Document 2529763

Уланов А.В., Загребин Л.Д.
ВЛИЯНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕПЛОВОГО ИМПУЛЬСА
НА ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ ШАРОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНТАКТНОГО УСТРОЙСТВА
В статье рассматривается влияние пространственно-временного распределения теплового импульса на
температурное поле шаровой поверхности контактного устройства. Рассмотрены Зависимость избыточной
температуры от времени в различных точках поверхности шара с учетом длительности теплового импульса
и Зависимость избыточной температуры от времени в различных точках поверхности шара под действием
распределенного источника.

q
 max aq0
 max q0
R2
c p  Tmax 0 3 ,
При значении Fo1/2 10-3 в выражениях a  Fo1/ 2
; cp 
;
,


max 2 R
t
T  R3 
T  R3 
1/ 2
Fo1/2 max q0
t1/2 Tmax 2 R

max
max
начинает влиять длительность импульса и пространственное распределение излучение
лазера. Это относится к материалам высокой температуропроводности с малым радиусом шара (3-4 мм). В
связи с этим, для избежания дополнительных ошибок, необходимо в имеющееся решение
T (d ; t ) 
2
Q
(4 at )3/2  c p
exp( 4dat )
(1)
внести поправку, связанную с длительностью импульса. Рассмотрим импульс длительности i, прямо-
0

угольной формы в виде   t   1
0

t0
0  t   i [1]. Если излучение импульсного лазера в пичковой генераt  i
ции, то тепловой импульс можно рассмотреть как сумму чередующихся друг за другом тепловых мгновенных
импульсов [3,4]. Тогда общее решение температурного распределения будет состоять из суммы решений
создаваемых отдельными импульсами
T / (t ) 
N
 T (t  n  N )  (t  n  N ) ,
1
N 1
i
i
(2)
n 0
где Ф(t) - функция Хевисайда, N- число мгновенных импульсов.
0
(t )  
1
при t<0,
при t  0.
Непрерывный источник получается, если в выражении (2) взять предел при N. Тогда данное выражение преобразуется в
i
T / (t; i )  1  T (t   )  (t   )d (3)
i
0
или с учетом (1) [2]:
T/ 
i
2Q
(4 a )
3/2
 c p i
 (t 1)
3/2
exp( R
2Q
(4 a )3/2  c p i
i

0
1
( t  )3/2
[
0
 r 2  2 Rr cos 
)   (t
4 a ( t  )
  )d 
0


2
1
( t  )3/2
exp( R
2
exp( R
2
 r 2  2 Rr cos 
)d
4 a ( t  )

 r 2  2 Rr cos 
)d ]
4 a ( t  )
Распределение температурного поля на поверхности сферы (r=R) выразим в относительных температурах:
/  2
Fo
1
 Foi
[
0
1
( Fo  fo )3/2
 exp( 2(1Focos fo ) )dfo 
Foi

0
1
( Fo  fo )3/2
 exp( 2(1Focos fo ) )dfo]
где =2R3cpT/Q - относительная температура, Fo  at / R 2 ( fo  a / R ) - число Фурье, Foi  a i / R безразмерное время длительности импульса.
После интегрирования получается температурное распределение для точек находящихся на поверхности
сферического образца:
2
 
 

 


1
1  erf 12cos
Fo

 Foi 21 cos  
 
 cos 
1

erf 2(1Fo
 erf
 Foi )

 Foi 21 cos  
/
2
при Fo  Foi
1 cos 
2 Fo
 при Fo  Fo
(4)
i
На рис. 1 приведены расчеты временных температурных полей в различных точках поверхности шара с
учетом длительности теплового импульса. Положение максимума и его абсолютная величина с увеличением
длительности i. Зависимости Fo1/2 от безразмерного относительного времени x=i /t1/2=Foi /Fo1/2 – можно
выразить полиномом третьей степени с погрешностью 0.1% для точек на поверхности 90 и 180 соответственно
Fo1/2  0.146  0.049  x  0.113  x2  0.014  x3 ,
Fo1/2  0.291  0.125  x  0.156  x2  0.014  x3 .
(5)
Поправкой на длительность теплового импульса можно пренебречь когда  i / t1/ 2  0,02 , и изменение критерия
Fo1/2 составляет менее 1%.При исследовании ТФС материалов в виде малых капель, размер пятна лазерного излучения оказывает влияние на распределение температурного поля на поверхности шара.
Когда на поверхность шара радиуса R падает тепловой импульс в виде окружности диаметром D с равномерной плотностью энергии q вдоль поперечного сечения, то его размер можно охарактеризовать при
помощи азимутального угла i, при связи с диаметром луча D=2Rsini (рис.3.27). Тогда плотность энергии падающей на поверхность образца будет неравномерной и ее распределение подчиняется закону
q/=qcos. Полная энергия, полученная образцом вдоль данного телесного угла, будет равна:
2
Q  R2

i
d  q cos sin  d  q R 2 (1  cos2 i ) .
0
0
Рис.
1.
Зависимость
избыточной
температуры
от
времени
в
различных
точках
поверхности шара с учетом длительности теплового импульса
Для определения распределения температурного поля внутри шара рассмотрим действие источника B с
координатами (R;;). В точке А/(r;;0) производится регистрация температуры (рис. 2). Уравнение (1)
для данного случая запишется:
T
2Q
 4 at 
3/2
c p
exp( R
2
 r 2  2 Rr cos 
) , где  – угол А0В.
4 at
Рис. 2. На поверхности действует распределенный источник тепла
Определяя координаты точек A и B в декартовой системе координат соответственно {x=rsin(), y=0,
z=rcos()}
и
{x=Rsin()cos(),
y=Rsin()sin(),
z=Rcos()},
можно
выразить
cos()=
sin()sin()cos()+cos()cos(). Полное распределение температуры в шаре определяется выражением:
T // 
2
i
0
0
  d  exp( R 2
2Q
(4 at )3/2  с p (1 cos 2 i )

1 l 2  2l sin  cos  sin   2 l cos  cos 
)cos  sin  d
4 at
(6)
или в относительных единицах:
// 
2
i
0
0
  d  exp(
1
2 Fo3/2 3/2 (1 cos 2 i )

1  l 2  2l sin  cos  sin   2l cos  cos 
)cos  sin  d .
4 Fo
(7)
Интегрируя (6) и (7), получаем распределение температурного поля на поверхности шара (l=1) в точках при  =90 и  =180 соответственно:
// 
// 
2
1
2 Fo3/2 3/2 (1 cos2 i )
2
Fo (1 cos2 i )

0
i
d  exp(
0
1  cos  sin 
)cos sin  d
2 Fo
exp( 1 cosi )  (cosi  2 Fo)  exp( 1 )  (1  2 Fo) 
2 Fo
2 Fo


(8)
(9)
Рис. 3.28 Зависимость избыточной температуры от времени в различных точках поверхности шара под
действием распределенного источника
На рис. 3 представлены расчеты температурных полей на поверхности шара при действии точечным и
распределенными источниками теплового импульса. Как показывают кривые, увеличение размера теплового
импульса (луча лазера) ( k  D / 2R  sin i ) приводит к смещению Fo1/2 в сторону уменьшения и относительному увеличению перепада температур, которые являются функциями k (Fo1/2=f(k), max=f(k)). Аналитическая зависимость этих функций для температурных полей на поверхности шара =90  =180 соответственно имеют вид:
Fo1/ 2 (90o )  0.146  0.009  k  0.124  k 2  0.051 k 4  0.08  k 6 ,
(10)
max (90 )  0.324  0.034  k  0.059  k  0.181 k ,
o
2
10
Fo1/ 2 (180o )  0.291  0.00726  k  0.074  k 2  0.082  k 4  0.077  k 6 ,
(11)
max (180 )  0.116  0.00471  k  0.038  k  0.028  k  0.034  k .
Процесс распространения тепловой волны распределенного источника тепла имеет более сложный вид.
o
2
4
6
Рис. 4. Изотермы в шаре в плоскости
X0Z при действии точечного и распределенного источника теп-
ла
На рис. 4 представлено развитие изотерм во времени в шаре для точечного и распределенного теплового источника. Отметим, что для точечного источника тепловая волна представляет собой сферическую
волну, что является наиболее удобным измерением ТФС жидких металлов и сплавов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Taylor R.E., Cape J.A. Finite pulse – time effects in the flash diffusivity technique. //
Appl. Phys. Lett. - 1964. – V.5, № 10. – P. 212 - 213.
2. Загребин Л.Д., Бузилов С.В. Измерение температуропроводности металлов и сплавов вблизи точки
фазового перехода первого рода. // ПТЭ. - 2003. - № 1. – С. 153-157.
3. Лыков А.В. Теория теплопроводности -М.:Высшая школа, 1967.-599 с. Лыков А.В. Тепломассообмен:
(Справочник).- М.: Энергия, 1978.- 480 с.
4. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел.М.Наука.-1964.-488 с