS Y C X1 X2 (оценка исходной модели регрессии) GENR E=RESID (создание переменной Е остатков модели регрессии, аналогично команде New Object) LS E C X1 X2 Е(-1) (построение вспомогательной модели регрессии для теста Бреуша-Годфри при k 1) LS E C X1 X2 Е(-1) Е(-2) (построение вспомогательной модели регрессии для теста Бреуша-Годфри при k 2 ) С помощью таблицы критических значений критическую точку 2 0,05 1 3.84 . 2 -распределения находим Поскольку значение (n 1) R 2 43 1 0,083484 3,50633 3,84 2 0,05 (1) , то H 0 не отклоняется при этом уровне значимости. Следовательно, предпосылка Гаусса-Маркова о гомоскедастичности случайных отклонений модели выполняется. Р-вероятность для статистики (n 1) R 2 показывает, что гипотеза H 0 отклоняется при уровне значимости 0,10 . Для проверки гипотезы об отсутствии автокорреляции второго порядка находим критическую точку 2 0,05 2 5.99 . Поскольку значение (n 2) R 2 (43 2) 0,137694 5,645 5,99 2 0,05 (2) , то H 0 не отклоняется при этом уровне значимости. Следовательно, предпосылка Гаусса-Маркова о гомоскедастичности случайных отклонений модели выполняется. Р-вероятность для статистики (n 2) R 2 показывает, что гипотеза значимости 0,06 . H 0 отклоняется при уровне Для проверки гипотезы можно использовать так же F-статистику, сравнивающую между собой коэффициенты eˆt 0 1 x1t 2 x 2 t 1et 1 детерминации и модели вспомогательной модели eˆt 0 1 x1t 2 x 2 t , коэффициент детерминации которой предполагается равным нулю Fнабл R12 R2 2 n m 1 0,083484 0 42 3 1 3,46136 2 k 1 0,083484 1 1 R1 Находим значение критической точки в таблице распределения Фишера для уровня значимости 0,05 и значений степеней свободы 1 k 1, 2 n m 1 38 : Fкрит 4,098. Поскольку Fнабл Fкрит , то нет оснований для отклонения нулевой (основной) гипотезы, согласно которой R12 R2 2 , т.е. введение лага et 1 не улучшает качество вспомогательной модели => автокорреляция первого порядка случайных отклонений исходной модели отсутствует.