Элементы теории графов. Смежность и инцидентность

Элементы теории графов.
Основные определения.
Ориентированный граф
Задано множество X={x1,x2,…,xn}.
На множестве Х задано бинарное отношение
R  XX
Ориентированный граф – упорядоченная пара
множеств (X, R)
Множество Х – множество вершин
Вершины изображаются в виде точек.
графа.
Отношение R – множество дуг графа. Дуги
изображаются в виде линий со стрелками,
соединяющих вершины.
Пример
ориентированного графа
На множестве Х задано отношение R
Х = {А, Б, В, Г}
R(a,b) = {(A,Б), (А,В), (А,Г), (Б,Г), (В,Г), (Г,Г)}
Б
А
Г
В
Неориентированный граф
Задано множество X={x1,x2,…,xn}.
На множестве Х задано бинарное отношение
R  XX
Если отношение R симметрично, его можно
описать с помощью неориентированного графа,
состоящего из множества вершин и множества
ребер. Ребра изображаются линиями без стрелок.
Пример
неориентированного графа
Х = {А, Б, В, Г}
R(a,b) = {(А,Б), (Б,А), (Б,В), (В,Б), (Г,В), (В,Г), (Г,Г)}
R(a,b) – симметричное отношение
2 пары (А,Б), (Б,А) задают 1 ребро графа
1 пара (Г,Г) задает 1 ребро графа
А
Б
В
Г
Концевые вершины
Концевые вершины дуги (ребра) – вершины,
соединенные этой дугой (ребром)
Если концевые вершины совпадают, дугу
(ребро) называют петлей.
Б
А
дуга 3
дуга 1
Г
дуга 6
дуга 2
В
дуга 5
дуга 4
Вершины А и Б – концевые вершины дуги дуга 1
Вершины А и В – концевые вершины дуги дуга 2
Дуга 5 – петля – концевые вершины Г
Смежность
Вершины называются смежными, если они
различны и являются концевыми вершинами
какой-либо дуги.
Дуги (ребра) называются смежными, если они
имеют общую концевую вершину.
А
дуга 1
Б
дуга 3
дуга 6
дуга 2
В
Г
дуга 5
дуга 4
Вершины А и Б – смежные
Дуги дуга 1 и дуга 2 – смежные, т.к. имеют общую концевую
вершину А
Инцидентность
Вершина инцидентна дуге (ребру), если она
является концевой вершиной дуги (ребра)
Дуга (ребро) инцидентна вершине, если
вершина является концевой вершиной этой дуги
(ребра)
А
дуга 1
Б
дуга 3
Г
дуга 6
дуга 2
В
дуга 5
дуга 4
Вершины А и Б инцидентны дуге дуга 1
Дуги дуга 1 и дуга 2 инцидентны вершине А
Степень вершины
Степень вершины xi P(xi) – количество дуг
(ребер), инцидентных данной вершине
Для ориентированных графов определяют:
Полустепень захода
P+(xi) вершины xi–
количество дуг, стрелки которых указывают на xi
Полустепень исхода
P-(xi) вершины xi–
количество дуг, стрелки которых выходят из xi
P(xi) = P+(xi) + P-(xi)
Вершина называется изолированной, если ее
степень равна 0
Пример расчета
степеней вершин
А
Б
Г
В
Р(А) = 3, P+(А) = 0, P-(А) = 3
Р(Б) = 2, P+(Б) = 1, P-(Б) = 1
Р(В) = 2, P+(В) = 1, P-(В) = 1
Р(Г) = 3, P+(Г) = 3, P-(Г) = 0
Матрица смежности вершин
Граф включает n вершин.
Матрица смежности вершин – квадратная матрица
размерности n*n, строки и столбцы которой соответствуют
вершинам графа. Элементами матрицы являются:
для неориентированных графов:
Pij=
1, если i-я и j-я вершина соединены ребром
0, в противном случае
для ориентированных графов:
Pij=
1, если существует дуга из i-й вершины в j-ю
0, в противном случае
Свойства
матрицы смежности вершин
Для неориентированного графа:
• матрица смежности вершин симметрична
относительно диагонали.
• суммы по строкам и столбцам совпадают и
равны степени вершины.
Для ориентированного графа:
• сумма по строке равна полустепени исхода,
• сумма по столбцу равна полустепени захода.
Пример построения
матрицы смежности вершин
Б
А
Г
В
А
Б
В
Г
Сумма P-(xi)
А
0
1
1
1
3
Б
0
0
0
1
1
В
0
0
0
1
1
Г
0
0
0
0
0
Сумма P+(xi)
0
1
1
3
Построение неориент. графа по
матрице смежности вершин
А
Б
В
Г
А
0
1
0
1
Б
1
0
1
1
В
0
1
0
0
Г
1
1
0
0
Матрица смежности вершин симметрична
А
Б
В
Г
Построение ориент. графа по
матрице смежности вершин
А
Б
В
Г
А
0
1
0
1
Б
0
0
1
1
В
1
0
0
0
Г
0
0
0
0
Матрица смежности вершин несимметрична
А
Б
В
Г
Матрица инциденций
Граф включает n вершин и m дуг (ребер).
Матрица инциденций – матрица размерности n*m, строки
которой соответствуют вершинам графа, а столбцы – дугам
(ребрам) графа. Элементами матрицы являются:
для неориентированных графов:
Rij=
1, если i-я вершина инцидентна j-му ребру
0, в противном случае
для ориентированных графов:
1, если стрелка j-й дуги указывает на i-ю вершину
Rij=
-1, если j-я дуга выходит из i-й вершины
0, в противном случае
Пример построения матрицы
инциденций
А
дуга 1
дуга 2
Б
дуга 3
дуга 4
Г
дуга 5
В
дуга 1
(А,Б)
дуга 2
(А,Г)
дуга 3
(А,В)
дуга 4
(Б,Г)
дуга 5
(В,Г)
А
-1
-1
-1
0
0
Б
1
0
0
-1
0
В
0
0
1
0
-1
Г
0
1
0
1
1
Построение неориент. графа по
матрице инциденций
ребро 1 ребро 2
А
ребро 3
ребро 4
А
1
1
0
0
Б
1
0
1
1
В
0
0
1
0
Г
0
1
0
1
Б
ребро 1
ребро 2
ребро 4
Г
ребро 3
В
Построение ориент. графа по
матрице инциденций
дуга 1
дуга 2
дуга 3
дуга 4
А
-1
-1
0
0
Б
1
0
-1
-1
В
0
0
1
0
Г
0
1
0
1
А
Б
дуга 4
дуга 1
дуга 2
дуга 3
В
Г