Условия задач. Теоретический тур. 1. m

advertisement
Областная олимпиада. 9 класс. Могилев. 2003 г.
Условия задач. Теоретический тур.
1. Три деревянных шарика массами m1, m2 и m3 соединены нитями,
перекинутыми через блоки так, как показано на рисунке. Шарики массами m2 и m3 частично погружены в воду, налитую в цилиндрический
сосуд с площадью основания S и система грузов находится в равновесии. На сколько повысится уровень воды в сосуде, если нить, связывающая грузы m1 и m2 разрывается, и все шарики оказываются в воде?
m1
m2
m3
2. На главной оптической оси тонкой собирающей положительной линзы на расстоянии S = 5 F / 2 (F – фокусное расстояние) находится точечный источник (S).
Линза разделяется на две равные половины плоскостью, содержащей главную оптическую ось, и одна из этих половин начинает медленно без наклона удаляться от источника по главной оптической оси. Опишите, как выше указанная оптическая система будет отображать источник S.
3. Высокая теплоизолированная трубка заполнена до высоты 25 см льдом, полученным при замерзании воды в этой же трубке. Поверх льда в трубку заливают воду
при температуре 10 оС так, что трубка оказывается заполненной до высоты 50 см.
После установления теплового равновесия уровень воды в трубке повышается на 0,5
см. Какова была начальная температура льда? Плотность льда 900 кг/м3, удельная
теплота плавления льда 340 кДж/кг, удельная теплоемкость льда 2100 Дж/(кг⋅К), а
удельная теплоемкость воды 4200 Дж/(кг⋅К).
4. Из шланга лежащего на земле, «бьет» под углом 45о к горизонту струя воды со
скоростью v м/с и попадает на наклонную поверхность с углом наклона 45о и отстоящую по горизонтали от шланга на расстоянии l м. Площадь сечения отверстия
шланга S см2. Определить массу струи воды, находящейся в воздухе.
5. Какой электрический ток пойдет по подводящим проводам цепи, присоединенной к источнику с очень большой выходной мощностью, при коротком замыкании, если на спиралях сопротивлением 400 Ом и 100 Ом при поочередном их подключении в цепь, выделяется одинаковая мощность 400 Вт?
Экспериментальный тур.
1. Имеется школьный лабораторный вольтметр с пределом измерения 6 B, источник стабилизированного напряжения не более 6 B, моток тонкой медной проволоки
и линейка. Как, используя перечисленные материалы, изготовить амперметр измерения 1 A?
2. На призму из стекла, изображенную на рисунке, от щели падает параллельный
пучок света. При вращении щели и призмы относительно оси пучка лучей происходит вращение изображения щели, отличающееся по направлению и частоте. Объясните наблюдаемые явления.
Областная олимпиада. 9 класс. Могилев. 2003 г.
Решение задач.
Решение 1. Обозначим изменение высоты уровня воды в сосуде – h. Тогда:
V / + (V2/ − V2 ) + (V3/ − V3 )
h= 1
,
S
где V1/ , V2/ , V3/ – объемы подводной части шариков при равновесном состоянии сисm
m
m
темы. V1/ = 1 , V2/ = 2 , V3/ = 3 , где ρ – плотность воды. Объемы V2 и V3 определим
ρ
ρ
ρ
из уравнений, описывающих равновесное состояние шариков.
⎧m2 g = ρ gV2 + m1 g
m − m1
m − 2m1
, V3 = 3
⇒ V2 = 2
.
⎨
ρ
ρ
⎩m3 g = ρ gV3 + 2m1 g
m1 m2 m2 − m1
m m − 2m1
+( −
)+( 3 − 3
)
m + m2 − m2 + m1 + m3 − m3 + 2m1 4m1
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
h=
= 1
=
.
ρS
ρS
S
Решение 2. Задача решается аналитически или путем построений.
1) Всегда существует действительное изображение S1, находящееся на расстоянии S1 = 5 F / 2 от неподвижной части линзы.
2) удаляющаяся часть линзы всегда формирует действительное изображение S2,
которое удаляется от точки S1, но приближается к заднему фокусу этой части линзы.
3) Как только удаляющаяся часть линзы окажется в интервале [S1, S1 + F] система
формирует третье мнимое изображение источника (точка S3). При удалении части
линзы от точки S1, т. е. к источнику S и дальше.
4) Когда перемещающаяся часть линзы окажется на расстоянии S1 + F от первоначального положения, т. е. на расстоянии S1 = 8F / 3 , изображение S3 раздваивается
(мнимое в −∞ слева и действительное в +∞ справа).
5) При небольшом удалении части линзы от точки S1 + F остается только действительное изображение S3, которое начинает приближаться к этой части линзы и к
источнику S, но S3 всегда остается правее точки S2, т. е. отрезок S2S3 всегда уменьшается.
6) С некоторого положения перемещающейся части линзы изображение S3 приближаясь к ней, начнет удаляться от точки S (но всегда S2S3 уменьшается).
7) На очень большом расстоянии перемещающейся части линзы от первоначального положения точки S2 и S3 практически совпадут в заднем фокусе движущейся
части линзы.
Решение 3. Между льдом и водой происходит теплообмен. При этом часть воды
кристаллизуется и устанавливается нулевая температура. Определим массу замерзшей воды.
ρ Δh
ρв h = ρ1h1 + ρв (h + Δh − h1 ) ⇒ h1 = в
,
ρв − ρ л
где h = 0,25 м, Δh = 0,05 м, h1 высота столбика льда.
ρ ρ S Δh
Δm = ρ л Sh1 = в л
.
ρв − ρ л
Областная олимпиада. 9 класс. Могилев. 2003 г.
Составим уравнение теплового баланса
cв mв (tв − 0) + λΔm = cл mл (0 − t л ) или cв ρв Shtв + λ
ρв ρ л S Δh
= −cл ρ л Sht л .
ρв − ρ л
Из последнего уравнения находим начальную температуру льда
cρt
ρв Δh
.
tл = в в в + λ
cл ρ л
cл ( ρв − ρ л )h
Решение 4. Масса воды определяется по формуле m = ρV = ρ Sl = ρ Svt , где t –
время движения воды до соприкосновения с поверхностью.
gt 2
. Выражая из уравнеДля траектории воды: x = vo cos α ⋅ t (1), y = vo sin α ⋅ t −
2
ния координаты по оси x время, и подставляя во второе уравнение y (t ) , получим
уравнение траектории струи:
gx 2
y = x ⋅ tgα − 2
.
2vo cos 2 α
Уравнение прямой, принадлежащей плоскости
gx 2
.
y = −l + x ⇒ −l + x = x ⋅ tgα − 2
2vo cos 2 α
Учитывая, что
tgα = tg 45 = 1 ,
получаем
gx 2
gx 2
2lvo2 cos 2 α
2
−l + x = x − 2
иl= 2
⇒x =
(2).
2vo cos 2 α
g
2vo cos 2 α
2lvo2 cos 2 α
2l
⇒t =
. Следовательно,
Сделаем замену (1) в (2): (vo cos α ⋅ t ) =
g
g
2
2l
.
g
Примечание: на олимпиаде были предложены значения v = 6 м/с, S = 3 см2, l = 5
м, α = 45о. Подставляя эти значения в формулу
2l
2⋅5
= 1000 ⋅ 3 ⋅ 10−4 ⋅ 6
= 1,8 кг.
m = ρ Sv
g
10
масса струи воды, находящейся в воздухе равна m = ρ Sv
vo2 sin 2α 62 ⋅ 1
=
= 3,6 м, струя не долетает до наg
10
клонной поверхности. Следовательно,
2v sin α
2v sin α 2 ρ Sv 2 sin α 2 ⋅ 1000 ⋅ 3 ⋅ 10−462 sin 45o
t= o
=
=
= 1,53 кг.
и m = ρ Sv
g
g
g
10
Решение 5. Значения силы тока при подключении спиралей и коротком замыкании равно:
U
P
P
I1 =
, I2 =
, Ik =
.
R1
R2
Ro
Но дальность полета струи S =
Областная олимпиада. 9 класс. Могилев. 2003 г.
Напряжение на спиралях определим по формуле:
P
P
U1 = R1
, U 2 = R2
, U1 = U − I1Ro , U 2 = U − I 2 Ro ,
R1
R2
где Ro – сопротивление подводящих проводов.
P
P
U k = I k Ro , U1 = I k Ro − Ro
, U 2 = I k Ro − Ro
.
R1
R2
P
P
P
P
) , R2
).
= Ro ( I k −
= Ro ( I k −
R1
R1
R2
R2
Разделив, левые и правые части уравнений, находим
P
P
R1
Ro ( I k −
)
R1
R1
P
P
=
⇒ Ik =
+
.
R1
R2
P
P
R2
Ro ( I k −
)
R2
R2
R1
Экспериментальный тур.
^^^^^^^^^^
Решение 1. Чтобы изготовить амперметр, нужно
ω
знать сопротивление прибора. Для этого вольтметром B
B/
необходимо измерить напряжение источника U1. За- A
A/
тем, подключить вольтметр к источнику тока по схеU
ме, изображенной на рисунке и измерить напряжение U2.
U −U2
, где l – длина проволоки, S – площадь поперечного сечения, ρ – удельI= 1
l
ρ
S
ное сопротивление меди. Полученные данные позволяют определить сопротивление
U
R
I
.
шунта. Rпр = пр , Rш = V , n =
n −1
IV
I пр
Решение 2. Задача решается путем последовательного построения изображения
при различных положениях призмы:
1) Призма горизонтальна – изображение стрелки B
B/
перевернутое (смотри рисунок).
A
A/
о
2) Призма перевернута на 90 . Изображение пряB
B/
мое, т. е. повернулось на 180о.
3) Призма повернута еще на 90о. Изображение раз- A
A/
о
ворачивается снова на 180 .
Таким образом, изображение стрелки вращается с угловой скоростью в два раза
большей, чем призма.
Направление вращения:
Пусть стрелка поворачивается относительно оси по часовой стрелке, тогда ее
изображение вращается в противоположную сторону, против часовой стрелки.
При вращении призмы относительно предмета, его изображение вращается в туже сторону, что и призма.
Download