мат. наук, доцент СибАГС

60
ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈÅ ÊÐÈÂÛÕ
ÑÎÂÎÊÓÏÍÎÃÎ ÑÏÐÎÑÀ È ÏÐÅÄËÎÆÅÍÈß
С.Б. Кузнецов
канд. физ.-мат. наук, доцент СибАГС
Совокупный спрос и предложение на рынке представляются соответствующими кривыми спроса и предложения, показывающими отношение между объемом
производства и индексом цен [1]. Запишем функции
совокупного спроса и предложения в виде:
Q  f i (P),
где
Q
– величина предложения или спроса, в зависимости от
fi ;
P – индекс цен.
производственных мощностей ценовая эластичность
спроса достигает нуля. С увеличением объема
производства кривая спроса уменьшает свой наклон и в
пределе ценовая эластичность спроса стремится к минус
бесконечности (см. рис. 1). Реально ни ноль, ни
бесконечность не достигаются, появляется предельно
малая эластичность   0 при маленьком индексе цен.
Ценовую эластичность спроса и предложения
аппроксимируем линейной функцией или обратно
пропорциональной зависимостью от цены:
Предположим, что в некоторый момент времени индекс цен остается неизменным и объем спроса и предло-
     P,

  .
P
жения нормирован, то есть f i (1)  1 .
В традиционном представлении кривая предложения
имеет положительный наклон, а кривая спроса – отрицательный [2]. Степень реакции спроса и предложения на
колебание цен измеряется эластичностью спроса и
предложения:

dQ
P
.
dP Q

(1)
(2)
В этом представлении для эластичности спроса  –
безразмерная величина, а  > 0 имеет размерность,
обратную размерности индекса цен. Эластичность представляет собой безразмерную величину, поэтому  имеет
размерность индекса цен и является отрицательной величиной. Соответственно, для эластичности предложения
 < 0,  > 0.
Поскольку изменение объема производства и индекса цен происходит, как правило, в одном направлении,
то эластичность предложения положительна, а спроса
отрицательна.
Время является важным фактором функции предложения. Эластичность прямо пропорциональна времени,
которым располагают производители, чтобы ответить на
изменение цены.
В краткосрочном периоде предложение будет стремиться стать более неэластичным с ростом валового
выпуска. На микроуровне это объясняется законом
уменьшающихся доходов, что предполагает увеличение
предельных затрат более быстрыми темпами по сравнению с выпуском продукции. После точки уменьшения
доходов дополнительный рост валового выпуска потребует более быстрого роста переменных ресурсов, а это
означает, что кривые предельных издержек будут становиться круче с ростом выпуска. Кривые предложения
также увеличивают свой наклон с ростом выпуска.
В экстремальном случае с достижением максимума
использования производственных мощностей кривая
предельных издержек станет иметь наклон, равный
бесконечности. Это означает, что ценовая эластичность
предложения достигает нуля в краткосрочном периоде
(рис. 1). Реально ни ноль, ни бесконечность не достигаются, появляется предельно малая эластичность  при
большом индексе цен.
В долгосрочном плане все ресурсы переменны и
производство успевает расшириться, поэтому предложение более эластично, чем в краткосрочном периоде.
Кривая спроса увеличивает свой наклон с
уменьшением объема производства. В экстремальном
случае с достижением минимума использования
Подставим первую функцию (2) в уравнение (1) и
проинтегрируем. С учетом условия нормирования получим, что функция спроса или предложения может быть
представлена в виде:
Q  e   P  e P .
(3)
Аналогично для второй функции (2) получим:


(4)
Q  e  P e P .
Поведение этих функций показано на графике
(рис. 2). Как видим, отличаются они только скоростью
изменения спроса.
ε
0
P
Рис. 1. Кривые эластичности (верхняя кривая –
ценовая эластичность предложения, нижняя – спроса)
61
Q
Q
7
10
6
a
8
б
5
4
6
3
4
2
2
0
1
0,5
1
1,5
2
2,5
Рис. 2. Кривые спроса с параметрами
3
P
10
20
30
40
50
P
  1,5,   0,02 (a) и предложения с   0,02,   2,5 (б)
Полученная кривая соответствует традиционному
представлению о виде кривой совокупного спроса.
С увеличением индекса цен эластичность падает и в точке
P
0
 1

для первой кривой и в точке P  
для

1
второй кривой спрос становится неэластичным.
Кривые предложения (3) – (4) отличаются лишь
скоростью изменения предложения, а поведение их
однотипное.
Следует отметить, что полученная зависимость (4)
является прямым аналогом формулы Клайперона –
Клаузиуса для давления насыщенных паров жидкости [5].
Отличием от зависимости Клайперона – Клаузиуса является возможность появления отрицательного значения
параметра , но далее будет показано, что для моделирования кривой предложения используется точный аналог
формулы Клайперона – Клаузиуса.
Все сказанное выше относится к кратчайшему и
краткосрочному периодам. Для долгосрочного периода
кривая предложения может иметь другую форму, что
обусловлено изменением стоимости капитала и технической развитости хозяйства под влиянием инвестиций.
Иными словами, в долгосрочном периоде теряется
независимость совокупного предложения от совокупного
спроса. Форма кривой здесь будет зависеть от изменения
объема инвестиций в течение рассматриваемого цикла,
а следовательно, и от него самого. Если в ходе цикла
чистые инвестиции в основной капитал в целом росли, то
кривая совокупного предложения будет пологой с
положительным наклоном, если инвестиции уменьшались,
то кривая будет иметь отрицательный наклон. При положительных параметрах  > 0 и  > 0 формула (4)
моделирует положительный наклон кривой, а отрицательный наклон в долгосрочном периоде возможен только
для   0 . Соответственно,  может иметь любой знак,
при котором возможен отрицательный наклон кривой
предложения.
На рис. 3 индекс цен рассмотрен на большом интервале, когда кривая предложения имеет отрицательный
наклон. Аналогичные кривые получаются и в случае
использования формулы (3).
Частые чередования подъемов и спадов инвестиционной активности существенно не влияют на капитальный запас и состояние технической развитости страны и
не воздействуют на расположение краткосрочной кривой
совокупного предложения. Ситуации длительных и
интенсивных однонаправленных изменений во вложениях
в основной капитал приводят к зависимости кривых
спроса и предложения между собой, а также к их зависимости от скорости изменения объема инвестиций.
Долгосрочная кривая совокупного предложения должна
учитывать последствия принимаемых инвестиционных
решений [6, р. 974 – 979].
Если в экономике стран Запада раньше периоды
роста цен сменялись периодами дефляции, то начиная с
1970-х гг. наблюдается постоянный рост цен.
Все это наводит на мысль о возможности U-образных
участков кривой совокупного предложения [4]. Как будет
показано ниже, три подобных участка соответствуют
развитию экономики США в 1973 – 1977, 1981 – 1984 и
1989 – 1991 гг.
Три основных обстоятельства объясняют появление
такой кривой:
а) небольшое изменение совокупного спроса не влияет на уровень цен, изменяя лишь реальный объем
выпуска. Фирмам невыгодно менять цены, ибо это повлечет изменение контрактов;
б) существенный рост совокупного спроса приводит
к небольшому изменению реального объема выпуска и к
большому росту цен. Причем, с достижением некоторого
порога увеличение спроса приводит только к росту цен;
в) большое снижение совокупного спроса также может
вызвать повышение уровня цен. Это обусловлено, вопервых, формой кривой средних издержек, во-вторых,
необходимостью поддерживать неизменный объем
Q
18
16
14
12
10
20
40
60
80
Рис. 3. Модель кривой предложения
с
  0,2,   4
P
62
выручки в данный момент времени, чтобы покрывать
текущие долги.
О возможности отрицательного наклона кривой
совокупного предложения писал Л. Абалкин в одной из
газетных статей. J. Grahl утверждал, что форма кривой
зависит от объема инвестиций и при убывании инвестиций
кривая совокупного предложения будет иметь отрицательный наклон [7, р. 183–218]. M.C. Marcuzzo считает,
что длительное увеличение инвестиций в основной
капитал изменяет структуру производства, то есть меняется реакция средних издержек на изменение объема
выпуска – издержки будут снижаться при увеличении
выпуска [8, р. 7–22]. Такое увеличение порождается расширением капитального запаса, постепенно приводящим
к очень значительному росту соотношения фиксированных
и переменных издержек производства. Кривая средних
издержек преобразуется в L-образную линию, что может
привести и к L-образной линии совокупного предложения.
Найдем параметры кривой предложения для экономики США. Для расчета возьмем ежегодные значения
валового дохода и индекса цен для периода 1950–1994 гг.,
приведенные к ценам 1984 г. [9]. Зависимость эластичности совокупного предложения от индекса цен представлена на рис. 4. Вид графика больше соответствует зависимости типа второго уравнения в (2).
Для построения функции предложения использовался
тренд, построенный с использованием метода наименьших квадратов по программе STADIA [3]. На рис. 5 точками
указаны статистические данные, центральная кривая
представляет собой тренд, рассчитанный по формуле (4),
боковые линии показывают доверительный интервал.
В результате расчетов для валового продукта США
получено, что   0, 234,   0,147 . Индекс корреляции
0,9645, что показывает тесную связь рассматриваемых
признаков.
Для проверки адекватности регрессионной модели
статистическим данным использовался критерий Фишера,
который подтвердил верность используемой модели.
Таким образом, зависимость валового продукта от
индекса цен определяется из формулы:
Q  e0,147 P 0,234e

0,147
P
.
Смоделируем зависимость валового продукта от
индекса цен по формуле (2). Данные взяты те же, что и в
предыдущем случае, использовалась та же расчетная
программа.
В результате расчетов получено, что   0,594,
   0,101 . Индекс 0,956 показывает достаточно тесную
9,5
8,5
7,5
Эластичность
6,5
5,5
4,5
3,5
2,5
1,5
0,5
-0,5 0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
Индекс цен
Рис. 4. Изменение ценовой эластичности совокупного предложения в США в 1950–1994 гг.
Рис. 5. Изменение индекса объема валового продукта США под влиянием динамики индекса цен в 1950 – 1994 гг.
63
корреляцию данных. Критерий Фишера подтвердил адекватность используемой модели.
Таким образом, зависимость валового продукта от
индекса цен определяется из формулы:
Q  e0,101P 0,594e0,101P .
Подобные расчеты проводились для моделирования
экономик различных стран с разными уровнями развития.
Полученные константы можно свести в таблицу.
Исходные индексы (кроме США) рассматривались
для периода 1970 – 1987 гг. и данные нормировались
относительно 1970 г. Во всех расчетах корреляционный
коэффициент мало отличался от единицы и критерий Фишера показывал адекватность моделей статистическим
данным.
Отрицательные коэффициенты , полученные для
Англии, Франции, Германии, Финляндии, Японии, Южной
Кореи, Индии и Австралии, говорят о том, что функциональная зависимость валового продукта в этих странах
от индекса цен имеет вогнутый характер, а не выпуклый,
как для экономики США. Коэффициент  для этих стран
также положителен. Динамика двух даных показателей
свидетельствует о росте эластичности совокупного
предложения со временем. В странах с положительным
коэффициентом  (США, Италия, Финляндия, Норвегия,
Малайзия, Таиланд и ЮАР) эластичность совокупного
спроса со временем убывает и может даже стать
отрицательной.
Особо стоит остановиться на экономике ЮАР. В 80-е гг.
функция совокупного предложения здесь являлась убывающей от индекса цен (рис. 6), то есть с ростом цен объем
предложения падал.
Это нетрадиционное поведение кривой совокупного
предложения, тем не менее, описывается тем же классом
функций, что и для остальных рассмотренных выше стран.
Зависимость валового продукта от индекса цен по странам мира за 1970–1987 гг. Страны Англия
Германия
Франция
США
Канада
Италия
Норвегия
Финляндия
Япония
Южная Корея
Таиланд
Индия
Малайзия
ЮАР
Австралия

   0,543
1,41
0,577
0,234
0,165
0,141
0,308
0,436
2,78
0,696
–1,29
0,963
0,749
–0,0865
0,409
–0,682
–1,2
–0,396
0,147
0,581
0,188
0,352
0,209
–2,98
–0,352
1,71
–0,875
0,938
0,564
–0,187
0,0826
0,447
0,106
–0,101
–0,156
–0,0207
–0,0848
0,055
1,34
0,0691
0,479
0,233
–0,321
–0,0682
0,0556
–0,0199
–0,111
0,12
0,594
0,804
0,29
0,679
0,202
–1,33
0,318
0,0712
–0,00205
1,89
0,377
0,187
Рис. 6. Динамика индекса объема валового продукта ЮАР в зависимости от изменения индекса цен
в 1970 – 1987 гг.
64
Литература
1. Ален Р. Математическая экономика. М.: Иностранная литература, 1963.
2. Кейнс Дж. Общая теория занятости, процента и
денег. М.: Гелиос, 2002.
3. Кулаичев А.П. Методы и средства анализа данных
в среде windows STADIA 6.0. М.: Информатика и
компьютеры, 1998.
4. Розмаинский И.В. Инвестиционная теория совокупного предложения и трансформационный спад в
российской экономике. Http://ie.boom.ru/Rozmainsky/
Rozm.htm.
5. Румер Ю.Б., Рывкин М.Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. М.: Наука, 1977.
6. Eichner A.S. Determination of the Mark-up under
Oligopoly // Economic Journal. 1974. Vol. 84.
7. Grahl J. Productivity Slowdown and Financial Tensions
// Post-Keynesian Monetary Economics: New Approaches to
Financial Modelling / Ed. P. Arestis. Aldershot, 1988.
8. Marcuzzo M.C. Alternative Microeconomic Foundation
for Macroeconomics: The Controversy over the L-shaped Cost
Curve Revisited // Review of Political Economy. 1996. Vol. 8.
9. National Account Statistics: Analysis of Main Aggregates. N.Y.: United Nations, 1950 – 2002.