Алгебраические алгоритмы и их сложность

































АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ И ИХ СЛОЖНОСТЬ
в.н.с. Е.В. Панкратьев
Что такое компьютерная алгебра? Примеры задач.
Системы компьютерной алгебры.
Проблема представления данных. Целые числа.
Проблема представления данных. Кольца вычетов и конечные поля.
Проблема представления данных. Рациональные числа.
Проблема представления данных. Алгебраические числа.
Проблема представления данных. Многочлены.
Проблема представления данных. Рациональные функции.
Арифметические операции с целыми числами. Быстрое умножение и деление.
НОД целых чисел. Определение и алгоритмы вычисления.
Расширенный алгоритм Евклида.
Расширенный бинарный алгоритм вычисления НОД натуральных чисел.
Многомодульная арифметика, системы вычетов по смешанному основанию, китайская теорема об остатках.
p-адические числа.
Многочлены от одной переменной над полем и кольцом целых чисел. Основные
свойства, арифметические операции.
Лемма Гаусса. Содержание многочлена, примитивные многочлены.
Оценки для модуля корней многочлена.
Оценки для коэффициентов делителей многочлена.
НОД многочленов с целыми коэффициентами. Алгоритмы вычисления, основанные на последовательностях полиномиальных остатков.
Модулярный алгоритм вычисления НОД многочленов с целыми коэффициентами.
Китайская теорема об остатках для многочленов.
Отношение редукции для многочленов. Условия слияния.
Базисы Гребнера. Определение и основные свойства.
Алгоритм построения базисов Гребнера.
Авторедуцированные множества многочленов.
Авторедуцированные базисы Гребнера.
Многочлены Гильберта. Определение, алгоритм включения-исключения.
Рекурсивный алгоритм вычисления многочленов Гильберта.
Интегрирование в конечном виде. Постановка задачи. Элементарные функции.
Теорема Лиувилля (формулировка).
Регулярные мономы. Структурная теорема (формулировка и примеры применения).
Алгоритм Риша.
Литература
1. Кнут Д. Искусство программирования. Т. 2. Получисленные алгоритмы. 3-е издание.
М.-СПб.-Киев, Вильяме, 2000.
2. Латышев В.Н. Комбинаторная теория колец. Стандартные базисы. М., изд-во МГУ,
1987.
3. Латышев В.Н. Комбинаторная теория колец. Сложность алгебраических алгоритмов.
М., изд-во МГУ, 1988.
4. Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. Под редакцией Бухбергера, Лооса, Коллинза. М., Мир, 1986.
5. Дэвенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра. М., Мир, 1991.
6. Акритас А. Компьютерная алгебра с приложениями. М., Мир, 1994.
7. Панкратьев Е.В. Компьютерная алгебра. http://shade.msu.ru/~pankrat/BOOK.PS