588

III Всероссийская конференция «Радиолокация и радиосвязь» – ИРЭ РАН, 26-30 октября 2009 г.
ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ОТРАЖЕНИЙ
ОТ НЕОДНОРОДНОГО АНИЗОТРОПНОГО СЛОЯ ФЕРРИТА
Никушин А.В., Панин Д.Н. Поволжский Государственный Университет
телекоммуникаций и информатики
Предложена методика численного моделирования взаимодействия электромагнитного
излучения с неоднородным анизотропным слоем феррита. Методом дифференциальной прогонки
рассчитаны частотные характеристики модулей коэффициентов отражения волны Е- и Нполяризации.
Введение
Наклонное падение электромагнитной волны с Е-поляризацией на слой неоднородного
анизотропного феррита.
Наклонное падение электромагнитной волны с Н–поляризацией на слой
неоднородного анизотропного феррита.
Метод расчета коэффициентов отражений волны Е и Н– поляризации.
Численные результаты
Введение
В настоящее время активно исследуются неоднородные анизотропные среды [1]. В
области практических приложений теории электромагнитных волн наиболее характерны
задачи об их взаимодействии с неоднородными и нелинейными средами. В последнее
время актуальным является вопрос о создании малоотражающих покрытий, применяемых
в качестве экранирования большинства приборов и техники СВЧ от воздействия
электромагнитного излучения [2]. В настоящей работе численными методами
исследуются отражения электромагнитной волны, отраженной от неоднородного слоя
феррита, нанесенного на металл, находящегося в постоянном магнитном поле H 0 [3].
Проведен численный анализ отражений при произвольном угле падения
электромагнитной волны Е- и Н-поляризации.
Наклонное падение электромагнитной волны с Е-поляризацией на слой
неоднородного анизотропного феррита.
Рассмотрим слой феррита, находящегося под влиянием внешнего постоянного вектора
магнитного поля H 0 . Пусть вектор H 0 имеет направление вдоль оси z . Феррит в таком
состоянии считается анизотропным. Проведем анализ взаимодействия электромагнитной
волны E  поляризации с неоднородным слоем феррита, расположенным между
плоскостями x  0 и x  L декартовой системы координат. Пространство x  0 , будем
обозначать как область 1, а пространство x  L – как область 2. В области 1 на границу
под углом
 падает плоская E  поляризованная волна, т.е. волна с вектором


напряженности магнитного поля, лежащим в области в плоскости слоя: E  0 , Esy , 0 ,


H  H sx , 0, H sz . При этом составляющие полей можно представить в виде:
Esy  x, z , t  
1
E0 exp  j  t  kx cos   kz sin    k .c,
2
H sz  x, z , t  
1
2
E0
Z0
cos  exp  j  t  kx cos   kzi sin    k .c,
588
ФЕРРИТ
III Всероссийская конференция «Радиолокация и радиосвязь» – ИРЭ РАН, 26-30 октября 2009 г.
Рис. 1. Наклонное падение электромагнитной волны E  поляризации
на неоднородный слой феррита
 и k – частота и волновое число, E0 – комплексная амплитуда напряженности
электрического поля, Z 0 – импеданс однородной области 1. Кроме падающей волны в
где
области 1 в общем случае существует также основная отраженная волна, имеющая
y  компоненту напряженности электрического поля, x и z  компоненты
напряженности магнитного поля, и кросс–поляризованная волна, имеющая
y  компоненту напряженности магнитного поля, x и z  компоненты напряженности
электрического поля:
1
Ery  x, z , t   Ree E0 exp  j t  kx cos   kz sin    k .c.,
2
1 Ree E0
cos  exp  j  t  kx cos   kz sin    k .c.,
2 Z0
1
Erz  x, z , t    Reh E0 cos  exp  j t  kx cos   kz sin    k .c.,
2
H rz  x, z , t   
H ry  x, z , t   
1 Reh E0
exp  j  t  kx cos   kz sin    k .c.,
2 Z0
где Ree , Rhh – коэффициенты отражения основной и кросс-поляризованной волн в случае
E  поляризации. В области 2 также существует прошедшая волна, соответствующие
компоненты которой можно записать как:
589
III Всероссийская конференция «Радиолокация и радиосвязь» – ИРЭ РАН, 26-30 октября 2009 г.
1
Ety  x, z , t   Tee E0 exp  j  t  kx cos   kz sin    k .c.,
2
H tz  x, z , t  
1 Tee E0
cos  exp  j  t  kx cos   kz sin    k .c.,
2 ZL
1
Etz  x, z , t   Teh E0 cos  exp  j  t  kx cos   kz sin    k .c.,
2
H ty  x, z , t   
1 Teh E0
exp  j  t  kx cos   kz sin    k .c.,
2 ZL
где Tee , Thh – коэффициенты прохождения основной и кросс-поляризованной волн в
случае E  поляризации, Z L – волновое сопротивление во второй области. В
неоднородном анизотропном слое феррита, взяв материальные уравнения для
пространственных
зависимостей y  и z  составляющих напряженностей
электрического и магнитного полей при гармонической зависимости от времени,
получим систему уравнений вида:
E y
x
  j0  // H z ( x),
 sin 2 
H z
  j 0  1 

x


 

Ez

  j0  1   a

x
  

H y
2
 sin 2  
a
k0 sin  E y ( x ),
 
 H y ( x) 

 



(1.1)
  j 0  E z ( x).
x
где


 E y ( x)  a k0 sin  H y ( x ),



 , a ,  //  компоненты тензора магнитной проницаемости магнитодиэлектрика.
Если ввести в рассмотрение нормированные напряженности электрического
U1 ( x) 
E y ( x)
E0
,
Z H ( x)
E ( x)
U 2 ( x)  z
, и магнитного V1 ( x)  0 z
,
E0
E0
V2 ( x) 
Z 0 H y ( x)
E0
x
– нормированную координату и k  k0 L – нормированное волновое
L
число, то уравнения можно записать в виде:
полей, а также  
590
III Всероссийская конференция «Радиолокация и радиосвязь» – ИРЭ РАН, 26-30 октября 2009 г.
U1
  jk  //  V1 ( ),

 sin 2 
V1
  jk 1 






 U1 ( )  a k0 sin  V2 ( ),



 
U 2


  jk  1   a


  

2





sin  
a

k sin  U1 ( ),
V2 ( ) 
 


(1.2)
2
V2
  jk U 2 ( ).

Для системы уравнений (1.2) , исходя из непрерывности тангенциальных
составляющих напряженностей электрического и магнитного полей на границах раздела
двух сред, имеем следующие граничные условия:
U1 (0)  1  Ree ,
U (0)   R cos  ,
eh
2
V1 (0)  (1  Ree ) cos  ,
V (0)   R ,
U1 ( L)  Tee ,
U ( L)  T cos  ,
V1 ( L) 
Z0
ZL
eh
2
V ( L)  
Tee cos  .
(2.1)
eh
2
2
Z
T.
Z
0
eh
L
Наклонное падение электромагнитной
неоднородного анизотропного феррита.
волны
с
Н–поляризацией
на
слой
Падающая на слой под углом  к его нормали электромагнитная волна
H  поляризации имеет только одну составляющую вектора напряженности магнитного


поля H  0, H sy , 0 и две составляющие вектора напряженности электрического поля


E  Esx , 0, Esz . Лежащие в плоскости слоя проекции векторов описываются
выражениями:
Esz  x, z , t  
1
E0 cos  exp  j t  kx cos   kz sin    k .c.,
2
1 E0
exp  j  t  kx cos   kz sin    k .c..
2 Z0
Соответствующие проекции в отраженной волне записываются в виде:
H sy  x, z , t  
591
III Всероссийская конференция «Радиолокация и радиосвязь» – ИРЭ РАН, 26-30 октября 2009 г.
1
Erz  x, z , t    Rhh E0 cos  exp  j  t  kx cos   kz sin    k .c.,
2
H ry  x, z , t   
Ery  x, z , t  
1 Rhh E0
exp  j t  kx cos   kz sin    k .c.,
2 Z0
1
Rhe E0 exp  j  t  kx cos   kz sin    k .c.,
2
H rz  x, z , t   
1 Rhe E0
cos  exp  j  t  kx cos   kz sin    k .c..
2 ZL
где Rhh , Rhe – коэффициенты отражения основной и кросс-поляризованной волн в случае
H  поляризации, а для прошедшей через слой волны в области 2 имеем:
1
Etz  x, z , t   Thh E0 cos  exp  j  t  kx cos   kz sin    k .c.,
2
H ty  x, z , t   
1 Thh E0
exp  j  t  kx cos   kz sin    k .c.,
2 ZL
1
Ety  x, z , t   The E0 exp  j  t  kx cos   kz sin    k .c.,
2
H tz  x, z , t  
1 The E0
cos  exp  j  t  kx cos   kz sin    k .c..
2 ZL
где Thh , The – коэффициенты прохождения основной и кроссполяризованной волн в
случае H  поляризации.
Вид уравнений, описывающих волновые поля в магнитодиэлектрике, такой же, как и
в случае E  поляризации, а граничные условия представляются в следующем виде:
U 2 (0)  (1  Rhh ) cos  ,
U1 (0)  Rhe ,
V2 (0)  (1  Rhh ),
V1 (0)   Rhe cos  ,
U 2 ( L)  Thh cos  ,
U1 ( L)  The ,
Z
V2 ( L)   0 Thh .
ZL
Z
V1 ( L)   0 The cos  .
ZL
(2.2)
Метод расчета коэффициентов отражений волны Е и Н– поляризации.
Система уравнений (1.2) вместе с граничными условиями (2.1), (2.2) составляют
граничные задачи, решение которых позволяет определить волновые поля в
неоднородном феррите. При изменении волнового числа k можно рассчитать частотные
зависимости коэффициентов отражения слоя. Однако уравнения являются уравнениями с
переменными коэффициентами, и их аналитическое решение возможно только для
небольшого числа зависимостей K  K ( x) . Методом дифференциальной прогонки
граничные задачи данного типа можно свести к задаче Коши. Запишем уравнения
Максвелла в матричной форме:
592
III Всероссийская конференция «Радиолокация и радиосвязь» – ИРЭ РАН, 26-30 октября 2009 г.
U 
U 
 1
 1
V1 
d V1 
   A ,
dx U 
U 2 
2
 
 
V2 
V2 
 0 a12

a
0
A   21
 a31 0

0
 0
0
0
0
a43
0 

a24 

a34 

0 
(3.1)
Преобразуем к виду:
 0
где A1  
 a43
a12 
,
0 
U 
d U1 
   A1  2  ,
dx V 
V1 
 2
a
a 
A2   31 34  .
 a21 a24 
U 
d U 2 
   A2  1  .
dx V 
V2 
 1 
(3.2)
Явный вид коэффициентов матриц A1 и A2 представляется следующим образом:
 sin 2  

 , a24  a31  a k sin  ,
a12   jk  // , a21   jk 1 

 



2
 
2 
a  sin  

a34  jk  1  
 
 , a43  jk  .
  

 


Решение для системы будем искать в виде
U 
U 
 2   1 
V1 
V2 
(3.3)
для случая E  поляризации и H  поляризации. Продифференцировав (3.3) , получаем
матричное уравнение следующего вида:
d
   ( x) A1 ( x) ( x)  A2 ( x)
dx
(3.4)
С начальным условием

 Z L cos  
0


Z0


 (1)  

 Z0 cos 

0
 Z


L

Тогда из граничных условий (2.1) и (2.2) следует
 Reh 
1  
1   0 

   (0) P  I cos    
  (0)   

 Ree 
0  
  cos  
для случая E  поляризации и
593
(3.5)
(3.6)
III Всероссийская конференция «Радиолокация и радиосвязь» – ИРЭ РАН, 26-30 октября 2009 г.
 Rhh 
 0 
1   cos  

   (0) P  I cos    
  (0)   
(3.7)

 Rhe 
1  
 0 
для случая H  поляризации.
 0 1
1 0 
Здесь P  
, I 

.
 1 0 
0 1 
Таким образом, решая задачу Коши (3.4) – (3.5) из (3.6) и (3.7) , мы можем найти
частотные зависимости коэффициентов отражения.
Численные результаты
Приведем основные результаты численного анализа. На рис. 2а представлены частотные
зависимости коэффициента отражения волны E  поляризации от неоднородного слоя
феррита. Падающая под углом  плоская электромагнитная волна E  поляризована,
K m  1 , нормированная
максимальное значение нормированной частоты равно
собственная
частота
вращения
электронов
в
магнитном
поле
Kh  3 ,
равна
нормированная частота столкновений электронов в феррите K  1 . Здесь Ree  модуль
коэффициента отражения основной волны, а
Reh  деполяризованной. На рис. 2б
представлены отражательные характеристики
волны H  поляризации, при тех же
условиях.
отражения
Rhh  модуль
коэффициента
Rhe  деполяризованной. Значения угла

равны
основной
волны,
  
, , , и показаны линиями
3 4 6
соответственно.
Ree , Reh
1

3
0.8

4

6
0.6
Ree
0.4
0.2
Reh
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
K
Рис. 2а. Частотные зависимости модулей коэффициентов отражения волны
E  поляризации от неоднородного слоя феррита для различных углов падения.
594
а
III Всероссийская конференция «Радиолокация и радиосвязь» – ИРЭ РАН, 26-30 октября 2009 г.
Rhh , Rhe

3

Rhh
4
Rhe

6
Рис. 2б. Частотные зависимости модулей коэффициентов отражения волны
H  поляризации от неоднородного слоя феррита для различных углов падения.
Литература
1.Вильхельмсон Х. Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме. – М.:
Энергоиздат, 1981. – 229 с.
2.Лаговский Б.А., Мировицкий Д.И. – Малоотражающий экспоненциальный слой
магнитодиэлектрика. /Радиотехника и электроника Т.43., №1, 1998. – с. 609 – 612.
3.Зайцев В.В, Панин Д.Н., Яровой Г.П., Поляризационные эффекты при отражении
электромагнитной волны от неоднородного плазменного слоя. /Электродинамика и
техника СВЧ и КВЧ. Вып. 2(23). – 1993. – с.72 – 73.
Никушин Алексей Вячеславович ( nikushin_aleksey@mail.ru ), студент
Поволжского Государственного Университета телекоммуникаций и
информатики. Область научных интересов малоотражающие
покрытия, киральные среды, математическое моделирование
электродинамических процессов.
595