2.1. Определение показателя адиабаты воздуха методом

Методические указания
к выполнению лабораторной работы № 2.1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ АДИАБАТЫ
ВОЗДУХА МЕТОДОМ КЛЕМАНА-ДЕЗОРМА*
_____________________________________________
*
Аникин А.И. Свойства газов. Свойства конденсированных систем:
лабораторный практикум / А.И. Аникин; Сев. (Арктич.) федер. ун-т
им. М.В. Ломоносова. – Архангельск: ИД САФУ, 2014. – 48 с.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2.1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ АДИАБАТЫ ВОЗДУХА
МЕТОДОМ КЛЕМАНА−ДЕЗОРМА
Первая цифра номера лабораторной работы указывает раздел
общего курса физики, вторая – номер лабораторной работы в разделе.
2.1. Теоретические положения
Теплоемкостью тела
Cт
называют физическую величину, чис-
ленно равную отношению бесконечно малого количества теплоты
δQ , сообщаемой телу, к приращению d T его температуры в рассматриваемом термодинамическом процессе:
δQ
Cт 
.
dT
Единица теплоемкости в Международной системе единиц (СИ) –
джоуль на кельвин (Дж/К).
Теплоемкость с единицы массы вещества называют удельной
теплоемкостью:
с 
δQ
,
m dT
где
– масса вещества, кг.
Единица удельной теплоемкости – джоуль на килограмм-кельвин
(Дж/(кг∙К)).
Теплоемкость С одного моля вещества называют молярной теплоемкостью:
m
С 
δQ
νd T
,
где ν – количество вещества, моль.
Единица молярной теплоемкости – джоуль на моль-кельвин
(Дж/(моль∙К)).
2
Молярная и удельная теплоемкости одного и того же вещества
связаны соотношением
С  сМ ,
где M  m /ν – молярная масса вещества, кг/моль.
Первое начало термодинамики утверждает, что количество теплоты Q , подведенной к термодинамической системе, идет на приращение ее внутренней энергии
А над внешними телами:
и на совершение системой работы
U
Q  U  A
.
Здесь
U  U
где
U
2
,
U1
2
 U1,
– внутренняя энергия термодинамической системы в ее
конечном и начальном состояниях.
Уравнение первого начала термодинамики в дифференциальной
форме имеет вид
Q  dU  A ,
где
δQ
– бесконечно малое количество теплоты;
dU
– бесконечно ма-
лое приращение внутренней энергии;  A – бесконечно малая работа.
Различие в записи бесконечно малых величин δ Q ,  A и d U связано с тем, что внутренняя энергия является параметром состояния
системы, d U – полный дифференциал, а теплота и работа параметрами состояния системы не являются, δ Q и  A не являются полными
дифференциалами.
При расширении или сжатии газа, например, уравнение первого
начала термодинамики для одного моля можно записать так:
Q  dU m  pdV m ,
где
U
m
,
Vm
– внутренняя энергия и объем одного моля газа;
ление газа.
При расширении газа
газа
dVm
< 0, поэтому
A
dVm
> 0, поэтому
A
3
– дав-
> 0, при сжатии
< 0. Так как для одного моля
то
p
δQ  C dT
,
C dT  dU
m
 pdVm
.
(2.1)
Теплоемкость газа зависит от условий, при которых к нему подводят теплоту. Наибольший интерес представляют случаи подвода
теплоты при постоянном объеме или при постоянном давлении газа.
Соответственно различают теплоемкости при постоянном объеме С V
и постоянном давлении
С
p
.
В случае изохорного процесса ( V m
 const
,
dVm  0
) уравнение
(2.1) принимает вид
CV dT  dU
где
СV
m
,
– молярная теплоемкость при постоянном объеме.
Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры. Поэтому для идеального газа
dU m
 U m 
CV  
 
dT
  T V
.
Для идеального газа справедливо уравнение Клапейрона – Менделеева, в соответствии с которым
Vm 
RT
,
(2.2)
p
где R – молярная газовая постоянная; T – термодинамическая температура.
Подставим выражение (2.2) и d U m  C V d T в уравнение (2.1). В
случае изобарного процесса ( p
 const
) идеального газа это уравнение
примет вид
C pdT  CV dT  RdT
где
С
p
,
(2.3)
– молярная теплоемкость при постоянном давлении.
Разделив обе части уравнения (2.3) на
C p  CV  R .
dT
, получаем
Это выражение называют уравнением Майера. Оно справедливо
только для идеальных газов.
4
Адиабатным называют термодинамический процесс, который
происходит без теплообмена с внешней средой. Уравнение адиабатного процесса для идеального газа имеет вид
pV
где
γ 
C
p
γ
 const
,
(2.4)
– показатель адиабаты (коэффициент Пуассона).
CV
Выражение (2.4) называют уравнением Пуассона. Можно записать уравнение адиабатного процесса в переменных T , V и T , p :
TV
γ 1
 const
;
T
γ
p
1 γ
 const.
2.2. Экспериментальная установка
В лабораторной работе требуется определить показатель адиабаты воздуха. Экспериментальная установка, схема которой изображена на рис. 2.1, состоит из сосуда и U-образного водяного манометра, соединенных между собой. Манометр служит для измерения разности между давлением воздуха в сосуде и атмосферным давлением.
В сосуд с помощью насоК2
К1
са накачивают воздух, создавая
внутри сосуда избыточное, по
сравнению с атмосферным,
давление. Если процесс сжатия
производить достаточно быстро, то в результате работы
внешних сил газ нагревается до
температуры выше комнатной.
Рис. 2.1. Схема экспериментальной
После прекращения процесса
установки
накачки температура воздуха в
сосуде постепенно сравняется с комнатной температурой T 1 в результате теплообмена с окружающей средой. Газ в сосуде будет иметь давление p 1 , объем V 1 , температуру T 1 , что соответствует точке 1 на рис. 2.2.
5
Давление газа в точке 1 определяется выражением
p 1  p 0  ρ gh 1 ,
где
ρ
p0
– атмосферное давление во время проведения эксперимента;
– плотность жидкости в U-образном манометре;
h1
– разность уровней
жидкости в коленах манометра.
Когда температура воздуха
в сосуде сравняется с комнатной
(об этом можно судить по устаp 1
новившимся уровням жидкости в
Изотерма
коленах манометра), на короткое
время откроем кран, соединяющий сосуд с атмосферой. Воз3
Адиабата
никнет процесс истечения возду2
ха из сосуда в атмосферу, сопроV
вождающийся убыванием давлеРис. 2.2. Термодинамические
ния и температуры в сосуде. Так
процессы в p, V-координатах
как истечение воздуха из сосуда
происходит достаточно быстро, термодинамический процесс в сосуде
в этом промежутке времени можно считать близким к адиабатному.
Истечение воздуха будет происходить до тех пор, пока давление воздуха в сосуде не сравняется с атмосферным. В этот момент времени
давление воздуха в сосуде будет равно p 2 , а температура – T 2 . Адиабатное расширение воздуха, при котором его давление изменяется от
начального значения p 1 до конечного значения p 2 , происходит в соответствии с кривой 1-2 на рис.2.2. В точке 2 давление воздуха
объем воздуха
V 2 >V 1 ,
температура воздуха
T 2 <T1 .
ного процесса 1-2, записанное в переменных
 p1 




p
 2 
γ 1
 T1
 

 T2




p
p2  p0
,
Уравнение адиабат-
, T , имеет вид
γ
.
(2.5)
После того, как давление воздуха в сосуде сравняется с атмосферным, следует закрыть кран, соединяющий сосуд с атмосферой.
6
После закрытия крана температура воздуха в сосуде постепенно повысится до комнатной вследствие теплообмена с окружающей средой. Давление воздуха в сосуде при этом возрастет (станет больше
атмосферного). Термодинамический процесс в сосуде после закрытия
крана близок к изохорному. Процесс изохорного нагрева изображен
на рис.2.2 участком 2-3 прямой, параллельной оси ординат. В точке 3
воздух имеет давление p 3 , объем V 3  V 2 , температуру T 3  T1 . Давление воздуха в точке 3 определяется выражением
p 3  p 0  ρ gh 2 ,
где
h2
– разность уровней жидкости в коленах манометра после того,
как температура воздуха в сосуде сравняется с температурой окружающей среды.
Уравнение изохорного процесса (2.3), записанное в переменных
p , T , имеет вид (учитываем, что T 3  T1 )
p3

p2
T1
.
(2.6)
T2
Из уравнений (2.5) и (2.6) следует, что
γ -1
 p1 




p
 2 
Подставив значения
γ
p3

.
(2.7)
p2
p 1  p 0  ρ gh 1 ,
p2  p0 ,
p 3  p 0  ρ gh 2
в
формулу (2.7), получаем
γ 1
 p 0  ρ gh 1


p0





γ
γ 1

p 0  ρ gh 2
и
p0

ρ gh 1
1 

p0





γ
1
ρ gh 2
.
p0
Левую часть последней формулы раскладываем в ряд Маклорена,
ограничиваясь двумя первыми слагаемыми (ряд быстро сходится, так
как  gh 1 << p 0 ):
1
γ
 1  ρ gh 1
γp0
1
ρ gh 2
p0
7
.
Отсюда
 
h1
h1  h 2
.
(2.8)
Эта формула является приближенной, так как получена путем
разложения функции в ряд Маклорена с ограниченным числом членов.
Сохранение только первых двух слагаемых вносит погрешность расчета γ воздуха, не превышающую 0,01.
2.3. Порядок выполнения работы и обработки
результатов измерений
2.3.1. Ознакомиться с устройством экспериментальной установки, записать перечень приборов и принадлежностей и их характеристики в отчет о лабораторной работе.
2.3.2. Перекрыть кран К1 (см. рис. 2.1), соединяющий сосуд с
атмосферой, открыть кран К2, соединяющий сосуд с насосом, и накачать воздух в сосуд так, чтобы разность уровней жидкости в
U-образном манометре составила 20–30 см.
2.3.3. Перекрыть кран К2, дождаться, чтобы уровни жидкости в
манометре установились, и измерить показание h1 .
2.3.4. Открыть кран К1 и вновь закрыть его, как только давление
воздуха в сосуде сравняется с атмосферным (в этот момент времени
прекратится звук, возникающий при истечении воздуха из сосуда в
атмосферу). Дождаться, чтобы уровни жидкости в манометре установились, и измерить показание h 2 .
2.3.5. Рассчитать значение γ по формуле (2.8).
2.3.6. Повторить опыт не менее семи раз. Результаты измерений
записать в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Номер опыта
Результаты измерений
Показания манометра
h1
h2
8
γ
2.3.7. Рассчитать среднее арифметическое из всех измеренных
значений γ.
2.3.8. Оценить случайную абсолютную и относительную погрешности измерения γ.
2.3.9. Рассчитать число степеней свободы i воздуха, используя
результаты измерений и формулу
γ 
i 2
.
i
2.3.10. Выполнить расчет молярной и удельной теплоемкостей
воздуха при постоянном объеме и постоянном давлении, используя
найденное значение i.
2.3.11. Проанализировать полученные результаты.
2.4. Контрольные вопросы
1. Что понимают под теплоемкостью тела
Cт
? Удельной тепло-
емкостью с? Молярной теплоемкостью С? В каких единицах Международной системы (СИ) выражают эти физические величины?
2. Какой газ называют идеальным? Как связаны между собой
С V и С p идеальных газов? Как зависят С V и С p от числа степеней
свободы i молекул в рамках классической теории теплоемкости идеальных газов?
3. Сколько степеней свободы имеют молекулы газов He, N2,
CO2? Какие это степени свободы?
4. Какой термодинамический процесс называют адиабатным? В
каком из газов показатель адиабаты
γ 
C
p
имеет наибольшее значе-
CV
ние – N2, He, CO2?
5. Как изменяется внутренняя энергия газа при его адиабатном
расширении? При адиабатном сжатии?
6. Как изменяется температура газа при его адиабатном расширении? При адиабатном сжатии?
9
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица 1
Коэффициенты Стьюдента
Доверительная вероятность α
Число
измерений
0,90
0,95
0,98
0,99
0,999
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
∞
2,9
2,4
2,1
2,0
1,9
1,9
1,9
1,8
1,8
1,8
1,6
4,3
3,2
2,8
2,6
2,4
2,4
2,3
2,3
2,2
2,2
2,0
7,0
4,5
3,7
3,4
3,1
3,0
2,9
2,8
2,8
2,7
2,3
9,9
5,8
4,6
4,0
3,7
3,5
3,4
3,3
3,2
3,1
2,6
32
13
8,7
6,9
6,0
5,4
5,0
4,8
4,6
4,5
3,3
Таблица 2
Значения плотности ρ, эффективного диаметра d
молекул и динамического коэффициента вязкости η
некоторых газов при нормальных условиях
ρ, кг/м3
1,25
1,29
1,43
Вещество
Азот
Воздух
Кислород
d∙109, м
0,37
−
0,35
η∙105, Па∙с
1,67
1,72
1,92
Таблица 3
Значения коэффициента диффузии D паров этанола (C2H5OH)
в воздухе при различных температурах t и давлении p = 1,01∙105 Па

t, С
D∙105, м2/с
14
16
18
20
22
24
26
1,15
1,16
1,18
1,19
1,20
1,22
1,23
Таблица 4
Значения плотности ρ и динамического коэффициента вязкости η
воды при различных температурах t и давлении p = 1,01∙105 Па

t, С
ρ, кг/м3
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
998,2 997,1 995,7 994,1 992,2 990,2 988,1 985,7 983,1 980,5 977,8
3
η∙10 , Па∙с 1,004 0,894 0,801 0,722 0,653 0,599 0,549 0,506 0,470 0,435 0,406
10
Таблица 5
Коэффициенты теплопроводности некоторых металлов
Вещество
Алюминий
Латунь
Бронза
Сталь
, Вт/(м∙К)
160 – 210
70 – 120
60 – 80
40 – 48
Таблица 6
Коэффициенты теплопроводности некоторых диэлектриков
Вещество
Стекло
Картон
Пенопласт
Текстолит
, Вт/(м∙К)
0,8 – 1,2
0,14 – 0,35
0,04 – 0,05
0,2 – 0,4
11