Щербаков В.П.

УДК 677.025:677.1/4.072/(043.3)
ВАРИАНТ ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
О РАСЧЕТЕ ДЛИНЫ НИТИ В ПЕТЛЕ
В.П.ЩЕРБАКОВ
(Московская государственная текстильная академия им.А.Н. Косыгина)
Методы механики упругой нити
имеют
то
преимущество
перед
распространенным
до
сих
пор
в
технологии трикотажа геометрическим
подходом к анализу формы петли, что
учитывают свойства нити и дают
объяснение
зависимости
размеров
структурных элементов от механических
характеристик нити.
Достаточно полное и глубокое
исследование формы нити в петле с
позиций геометрически нелинейной теории
упругой нити принадлежит Д. Мандену [1].
Критикуя некоторые положения данной
теории, во многом идеализирующие
структуру трикотажа, свойства нити,
взаимодействие петель и т.д., надо
признать, что лучшей модели петли до сих
пор не предложено. И, хотя эта работа
появилась более 30 лет тому назад (в
1967 г.), она не получила должного
распространения среди специалистов, как
заслуживает того по своей постановке и
методам решения.
Первое обстоятельство связано с
существенными трудностями численного
решения
задачи,
сведенной
к
эллиптическим интегралам. Современные
вычислительные методы и технические
средства
информатики
позволяют
подробно
и
глубоко
изучать
математические модели в достаточной
полноте. Второе условие обусловлено
вводом в решение такого сомнительного
параметра, как коэффициент k трения нити
о
нить
в
области
контакта
взаимодействующих
петель
(сомнительного в смысле невозможности
определения точной величины k в данном
случае). Приближенное же определение
коэффициента
трения
делает
бессмысленным то уточнение, которое
дает предлагаемый метод расчета по
сравнению с геометрическим.
В
настоящей
статье
дается
математическая модель петли, полученная
из общих уравнений механики упругой
нити, и решение задачи о форме нити в
петле только вычислительными методами
без привлечения эксперимента.
Исследование равновесия упругой
нити удобнее проводить, используя
уравнения в проекциях на связанные
оси. Кроме того, в связанных осях
компоненты векторов внутренних сил Q и
внутренних моментов М имеют четкий
физический смысл: Q 1 осевая сила
(натяжение); Q2 и Q3 - перерезывающие
силы; М1 - крутящий момент; М2 и М3 изгибающие
моменты.
Уравнение
равновесия плоской нити имеет вид [2]:
Компонента 3 вектора Дарбу  кривизна осевой линии нити - связана с
изгибающим моментом соотношением
где А33 - жесткость нити при кручении.
Дифференциальные уравнения
позволяют
определить
абсолютные
перемещения точек осевой линии нити;
кривизна деформируемой нити при этом
определяется соотношением.
Здесь 3 - проекция вектора поворота
тройки базисных векторов относительно
оси,
совпадающей
с
направлением
бинормали е3.
№ 1 (247) ТЕХНОЛОГИЯ ТЕКСТИЛЬНОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ 1999
является горизонтальная сила Р, линия
действия которой пересекает прямую ОЕ в
точке
К.
Действительная
область
контакта расположена вне осевой линии
упругой нити. Но все уравнения равновесия
и перемещений (1)...(4) написаны только
для осевой линии нити и именно на ней
мы разместим точку, обозначенную на
рис.1 как точка В, которая одновременно
принадлежит линии действия силы Р и
которую мы в некоторой мере условно
назовем точкой контакта.
Если длину АВ осевой линии петли
обозначить Л, а длину ВС - l2, то в силу
симметрии длина нити в петле равна
Из рис.1 видно, что петельный шаг q
равен
Трикотажные полотна состоят из
соединенных
между
собой
петель,
взаимодействующих друг с другом в
точках контакта ОЕ. Рассмотрим плоскую
петлю,
осевая
линия
которой
представлена на рис.1 сплошной линией;
соседние петли показаны пунктирными
линиями.
Петли
ориентированы
относительно декартовых осей координат
таким образом, что ось х1 параллельна
линии петельных рядов, ось х2 направлена
вдоль
линии
петельных
столбиков.
Абсцисса х1 пересекает петлю в точке А,
ордината х2 - в точке С. В силу симметрии
достаточно рассмотреть только четверть
петли АВС с пересечением ее соседней
петлей в точках О и Е. Точкой К
обозначена
середина
прямой,
соединяющей точки О и Е; точкой Р
максимальная ширина петли.
Стремление
деформированной
в
процессе
вязания
упругой
нити
восстановить
естественную
форму
приводит к возникновению усилий,
действующих в точках контакта О и Е
смежных
петель.
Реальные
нити
взаимодействуют по области ОЕ и
результирующей распределенных сил
где b - ширина петли в точке контакта В;
d - диаметр нити;  - угол между
касательной в точке В осевой линии и
осью ординат x2.
Рассматривая форму линии АВ, силы и
моменты, действующие на концах нити,
замечаем, что исследование этой части
петли может быть сведено к решению
поперечного
изгиба
упругой
нити,
приведенному в [3], с другими граничными
условиями, соответствующими упругой
линии на стыках участков АВ и ВС.
№ 1 (247) ТЕХНОЛОГИЯ ТЕКСТИЛЬНОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ 1999
Решение
задачи
сводится
к
эллиптическим интегралам Лежандра [3].
Чтобы перейти к ним, введем новую
переменную , полагая
где 30 - угол 3 в точке перегиба, где
s=0.
Располагая решениями, полученными в
[1] и [3], координаты точки контакта В
определим из формул
Расчетная схема нагружения элемента
петли АВ изображена на рис.2. Здесь угол
3 - угол, который касательная к осевой
линии нити, направленная в сторону
возрастания дуговой координаты s,
образует с направлением силы Р,
приложенной в свободном конце нити, откуда
отсчитывается
координата
s.
Перерезывающая сила Q2 равна
Кривизна
соответствии
соотношением
осевой
с
(4)
линии
в
определяется
Кривизна принята отрицательной,
так как при возрастании s угол 3
уменьшается.
Изгибающий момент М3 в данном
случае увеличивает по абсолютному
значению
отрицательную
кривизну,
поэтому он считается отрицательным.
Тогда
уравнение
равновесия
(1)
запишется в виде
где F(, k), К(k), Е(, k), Е(k) эллиптические
интегралы
Лежандра
первого и второго рода.
В соответствии с краевыми условиями
имеем: 1) в точке А, где s=0, 30 =/2+0,
k=sin(/4+0/2); 2) в точке В, где s=l1, =в,
3в=/2 - . Величины 0 и  имеют вполне
определенный геометрический смысл (0
- угол, образованный касательной в
центральной точке петли А и линией
петельных столбиков;  - угол между
касательной в точке контакта В и
направлением петельных столбиков) и
определяют форму петли. В связи с этим
выразим основные величины, входящие в
соотношения (12) и (13), через параметры
петли 0 и .
Прежде всего заметим, что в точке
контакта В х2в=р/2, и из формулы (13)
найдем величину высоты петельного ряда
Полагая Р/А33=2|, будем иметь
№ 1 (247) ТЕХНОЛОГИЯ ТЕКСТИЛЬНОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ 1999
Амплитуда
в
эллиптических
интегралов находится из выражения
а длина l1 элемента петли АВ после замены
параметра со находится по формуле
Основная трудность решения задачи о
форме петли, образованной из упругой
нити, состоит в вычислении углов 0 и . С
развитием вычислительных методов и
средств угол р определяется численными
методами из уравнения
Окончательно
формулу,
определяющую длину нити в плоской
петле, запишем в виде
Итак, в данной статье предлагается
решение о форме упругой нити в петле
вычислительными
методами
без
использования
экспериментального
факта =arctgk. Вследствие этого многие
опущенные уравнения и преобразования
можно найти в работах [3], [4], а также в [1].
ЛИТЕРАТУРА
1. Роstlе К., Мипden О.L.// Техt. Inst. -1967. Уо1.
58, № 8.
2. Светлицкий В.А. Механика стержней. Ч. 1. М: Высшая школа, 1987.
3. Ляв А. Математическая теория упругости. М.:ОНТИ, 1936.
4. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих
стержней. - М.: Наука. 1986.
Модуль k эллиптических интегралов
равен
Рекомендована
кафедрой
механической
технологии волокнистых материалов. Поступила
27.07.98.
_____________
№ 1 (247) ТЕХНОЛОГИЯ ТЕКСТИЛЬНОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ 1999