Применение кругов Эйлера к решению задач

ОКРУЖНАЯ НАУЧНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ УЧАЩИХСЯ
СЕКЦИЯ “Математика”
Применение кругов Эйлера
к решению задач
Автор:
Наумов Виктор,
учащийся 7 класса
ГБОУ СОШ ж.-д.ст. Погрузная
Научный руководитель:
Степанова Галина Алексеевна,
учитель математики
С. Красный Яр,
2014 г.
1
Содержание
Введение,………………………………………………………..
Стр.3-4
Глава 1. Круги Эйлера………………………………………
Стр.5-14
1.1. Теоретические основы о кругах Эйлера,…………………….Стр. 5-10
1.2. Решение задач с применением кругов Эйлера………………Стр.11-14
Глава 2.Задачи практического содержания……………………….Стр.15-19
Заключение…………………………………………………………Стр. 20-21
Список литературы………………………………………………….Стр.22
Приложения ……………………….…………
Стр. 23-26
2
Введение
«Всё наше достоинство заключено в мысли.
Не пространство, не время, которых мы не можем заполнить,
возвышает нас, а именно она, наша мысль.
Будем же учиться хорошо мыслить.»
Б.Паскаль,
В спортивных соревнованиях участвует школьная команда из 20 человек,
каждый из которых имеет спортивный разряд по одному или нескольким
из
трех видов спорта: легкой атлетике, плаванию и гимнастике. Известно, что 12
из них имеют разряды по легкой атлетике, 10 – по гимнастике и 5 –
плаванию. Сколько школьников из этой команды имеют разряды по
спорта, если по легкой атлетике и плаванию разряды имеют
по
всем видам
2 человека, по
легкой атлетике и гимнастике – 4 человека, по плаванию и гимнастике – 2
человека?
Актуальность. Перед нами задача, на первый взгляд очень громоздкая и
неизвестно даже, с чего начать её решение.
Предложенную задачу и многие
другие такого типа легко решить, если использовать круги Эйлера для решения
задачи. Существует множество приемов, которые используются при решении
текстовых логических задач. Очень часто решение задачи помогает найти
рисунок. Использование рисунка делает решение задачи простым и наглядным.
Решение каждой задачи можно красиво оформить.
Задачи,
решаемые
с
помощью
кругов
Эйлера,
предлагаются
на
математических олимпиадах, но в школьной программе не отводятся часы на
изучение данной темы.
Ценность задач, решаемых с помощью кругов Эйлера, состоит в том, что
решения задач с громоздкими условиями и со многими данными, просты и не
вызывают особых умозаключений. Актуальность состоит в том, что задачи
имеют практический характер, что немаловажно в современной жизни. Задачи
заставляют задумываться, подходить к решению какой-либо проблемы с
другой
3
стороны, уметь выбирать из множества способов решения, наиболее простой,
легкий путь.
Цель исследования: показать применение способа решения задач с помощью
кругов Эйлера и умение составлять задачи практического содержания.
Объект исследования: текстовые задачи
Предмет исследования: понятия: «Круги Эйлера», задачи школьного курса
математики .
Гипотеза исследования: применение кругов Эйлера повышают наглядность
при решении задач и упрощает решение задач
Задачи исследования:
1. Изучить теоретические основы понятий: «Круги Эйлера»
2. Показать решение задач школьного курса вышеназванными методами
3. Составить подборку материала для использования учениками и учителями
на уроках
Новизна: в ходе выполнения работы я пополнил свои знания еще одним методом
решения задач.
Методы исследования: сбор материала, обработка данных, наблюдение,
сравнение, анализ, обобщение
4
Глава 1. Круги Эйлера.
1.1. Теоретические основы о кругах Эйлера.
.
В математике, когда какие-нибудь объекты собираются вместе говорят одно и
то же слово – множество. Сказать «стадо чашек» нельзя, а множество чашек –
можно. Сказать «бригада коров» нельзя, а множество коров – можно.
Предметы или живые существа, входящие во множество, называются
элементами этого множества. Между множествами могут быть различные виды
отношений. Для наглядной геометрической иллюстрации соотношений между
множествами используются диаграммы Эйлера-Венна и круги Эйлера. Круги —
геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между
подмножествами. Используется в математике, логике, менеджменте и других
прикладных направлениях. А впервые Эйлер их использовал в письмах к
немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того,
чтобы облегчить наши размышления». Позднее аналогичный прием использовал
ученый Венн и его назвали «диаграммы Венна». При решении целого ряда задач
Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов, и
они получили название «круги Эйлера». Круги Эйлера — принятый в логике
способ моделирования, наглядного изображения отношений между объемами
понятий с помощью кругов, предложенный знаменитым математиком Л. Эйлером
(1707–1783). Условно принято, что круг наглядно изображает объем одного
какого-нибудь понятия. Объем же понятия отображает совокупность предметов
того или иного класса предметов. Поэтому каждый предмет класса предметов
5
можно изобразить посредством точки, помещенной внутри круга, как это
показано на рисунке:
Группа
предметов,
составляющая
вид
данного
класса
предметов,
изображается в виде меньшего круга, нарисованного внутри большего круга, как
это сделано на рисунке.
Такое именно отношение существует между объемами понятий «число» (А)
и «натуральное число» (B). Объему понятия «число» соответствует больший круг,
а объему понятия «натуральное число» — меньший круг. Это означает, что все
натуральные числа являются числами. Весь объем понятия «натуральное число»
входит в объем понятия «число».
Множество всех действительных чисел Эйлер изобразил с помощью кругов:
N -множество натуральных чисел, Z - множество целых чисел, Q - множество
рациональных чисел, R - множество всех действительных чисел.
6
В тех случаях, когда объемы двух понятий совпадают только частично,
отношение между объемами таких понятий изображается посредством двух
перекрещивающихся кругов, как это показано на рисунке:
Такое именно отношение существует между объемом понятий «учащийся»
и «спортсмен». Некоторые (но не все) учащиеся являются спортсменами;
некоторые (но не все) спортсмены являются учащимися. Не заштрихованная часть
круга А отображает ту часть объема понятия «учащийся», которая не совпадает с
объемом понятия «спортсмен»; не заштрихованная часть круга B отображает ту
часть объема понятия «спортсмен», которая не совпадает с объемом понятия
«учащийся». 3аштрихованиая часть, являющаяся общей для обоих кругов,
обозначает учащихся, являющихся спортсменами, и спортсменами, являющихся
учащимися.
Когда же ни один предмет, отображенный в объеме понятия A, не может
одновременно отображаться в объеме понятия B, то в таком случае отношение
между объемами понятий изображается посредством двух кругов, нарисованных
один вне другого. Ни одна точка, лежащая на поверхности одного круга, не может
оказаться на поверхности другого круга.
7
Такое именно отношение существует, например, между понятиями
«тупоугольный треугольник» и «остроугольный треугольник». В объеме понятия
«тупоугольный
треугольник»
не
отображается
ни
один
остроугольный
треугольник, а в объеме понятия «остроугольный треугольник» не отображается
ни один тупоугольный треугольник.
Отношения
между
равнозначащими
понятиями,
объемы
которых
совпадают, отображаются наглядно посредством одного круга, на поверхности
которого написаны две буквы, обозначающие два понятия, имеющие один и тот
же объем:
Такое отношение существует, например, между понятиями «родоначальник
английского материализма» и «автор „Нового Органона“». Объемы этих понятий
одинаковы, в них отобразилось одно и то же историческое лицо — английский
философ Ф. Бэкон.
Нередко бывает и так: одному понятию (родовому) подчиняется сразу
несколько
видовых
понятий,
которые
в
таком
случае
называются
соподчиненными. Отношение между такими понятиями изображается наглядно
посредством одного большого круга и нескольких кругов меньшего размера,
которые нарисованы на поверхности большего круга:
8
Такое именно отношение существует между понятиями «скрипка»,
«флейта», «пианино», «рояль», «барабан». Эти понятия в равной мере подчинены
одному общему родовому понятию «музыкальные инструменты».
Круги, изображающие соподчиненные понятия, не должны касаться друг
друга и перекрещиваться, так как объемы соподчиненных понятий несовместимы;
в содержании соподчиненных понятий имеются, наряду с общими, различающие
признаки. Эта схема отображает общее, что характерно для отношения любых
соподчиненных понятий, взятых из различных областей знания. Это применимо к
понятиям: «дом», «сарай», «ангар», «театр», подчиненных понятию «постройка»;
к понятиям: «муха», «комар», «бабочка», «жук», «пчела», подчиненных понятию
«насекомое» и т. д.
В
тех
случаях,
когда
между
понятиями
имеется
отношение
противоположности, отношение между объемами таких понятий отображается
посредством одного круга, обозначающего общее для обоих противоположных
понятий родовое понятие, а отношение между противоположными понятиями
обозначается так: А — родовое понятие, B и C — противоположные понятия.
Противоположные понятия исключают друг друга, но входят в один и тот же род,
что можно выразить такой схемой:
При этом видно, что между противоположными понятиями возможно
третье, среднее, так как они не исчерпывают полностью объема родового понятия.
Такое именно отношение существует между понятиями «легкий» и «тяжелый».
Они исключают друг друга. Нельзя об одном и том же предмете, взятом в одно и
то же время и в одном и том же отношении, сказать, что он и легкий, и тяжелый.
Но между данными понятиями есть среднее, третье: предметы бывают не только
легкого и тяжелого веса, но также и среднего веса.
9
Когда же между понятиями существует противоречащее отношение, тогда
отношение между объемами понятий изображается иначе: круг делится на две
части так: А — родовое понятие, B и не-B (обозначается как ¬B) —
противоречащие понятия. Противоречащие понятия, исключают друг друга и
входят в один и тот же род, что можно выразить такой схемой:
При этом видно, что между противоречащими понятиями третье, среднее,
невозможно, так как они полностью исчерпывают объем родового понятия. Такое
отношение существует, например, между понятиями «белый» и «небелый». Они
исключают друг друга. Нельзя об одном и том же предмете, взятом в одно и то же
время и в одном и том же отношении, сказать, что он и белый и небелый.
Таким образом, мы рассмотрели иллюстрации некоторых соотношений
между множествами.
10
1.2. Решение задач с применением кругов Эйлера.
Ну а как же круги Эйлера помогают при решении задач? Для ответа
рассмотрим несколько задач, которые могут быть решены с применением кругов
Эйлера на уроках математики .
1. В классе 25 учащихся. Из них 5 человек не умеют играть ни в шашки, ни
в шахматы. 18 учащихся умеют играть в шашки, 20 — в шахматы. Сколько
учащихся класса играют и в шашки, и в шахматы?
Решение:
А
А – шахматы
В
25-5=20 – чел. умеют играть
В – шашки
20+18-20=18 – чел играют и в шашки, и в шахматы
2. Каждый из 35 пятиклассников является читателем, по крайней мере,
одной из двух библиотек: школьной и районной. Из них 25 учащихся берут книги
в школьной библиотеке, 20 — в районной. Сколько пятиклассников:
а) не являются читателями школьной библиотеки;
б) не являются читателями районной библиотеки;
в) являются читателями только школьной библиотеки;
г) являются читателями только районной библиотеки;
д) являются читателями обеих библиотек?
Решение: Ш – множество посетителей школьной библиотеки
Р – множество посетителей районной библиотеки
25+20-35=10
Ш
15
Р
10
10
а) 10;
б) 15;
в) 15;
11
г)10;
д) 10.
А
7
18
Ф
9
3. Каждый ученик в классе изучает либо английский, либо французский
язык, либо оба этих языка. Английский язык изучают 25 человек, французский —
27 человек, а тот и другой —18 человек. Сколько всего учеников в классе?
Решение: 34.
А – английский, Ф – французский
25-18=7 – только английский
27-18=9 – только французский
7+18+9=34 – чел. в классе
4. На листе бумаги начертили круг площадью 78кв.см и квадрат площадью
55 кв.см. Площадь пересечения круга и квадрата равна 30 кв.см. Не занятая
кругом и квадратом часть листа имеет площадь 150 кв.см. Найдите площадь
листа.
Решение:
. Sкр=78кв.см.; Sкв=55кв.см; Sсумм=150кв.см;
Sлиста=78+55-30+150=253кв.см.
5. В ученической производственной бригаде 86 старшеклассников. 8 из них
не умеют работать ни на тракторе, ни на комбайне. 54 ученика хорошо овладели
трактором, 62 — комбайном. Сколько человек из этой бригады могут работать и
на тракторе, и на комбайне?
Решение:
Т – трактор, К – комбайн
54+62-(86-8)=38 – умеют работать и на тракторе и на комбайне
12
7. В классе 36 учеников. Многие из них посещают кружки: физический (14
человек), математический (18 человек), химический (10 человек). Кроме того,
известно, что 2 человека посещают все три кружка; из тех, кто посещает два
кружка, 8 человек занимаются в математическом и физическом кружках, 5 — в
математическом и химическом, 3 — в физическом и химическом. Сколько
человек не посещают никаких кружков?
Способ 1. Выясним, сколько ребят посещают только математический
кружок: 18-8-5-2 = 3; только физический: 14-8-3-2 = 1; только химический: 10-5-32 = 0. Таким образом, три кружка посещают 2 ученика; два кружка — 16 учеников
(8 + 3 + 5); один кружок — 4 ученика (3 + 1 + 0). Всего посещают кружки 2 + 16 +
4 = 22 ученика. Следовательно, кружки не посещают 36 - 22 = 14 ученика.
Способ 2. Представим множества учащихся, посещающих математический,
физический и химический кружки, в виде кругов, вырезанных из плотной бумаги.
Будем считать, что площадь каждого из этих кругов равна числу учащихся,
посещающих соответствующий кружок. Наложим круги друг на друга так, чтобы
было понятно, что есть учащиеся, посещающие один, два или три кружка.
Вычислим площадь получившейся плоской фигуры: 14 + 18 + 10 - (8 + 5 + 3) - 2 2 = 22 — это и есть число учеников, посещающих кружки. Следовательно,
кружки не посещают 36 - 22 = 14 учеников.
8. 100 шестиклассников нашей школы участвовали в опросе, в ходе
которого
выяснялось,
какие
компьютерные
игры
им
нравятся
больше:
симуляторы, квесты или стратегии. В результате 20 опрошенных назвали
симуляторы, 28 — квесты, 12 — стратегии. Выяснилось, что 13 школьников
отдают одинаковое предпочтение симуляторам и квестам, 6 учеников —
симуляторам и стратегиям, 4 ученика — квестам и стратегиям, а 9 ребят
совершенно равнодушны к названным компьютерным играм. Некоторые из
школьников ответили, что одинаково увлекаются и симуляторами, и квестами, и
стратегиями. Сколько таких ребят?
Решение: Пусть X — искомое число учеников, увлекающихся всеми видами
компьютерных игр. Тогда: 20 + 28 + 12 + 13 + 6 + 4 + 9 + Х = 100,
13
Х = 6.
Вывод. Таким образом, существует целый класс задач, которые решаются с
помощью кругов Эйлера. Алгоритм решения состоит из следующих этапов:
• Записываем краткое условие задачи.
• Выполняем рисунок.
• Записываем данные в круги Эйлера.
• Выбираем условие, которое содержит больше свойств.
• Анализируем, рассуждаем, не забывая записывать результаты в
части круга .
• Записываем ответ.
14
Глава 2 .Задачи, имеющие практическое содержание.
Вернемся к задаче, которая прозвучала в начале работы. Теперь мы
можем её условие изобразить с помощью кругов Эйлера.
А-множество учащихся, имеющих разряды по
легкой атлетике.
В-множество учащихся, имеющих разряды по
плаванию.
С-множество учащихся, имеющих разряды по
гимнастике.
Нам надо найти, сколько элементов, то есть учащихся
входят в пересечение множеств.
12 -2 = 10 - учащихся только по легкой атлетике.
10 -2 = 8 - учащихся только по плаванию.
5 -4 = 1 - учащихся только по гимнастике.
20-[(12-2)+(10-2)+(5-4)]=20-10-8-1=20-19=1 (уч.) имеет разряд по всем видам
спорта. Рассмотрим еще несколько задачи практического содержания.
Задача 1. В классе 35 учеников. В математическом кружке занимаются 12,
в биологическом - 9, а 16 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов
увлекаются математикой?
Решение: Мы видим, что кружки посещают 19 ребят, так как 35 - 16=19, из
них 10 человек посещают только математический кружок (19-9=10) и 2 биолога
(12-10=2) увлекаются математикой.
Ответ: 2 биолога.
15
С помощью кругов Эйлера легко увидеть и другой способ решения задачи.
Количество учеников изобразим с помощью большого круга, а внутри поместим
круги поменьше.
Очевидно, что в общей части кругов окажутся те самые биологи-математики,
о которых спрашивается в задаче. Теперь посчитаем: Внутри большого круга 35
учеников, внутри кругов М и Б : 35-16=19 учеников, внутри круга М - 12 ребят,
значит, в той части круга Б, которая не имеет ничего общего с кругом М,
находится 19-12=7 учеников, следовательно, в МБ находится 2 ученика (9-7=2).
Таким образом, 2 биолога увлекаются математикой.
1)35-16=19(чел.);
2) 12+9=21 (чел.);
3)21-19=2(чел.). Ответ: 2 биолога.
Задача 2. Из 100 семиклассников, выполнивших практическое задание по
физике, 75 сделали модели, а 65- эскиз фонтана, а 10 человек ничего не сделали.
Сколько учеников сделали модель и эскиз?
Решение: В большом круге, изображающем 100 семиклассников, поместим 2
меньших круга, изображающих учеников, выполнивших модель и эскиз фонтана.
16
Мы видим, что 90 учеников (100-10) выполнили хотя бы одну часть задания;
15 учеников (90-75) сделали только эскиз фонтана, 75-15=50 – учеников сделали
эскиз и фонтан.
Ответ: 50 учеников.
Задача 3.
В классе 32 человека. Из них 14 играют в баскетбол, 24 - в
пионербол, 16 - в волейбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и
пионерболом - шестеро, баскетболом и волейбол - четверо, пионерболом и
волейболом - четверо. Трое ничем не занимаются. Сколько ребят увлекается
всеми видами игры?
Решение. Воспользуемся кругами Эйлера.
1)32-3=29(ч.) – играют хотя бы в одну игру.
2)14-6-4-Х=4-Х (ч.) – играют только в баскетбол.
3)24-6-4-Х=14-Х (ч.) – играют только в пионербол.
4)16-4-4-Х=8-Х (ч.) – играют только в волейбол.
5)4-Х+14-Х+8-Х+5+6+4=29 (ч.)
41-3Х=29
3Х=12
Х=4(ч.)
Ответ: четыре человека увлекаются всеми тремя видами спорта.
Более сложные задачи можно решить с помощью кругов Эйлера и составлением
системы уравнений.
17
Задача 4. Ребят, которые хотят обмениваться различного рода журналами,
собралось 10 человек. Среди них выписывают К - 6 человек, Т – 5 человек, Ю – 5
человек, К и Т – 3 человека, Т и Ю -2 человека, К и Ю – 3 человека., а один
человек не выписывает ни одного журнала., но читает все эти журналы в
библиотеке. Надо узнать, сколько человек выписывают все три журнала, сколько
– два, а сколько – только один журнал.
Решение. Пусть большой круг, состоящий из 10 человек, – это множество всех
ребят, обменивающихся журналами. Внутри большого круга нарисуем три
меньших круга: К, Т, Ю, которые изображают ребят, подписавшихся на
соответствующие журналы. Известно, что один человек не выписывает ни одного
журнала. Значит, в области, расположенной вне кругов К, Т, Ю, запишем 1. В
остальных ячейках получившегося рисунка запишем буквы a¸ b, c, x¸ y¸ z¸ t,
которые будут обозначать число ребят, подписавшихся на соответствующие
журналы.
 x  a  b  t  6,

 y  b  c  t  5,
 z  a  c  t  5.

b  t  3,

c  t  2,
 a  t  3.

Так как ребят было 10, то можно записать еще одно уравнение
( x  y  z)  (a  b  c)  t  1  10 (1)
Складывая уравнения первой системы,
получим
( x  y  z)  2(a  b  c)  3t  16
Складывая уравнения второй системы, получим
(2).
(a  b  c)  3t  8 (3).
18
Подставляя во (2) уравнение (1) и (3), получим
10  t  1  8  16
Отсюда t = 1, b = 2, c = 1, a =2. Значит, a + b + c = 5.
Вычисляя далее, получаем: x =1, y = 1, z = 1, т.е. x+y+z =3.
Итак, 3 – это число ребят, подписавшихся только на один журнал, 5 – это число
ребят, подписавшихся на два журнала, а 1 – число ребят, подписавшихся на все
три журнала.
Вывод. Применение кругов Эйлера позволяет легко решить задачи, которые
обычным путем разрешимы лишь при составлении системы трех уравнений с
тремя неизвестными.
Я подобрал несколько задач, которые решаются таким же образом, они в
приложении.
19
Заключение
Ты человек, а значит, ты
Обязан рассуждать –
А без логичной простоты
Ты будешь пропадать.
Пусть за собой она зовётУйми в коленях дрожь!
Коль с Логикой пойдёшь вперёд
Нигде не пропадёшь!
(С. Алдошин)
Логика, - наука о законах и формах правильного мышления, зародилась в
Древней Греции. Основоположником логики по праву считают великого учёного
Аристотеля (384 – 322 гг. до н.э.). Она лежит в основе различных наук
(естественных, общественных и технических), а также в основе любого учебного
предмета, изучаемого в общеобразовательной школе. Логику должен знать
каждый человек, чтобы мыслить правильно, т.е. определённо, непротиворечиво,
доказательно, чётко, и уметь излагать свои мысли понятным языком. Нам,
школьникам логика помогает в процессе овладения многообразной информацией.
Логика помогает нам отделить главное от второстепенного, критически
воспринять данные в различных книгах определения и классификации
разнообразных понятий.
Как видно из моей исследовательской работы, задачи состоят из множества
данных. Выстроив данные в единую цепочку, можно увидеть, что решение задач
подчиняется одному и тому же способу. Для решения задач, решаемых с
помощью кругов Эйлера, был составлен алгоритм.
Логические задачи заставляют думать, рассуждать, составлять цепочку
действий, последовательность, учат алгоритмизации, что немаловажно в
современной жизни. А исследовательские работы учат искать информацию из
различных источников (включая и интернет) и обрабатывать её, учат находить из
большого материала лишь тот, который необходим.
20
Анализ теоретического и практического материала по исследуемой теме
позволяет сделать выводы об успешности применения кругов Эйлера
для
развития логического мышления, привития интереса к изучаемому материалу,
применению наглядности, а также трудные задачи свести к легким для
понимания и решения.
21
Используемая литература:
1. Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего
школьного возраста. М.: Педагогика,1989.
2. Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. «Внеклассная работа по
математике». М.: Просвещение, 1984.
3. Задачи для любознательных. Д.В.Климченко, М., Просвещение, 1992г,
4. Внеклассная работа по математике, З.Н.Альхова, А.В.Макеева, Саратов,
Лицей, 2002г.
5. Удивительный мир чисел. Б.А.Кордемский, А.А.Ахадов., М., Просвещение,
1986г.,
22
Приложение
Задача 1.
В классе можно изучать английский или французский язык. Известно, что
английский язык изучают 20 школьников, а французский – 17. Всего в классе 32
ученика. Сколько учащихся изучают оба языка: и английский и французский.
Решение:
А – изучают английский язык
В - изучают французский язык
Надо найти пересечение множеств.
20+17-32=5 учащихся
Задача 2.
Все девочки нашего класса выращивают в своих квартирах какие-нибудь
растения. Шестеро из них разводят лилии, а пятеро – фиалки. И только у двоих
есть и лилии, и фиалки. Угадайте, сколько девочек в классе?
Решение:
А - лилии
В - фиалки
Пересечение множеств равно 2 ( и лилии, и фиалки)
6 – 2 = 4 – разводят только лилии
5 – 3 = 2 – разводят только фиалки
4 + 3 + 2 = 9 (девочек)
Задача 3.
В классе 40 человек. Из них по математике имеют тройки-17 человек, по
русскому языку- 19 человек, по физике 22 человека. 4 человека имеют тройки
только по русскому языку , 4 только по математике и 11 человек только по
физике. Пять человек имеют тройки по русскому языку, математике и физике.
Сколько человек учатся без троек?
23
А – множество учащихся, имеющих тройки
по русскому языку.
В – множество учащихся, имеющих тройки
по математике.
С – множество учащихся, имеющих тройки
по физике.
Всего в множество В входит 17 человек, значит 17-(4+2+5)=6 (чел.) – только по
русскому и математике.
Всего в множество А входит 19 человек, значит 19-(4+5+6)=4 (чел.) – только по
русскому и физике
Складываем все числа, которые получились на схеме: 4+4+11+6+4+2+5=36.
Всего учащихся 40. Значит, без троек учатся 40-36= 4 человека
Задача 4.
В деревне 44 дома, и в каждом доме проживает одна семья. Известно, что 25
семей держат коров , 28 семей – овец и 26 семей – свиней. Причем 15 семей
держат коров и овец, 13 семей – овец и свиней, 5 семей – коров, овец и
свиней. Сколько семей держат коров и свиней?
А – множество семей, имеющих
коров.
В – множество семей, имеющих
свиней.
С – множество семей, имеющих овец.
44-[(25-15)+(28-13)+(26-х)]=5
44-25-26+Х
Х=5-44+51
Х=12
25 – 15 = 10 – семей, имеющих только коров.
28 – 13 = 15 – семей, имеющих только овец.
24
26 –Х – семей, имеющих только свиней.
Задача 5.
Ученики нашего класса принимали участие в олимпиаде по биологии и русскому
языку, часть – только по биологии, а часть в двух олимпиадах. По биологии
принимало участие 85%, по русскому языку 75%. Сколько процентов учащихся
участвовало в двух олимпиадах?
Решение.
А – множество учеников, принимающих
участие в олимпиаде по биологии.
В – множество учеников, принимающих участие
в олимпиаде по русскому языку.
100% - все учащиеся.
100% - 85% = 15%
Учащиеся, участвующие в олимпиаде только по русскому
языку.
75% - 15% = 60%
Учащиеся, участвующие в двух олимпиадах.
Задача 6.
В футбольной команде «Спартак» 30 игроков,
среди них 18 нападающих, 11 полузащитников, 17 защитников и вратари.
Известно, что трое могут быть нападающими и защитниками, 10 защитниками и
полузащитниками, 6 нападающими и полузащитниками, а 1 и нападающим, и
защитником, и полузащитником. Вратари не заменимы. Сколько в команде
«Спартак» вратарей?
Решение.
А – множество нападающих.
В– множество полузащитников.
С – защитники.
30 – [(18 – 3) + (17 – 6) + (11 – 10) + 1] = 30 – 15 – 11 – 1 – 1 = 30 – 28 = 2 (вратаря)
25
Задача 7.
В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются личным транспортом
родителей, 15 – пользуются автобусом, 23 – ходят пешком, 10 – и личным
транспортом родителей и ходят пешком, 12 – и личным транспортом родителей и
автобусом, 9 – и ходят пешком и пользуются автобусом. Сколько человек
ежедневно используют все способы передвижения?
Решение
А – множество человек, которые пользуются метро.
В – множество человек, которые пользуются автобусом.
С – множество человек, которые пользуются троллейбусом.
Пусть Х – пользуются всеми способами передвижения, тогда
20-10=10 – используют только личный транспорт родителей, 23-9=14 – только
пешком, 15-12=3 – только автобусом.
Х=30-10-14-3
Х=3
3 человека пользуются всеми способами передвижения.
26