Решить примеры из ФЭПО

Решить примеры из ФЭПО
1. Какая из функций 1) g ( x)  sin 3 x , 2) g ( x)  cos x , 3) g ( x )  x , 4) g ( x)  x 2 является функцией,
  5 
ортогональной к данной f ( x)  sin 3 x на отрезке  ,  ?
 3 3 
2. Какая из функций 1) g ( x)  x sin x , 2) g ( x)  cos x3 , 3) g ( x)  x  1 , 4) g ( x)  sin x является
функцией, ортогональной к данной f ( x)  x 2 ln 4 на отрезке  0,5; 0,5 ?
   5
 1 
 13 
 5 
 является прообразом вектора
3. Какой из векторов 1) x    , 2) x    , 3) x    , 4) x  
12 
4 
 2
  12 
 7 3
 1 
 ?
y    при линейном преобразовании, заданном матрицей A  
 2
 2 1
4. Расстояние между точками А1(7,2) и А2(11,3) в метрике  ( A1 , A2 )  max( x2  x1 , y2  y1 ) , где
A1 ( x1 , y1 ) и A2 ( x2 , y2 ) , равно 1) 4, 2) 2, 3) 20 , 4) 0?
5. Множество упорядоченных действительных чисел
 ( x1 , y2 ) 
2
(x
n 1
n
х
=
(х1,
х2)
с
расстоянием
 yn ) 2 образует метрическое пространство 1) l2, 2) R2 , 3) R1, 4) C[a,b]?
6. Дано множество A  ( x, y) : x, y  R с метрикой  ( A1 , A2 )  max( x2  x1 , y2  y1 ) , где A1 ( x1 , y1 ) и
A2 ( x2 , y2 ) . Тогда областью, соответствующей неравенству  (O, A)  1 , где О – начало координат,
является 1) внутренность квадрата, 2) окружность, 3) квадрат со своей внутренностью, 4) круг?
2
2
2
2
7. Не может служить метрикой пространства R2 функция 1)  ( A1 , A2 )  x1  x2  y1  y2 ,
2)

 


 ( A1, A2 )  x2 2  x12  y2 2  y12 , 3)  ( A1, A2 )  x2  x1 4   y2
 ( A1 , A2 )  max( x2  x1 , y2  y1 ) .

y  ,
1
 

1
4 4
4)
1
. Тогда
9
сжимающим отображением для D будет отображение F, заданное соотношением 1)
F ( x, y )  ( x  0,4; y  0.3) ,
2)
3)
F ( x, y)  ( x 2 , y 2 ) ,
F ( x, y)  ( x , y ) ,
8. Пусть множество D на декартовой плоскости состоит из всех точек (х, у) круга x 2  y 2 
F ( x, y )  (0,7 x  0.4; 0,8 y  0.3) ?


9. Плоская мера множества ( x, y )  R 2 : y  x , 1  x  9 равна 1) 0, 2) 32, 3) 8, 4) 18?
10. Плоская мера множества ( x, y)  R 2 : x 2  y 2  1 равна 1) π, 2) 2π, 3) 1, 4) 0?
11. Найти меру множества, изображенного на рисунке
12. На множестве меры нуль по Лебегу суммируемы функции 1) только простые и монотонные, 2)
любые, 2) только простые, 4) только монотонные?
  2
1
7
13. Чему равна норма вектора a  
, ,0,
 в евклидовом пространстве со стандартным
2
2
2


скалярным произведением 1) 2, 2) –2, 3) 1, 4) 2 ?

14. Норма вектора a   1, 2,  в евклидовом пространстве R3 равна 41 , если λ имеет значение 1) 6,
2) –6, 3)  38 , 4)
38 .
15. Пусть L – линейное пространство над полем P. Тогда аксиомой линейной функции не является
соотношение 1)   L x  L   x  x    x , 2)  ,   P x  L (   ) x  x  x ,
3)
x, y, z  L x( y  z )  xy  xz , 4) x  L 1  x  x, x  P
  

 
16. Линейный оператор f отображает базис
E  e1 , e2 , e3  в векторы f (e1 )  e1  e3 ,


 


 
f (e2 )  2e1  3e2  e3 , f (e3 )  3e1  4e2  e3 . Тогда матрица оператора f в этом базисе имеет вид: 1)
0  1
 1 2 3 
1  2 3 
 1
 1 1 0 








1  , 4)   2 3
1 ?
3  4  , 2)  1 3  4  , 3)   2 3
0
 0 1 1 
 3 4 1 
 3  4  1
 1 1 1 








17. В базисе е1 и е2 двухмерного линейного пространства линейное преобразование y = A· x задается
  2 0
 . Если х = 2е1 + е2 и у =–4е1 + bе2 , то значение b равно 1) 1, 2) 3, 3) –3, 4) 0.
матрицей A  
 1 1
 

18. В базисе е1 и е2 двухмерного линейного пространства задан вектор x  e1  2e2 . Тогда в базисе

  1 3
 1 3 
  1 3
е1 + е2, е2 – е1 вектор x имеет координаты 1) x   ,  , 2) x   ,  , 3) x   ,  , 4)
 2 2
 2 2
2 2
 1 3 
x   , .
2 2
 
19. Какой из отрезков 1)  1;1 , 2) 0;1 , 3) 1;0 , 4)  1; 2  1 является образом отрезка 0;  при
 4
отображении f ( x)  2tgx  1 ?
20. Прообразом множества 1;4 при отображении y  x 2 является 1)  2;1 1;2 , 2) 1;2 , 3) 1;16 ,
4) 16;1 1;16.
 0,5 2 
1 4
2
2
 , 2) 
 , 3)
21. Матрица квадратичной формы f  x1 , x2   x1  4 x1 x2  6 x2 имеет вид 1) 
4
6
2
3




1
2
1
2





 , 4) 
 .
6
2
 2 6


 4 2 1 


5  1 соответствует квадратичная форма
22. Матрице A   2
 1 1 3 


2
2
2
f x1, x2   4 x1  4 x1x2  2 x1x3  5x2  2 x2 x3  3x3 ,
f x1 , x2 , x3  , равная 1)
2)
f x1, x2   x  4x1x2  2x1x3  5x2  2x2 x3  x3 ,
2
1
2
2
f x1, x2   4x  2x1x2  4x1x3  5x2  2x2 x3  3x3
2
1
2
3)
2
23. Канонический вид квадратичной формы f x1 , x2   x1  4 x1 x2  x2 может иметь вид 1) y1  3y2 ,
2
2) y1  y2 , 3) y1  3y2 , 4) y1  y2 .
2
2
2
2
2
2
2
2
2