Задача 1: Исследовать на сходимость ряд 1 + q + q2 + q3 + ··· +
advertisement
Задача 1: Исследовать на сходимость ряд 2 3 1 + q + q + q + ··· + q n−1 n + q + ··· = ∞ X q n−1 (1) n=1 Решение Ряд (1) есть геометрическая прогрессия, знаменатель которой равен q. Известно, что сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле (при q 6= 1) 1 + q + q 2 + q 3 + · · · + q n−1 = Sn = 1 − qn 1−q Если знаменатель прогрессии q по абсолютной величине меньше единицы, то есть |q| < 1, то lim q n = 0 и n→∞ ¸ · 1 − qn 1 qn 1 lim Sn = lim = lim − = n→∞ n→∞ 1 − q n→∞ 1 − q 1−q 1−q 1 . Следовательно, при |q| < 1 ряд (1) сходится и его сумма равна 1 − q При q = 1, Sn = 1 + 1 + 1 + · · · + 1 = n, lim Sn = ∞; при q = −1 n→∞ последовательность частичных сумм имеет вид 1, 0, 1, 0, 1, . . . и не стремится ни к какому пределу. Таким образом, при q = −1 ряд (1) расходится. Если знаменатель геометрической прогрессии q > 1, то lim q n = ∞, поэтому n→∞ lim Sn = ∞. Ряд (1) в этом случае расходится. Если q < −1, то lim q n не n→∞ n→∞ существует, поэтому не существует и lim Sn и, значит, ряд (1) расходится. n→∞ Итак, при |q| < 1 ряд (1) сходится, при |q| ≥ 1 расходится. 1
