О любви Эренфеста к парадоксам

ПРИЛОЖЕНИЕ 1
О ЛЮБВИ ЭРЕИФЕСТА
IE ПАРАДОКСАМ
Осенью 1932 года академик Л. И. Мандельштам приступил в Москве
к чтению курса лекции по избранным вопросам оптики. 13 вводной
лекции ои специально остановился на принципах отбора материала
для своего курса. Эту лекцию можно было бы с полным основа­
нием наз ват ь «похвальным словом парадоксу».
Парадоксы различались Мандельштамом но пх значимости.
Формулировка ключевых парадоксов (иногда называемых более
прозаически тупиками или более эмоционально — катастрофами),
обычно предшествует существенному продвижению вперед, возник­
новению новой теории. Так о в ы были парадоксальные результаты
опытов Маикельсона по обнаружению эфирного ветра или ультра­
фиолетовая катастрофа Р э л е я —Джинса, с в язан н ая с распределе­
нием энергии в спектре излучения черного тела. В ы хо д из первой
ситуации ока зал ся возможным после возпикповеппя эйнштейнов­
ской теории относительности; катастрофа Рэлея — Джинса была
преодолена созданием квантовой теории излучения Планка.
Мандельштам отмечает еще одну, по его словам, более «скром­
ную область, где парадоксы играют важную роль — это учебные
парадоксы» *. Оп говорит о двух степенях попимахшя физического
явления. Первая из них сводится к уяснению новой теории, новой
области знаний, когда изложенные в соответствующих монографи
ях, учебниках или стат ьях новые факты становится вам попят­
ными. Более ж е высокая степень понимания приходит, если вы
сами оказыва ете сь в состоянии ставить п распутывать более тр уд­
ные вопросы или задачи, разрешимые в рамках изученной вами
теории.
Пока этой второй степени понимания пет, подобные задачи и
представляются вам некими парадоксами (их предельно упрощен­
ный аналог — это школьные математические головоломки, где за
'чет порочного звена в цепочке логических рассуждений приходят
< абсурдному р е з у л ь т а т у * * ) . Разбор подобных парадоксов чрезвы­
чайно полезен для перехода от первой ко второй степени пони­
мания.
Для Эрепфеста та к ж е (а мож ет быть и в еще большей сте п е­
ни) была характерна любовь к всев озм ожным парадоксам п «тем""
*
Мандельштам Л. II. Лекции по оптпке, теории относительности
и квантовой механике. М., «Наука», 1972, с. 8.
Отметим, что в Ленинградском отделении Архипа АН СССР име­
ется письмо Эрепфеста к известному советскому популяризатору
пауки Я. И. Перельману, в котором Павел Сигизмупдовпч пред­
лагает разобраться в одной из таких «парадоксов — головоло­
мок» (вероятно, придуманной им самим).
1
пым местам» (dunkle P u nk te n ), как on их называл. Он с дела:,
очень много для формулировки парадоксов квантовой теории — эт(
отмечал Бор. Как никто, Эрепфест умел выдвигать перед своими
учениками в процессе лекционных или индивидуальных с ними
занятий парадоксальные вопросы.
Вольфганг Паули писал, что, воздавая должное Эрспфесту за
его вклад в развитие кинетической теории материи и, в частности,
в теорию броуновского движения, можно не без некоторого основа­
ния упрекнуть его «в большом пристрастии к маленьким парадок­
сам». Вероятно, упрек этот в какой-то мере был сделан потому,
что разрешение соответствующих парадоксов
Эрепфест ппогда
выносил на страницы физических журналов. С точки зрения Пау­
ли, который в теоретической физике находился существенно выше
«второй степепп понимания», этп парадоксы были у ж слишком
ученическими. Однако Паули забывал, что большинство физиков
не обладало столь высоким уровнем знаний и понпмаппя. Факты
свидетельствовали, что в обсуж давши хся Эренфестом парадоксах
пе разбирались и авторы статей, публиковавшихся в солидных
физических журналах, а пе только рядовые читатели этих статей.
Это и заставляло Эренфеста-учптеля выступат ь в печати со своими
«учебными парадоксами».
Ниже приведены три таких парадокса, вскр ытых, сформулпроваппых и решенных Эренфестом. Мы ограничимся их постанов­
кой, разрешение ж е парадоксов читатель при желании м ож ет по­
п ытат ься получить сам пли найтп в соответствующей публикации *.
ПАРАДОКС У В Л Е Ч Е Н И Я
Мы помним, какие ж аркие споры в ы зы в ал вопрос о том, увлекает
ли Земля при своем движении в пространство мировой эфир. При­
мерно в то ж е время физиков интересовал гораздо мспее глобаль­
ный вопрос, связанный со сходной с чисто внешней стороны проб­
лемой. Рассм атр ивае тся броуновское движение сферы, взвешенной
в жидкости. Какое влияние ока зы вае т это беспорядочное д ви ж е­
ние на жидкость в целом? Можно лн утверждать, что пропсходит
увлечение жидкости такой сферой, вы зы вает ли оно макроскопи­
ческое перераспределение направлений (и скоростей) движения
молекул жидкости? Этп вопросы волновали и создателей теории
броуновского движения — Эйнштейна и Смолуховского, и других
ученых, занимавшихся развитием этой теории.
Анализ поставленного выше вопроса на основе кппетпческой
теории, проведенный голландцами B a n дер Ваальсом-младшим и
госпожой Снесслейдж, показал, что такого увлечения не происхо­
дит. В каждой точке траектории сферы и в к аждый момепт вре­
мени равные и противоположные скорости молекул жидкости ока­
зы в а ю т ся равновероятными. Результат, казалось бы, противореча­
щий пашему повседневному (макроскопическому) опыту — пара­
доксальный результат.
Статья П. С. Эренфеста, пос вященная его рассмотрению, так
* Соответствующие три статьи П. С. Эренфеста помещены в сбор­
нике его работ «Относительность, «кванты, статистика» (первая
из пих — на с. 118, вторая — на с. 116 и третья — на с. 75 этого
сборника).
2
п н азывае тся : «Ои одном парадоксе в теории броуновского д в и ж е ­
ния», Он рассматривает в ней «предельную» одномерную модель.
Две частицы д в и ж у т с я лишь по прямой линии и обладают м ас са ­
ми гп\ и т2. Опп св яза н ы м еж ду собой так, что их взаимное рас­
стояние никогда пе превышает данную величипу О, причем эта
величина по мере увеличения времени движения становится малой
в сравпеиии с общим «случайпым» смещением частицы в ту или
иную сторону на прямой (такое смещение, как известно, пропор­
ционально квадратному корню из времени). Рассматриваемая п а ­
ра совершает движение в газовой среде, находящейся в равновес­
ном состояпнн; молекулы газа сталки ваю тс я как с первой, так и
со второй частицей.
Обозначая координаты и скорости этих частиц соответственно
х\у х2\ м2, можно записать, что вероятность попадания их в ин­
тервалы Xi, Xi + dxi\ Ui, iii + dut 0 = 1 , 2 ) пропорцпопальпа
2Ф (xlt x 2) + ttijUj
exp
m 2u2
d x i dx 2du^du2,
2kT
Здесь Ф ( x u x 2) — потенциальная энергия сил, удерживающих обо
частицы друг около друга (ее рельеф — это так назы ваем ая потен­
циальная яма, столь хорошо знакомая из соответствующих кваптово-мехаппческих задач).
Зафиксируем значепия х и х2 и и\. Из вышеприведенной фор­
мулы видно, что вероятность не будет зависеть от знака (направле­
ния) и2. Это значит, что второй частице в процессе ее движения
«нет дела» до того, куда направлено движение первой, хотя они н
связаны указанным выше образом (|xi— x 2\ ^ D ) . В этом п зак л ю ­
чается парадокс.
Эренфест приводит простои кинематический пример, демонст
рпрующий своеобразие подобной ситуации. По-прежнему частицы,
движущиеся но прямой, св яза ны между собой так, что не могут
разойтись па расстояние, большее D. По-прежнему они могут за
достаточно большое время 0 совместно проходить расстояния мно­
го большпе D. При этом, очевидно, вторая частица все время сле­
дует за первой (или наоборот). Это значит, что средние значепия
произведения их скоростей, казалось бы, должны быть все время
положительными:
I
и 1и 2
= —
f
J ы,М/ > 0.
Знак интеграла должен о траж ать этот факт: скорости частиц оди­
наковы по направлению и этим обеспечивается дрейф пары в одном
направлении. Однако, рпс. 2, приведенный Эрепфестом, показывает,
что этот знак м ож ет быть п противоположным, т. о. среднее значе­
ние произведения и\и2 — отрицательно. На рисунке сплошная ло­
маная линия показы вает график движения, ск ажем, первой части­
цы, а пунктирная — второй. Линии, пр оведенное через точки пово­
рота — это ограничительные лпнпп |х2— х\ |< 0 . Вмест е с тем вид­
но, что па каждом этапе движения Д u2= — и,, а значит иаш инте­
3
грал (его можно заменить соответст­
вующей суммой по А) будет, в про­
тивоположность тому, что ожида­
лось, отрицательпым. На самом же
деле
несложный анализ, даппый
Эрепфестом в приложении к его ста­
тье, позволяет заключить, что в сл у­
чае равновесия газа п справедливо­
сти известпой теоремы о равнорас­
пределении эпергпи по степеням сво­
боды, интеграл вообще обращается в
нуль.
Тем самым возможпость того,
что в с р е д н е м
(по прошествии
мпогпх А — зигзагов ломаной линии
броуновского движения частицы) увлечепие по будет иметь места, если
t
и не док азы вается строго, то во в с я ­
Р п с . 2. К п а р а д о к с у увлечском случае,
ярко
иллюстрирует­ н ня
ся.
ГАЗ В ПОЛЕ ТЯЖ ЕСТИ
В заглавие статьи Эрепфеста, выбранной в качестве второго при­
мера его любви к парадоксам, самим Павлом Сигнзмундовичем
введено другое слово: «заблуждение». Эта статья н азывает ся : «Об
одном старом заблуждении относительно теплового равновесия газа
в поле тяжести». Начинается ж е она так: «Еще Больцман (в 1876
году) полностью опроверг давпее ошибочное утверждение, что в
случае газа, находящегося в состоянии теплового равновесия в поле
тяготения, средняя кинетическая энергия молекул в ппжней части
якобы должна быть большей — за счет ускорения свободного паде­
н и я , — чем в верхней. Т е м не менее это утверждение вновь и вновь
поя вл яется па страпнцах научпых журналов».
Итак, Л. Больцман опроверг заблуждение 100 лет тому назад,
а Эрепфест счел необходимым обратиться к ра зъяспепию этого
заблуждепия примерно полвека спустя... Представлялось заман­
чивым посмотреть, иоиадают ли физики в сети этого заблуждения
в наши дни. «Эксперимент» (проведенный автором) показал, что,
как правило, не попадают. Несколько х у ж е обстоит дело, когда этот
вопрос ставится на аспирантских экзаменах по физике. Однако в
общем и целом (как и и случае во­
просов, ка за в ш ихся трудными для
дер жав ш их магистерские экзамепы
в
Петербургском
уппверсигете в
00-х годах) можпо сделать отрадный
вывод о возросшем уровпе зпапий.
Физические жури алы, пожалуй, не
опубликовали
бы сейчас
подоб­
ного рода заметку. Но ее содер­
ж ание м ож ет быть очень полезно
для лектора и экзаменатора в ву4
Эренфест, как всегда, рассматривает предельно упрощенную с х е ­
му (рис. 3 ) . В некотором сосуде имеется газ. Его молекулы не стал­
киваются друг с другом и упруго о тр аж аю тс я (без потерь энергии)
от боковых степок н крышки. Обмен теплом происходит лишь с
дном сосуда, температура которого поддерживается постоянной н
равной Т. Поэтому распределение молекул в сосуде по энергиям —
максвелловское, соответствующее этой т е м п ер ату р е* . Газ находит­
ся в потенциальном поле, которое
схематизирует ся следующим
h
образом: до высоты —
h
2
(Л — высота сосуда) Ф ( з ) = 0 , а пачиная с
Ф ( г ) = c o n s t X- Преодолев потенциальную ступеньку, молекула,
движущаяся ввер х со скоростью щ, теряет часть своей энергии х»
так что ее скорость v2 о каз ыва етс я равной
mv ,22
mv 2j
Что отсюда следует? Молекулы,
проходящие ступеньку (снизу
вверх или сверху вниз) имеют снизу большую энергию (п ско­
рость), чем сверху. Отсюда, казалось бы, следует, что средняя
кинетическая энергия молекул в пижпей части сосуда будет превос­
ходить соответствующее значение в верхней части. И еще (замеча­
ет Зренфест): поскольку v2< v u то к а ж д а я молекула вверху ировоhf 2
дпт больше времени ( —
), чем внизу. Иными словами, в к а ж ­
­
дый момент времени число молекул, находящихся вверху, превос­
ходит таковое внизу.
Примерно так (отппбочпо!) рассуждали многие, и в частности
фон Дальвптц-Вегпер из Гейдельберга, опубликовавший в «Z. Phys.»
за 1923 год статью об уменьшении температуры атмосферы под
влиянием силы тяжести. Она н послужила поводом к опубликова­
нию заметки Эренфеета, в которой вопрос о поведении газа в поле
тяжести раз ъя сн яет ся простым образом.
ПАРАДОКС Б Р Е Й Т А -
ЭРЕПФЕСТА
Последпий выбраппый нами пример относится к квантовой теории.
Речь идет о работе Эрепфеста и его американского ученика п со­
трудника Грегори Брейта (пыпо хорошо известного физика-теоре­
тика). Авторы в своей статье, снова обращающей на себя внимапие
у ж е самим заглавием; «Об одном замечательном случае к ван това­
ния» — рассмотрели колебании (вращение) жестко го диполя в пло­
скости. Выбирается такая модель: диполь с моментом инерции I
поворачивается (отклоняется) на угол ср, возвращается в положеНеупругое соударение молекулы с поверхностью по существу
всегда происходит в два этапа. Первый состоит в «нрилинаппн»
молекулы к поверхности. Затем, спустя какое-то время, она с этой
поверхности испаряется, причем спектр скоростей таких испа­
ряющихся молекул соответствует максвелловскому распределе­
нию по скоростям при температуре поверхности Т.
5
нио равновесия, отклоняется на этот ж е угол в противоположном
направлении и через равповеспое положение снова возвращается
в исходное состояние. Таким образом, угол <р меняется в пределах
— ) • 2я <
< / •2п.
Здесь / — большое (не обязательно рациональное) число. Обозна­
чая угловую скорость вращепия диполя со, легко находим период
его колебаний:
Т = 4/ 271/ш,
причем 2 / оборотов совершаетс я диполем в одну сторону, а затем
2 / — в другую. На рис. 4 , взятом из статьи Эренфеста и Брейта,
Рио.
4
.
К п а р а д о к с у Б р е й т а — Э ре нфес та
приведен график изменения проекции электрического
момента
диполя па ось, расположенную в плоскости колебаний. Если момент
инерции, как было указано, равен /, то момент количества д в и ж е ­
ния диполя р записы вает ся в виде р —1 со.
Для рассматриваемой системы справедливо обычное боровское
условие квантования:
J pdq — nh,
где п — целое число; h — постоянная Планка; р и q — соиряжеппые
импульс и координата: в нашем случае — /со и, соответственно, ср.
Таким образом, иолучаем:
4/ * 2л р = n h %
откуда
р
=
(h/SfTt) п .
что разность двух последовательных значений р
h
Ар —Pn+i— Pn —
при больших / ока зы вается
малой величи­
Мы
видим,
ной. То ж е самое справедливо и для эпергии диполя— квадратичной
функции р. С другой стороны, столь же очевидпо, что при стрем­
лении / к бесконечности периодом соответствующего колебания т
станет величина 2л/со, и условие квантования для моменте р нри
этом даст pm *= m h /( 2 л ) . Разность последовательных значений р те­
перь будет равна Д р - Л / ( 2 л ) , т. е. отнюдь е е обращается в пуль.
Снова мы имеем налицо резкое противоречие, которое разрешается
авторами статьи в духе боровского принципа соответствия.
6