208(275) - Российский государственный университет нефти и газа

РОССИЙСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
НЕФТИ И ГАЗА имени И.М. ГУБКИНА
Колдаев М.В., Карпенко Г.А.
Учебно-методическое пособие
для проведения лабораторных работ по физике.
Электромагнетизм и волны.
Одобрено учебно-методической комиссией факультета
разработки нефтяных и газовых месторождений
и кафедрой физики.
Москва
2014
Лабораторная работа № 208
Определение удельного заряда электрона методом магнетрона.
1.Цель работы.
Изучение движения заряда в электромагнитном поле и определение
удельного заряда электрона по сбросовым характеристикам магнетрона.
2. Теоретическое введение.
Электрон является одной из самых легких элементарных частиц. Масса
электрона составляет (9,1085±0,0006)·10-31 кг. Заряд электрона является
отрицательным и совпадает по модулю с элементарным qe  e . Все другие
электрические заряды являются кратными по модулю элементарному заряду
e  1,6022 1019 Кл .
Электрон был открыт при изучении катодных лучей в вакуумных
трубках в 1895 г., а его заряд был определен в 1911 г. Отношение e/m заряда
электрона e к его массе m называется удельным зарядом электрона.
Определив значение удельного заряда и величину заряда, можно рассчитать
массу частиц.
При движении электрона в электромагнитном поле, описываемом
векторами напряженности электрического поля E и индукцией магнитного
поля B , на него действуют электрическая сила и магнитная (сила Лоренца).
F  Fэ  Fл
(1)
Fэ  qe E
(2)
(3)
Fл  qe  υ B 
Уравнение движение электрона имеет вид:
d 2 r qe
(4)

E   υ B  ,
dt 2 m
dr
где r - радиус-вектор электрона, υ 
- его скорость.
dt
Из уравнения (4) следует, что для частиц, имеющих одинаковый
удельный заряд, кинематика совпадает. Другими словами, изучая движение
заряженной частицы в электрическом и магнитном полях, нельзя определить
заряд и массу, а только их отношение.
В лабораторной работе исследуется движение электрона в
электрическом и магнитном полях.
Электрическое поле создается цилиндрическим конденсатором. Вектор
напряженности поля расположен в плоскости, перпендикулярной оси
конденсатора, направлен по радиусу и по модулю равен


1 U
(5)
E r    a ,
r ln ra
rк
где U a – разность потенциалов между положительно заряженной обкладкой
конденсатора (анодом) и отрицательно заряженной (катодом), ra и rк –
радиусы анода и катода, r – расстояние от оси.
Если электрон начинает движение с нулевой скоростью от катода, то его
траектория совпадает с силовой линией, и по достижении анода электрон
приобретает кинетическую энергию:
mυ2
(6)
 eU a
2
Магнитное поле создается соленоидом. Внутри бесконечного соленоида
поле однородно, направлено по оси соленоида и равно
(7)
B  μ 0nI c ,
N
где μ 0 – магнитная постоянная ( μ 0  4 107 Гн м ), n 
– число витков
l
соленоида, приходящееся на единицу его длины, I с - ток в соленоиде.
На заряженную частицу в магнитном поле
действует сила Лоренца (3). Направление силы Лоренца
(рис.1)
задается векторным произведением векторов υ и

B , то есть сила Лоренца всегда перпендикулярна
индукции магнитного поля и скорости частицы, поэтому
эта сила работы не совершает, т.е. не изменяет энергию и
модуль скорости частицы. Сила Лоренца изменяет только
Рисунок 1.
направление скорости частицы и, соответственно,
траекторию ее движения.
В случае, когда заряженная частица движется в однородном магнитном
поле со скоростью, перпендикулярной вектору B , сила Лоренца, равная
Fл  eυB , сообщает частице постоянное нормальное ускорение, и ее
траекторией
является
окружность, расположенная в
плоскости,
перпендикулярной силовым линиям магнитного поля. Уравнение движения
частицы имеет вид
υ2
m  eυB ,
(8)
R
где R – радиус окружности, откуда
R
mυ
.
eB
(9)
Период вращения равен
T
2πR 2πm

υ
eB
(10)
Если заряженная частица движется в однородном магнитном поле со
скоростью υ , направленной вдоль линий магнитной индукции, угол 

между векторами υ и B равен 0 или  . В этом случае сила Лоренца равна
нулю, т.е. магнитное поле на частицу не действует, и она движется
равномерно и прямолинейно.

Если скорость υ частицы направлена под углом  к вектору B , то
траекторией ее движения является винтовая линия, ось которой совпадает с
направлением B (рис. 2). Проекция скорости υ на направление магнитного
поля υ x  υcosα определяет шаг винтовой линии h  υ xT , а составляющая

скорости υ в перпендикулярной полю B плоскости, равная υsin α ,
определяет радиус R винтовой линии.
y
α
х
R
h
Рисунок 2.
При коаксиальном расположении цилиндрического конденсатора и
соленоида движение частиц происходит в скрещенных электромагнитных
полях ( E  B ).
3. Экспериментальная часть.
3.1. Методика проведения эксперимента.
Удельный заряд электрона можно определить, рассматривая движение
электрона в скрещенных электрическом и магнитном полях магнетрона.
Магнетроном называется двухэлектродная вакуумная лампа (диод) с
коаксиальными цилиндрическими катодом и анодом, помещенная в
магнитное поле коаксиального с электродами соленоида (рис.3).
Рисунок 3.
Отрицательно заряженный катод и положительно заряженный анод
образуют цилиндрический конденсатор, в поле которого движутся
электроны, испускаемые нагретым катодом вследствие термоэлектронной
миссии. Поскольку энергия теплового движения электронов, по порядку
величины равная ε  kT , что для T  1000K составляет ε  0,1эВ 1, много
меньше энергии, до которой электроны разгоняются электрическим полем
eU  102 эВ , можно считать, что электроны покидают катод с нулевой
скоростью.
В отсутствие магнитного поля (т.е. когда ток в соленоиде равен нулю)
электроны под действием электрического поля движутся прямолинейно от
катода к аноду по направлению действия силы электрического поля Fэ  eE ,
т.е. по радиусам (рис. 4(а)). Соответственно, в анодной цепи возникает ток,
величина которого определяется температурой катода (количеством
испускаемых электронов) и значением анодного напряжения.
При включении магнитного поля на электрон действует сила Лоренца.
υ движения электрона лежит в плоскости,
Вектор скорости

перпендикулярной оси магнетрона, а вектор индукции магнитного поля B

направлен вдоль оси, т.е.
векторы υ и B являются взаимно
перпендикулярными, а величина силы Лоренца равна
Fл  eυB .
(11)
Под действием магнитного поля траектория движения электронов
становится не прямой, как в случае приложения только электрического поля,
а криволинейной. При слабых магнитных полях, несмотря на искривление
траектории, все электроны, вылетевшие из катода, попадают на анод (Рис. 4,
случай (b)). Поэтому при небольшой величине магнитного поля, в анодной
цепи будет протекать практически такой же ток Ia, как и в отсутствие
магнитного поля.
(a) B=0
(b) B<Bкр
(с) В=Bкр
(d) B>Bкр
Рисунок 4.
Рисунок 4.
1
1эВ – энергия, которую приобретает электрон, пройдя ускоряющую разность
потенциалов в 1В, 1эВ  1,6 1019 Дж .
При увеличении магнитного поля (при увеличении тока, протекающего
по соленоиду Ic), траектории движения электронов будут все больше
искривляться. При некотором значении Bкр (при силе тока в соленоиде Icкр),
называемом критическим магнитным полем, электроны будут перемещаться
по дуге вблизи анода без попадания на него и возвращаться на катод (рис. 4,
случай (с)). В результате, при В=Вкр анодный ток должен снизиться до нуля.
При дальнейшем росте Ic и увеличении B, траектории электронов будут все
больше искривляться (рис. 4, случай (d)) и последние не будут долетать до
анода, т.е, анодный ток будет оставаться равным 0.
Рисунок 5.
Зависимость анодного тока Ia от величины индукции магнитного поля
B при постоянном напряжении анода и постоянном токе накала катода
называется сбросовой характеристикой магнетрона. На рисунке 5 показаны
сбросовые характеристики магнетрона для различных значений анодного
напряжения Ua. Сбросовая характеристика магнетрона не является резкой
ступенькой, а
имеет область размытости по ряду причин: тепловое
распределение по скоростям эмитированных электронов, нарушение
коаксиальности катода, анода и соленоида, неоднородность магнитного поля
в пределах магнетрона, краевые эффекты (конечность длины электродов и
соленоида).
Оценим критическое поле Вкр. В случае, когда радиус катода много
меньше радиуса анода rк << ra из формулы (5) следует, что напряженность
поля E , максимальная у катода, с увеличением r быстро уменьшается.
Поэтому основное изменение скорости электрона происходит вблизи катода,
и при дальнейшем движении скорость будет изменяться незначительно. Это
означает, что при приложении критического магнитного поля электрон
перемещается по траектории, близкой к окружности, радиус которой равен
r
половине радиуса цилиндрического анода ra (рис. 4(с)) rкр  a . Подставляя
2
в уравнение движения
eυB  eE  m
2
(12)
rкр
выражения для скорости электрона и напряженности электростатического
r
поля вблизи анода (считая ln a  1 )
rк
mυ2
U
 eU a ,
E a
2
ra
Получаем для критического поля
5U a
2eU a
,
 Bкр
rкр
m
или
e
25U a
.

m 2 Bкр2 rа2
(13)
(14)
Интегрируя уравнения движения можно более точно найти критическое поле Вкр из
условия, что траектория электрона в момент достижения им анода является касательной к
поверхности анода (рис.4(с)). Это означает, что момент импульса электрона в этот момент
времени равен La
(15)
La  mra υ ,
где υ - скорость, до которой электрон разгоняется электрическим полем (6).
Изменение момента импульса электрона описывается уравнением
dL  
  r F   e  r  υ B    e  r E 


dt
(16)
Последнее слагаемое равно нулю, т.к. E направлено по r . По известной формуле
векторной алгебры a bc    b ac  c ab
получим


   
 
 
dL
 e υ r B  eB r υ
dt
(17)

Первое слагаемое в правой части (17) равно нулю, т.к. поле B перпендикулярно r .
Интегрируя (17) по времени от момента вылета электрона из катода и до достижения
анода, имеем, считая начальную скорость электрона нулевой
ra
 dr 
 r2 
ra2  rк2
.
L   eB  r dt  eB  d    eB
dt
2
2
 
0
rc


T
(18)
С учетом (15) и (6) получаем уравнение
mra
e
ra2  rк2
2U а  eBкр
,
m
2
определяющее критическое значение магнитного поля Вкр.
Измеряя Вкр, можно из (19) определить удельный заряд электрона
(19)
e
8U а ra2

.
m B 2  r 2  r 2 2
a
к
кр
Для тонкого (нитевидного) катода выражение (20) упрощается
e 8U а

.
m Bкр2 ra2
(20)
(21)
В данной работе для создания магнитного поля применяется соленоид,
диаметр витков которого значительно меньше его длины. Это позволяет
считать его бесконечно длинным и использовать формулу (7). Тогда
величина критического магнитного поля будет равна
(22)
Bкр  μ 0nI скр .
Подставляя выражение (22) в (21), получим
e
8U a
.

m μ 2 n 2  I кр 2 r 2
0
c
a
Величины n, rа – являются постоянными для
экспериментальной установки. Поэтому можно ввести обозначение
k
(23)
8
,
μ n 2 ra2
данной
(24)
2
0
с учетом которого выражение (23) примет вид
e
Ua
.
k
кр 2
m
I 
(25)
c
Соотношение (25) можно переписать как,
e  Ic 
.
(26)
Ua 
m k
Эта зависимость Ua от Icкр называется параболой критического режима
магнетрона.
Критическое значение магнитного поля является некоторой функцией
от анодного напряжения: Bкр  f U a  , причем с увеличением анодного
напряжения Ua увеличивается значение Bкр. Для нахождения этой величины
нужно построить график зависимости производной анодного тока по току
соленоида dI a dI c от тока соленоида I c . Для этого на графике зависимости
анодного тока от тока соленоида (рис.7) горизонтальную ось разбивают на
кр 2
Рисунок 8.
Рисунок 7.
мелкие равные отрезки I c - приращения тока соленоида. Из концов этих
отрезков восстанавливают перпендикуляры к оси I c до пересечения с
экспериментальной кривой. Затем из получившихся точек на кривой
восстанавливают перпендикуляры на ось анодных токов I a . Получившийся
на оси анодных токов отрезок I a и есть искомое приращение анодного тока,
соответствующее приращению тока соленоида. Для вычисления производной
анодного тока по току соленоида теперь достаточно разделить I a на I c . По
полученным значениям dI a dI c строится график производной, подобный
изображённому на рисунке 8. Такая операция называется графическим
дифференцированием. Максимум построенной функции соответствует
критической силе тока в соленоиде.
3.2. Краткое описание экспериментальной установки и оборудование.
Лабораторная работа проводится на установке ФКЛ-14. Принципиальная
электрическая схема установки приведена на рисунке 9.
Рисунок 9.
Установка содержит три цепи: цепь накала лампы 1, анодная цепь 2 и
цепь соленоида 3.
Анодная цепь, предназначенная для создания электрического поля,
включает:
1. Источник электрического питания диода Ua .
2. Вольтметр V для измерения анодного напряжения Ua .
3.Миллиамперметр mA для измерения анодного тока.
Радиус анода магнетрона ra=7мм.
Цепь соленоида, предназначенная для создания магнитного поля,
включает:
1. Источник питания.
2. Соленоид L (длина соленоида l=160мм, диаметр соленоида D=50мм,
количество витков N=1000).
3. Амперметр А, измеряющий ток в соленоиде.
4. Реостат R, с помощью которого изменяется сила тока в соленоиде.
В установке используются приборы, имеющие следующие характеристики.
Миллиамперметр для измерения анодного тока Ia, рассчитанный на
измерение тока в пределах от 0 до 2,6 мА. Приборная погрешность анодного
тока ∆Ia =0,02 мА.
Приборная погрешность измерения анодного напряжения не
превышает ∆Ua =2В.
Амперметр для измерения тока соленоида Ic, рассчитанный на
измерение тока в пределах от 0 до 2 А. Приборная погрешность измерения
тока соленоида не превышает ±0,02 А.
3.3. Порядок выполнения работы.
Опыт проводится для трех значений анодного напряжения Ua1=80В,100В,
120В.
Измерения проводятся в следующем порядке:
1.С помощью кнопка сеть включить установку и в течение 5 минут прогреть
диод.
2. Установить на диоде первое значение анодного напряжения Ua1=80В.
3. Установить минимальное значение тока соленоида ( I c 0 ). Занести в
таблицу 1.1. значение Ic и соответствующее значение анодного тока Ia.
Таблица 1.1. Ua1=80В
Ic, A
Ia1, mA
4. Меняя ток соленоида Ic с шагом 0,2А , измерять анодный ток Ia до тех пор
пока он не начнет уменьшаться. Продолжить измерения с шагом 0,1А (или
0,05А) до достижения минимально возможного значения анодного тока Ia.
5. Изменить анодное напряжение. Повторить пп. 3-5, записывая результаты в
таблицы 1.2.,1.3..
Таблица 1.2. Ua2=100В
Ic, A
Ia2, mA
Таблица 1.3. Ua3=120В
Ic, A
Ia3, mA
4. Обработка результатов измерений.
1. Для каждого значения анодного напряжения Ua построить кривую
зависимости I a  f  I c  (сбросовую характеристику магнетрона, рис.7).
2. Построить график зависимости производной анодного тока по току
соленоида dI a dI c от тока соленоида I c . Для этого проведите графическое
дифференцирование зависимости I a  f  I c  на сбросовом участке кривой (∆Ic,
- шаг измерений). Результаты запишите в таблицу 2. По максимуму
построенной функции определите критический ток I скр в соленоиде.
Таблица 2.
Ic, A
∆Ic, A
∆Ia, A
I a
I c
3. По формуле (22) рассчитать значение постоянной k с учетом данных (n, ra).
4. По формуле (23), для каждой пары значений Icкр и Ua (Ia) рассчитать
удельный заряд электрона (всего получается три значения e/m).
5. Для каждого из полученных значений удельного заряда рассчитать
погрешность, обусловленную измерительными приборами по формуле
2
2
кр
 е   e   U а   I с 
(25)
     
   кр  ,
m
m
U
I
     а   c 
где U a - погрешность измерения анодного напряжения, I скр - погрешность
измерения критического тока соленоида, U a - значение анодного напряжения,
I cкр - значение критического тока соленоида.
7. Рассчитайте среднее значение удельного заряда e . Общий результат
m
запишите в виде:
e e
е
(26)
     ,
m m
m
 
8. Сравните полученное значение с табличными данными.
5. Контрольные вопросы.
1. Что называется удельным зарядом электрона?
2. Как устроен магнетрон?
3. Объясните влияние магнитного поля на движение заряда (сила Лоренца).
4. В чем заключается суть метода определения удельного заряда e/m методом
магнетрона?
5. Что такое критическое магнитное поле?
6.Нарисуйте и объясните вид траекторий движения электрона при В=0,
В<Вкр, В=Вкр, В>Вкр.
7. Выведите формулу для определения удельного заряда электрона.
8. Определите направление магнитного поля в соленоиде, если известно
направление тока в соленоиде.
9. Определите направление напряженности E электрического поля диода с
цилиндрическим анодом.
10. Определите направление силы Лоренца, которая действует на
положительный заряд q, который двигается близ прямолинейного
проводника с током параллельно к проводнику?
11. Почему экспериментальная сбросовая характеристика отличается от
теоретической?
6. Литература.
Савельев, И.В. Курс общей физики, т.2.- М.: Наука, Любой год издания.
Детлаф А.А., Яворский В.М. Курс физики. – М.: Высшая школа, 2002.
Трофимова, Т.И. Курс физики. Т.И. Трофимова.- М.: Высшая школа, 2003.
Грибов, Л.А. Основы физики / Л.А. Грибов, Н.И. Прокофьева.- М.:
Градарика, 1998.
5. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Электричество. М Физматлит, 2002г.
1.
2.
3.
4.