К вопросу проектирования технологических процессов

К ВОПРОСУ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
О.М.Пигнастый, 2Т.В.Меркулова
Харьков, Национальный Технический Университет
«Харьковский Политехнический Университет»,
2
Харьков, Харьковский Национальный университет
им.В.Н.Каразина
1
1
Под проектированием технологических траекторий
подразумевается расчет технологических воздействий на
предмет труда для его преобразования в готовый продукт [1].
Выбор нормативной технологической траектории определяется
технико-экономическими
параметрами
производства,
изменение которых требует перехода от одной нормативной
технологической траектории к другой [1,2]. Задачей
проектирования технологии является поиск траектории, по
которой в ходе технологического процесса предмет труда
выйдет в заданную конечную точку. Геометрическое место
точек в фазовом технологическом пространстве, положение
которых соответствует координатам последовательных
состояний предмета труда в ходе технологического
преобразования, является технологической траекторией

q(t )  q1 (t ),.,q j (t ),..qn (t ) [3]. Квадрат элемента длины dГ 2


представляет выражение
n
dГ 2 
n
a i, j (q j , q i )  dq j  dq i ,

i  1 j 1
(1)
с заданной метрикой и координатными функциями фазового
технологического пространства a i, j (q j , q i ) [3], определяемыми
из технологической документации. Величина дуги
qi1
S 
n
n
  a
qi0
i, j (q j
, q i )  dq j  dq i ,
(2)
i 1 j1
соединяющая
две
точки
фазового
технологического
пространства с обобщенными координатами q i0  и q i1  ,
есть изменение стоимости предмета труда при перехода из
одного состояния в другое в результате технологической
обработки. За время dt предмет труда проходит путь в
фазовом
технологическом
пространстве
n
n
a i, j (q j , q i )  dq j  dq i [3]. С другой стороны за время

i  1 j 1
на предметы
координатами
dt
труда в элементе объема, ограниченном
q1  dq1,., q j  dq j ,..qn  dqn ,
и
q1.., q j ,..qn




перенесены
технологические
ресурсы
в
количестве
  q1 ,..,q j ,., qn  dt с интенсивностью   q1,..,q j ,., qn . Таким




образом, можно записать зависимость между координатами
двух рассмотренных событий в расширенном (n+1)-мерном
фазовом технологическом пространстве:
d  =    dt
2
2
- dГ 2  0 .
(3)
Квадратичная форма (3) позволяет рассматривать интервал
d  с формальной точки зрения, как расстояние между двумя
точками
в
расширенном
(n+1)-мерном
фазововом
технологическом пространстве.
При
исследовании
технологических процессов будем исходить из принципа
наименьшего
действия.
Потребуем,
чтобы
для
рассматриваемой
производственно-технической
системы
интеграл
b

 ab  d 
a
b
n
n
2
a i, j (q j , qi )  dq j  dq i
   q j  dt  
i 1 j1
. (4)
a
имел минимум в случае, когда технологический процесс
обработки предмета труда выполнялся согласно нормативным
технологическим параметрам. Такой путь в расширенном
(n+1)-мерном фазовом технологическом пространстве является
прямым[3], для которого
вариация   ab равна нулю.
Целевой функционал (4) можно представить в виде интеграла
по времени



a
b
 ab 
n
n

dq j dq i 
2
.
a i, j (q j , q i ) 

dt
   q j   
dt
dt
i 1 j1
Подынтегральная функция

(5)
J   2 
есть
целевая
функция
n
n
dq j dq
a i, j 
 i ,

dt dt
i 1 j1
технологического
(6)
процесса
для
производственно-технической системы. Из равенства   ab =0
следуют уравнения, описывающие поведение предмета труда
при технологической обработки вдоль технологического
маршрута в (n+1)-мерном технологическом пространстве
d J
J
,

dt q i
q i
Если сделать замену
J 
   2 
n
(7)
[3, стр.30]
n
 a
i 1 j1
i, j

dq j dq i
,

dt dt
(8)
то для определения кривой в расширенном (n+1)-мерном
технологическом пространстве, уравнения Эйлера (7) примут
вид уравнения в форме Конторовича- Крылова [3, стр.30]:
n
n
1 
1
 2
1
 2
 d 1

 q i 
 qi 
 0 . (9)
q k dt 2 
2  q k 2  i 1 q i q k
2  i 1 q i q k
Для одномерного фазового технологического пространства
(t , S ,  ) уравнение движения (7) принимают вид
  S 
d 
.
(10)
   S  
dt
S
Вывод: В работе предложен подход построения целевых
функций производственно технических систем, основанный на
данных
нормативной
технологической
документации
технологического процесса.
1.Тихонов А.Н., Кальнер В.Д. Гласко В.Б. Математическое
моделирование технологических процессов и метод обратных
задач в машиностроении. М.: Машиностроение, 1990. – 264 с.
2.Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В.,
Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных
процессов. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. Лит., 1983. 392 с.
3.Смирнов В.И., Крылов В.И., Канторович Л.В. Вариационное
исчисление. – Л.: Изд. ЛГУ, 1933. – 204 с.

