Z - МЭИ

Лабораторная работа № 6
ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО
ДВИЖЕНИЯ МАХОВИКА
Цель работы — изучение основных законов динамики поступательного и вращательного движения твердого тела, определение момента инерции маховика.
1. Метод измерения и расчетные соотношения
Ф
О
Движение
центра
масс
твердого тела описывает второй
закон Ньютона
 n 
ma   Fi
иЯ
i 1
 (1)
a —
где m — масса тела;
n 
ускорение центра масс;  Fi —
С
i 1
Н
геометрическая сумма всех сил,
приложенных к телу.
Вращение тела относительно неподвижной оси описывается
Рис. 1. Схема системы маховик-груз
основным уравнением динамики
вращательного движения, которое
в проекции на ось вращения Z имеет вид
У
И
n
I z ε z   M i z 
(2)
i 1
М
где I z и ε z соответственно моменты инерции и угловое ускорение твердого тела относительно неподвижной оси вращения Z;
n
 M i z 
— алгеб-
И
Э
i 1
раическая сумма проекций моментов внешних сил на ось вращения.
Относительно неподвижной оси Z момент инерции твердого тела определяется по формуле
I z   r 2dm ,
(3)
m
где r — расстояние от элемента тела массой dm до оси Z.
Из формулы (3) следует, что момент инерции зависит от массы тела и
от ее распределения относительно оси вращения. Чем больше масса тела
и чем дальше она находится от оси вращения, тем больше момент инерции твердого тела. Момент инерции является мерой инертности тела во
вращательном движении.
Ф
О
Рассмотрим маховик (рис. 1), состоящий из диска 1 и шкива 2, которые насажены на общий вал 3, так что система может вращаться относительно оси Z. Маховик — массивное тело (обычно в виде диска, кольца,
цилиндра), которое может вращаться относительно некоторой неподвижной оси (обычно это ось симметрии, проходящая через центр масс
тела).
Особенностью маховика является большое значение его момента
инерции относительно оси вращения. Поэтому, чтобы за короткое время
привести его в движение или изменить угловую скорость вращения,
необходимо приложить значительный момент внешней силы, относительно этой оси.
Момент инерции маховика можно измерить, изучая его вращение.
Вращение осуществляется под действием груза 4 массой m, подвешенного на нити 5, намотанной на шкив 2 (рис. 1).
Так как моменты силы реакции в оси N и силы тяжести маховика Мg
относительно оси вращения равны нулю, то уравнение динамики вращательного движения в проекции на ось Z имеет вид:
(4)
I zε z  М z Т2   M z Fтр
иЯ
 
С
Здесь Мz Т2  — проекция момента силы натяжения нити на ось Z;
Мz(Fтр) — проекция момента силы трения, приложенной к валу.
Учитывая, что М z Т 2   T2  r , а также знаки проекций моментов сил Т2
и Fтр на ось вращения Z получаем
(5)
I zε z  T2r  M z Fтр ,
Н
У
И
 
где r — радиус шкива.
Поступательное движение груза 4 массой m описывается вторым законом Ньютона
 

ma  mg  T1 ,
М
ma  mg  T1
И
Э
где а — ускорение центра масс груза, Т1 — сила натяжения нити, приложенная к грузу. В проекции на ось Y это уравнение принимает вид
(6)
Предполагается, что нить нерастяжима и не обладает массой. Поэтому
ускорение всех точек нити и груза одинаковы, а силы натяжения нитей Т1
и Т2 равны между собой (Т1 = Т2 = Т). В отсутствии проскальзывания нити
линейное (тангенциальное) ускорение обода шкива равно ускорению груза.
В процессе движения всей системы груз опускается с постоянным
ускорением а с высоты h1 до наинизшего (нулевого) уровня, определяемого длиной намотанной на шкив нити. Тогда, очевидно,
Ф
О
aτ2
h1 
,
(7)
2
где  — время за которое груз проходит расстояние h1.
Так как ускорение поступательного движения груза связано с угловым
ускорением вращения маховика соотношением
a  εr ,
то можем записать
ε rτ 2
h1 
.
(8)
2
Выражение для момента инерции маховика получаем из уравнения (5)
Iz 
Tr  M z  Fтр 
иЯ
(9)
ε
Если силу натяжения нити выразить из соотношения (6), а угловое
ускорение  – из (8), то выражение (9) приобретает вид
 
С
 mgr  M z Fтр 
 rτ 2  mr 2 .
Iz  
(10)
2h1


Для расчета момента инерции I z нужно знать все величины, входящие
в формулу (10). Из проведенного эксперимента можно измерить  и h1.
Момент силы трения M z  Fтр  определяем, проведя второй эксперимент.
Н
У
И
Для этого, вращая маховик, груз поднимают на первоначальную высоту
h1 , а затем систему предоставляют самой себе. Груз сначала опустится на
расстояние h1 до нижней точки (нить при этом сматывается со шкива), а
затем (когда нить начинает наматываться на шкив) поднимается на высоту h2 , меньшую чем h1. Причиной подъема груза на меньшую высоту является трение в подшипниках вала. Изменение механической энергии системы Wмех равно работе силы трения A  Fтр 
М
И
Э
Wмех  A  Fтр 
(11)
Так как начальная и конечная кинетические энергии Wк1 и Wк2 равны
нулю, то изменение механической энергии системы равно изменению
только потенциальной энергии груза
Wмех  Wn 2  Wn1
(12)
Работа силы трения выражается через момент силы трения M z  Fтр  и
угловое перемещение маховика 
A  Fтр    M z  Fтр  
Приравнивая правые части уравнений (12) и (13), получаем
(13)
Wn 2  Wn1   M z  Fтр  
или


mgh2  mgh1   M Fтр 
(14)
Угловое перемещение маховика  равно отношению длины дуги, которую опишут точки обода шкива за все время движения, к его радиусу
  l ,
r
Ф
О
где l = h1  h2 .
Подставляя угловое перемещение  в уравнение (14), получаем
m1 g  h1  h2  r
.
(15)
h1  h2
Окончательное выражение для определения экспериментального значения
момента инерции маховика приобретает вид:

gτ 2 h2
2
(16)
I zэ  mr 
 1 .
 h h  h  
 1 1 2

M z  Fтр  
иЯ
С
Н
Формула (16) позволяет рассчитать момент инерции маховика по измеренным в опытах значениях , h1 и h2 .
Значение момента инерции маховика, полученное экспериментально, можно сравнить с теоретическим значением момента инерции вращающейся системы. В лабораторной установке маховик можно условно разбить на отдельные элементы: вал, шкив, диск и кольцо (если маховик
имеет внешнее кольцо). Поскольку момент инерции твердого тела обладает свойством аддитивности, то можно записать
I zт  I zвала  I zшкива  I z диска  I z кольца
У
И
М
Так как материал, из которого изготовлен шкив, обладает гораздо
меньшей плотностью, чем плотности материалов других элементов маховика и при этом диаметр шкива относительно мал, то моментом инерции
шкива I zшкива можно пренебречь.
или
I z т  I zвала  I zдиска  I zкольца


И
Э
Поэтому


2
2
mкольца R12  R22
mвала Rв2 mдиска R1  Rв
,
I zт 


2
2
2
(17)
где mвала , m диска , mкольца — соответственно массы вала, диска, и кольца;
Rв — радиус вала; R1 — внешний радиус диска; R2 — внешний радиус
кольца. Соответствующие параметры представлены в данных установки
на экспериментальном стенде.
2. Описание схемы установки
Ф
О
На рис. 2 представлена схема установки. Маховик 1 представляет
собой массивное тело в виде фигуры вращения геометрически и физически симметричное относительно оси вращения z. Маховик 1 со шкивом 2
плотно закреплены на валу 3, запрессованном в прецизионные подшипники качения 4. Подшипники 4 строго соосно смонтированы на массивных опорах 5, жестко закрепленных на основании 6. Намотанная на шкив
2 нить 7 перекинута через легкий блок 8, установленный на стойке 9.
Другой конец нити соединен с грузом 10. Для регистрации положения
груза предусмотрена вертикально расположенная линейка 11 с миллиметровой шкалой. По миллиметровой шкале линейки фиксируется
начальное и конечное положение груза 10, по которым рассчитываются
высоты h1 и h2. На рис. 2 указаны r — радиус шкива, R1 — наружный радиус диска, R2 — внешний радиус кольца 12 (если маховик имеет внешнее кольцо).
иЯ
С
Н
У
И
М
И
Э
Рис. 2. Схема экспериментальной установки
3. Порядок выполнения работы
Ф
О
1. Заполните табл. 1 спецификации измерительных приборов. Внесите в протокол данные установки.
Для проведения опытов необходимы следующие средства измерений:
 секундомер с разрешением не хуже 0,2 с;
 линейка с миллиметровой шкалой;
 штангельциркуль.
В зависимости от конструкции установки возможно использование
автоматической системы запуска и измерения времени электронными
средствами. Описание автоматической системы и порядок ее использования приводятся в инструкции к установке.
Таблица 1
Спецификация измерительных приборов
иЯ
Название прибо- Пределы
Цена Инструментальная
ра и его тип
измерения деления
погрешность
Линейка
Секундомер
Штангенциркуль
С
Н
Данные установки:
m=
, m =
.
Масса груза
,  mд =
.
Масса диска
mд =
Радиус диска
R1 =
, R1 =
.
mв =
Масса вала
,  mв =
.
Радиус вала
Rв =
, Rв =
.
Внешний радиус кольца (если маховик имеет внешнее кольцо)
R2 =
, R2 =
. Масса кольца
,  mк =
mк =
У
И
М
С помощью штангенциркуля проведите пять независимых измерений
диаметра шкива d, значение диаметра запишите в табл. 2.
1
2
3
4
5
среднее
d, мм
r 
И
Э
№
п/п
Таблица 2
Результаты измерений диаметра шкива
Радиус шкива,
Диаметр шкива,
d
, мм
2
Ф
О
2. Придерживая маховик, осторожно опустите груз 10 в крайнее нижнее положение. При этом нить должна быть полностью смотана со шкива
и натянута, а груз 10 не должен касаться опоры. Произведите отсчет у0
положения нижнего торца груза по вертикальной линейке 11.
3. Вращая маховик, поднимите груз так, чтобы его нижняя торцевая
поверхность располагалась на отметке у1 по линейке — исходное состояние (значение у1 согласуйте с преподавателем).
4. Удерживая маховик с грузом в положении у1, подготовьте секундомер к проведению измерений времени движения системы.
5. Без толчка отпустите маховик, одновременно включив секундомер. Система приходит в движение.
6. В момент достижения грузом 10 крайнего нижнего положения у0
выключите секундомер. В этот момент нить будет полностью размотана,
а затем по инерции начнет самопроизвольно наматываться на шкив, при
этом груз 10 будет подниматься. Зафиксируйте максимальную отметку у2,
на которую поднимется груз после прохождения им крайнего нижнего
положения. Результаты измерений  и у2 занесите в табл. 3.
7. Верните систему в исходное состояние. Пункты 3-6 повторите еще
4 раза. Результаты измерений занесите в табл. 3.
иЯ
С
Таблица 3
Измерение времени движения груза , и расстояний h1 и h2
Н
h2=(у2 –у0), мм
, с
У
И
у0, у1, у2, h1=(у1– у0), мм
№
мм мм мм
п/п
1
2
3
4
5
среднее
М
И
Э
4. Обработка результатов измерений
1. По среднему значению диаметра шкива рассчитайте его радиус и
внесите его значение в соответствующую графу табл. 2.
2. Используя данные, приведенные в табл.3, вычислите средние значения времени , высоты h2.
3. С учетом средних значений величин τ , h1, h2 и r рассчитайте
экспериментальное значение момента инерции маховика по формуле (16).
4. Используя формулы (7) и (8), рассчитайте ускорение поступательного движения груза и угловое ускорение вращающегося маховика.
5. Рассчитайте теоретическое значение момента инерции маховика,
используя соотношение (17).
6. Проведите статистическую обработку результатов измерений времени движения груза  и радиуса шкива r.
7. Рассчитайте абсолютную погрешность прямо измеренных величин, приведите абсолютные погрешности данных установки. Используя
полученные значения погрешностей, рассчитайте абсолютную погрешность экспериментального значения момента инерции маховика по формуле:
2
2
Ф
О
I z э  I z э
2
2
2
 m 
 r   g   h1 
 τ 
  4  .

  4   
 
 m 
 r   g   h1 
 τ 
8. Рассчитайте погрешность теоретического значения момента инерции маховика по формуле:
иЯ
2
2
2
С
 D   m   m 
I Z т  I Z т 4  д    д    к  .
 D   mд   mк 
9. Окончательные результаты для экспериментального и теоретического значений Iz запишите в стандартном виде
Н
I zэ  I zэ   I zэ ,
I zт  I zт   I zт .
У
И
Проведите сравнение и сделайте вывод.
5. Контрольные вопросы
М
1. Как определяется момент инерции материальной точки, системы
материальных точек, твердого тела относительно оси?
2. От чего зависит момент инерции твердого тела массой m относительно данной оси вращения Z?
3. Каков физический смысл момента инерции твердого тела?
4. Рассчитайте момент инерции сплошного однородного кольца относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через
его центр.
5. Дайте определение момента силы относительно неподвижного полюса, относительно неподвижной оси.
6. Каким образом в работе определяется работа сил трения в подшипниках вала?
7. Получите формулу для расчета момента инерции маховика по
данным эксперимента, пренебрегая трением в подшипниках вала.
8. Запишите основное уравнение динамики вращательного движения
и охарактеризуйте входящие в него величины.
И
Э
9. Почему груз в эксперименте поднимается на высоту, меньшую
первоначальной?
10. Как рассчитывается теоретическое значение момента инерции
маховика относительно оси вращения? Какие параметры для этого надо
знать? Какими величинами можно пренебречь?
11. Какие силы создают вращающие моменты в работе, куда
направлены моменты этих сил?
12. Сформулируйте закон изменения механической энергии.
Рекомендуемая литература
Ф
О
иЯ
13. Савельев И.В. Курс общей физики: Учебное пособие. В 3-х тт.
Т.1. Механика. Молекулярная физика. 5-е изд., стер. — СПб.: Издательство «Лань». 2006. С.106 — 111, 134 — 143, 151 — 155.
14. Д.А. Иванов, И.В. Иванова, А.Н. Седов, А.В. Славов. Механика.
Молекулярная физика и термодинамика: Конспект лекций/ Под ред. А.В.
Кириченко. — М.: Издательство МЭИ. 2003. С.44 — 56.
С
Н
У
И
М
И
Э