301 область (D ) . xy r В нашем случае n 2 - вектор нормали к плоскости XOY т.е. r r r n2 = k = {0,0,1} , а n1 = − ϕ x′ ,−ϕ ′y ,1 . Тогда { cos γ = } 1 ( ) 1 + (ϕ x′ ) + ϕ y′ 2 2 , ( ) dq = 1 + (ϕ x′ ) + ϕ y′ dxdy . 2 2 Замечание Если поверхность ( Q) правильная в направлении какой либо дру- ( ) гой оси, например OХ, тогда область интегрирования D yz есть проекция поверхности ( Q) на координатную плоскость YOZ и интегрирование производится по переменным y, z. Â формуле (24) будет стоять cosα , где α - угол между нормалями к поверхности x = ψ ( y , z ) плоскости YOZ т.е. ∫∫ (Q) f ( x, y , z ) dq = ∫∫ ( (D ) ( ) + (ψ ′ ) dydz ) f ψ ( y, z ), y , z 1 + ψ y′ 2 2 z yz dq ∫∫ (1 + x + z) Пример Вычислить ( Q) 2 , где ( Q) - часть плоскости x + y + z = 1 , распо- ложенная в первом октанте. z 1 x+y+z=1 (Q) y 1 1 x Поверхность (Q) - треугольник, высекаемый координатными плоскостями из плоскости x + y + z = 1 . На координатную плоскость OXY этот треугольник проектируется также в виде равнобедренного треугольника с боковыми сторонами единичной длины. Имеем: z = ϕ ( x , y ) ⇔ z = 1 − x − y; ϕ x′ = −1, ϕ y′ = −1; dq = 3dxdy . dq ∫∫ (1 + x + z ) (Q) 2 = ∫∫ 3dxdy ( D ) (1 + x + y + (1 − x − y )) xy 2 1 1− x 0 0 = 3 ∫ dx ∫ dy (2 − y ) 2 = 302 1 1 ⎛ 1 1− x ⎞ 1⎞ 1 ⎞ 1⎞ ⎛ 1 ⎛ ⎛ ⎜ ⎟ dx = 3 ∫ ⎜ = 3∫ ⎜ − ⎟ dx = 3⎜ ln(1 + x ) − x⎟ = 3⎜ ln 2 − ⎟ ; ⎟ ⎝ ⎝ 1 + x 2⎠ ⎝ 2⎠ 2 ⎠0 2− y 0 ⎠ 0⎝ 0 1 §. 8 Криволинейные координаты. Цилиндрические и сферические координаты. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат. Криволинейные координаты. Цилиндрические и сферические координаты. При решении различных задач удобно использовать системы координат, отличные от прямоугольной декартовой системы координат. Это связано с тем, что границей многих тел являются цилиндры, сферы и т.д. Широко используется полярная система координат и ее обобщение на случай трехмерного пространства - цилиндрическая и сферическая системы координат. Цилиндрическими координатами точки Р называют величины r ,ϕ , z z y P’ x Имеют место следующие ограничения: 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ ϕ ≤ 2π , − ∞ < z < ∞ . С прямоугольными декартовыми цилиндрические координаты связаны соотношениями ⎧x = r cos ϕ , ⎪ ⎨ y = r sin ϕ , ⎪ z = z. ⎩ Сферическим координатами называются величины ρ ,ϕ ,θ , 303 z y P’ x где 0 ≤ ρ < ∞ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ θ ≤ π . С декартовыми координатами сферические связаны посредством соотношений ⎧x = ρ cos ϕ sin θ , ⎪ ⎨ y = ρ sin ϕ sin θ , ⎪z = ρ cosθ . ⎩ Пример Цилиндр с уравнением в декартовых координатах x 2 + y 2 = a 2 в цилиндрических имеет уравнение r = a . Уравнение сферы x 2 + y 2 + z 2 = a 2 в сферических координатах имеет вид ρ = a . Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат. Осуществим в двойном интеграле ∫∫ f ( x , y ) ds , заданном в прямоугольной декартовой ( D) системе координат, замену переменных по формулам: x = r cosϕ , y = r sin ϕ . В этом случае подынтегральная функция будет зависеть от полярных координат f ( x , y ) = f ( r cosϕ , r sin ϕ ) = f1 ( r , ϕ ) . Пусть область (D) такова, что любой луч, выходящий из начала координат и проходящий через внутреннюю точку области, пересекает границу (D) не более, чем в двух точках. Линии, ограничивающие, область (D), имеют уравнения: r = r1 (ϕ ) , r = r2 (ϕ ) ; α ≤ ϕ ≤ β . Такую область применительно к полярной системе координат назовем правильной. Поскольку предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения области на элементарные. То осуществим разбиение с помощь лучей ϕ = const , проходящих через начало координат. При пересечении двух окружностей радиусов ri , ri + Δri и лучей, проведенных под углами ϕ k и ϕ k + Δϕ k , образуется элементарная криволинейная фигура ( Δsik ) . Ее, с точностью, до бесконечно малых высшего порядка можно считать прямоугольником со сторонами Δri и ri Δϕ k . Следовательно, площадь элементарной фигуры ΔS ik = ri Δri Δϕ k . Следовательно двойной интеграл в полярных координатах имеет вид 304 ∫∫ f ( x, y )ds = (∫∫) f ( r,ϕ )rdrdϕ 1 ( D) D y k B K (D) M A ri x Для расстановки пределов интегрирования из полюса проводят лучи ϕ = α , ϕ = β , записывают уравнение линий входа в область (АМВ): r = r1 (ϕ ) и выхода из нее (АКВ) r = r2 (ϕ ) . Тогда α ≤ ϕ ≤ β , r1 (ϕ ) ≤ r ≤ r2 (ϕ ) . Чаще всего внешний интеграл вычисляется по переменной ϕ , а внутренний по r .Тогда получаем формулу: r2 ( ϕ ) β ∫∫ f ( x, y )ds = α∫ dϕ ∫ϕ f ( r cosϕ , r sin ϕ )rdr r1 ( ( D) (25) ) Пример Расставить пределы интегрирования и вычислить в полярных координатах интеграл ∫∫ xds , где (D) ограничена окружностью x 2 + y 2 − 2x = 0 . ( D) y (D) 0 2 x Найдем уравнение окружности в полярной системе координат 305 x 2 + y 2 − 2 x = 0 ⇒ r = 2 cos ϕ Для рассматриваемой области (D) π π − ≤ϕ ≤ , 2 0 ≤ r ≤ 2 cos ϕ . 2 Следовательно π ∫∫ xds = ( D) 2 2 cos ϕ π 0 ∫ dϕ − π 2 2 cos ϕ 0 0 2 ∫ r cos ϕdr = 2∫ cos ϕdϕ 2 ∫ r dr = π 16 2 cos 4 ϕdϕ = 2π . 3 ∫0 2 Замечание 1. Из формулы (25) следует, что дифференциал меры элементарной площадки в полярной системе координат выражается в виде dμ = ds = rdrdϕ . Замечание 2 Формула (25) получена из предположения, что полюс лежит вне области (D) и любой луч, выходящий из полюса, пересекает границу (D) не более чем, в двух точках. Если область (D) такова, что полюс находится внутри области, и луч, выходящий из него пересекает границу (D) только в одной точке, (D) 0 то в формуле (25) надо положить r1 (ϕ ) = 0, α = 0, β = 2π . Получим следующую формулу для вычисления двойного интеграла в полярных координатах 2π r (ϕ ) 0 0 ∫∫ f ( x, y )ds = ∫ dϕ ∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ )rdr . ( D)