МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ

Образовательный портал «Физ/Мат класс»
www.fmclass.ru
МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ
I. Вычисление расстояний и углов
Пример 1. Сторона основания правильной четырехугольной призмы ABCDA1 B1C1 D1 равна 2,
высота — 4. Точка E — середина отрезка CD, точка F — середина отрезка AD, точка M — середина
отрезка B1 E . Найдите: а) угол между прямыми CF и B1 E ; б) угол между прямой FM и плоскостью
BDD1 .
Решение. Выберем систему координат как показано на рисунке
z
и выпишем координаты вершин данной призмы и точек E, F, M в
B1
C1
этой системе координат: A(2; 0; 0) , B1 (0; 0; 4) , C (0; 2; 0) , E (1; 2; 0) ,
⎛1
⎞
F (2; 1; 0) , M ⎜ ; 1; 2 ⎟ .
2
⎝
⎠
JJJG
JJJJG
JJJG
Тогда CF {2; − 1; 0} , B1 E{1; 2; − 4} , AC{−2; 2; 0} ,
JJJJG ⎧ 3
⎫
FM ⎨− ; 0; 2 ⎬ .
⎩ 2
⎭
JJJG JJJJG
JJJG JJJJG
а) Так как CF ⋅ B1 E = 2 ⋅ 1 + (−1) ⋅ 2 + 0 ⋅ (−4) = 0 , то CF ⊥ B1 E и,
n
; B E = 90° .
следовательно, CF
1
A1
M
D1
C
B
y
E
A
D
F
x
б) Так как AC ⊥ BD и AC ⊥ DD1 , то AC ⊥ ( BDD1 ) , и угол ϕ
между прямой FM и плоскостью BDD1 находится из условия
JJJJG JJJG
JJJJ
G JJJG
| FM ⋅ AC |
n
sin ϕ = | cos( FM ; AC ) | = JJJJG JJJG . (*)
| FM | ⋅ | AC |
JJJJG JJJG
JJJJG
9
5 JJJG
+ 4 = , | AC | = 2 2 .
Имеем: FM ⋅ AC = 3 , | FM | =
4
2
Подставив найденные значения в равенство (*), получаем sin ϕ =
Ответ: 90° , arcsin
3 2
3 2
, откуда ϕ = arcsin
.
10
10
3 2
.
10
z
Пример 2. Основание четырехугольной пирамиды PABCD —
квадрат ADCD со стороной, равной 6, боковое ребро PD перпендикулярно к плоскости основания и также равно 6. Найдите угол между
плоскостями BDP и BCP.
Решение. Проведем медиану DF треугольника CDP (см. рисунок). Так как треугольник CDP равнобедренный ( DC = DP ), то
DF ⊥ CP . Кроме того, поскольку BC ⊥ (CDP ) , то DF ⊥ BC . Следовательно, DF ⊥ ( BCP ) . С другой стороны, так как AC ⊥ BD и
AC ⊥ DP , то AC ⊥ ( BDP ) . Тогда искомый угол ϕ между плоскостями BDP и BCP находится из условия
JJJG JJJG
JJJG
JJJG
| DF ⋅ AC |
n
cos ϕ = | cos( DF ; AC ) | = JJJG JJJG . (*)
| DF | ⋅ | AC |
P
F
C
D
A
y
B
x
Выберем систему координат как показано на рисунке и выпишем координаты вершин данной
пирамиды и точки F в этой системе координат: A(6; 0; 0) , C (0; 6; 0) , D(0; 0; 0) , P (0; 0; 6) , F (0; 3; 3) .
1
Образовательный портал «Физ/Мат класс»
www.fmclass.ru
JJJG
JJJG
JJJG JJJG
JJJG
JJJG
Тогда DF{0; 3; 3} , AC{−6; 6; 0} , DF ⋅ AC = 18 , | DF | = 3 2 , | AC | = 6 2 . Подставив найденные зна1
чения в равенство (*), получаем cos ϕ = , откуда ϕ = 60° .
2
Ответ: 60° .
Пример 3. Докажите, что все четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся
ею в отношении 3:1, считая от вершины.
Решение. Пусть ABCD — данный тетраэдр и пусть A( x1 ; y1 ; z1 ) , B( x2 ; y2 ; z2 ) , C ( x3 ; y3 ; z3 ) ,
D( x4 ; y4 ; z4 ) — координаты его вершин в некоторой прямоугольной системе координат Oxyz.
Пусть теперь отрезок AA1 — медиана тетраэдра ABCD и точка M делит его в отношении
⎛ x + 3 x′ y1 + 3 y ′ z1 + 3z ′ ⎞
AM : MA1 = 3 :1 . Тогда M ⎜ 1
, где ( x′; y′; z ′) — координаты точки A1 .
;
;
4
4 ⎟⎠
⎝ 4
Так как A1 — точка пересечения медиан треугольника BCD, то
⎛ x + x3 + x4 y2 + y3 + y4 z2 + z3 + z4 ⎞
;
;
A1 ⎜ 2
⎟,
3
3
3
⎝
⎠
откуда
⎛ x + x + x3 + x4 y1 + y2 + y3 + y4 z1 + z2 + z3 + z4 ⎞
M⎜ 1 2
;
;
⎟.
4
4
4
⎝
⎠
Аналогично доказывается, что точки, делящие остальные три медианы тетраэдра в отношении
3:1, считая от его вершины, имеют те же координаты. Таким образом, все эти точки совпадают, и все
четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1, считая от вершины, что и требовалось доказать.
II. Уравнение плоскости
Пример 4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1 B1C1 D1 ребра AB и AA1 равны 1, а ребро
AD равно 2. Точка E — середина ребра B1C1 . Найдите угол между прямой BE и плоскостью AB1C .
Решение. Выберем систему координат как показано на рисунz
ке и выпишем координаты вершин данного параллелепипеда и точки
E в этой системе координат: A(1; 0; 0) , B (0; 0; 0) , C (0; 2; 0) ,
E
B1
C1
JJJG
B1 (0; 0; 1) , E (0; 1; 1) . Тогда BE{0; 1; 1} .
Найдем теперь уравнение плоскости AB1C в выбранной систе- A1
D1
ме координат, для чего подставим в уравнение ax + by + cz + d = 0
координаты точек A(1; 0; 0) , B1 (0; 0; 1) и C (0; 2; 0) .
C
Решая систему
B
y
⎧a + d = 0,
A
⎪
D
⎨c + d = 0,
⎪2b + d = 0,
x
⎩
находим коэффициенты a, b и c уравнения ax + by + cz + d = 0 : a = − d , b = −
d
, c = −d .
2
d
y − dz + d = 0 или, после упро2
щения, 2 x + y + 2 z − 2 = 0 . Коэффициенты при переменных x, y и z — координаты некоторого вектора
G
n{2; 1; 2} , перпендикулярного к плоскости AB1C .
Таким образом, уравнение плоскости AB1C имеет вид − dx −
2
Образовательный портал «Физ/Мат класс»
www.fmclass.ru
Угол ϕ между прямой BE и плоскостью AB1C находится из условия
JJJG G
JJJ
G G
| BE ⋅ n |
n
sin ϕ = | cos( BE ; n ) | = JJJG G . (*)
| BE | ⋅ | n |
JJJG G
JJJG
G
Имеем: BE ⋅ n = 3 , | BE | = 2 , | n | = 3 .
Подставив найденные значения в равенство (*), получаем sin ϕ =
1
, откуда, учитывая, что
2
ϕ < 90° , получаем ϕ = 45° .
Ответ: 45° .
Пример 5. Основание прямой призмы ABCA1 B1C1 — равнобедренный треугольник ABC, осно-
вание AC и высота BD которого равны 4. Боковое ребро призмы равно 2. Через середину K отрезка
B1C проведена плоскость, перпендикулярная к этому отрезку. Найдите расстояние от вершины A до
этой плоскости.
z
Решение. Выберем систему координат как показано на рисунке и выпишем координаты вершин данной призмы и точки K в этой
A1
C1
системе координат: A(0; − 2; 0) , B (0; 0; 0) , C (0; 2; 0) , B1 (4; 0; 2) ,
JJJJG
K (2; 1; 1) . Тогда B1C{−4; 2; − 2} . Так как данная плоскость проходит
B1
JJJJG
через точку K (2; 1; 1) и перпендикулярна вектору B1C{−4; 2; − 2} , то
K
ее уравнение имеет вид
D
A
C y
−4( x − 2) + 2( y − 1) − 2( z − 1) = 0 ,
B
или, после упрощения, 2 x − y + z − 4 = 0 . (*)
x
Пусть точка M ( x0 ; y0 ; z0 ) — проекция точки A на данную плоскость. Тогда искомое расстояJJJJG
JJJJG
ние равно AM, а вектор AM имеет координаты AM {x0 ; y0 + 2; z0 } . Коэффициенты при переменных x,
G
y и z в уравнении (*) — координаты вектора n{2; − 1; 1} , перпендикулярного к данной плоскости, а,
JJJJG
JJJJG G
так как AM & n , то AM {2k ; − k ; k} для некоторого числа k.
JJJJG
Вектор AM однозначно задается своими координатами, следовательно, x0 = 2k , y0 = −k − 2 ,
z0 = k . Подставив координаты точки M ( x0 ; y0 ; z0 ) в уравнение 2 x − y + z − 4 = 0 , получаем
1
2(2k ) − (− k − 2) + k − 4 = 0 , откуда k = .
3
Окончательно имеем
JJJJG
6
AM = | AM | = 4k 2 + k 2 + k 2 = | k | 6 =
.
3
Ответ:
6
.
3
3