Ответы на экзаменационные вопросы

Ответы на экзаменационные вопросы.
Введение
Логика – это наука о законах правильного мышления.
Ее основные задачи:
1) анализ правильности рассуждений (состоит в выяснении, является ли
данное рассуждение доказательным),
2) синтез правильных рассуждений (состоит в построении таких
рассуждений, которые имеют доказательную силу, являются
доказательствами).
В математической логике обе эти задачи решаются математическими
методами. Отличительной особенностью любого математического
метода является отвлечение (абстрагирование) от содержания
рассуждений. Иначе говоря, в математических методах внимание
обращается исключительно на форму и совершенно игнорируется
содержание рассуждения.
Над высказываниями определяются следующие основные логические
операции (логические связки), с помощью которых можно из простых
высказываний строить новые (составные высказывания):
.
Отрицание высказывания P есть высказывание, истинное тогда и
только тогда, когда ложно высказывание P.
Конъюнкция высказываний P, Q представляет собой высказывание,
истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания P, Q.
Последние называются конъюнктивными членами конъюнкции
.
.
Дизъюнкция высказываний P, Q
является высказыванием,
истинным тогда и только тогда, когда истинно по меньшей мере одно из
высказываний P, Q. Высказывания P и Q называются дизъюнктивными
членами дизъюнкции PQ.
Импликация высказываний P, Q есть высказывание, ложное тогда
и только тогда, когда истинно высказывание P и ложно высказывание
1.1. Высказывания и логические операции над ними
Q. Высказывания P и Q называются соответственно посылкой и
Под высказыванием мы понимаем всякое повествовательное заключением импликации P→Q.
предложение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или
ложно.
1. Логика высказываний
Пример.
Предложение «Страусы летают» выражает ложное высказывание, а предложение «Курение
вредит Вашему здоровью» – истинное высказывание.
Предполагается, что каждое высказывание является либо истинным,
либо ложным, но не тем и другим одновременно и никаким иным.
Именно это свойство высказываний – быть истинным или ложным – и
будет нас интересовать, от структуры и содержания высказывания мы
отвлекаемся.
Обозначив истинное высказывание символом 1 (или и), а ложное – 0
(или л), вводится функция  , заданная на совокупности всех
высказываний и принимающая значения в множестве {1,0}, по правилу:
Эквивалентность высказываний P, Q представляет собой
высказывание, истинное тогда и только тогда, когда одновременно
истинны или одновременно ложны высказывания P, Q.
Каждую из этих операций можно рассматривать как операцию над
символами (логическими константами) 0 и 1 (или и и л).
1.2. Формулы логики высказываний и их классификация
Пропозициональными
(высказывательными)
переменными
называются такие переменные, вместо которых можно подставлять
конкретные высказывания.
Обозначаются они чаще всего большими буквами конца латинского
алфавита, возможно, с индексами: P, Q, ..., Y, Z, P1, Q2, Xi и т.п.
Из пропозициональных переменных при помощи логических
операций (связок) можно строить формулы. Формула в логике
высказываний определяется индуктивно следующим образом:
Скобки в формулах, как обычно, указывают порядок действий.
Разрешается опускать внешние скобки.
Для обозначения формул будут применяться большие буквы начала
латинского алфавита, возможно, с индексами: A, B, Ci, и т.п. Запись
F(X1, ..., Xn) означает, что F есть формула в переменных X1, ..., Xn, т.е.
что всякая пропозициональная переменная, входящая в F, принадлежит
списку переменных X1, ..., Xn.
1.3. Общезначимые формулы
Части формулы, которые сами являются формулами, называются
Тавтологии также называют общезначимыми формулами.
подформулами данной формулы.
Для установления того, является ли некоторая формула
Любая формула логики высказываний сама по себе ничего не
общезначимой, достаточно построить ее истинностную таблицу и
выражает, но она становится высказыванием всякий раз, когда под
убедиться, что всегда получается лишь значение 1.
каждой переменной в ней подразумевается некоторое конкретное
Приведем основные общезначимые формулы (тавтологии):
высказывание, т.е. когда для каждой такой переменной задано
конкретное истинностное значение (интерпретация). Истинностное
значение этого высказывания однозначно определяется формулой и
интерпретацией ее переменных:
Правила получения тавтологий.
1. Правило заключения.
Тавтологии, выражающие свойства конъюнкции и дизъюнкции:
2. Правило подстановки.
Тавтологии, выражающие свойства импликации и эквивалентности:
1.4. Логическое следование формул (отношение
логического следования формул)
Тавтологии, выражающие замену одних операций другими:
Формула G называется логическим следствием формулы F
(логически следует из формулы F), пишут F|=G, если для любой
интерпретации α переменных в F, G, для которой F(α) = 1, имеет место
и G(α) = 1. Обобщение:
Признак логического следствия:
1.5. Равносильность формул (отношение равносильности)
Лемма. Если в формуле некоторую ее подформулу заменить на
равносильную ей формулу, то полученная формула будет равносильна
исходной:
Чтобы проверить равносильность двух формул F и G, надо
построить таблицу истинности обеих формул и убедиться, что значения
истинности получающихся из них высказываний одинаковы для любых
одинаковых наборов значений пропозициональных переменных.
Признак равносильности формул:
Две формулы F и G равносильны тогда и только тогда, когда их
эквивалентность F↔G является тавтологией.
Отношение равносильности формул рефлексивно, симметрично и
транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности.
Справедливы следующие равносильности:
Данная лемма служит основанием для упрощения формул путем
равносильных преобразований (т.е.переходя от одной формулы к
равносильной ей).
Равносильные преобразования также применяются для приведения
формул к специальной форме (виду).
1.6. Нормальные формы для формул алгебры
высказываний
Теорема.
Каждая не тождественно ложная формула от n
переменных
имеет
единственную
совершенную
дизъюнктивную нормальную форму.
Каждая не тождественно истинная формула от n
переменных
имеет
единственную
совершенную
конъюнктивную нормальную форму.
Алгоритм отыскания СДНФ:
.
Алгоритм отыскания СКНФ:
.
1.7. Формализованное исчисление высказываний
Любая формула, содержащая эти связки,
рассматривается как синтаксическое сокращение
собственной формулы теории L.
Исчисление высказываний – это формальная теория L,
в которой определены следующие компоненты:
1. Алфавит:
,  есть логические связки;
(,)
есть служебные символы;
X1,X2,…,Xn есть пропозициональные переменные.
2. Формулы:
3. Аксиомы (схемы аксиом):
А1: (F(GF));
А2: ((F(GH))((FG)(FH)));
А3: ((G  F)((GF)G)),
где F, G, H –произвольные формулы.
F, F  G
4. Правило вывода:
Modus ponens (правило
G
отделения).
Здесь F и G – любые формулы.
Таким образом, множество аксиом теории L бесконечно,
хотя задано 3-мя схемами аксиом. Множество правил
вывода также бесконечно, хотя оно задано только одной
схемой.
При записи формул лишние скобки опускаются, если это
не вызывает недоразумений. Другие связки вводятся
определениями (но не аксиомами):
По определению, каждая аксиома
доказательством служит она сама.
1.8. Теорема о дедукции
Теорема (о дедукции).
является
теоремой;
ее
Следствие 1.
Следствие 2.
Одно из применений теоремы дедукции заключается в следующем.
Пусть требуется доказать утверждение вида Г|-A→B. Вместо этого
доказывают утверждение Г, A|-B, что часто бывает легче сделать, и
требуемое утверждение получают по теореме дедукции.
1.9. Полнота , непротиворечивость и разрешимость
исчисления высказываний
Полнота формализованного исчисления высказываний состоит в
совпадении множества доказуемых формул с множеством тавтологий.
Теорема1. Если |-F, то |=F. Другими словами: всякая доказуемая в
исчислении высказываний формула является тавтологией.
Доказательство.
Каждая аксиома является общезначимой формулой.
Из
общезначимых формул по правилу отделения получается снова
общезначимая формула. Следовательно, в любом доказательстве в ИВ
любая формула, в том числе последняя, общезначима. •
Теорема 2. Если |=F, то |-F . Другими словами: всякая тавтология
доказуема в формализованном исчислении высказываний.
Объединив обе теоремы, получим теорему о полноте:
Теорема (о полноте).
Исчисление высказываний непротиворечиво, полно и разрешимо.
Аксиоматическая теория полна, если присоединение к ее аксиомам 2. Логика предикатов
2.1. Предикаты
формулы, не являющейся теоремой, делает теорию противоречивой.
В исчислении предикатов во внимание принимают не только
Аксиоматическая теория непротиворечива, если в ней нельзя
истинностное значение элементарного высказывания, но и его предмет
доказать как формулу F, так и ее отрицание ¬F.
– тот объект, о котором идет речь в высказывании. Иначе говоря,
высказывание в исчислении предикатов рассматривается не как нечто
неделимое, но как состоящее из двух частей – собственно высказывания
и предмета высказывания. Первая часть в нем – это что именно
высказывается, а вторая – про что или про кого это высказывание. В
Следствие (теорема о непротиворечивости).
переводе с английского predicate означает сказуемое, т.е. как раз то, что
В исчислении высказываний невозможно доказать формулу и ее
высказывается, поэтому первая часть в высказывании так и называется
отрицание.
– предикат. Например, в высказывании «число 6 является простым»
Доказательство (от противного).
«число 6» будет предметом, а «является простым» – предикатом. В
В самом деле, если для некоторой формулы F возможно
языке ИП предусматриваются средства для обозначения предикатов –
одновременно |-F и |-¬F, то по теореме1 будет одновременно |=F и |= ¬F,
предикатные переменные и предметов – предметные переменные.
что противоречит определению общезначимости. •
Истинностное значение высказывания, расчлененного на предикат и
Аксиоматическая теория называется разрешимой, если существует
предмет, зависит как от того, так и другого.
алгоритм, позволяющий для любого утверждения, сформулированного
в терминах теории, ответить на вопрос, будет или нет это утверждение
теоремой данной теории.
Исчисление высказываний разрешимо, если существует алгоритм,
позволяющий для любой формулы установить, доказуема она или нет.
Теорема (теорема о разрешимости).
Формализованное исчисление высказываний есть разрешимая
аксиоматическая теория.
Классификация предикатов:
Теорема1.
Теорема2.
Равносильность и следование предикатов.
Теорема3.
Теорема.
2.2. Логические и кванторные операции над предикатами
Дизъюнкция.
Поскольку значениями предикатов являются высказывания, к
предикатам можно применять все логические операции, определенные
для высказываний.
Отрицание.
Теорема.
Теорема.
Импликация и эквивалентность.
Конъюнкция.
Кроме того, над предикатами определяются две новые операции,
называемые кванторными (кванторами).
Как и операция ¬, каждый квантор является унарной операцией, т.е.
действует на одиночный предикат, но, в отличие от ¬, связывает
некоторый из аргументов последнего, давая в качестве результата
предикат, не зависящий от этого аргумента и определяемый следующим
образом.
Квантор (все)общности.
.
К n-местному предикату можно применить n кванторов. Применение
квантора к n-местному предикату (n≥1) дает (n-1)-местный предикат.
2.3. Формулы логики предикатов и их классификация
Квантор существования.
Формулы логики предикатов строятся из предметных и предикатных
переменных, символов логических операций ¬, ,  , →, ↔, , и
знаков пунктуации ( , ). Назначение предметных переменных обозначать
возможные
предметы,
назначение
предикатных
переменных- обозначать возможные предикаты. Иначе говоря,
предметная и предикатная переменные - это некоторые буквы, вместо
которых можно иногда подставлять в качестве значений конкретные
предметы и конкретные предикаты соответственно. В дальнейшем в их
роли будут употребляться соответственно малые и большие буквы
конца латинского алфавита, возможно, с индексами. Предикатные
переменные со значениями n-местных предикатов называются nместными предикатными переменными. При n = 0 они являются
высказывательными переменными.
Индуктивное определение формулы логики предикатов:
Подформулой элементарной формулы является сама формула;
подформулами составных формул, кроме них самих, считаются все
подформулы их составляющих F1 и F2.
Относительно правил опускания и расстановки скобок в формулах:
кванторы связывают сильнее других операций.
Любая формула логики предикатов только тогда имеет смысл (что-то
выражает), когда имеется какая-нибудь интерпретация входящих в нее
символов.
Равносильные преобразования позволяют приводить формулы к
тому или иному более удобному виду.
Теорема.
Для каждой формулы логики предикатов существует равносильная
ей приведенная форма.
Простейшие тавтологии логики предикатов
получаются из тавтологий алгебры высказываний.
Приведем некоторые новые тавтологии:
Теорема.
Для каждой формулы логики предикатов существует
предваренная нормальная форма.
Логическое следование
2.5. Формализованное исчисление предикатов
2.4. Равносильность и логическое следование формул
логики предикатов
Формулы F и G называют эквивалентными, или равносильными, и
пишут F= G, если при любой интерпретации они выражают одинаковые
предикаты.
Очевидно, что все равносильности, имеющие место в исчислении
высказываний, переносятся в исчисление предикатов.
Теорема (о дедукции):
Теорема
(непротиворечивость
исчисления
предикатов).
В
исчислении предикатов одновременно недоказуемы формула и ее
отрицание..
Теорема (теорема Геделя о полноте исчисления предикатов). Класс
доказуемых замкнутых формул совпадает с классом общезначимых
формул: |-F  |=F.
Теорема (теорема Черча о неразрешимости исчисления предикатов).
Исчисление предикатов неразрешимо.
Последняя теорема означает, что не существует алгоритма, который
для любой формулы исчисления предикатов устанавливает, доказуема
эта формула или нет. Ее доказательство предполагает точное
определение понятия алгоритма.
3. Варианты логики и логическое
программирование
3.1. Классическая логика и клаузальная логика
Клаузальная логика.
Преобразование предложений из стандартной формы в
клаузальную.
3.2. Логическое программирование. Клаузы Хорна и
метод резолюций