Лекция 8

Лекция 8
1.
Применение законов сохранения для описания
удара частиц (тел)
2. Кинетическая энергия вращающегося тела
3. Работа внешней силы при вращении
4. Закон сохранения момента импульса
1. Применение законов сохранения для описания удара
частиц (тел)
Удар – это кратковременное взаимодействие частиц или тел, при котором
силы взаимодействия много больше, чем внешние силы.
Поэтому систему соударяющихся частиц или тел можно считать замкнутой.
Удар шаров
центральный
нецентральный
(движение происходит по прямой,
соединяющей центры шаров)
m1
V10
m2
(направление движения не совпадает с
линией, соединяющей центры шаров )
V2
Существует два предельных вида удара: абсолютно
упругий и абсолютно неупругий
Абсолютно упругий удар
Это такой удар, при котором тела разлетаются, не меняя своего внутреннего
состояния и формы.
m1 m2 V10
V 20 V , V - скорости
10
Пусть один шар догоняет другой
Найдем скорости шаров после удара:
20
V1 , V2
шаров до
удара
При абсолютно упругом ударе выполняются закон сохранения импульса и закон
сохранения кинетической энергии
m1V10 + m2V20 = m1V1 + m2V2
З.С.И.→ m1V10 + m2V20 = m1V1 + m 2V2
З.С.Э.→
2
1 10
mV
mV
+ 2
2
2
2
20
=
m1 (V10 − V1 ) = m2 (V2 − V20 )
m1 (V102 − V12 ) = m2 (V22 − V202 )
2
1 1
mV
mV
+ 2
2
2
2
2
m1V102 + m2V202 = m1V12 + m2V22
(8.1)
Поделим нижнее уравнение на верхнее
V10 + V1 = V2 + V20 ⇒ V2 = V10 − V20 + V1
Подставив V2 в верхнее уравнение, получим
V1 =
1
[2m2V20 + (m1 − m2 )V10 ]
m1 + m2
(8.2)
V2 =
1
[2m1V10 + (m2 − m1 )V20 ]
m1 + m2
(8.3)
Анализ полученных формул (8.2) и (8.3)
1. Шары одинаковые (m1 = m2) → V1 = V20
V2 = V10
Шары обмениваются
при соударении
скоростями
2. m1 << m2 – удар о неподвижную массивную стенку (V20 = 0)
Пренебрегая в формулах величиной m1
по сравнению с m2, получим
Из закона сохранения импульса
V1 = -V10
V2 = V20 = 0
m1V10 = -m1V10 + Pст
можно найти импульс, полученный стенкой
Рст = 2m1V10
Эта формула важна
при вычислении
давления молекул
газа, потока фотонов
Полученные формулы справедливы только для центрального удара. Если удар
нецентральный, то нужно рассматривать компоненты импульса с учетом того, что по
каждому из них выполняются законы сохранения.
Опыт показывает, что относительная скорость
тел после удара не достигает своего прежнего
значения. Это объясняется тем, что нет идеально
упругих тел и идеально гладких поверхностей.
Отношение относительных скоростей тел
после и до удара называют коэффициентом
восстановления k = U'12 / U12
Для абсолютно упругих тел k = 1, для всех других тел
0<k<1
Абсолютно неупругий удар
Это такой удар, при котором энергия относительного движения тел полностью
превращается в другие виды энергии, например, тепловую при пластической
деформации или энергию возбуждения при столкновении атомов
Тела или частицы после неупругого соударения движутся как единое целое с
одинаковой скоростью
m1 V 10
m2 V
20
m1 + m2
(до удара)
V
(после удара)
Закон сохранения кинетической энергии при таком ударе не выполняется.
Выполняется закон сохранения полной энергии – механической и тепловой, например.
Для определения скорости шаров после неупругого удара достаточно одного уравнения
закона сохранения импульса
m1V10 + m2V20 = (m1 + m2 )V
→
V =
m1V10 + m2V20
m1 + m2
Механическая энергия, перешедшая в тепло, равна разности кинетических энергий
шаров до и после удара
Q = EК 0
m1V102 m2V202 (m1 + m2 )V 2
− ЕК =
+
−
2
2
2
Потери энергии вследствие
деформации
удар.mov
Демонстрация обмена энергией при упругом соударении шаров с
одинаковой массой
2. Кинетическая энергия вращающегося тела
Кинетическая энергия вращающегося тела равна алгебраической сумме
кинетических энергий отдельных точек тела, масса которых ∆mi
n
1 n
E к = ∑ E кi = ∑ ∆miVi 2
2 i =1
i =1
Учитывая, что Vi = ω ⋅ ri , получим
n
∑ ∆m r
где
2
i i
i =1
1 2 n
E к = ω ∑ ∆mi ri 2
2
i =1
= I - момент инерции твердого тела, следовательно
Iω 2
Eк =
2
Кинетическая энергия
вращающегося тела
3. Работа внешней силы при вращении
Пусть тело вращается вокруг оси, проходящей через
точку 0
∆mi
∆φ
0
∆Si
1
2
Выделим элементарную
массу ∆mi, которая вращается
под действием силы F i
Пусть за время ∆t масса ∆mi переместится из положения 1 в
положение 2, при этом пройдет путь ∆Si, которому соответствует
угол поворота ∆φ
Разложим силу F на две составляющие тангенциальную Fiτ и нормальную F in
Fi
i
Найдем работу силы
0
∆Ai = Fi ⋅ ∆S i = Fiτ ∆S i + Fin ∆S i
∆Ai = Fiτ ∆S i = Fiτ ∆S i cos α
Fi
1
∆Ai = Fiτ ∆S i
Учитывая, что
∆Si = ri ∆ϕ
∆Ai = Fiτ ri ∆ϕ = M i ∆ϕ
получим
Работа всех сил, приложенных к телу, будет равна алгебраической
n
n
сумме элементарных работ
A =
∑
i =1
где
A = M ⋅ ∆ϕ
M =
∆ Ai =
∑
i =1
- работа силы,
приложенной к
элементарной массе ∆mi
M i∆ϕ = ∆ϕ ⋅ M
n
∑
M
i
i =1
- момент всех внешних сил в случае, когда F = const
- работа постоянной силы
t2
A = ∫ Mdϕ = ∫ Mω ⋅ dt
Если величина силы изменяется со временем (переменная
сила), то момент тоже изменяется и тогда работа будет
определяться по формуле (8.4)
dϕ = ω ⋅ dt
покажем, что работа равна разности кинетических энергий
A= ∫I ⋅
1
ω2
Iω
Iω
dω
ω ⋅ dt = I ∫ ω ⋅ dω =
−
2
2
dt
ω1
2
2
2
1
A=
Iω
Iω
−
2
2
2
2
(8.4)
t1
Используя основной закон динамики вращательного движения M = I ⋅ ε = I
2
Fin ⊥ ∆S i
∆S i = τ ⋅ ∆S i
Fiτ ↑↑ ∆S i
2
1
dω (8.5)
dt
Работа при вращательном
движении затрачивается на
увеличение кинетической
энергии
4. Закон сохранения момента импульса
Этот закон также как и закон сохранения импульса выполняется только в
замкнутой системе.
Если система замкнута, то ∑ Fвн = 0 , а следовательно и результирующий момент всех
внешних сил тоже равен 0, то есть ∑ M вн = 0
Запишем закон изменения момента импульса
dL
= ∑ M вн
dt
Момент импульса замкнутой
dL
= 0 ⇒ L = const системы остается постоянным,
dt
какие бы изменения внутри
Если ∑ M вн = 0 , то
системы не происходили
Учитывая, что
L = Iω
Iω = const
I 1ω1 = I 2ω 2
, закон сохранения момента импульса запишется в виде
Из выражения (8.6) следует, что если момент инерции
системы увеличивается, то во столько же раз должна
(8.6) уменьшиться угловая скорость и наоборот
Закон сохранения момента импульса можно продемонстрировать с помощью известного
опыта со скамьёй Жуковского, которая может вращаться относительно вертикальной оси
с малым трением.
Этот закон используют цирковые артисты, фигуристы, танцоры и т. д.