4.1 Потеря устойчивости при сжатии F F=Fкр Тема 4 Потеря устойчивости заключается во внезапном изгибе сжатого стержня При расчете сжатых стержней необходимо учитывать не только прочность материала, но и устойчивость стержня Значение силы F, при котором происходит потеря устойчивости, называется критической силой Fкр или Nкр Значение напряжения σ, при котором происходит потеря устойчивости, называется критическим напряжением σкр Fкр A A Методика определения критических сил и критических напряжений зависит от значения основной характеристики сжатого стержня – его гибкости λ F Устойчивость сжатых стержней Ст. преподаватель Т.А. Ивашова F=Fкр кр Гибкость стержня N кр l imin (31) imin – минимальный радиус инерции сечения ν – коэффициент приведения длины стержня ν – коэффициент приведения длины стержня Fкр Fкр Fкр 4.2 Стержни большой гибкости Гибкость считается большой, если при потере устойчивости критические напряжения не превышают предела пропорциональности материала σкр < σП Fкр Большая гибкость λ> =1 =2 =0,7 =0,5 =0,5 В зависимости от значения гибкости λ стержни делятся на три класса: стержни большой, средней и малой гибкости Критические силы и критические напряжения для каждого класса гибкости вычисляются по разным формулам 4.3 Стержни средней гибкости Соблюдается закон Гука, следовательно критическая сила и критическое напряжение могут быть определены аналитически Формулы Эйлера Fкр 2 EI min l 2 (32) кр 2E 2 (33) Практические рекомендации: - для изготовления сжатых деталей нужно применять дешевые марки стали (углеродистые обыкновенного качества) - сечение сжатой детали должно быть симметричным полым (труба круглая или квадратная) Стержни большой гибкости могут рассчитываться только на устойчивость 4.4 Стержни малой гибкости 40 100 для стали 30 100 для дерева 20 80 для чугуна Гибкость средняя 100 для стали 100 для дерева 80 для чугуна Гибкость малая Критические напряжения превышают предел пропорциональности материала σкр > σП 40 для стали 30 для дерева 20 для чугуна Стержни малой гибкости потерять устойчивость не могут, поэтому расчет только на прочность Закон Гука не соблюдается В расчетах используются эмпирические формулы Формула Ясинского кр a - b c2 2 Fкр кр A A a - b c (34) a, b, с – эмпирические коэффициенты, зависящие от материала Для стали Ст3 a =310МПа; b=1,14МПа; с=0 Стержни средней гибкости должны рассчитываться и на прочность, и на устойчивость 1 4.5 График критических напряжений для стали Ст3 кр гибкость малая гибкость средняя гибкость Т a-b большая П у 2Е 2 4.6 Условие прочности и устойчивости сжатых стержней Малая гибкость. Потеря устойчивости невозможна. Опасным напряжением является предел текучести Т . Расчет на прочность Стержень будет устойчивым в случае, если │max│ ≤ [ ]уст Средняя гибкость. Критические напряжения определяются по формуле Ясинского. Расчет на прочность и устойчивость Допускаемые напряжения на устойчивость Большая. Критические напряжения определяются по формуле Эйлера. Расчет на устойчивость где сж = Т /nТ – допускаемое напряжение для материала на сжатие - 40 100 200 Опасным напряжением при сжатии являются критические напряжения. 0 max Максимальные напряжения при сжатии уст величина постоянная. Учитывает прочность материала. Берется из таблицы Приложения Б ≤1 – коэффициент уменьшения допускаемого напряжения. Учитывает устойчивость, Берется из таблицы Приложения Г в зависимости от Пример расчета сжатого стержня 1. Определили продольные силы гибкости. Условие прочности и устойчивости сжатого стержня N сж A Условие прочности и устойчивости при сжатии I В II N1=+17,32кН + растяжение N2= - 20кН - сжатие 2. Определили диаметр сечения растянутого стержня 1 2 1м D1 =14мм Продолжение расчета D -? 3. Проектировочный расчет сжатого стержня 2. │N2 │ = 20кН 1м 1 Длина стержня l2 1,15 м 1150 мм Cos 30 0,866 D2 A2 Из Приложения А: Площадь сечения 4 D 4 Минимальный момент инерции сечения I min 64 D Минимальный радиус инерции сечения imin 4 l 1 l 4 4l Гибкость стержня imin D D D2 Второй шаг приближений 4 N1 сж Первый шаг приближений Задаем значение φ1=0,6 Вычисляем диаметр 4 20 103 D2 0,0184 м 18, 4 мм 0,6 125 106 Округляем до стандартного D2 =19мм Гибкость стержня 4l 4 1150 242 D 19 Табличное значение φ 1* 0 Погрешность шага 1 1* 1 100% A2 Расчетный диаметр сечения 0 ,6 0 100% 100% 0,6 Расчет повторяем Вычисляем среднее φ2 * 0 ,6 0 2 1 1 0,3 2 2 Вычисляем диаметр 4 20 103 D2 0,0261м 26,1мм 0,3 125 106 Округляем до стандартного φ 4 N1 сж 4l D Допускаемые напряжения для стали Ст3 (Приложение Б) сж = р =125МПа D -? Решаем способом последовательных приближений (способ итераций) Третий шаг приближений Вычисляем среднее φ3 2 2* 0,3 0,28 0,29 2 2 Вычисляем диаметр 4 20 103 D2 0,0265 м 26,5 мм 0,29 125 10 6 Округляем до стандартного 3 D2 =28мм D2 =28мм Гибкость стержня 4l 4 1150 164 D 28 Табличное значение φ 2* 0,28 Погрешность шага 3* 0,28 Погрешность шага Расчет повторяем D2 D 2 4 В расчетной формуле для диаметра два неизвестных: D и φ Гибкость стержня 4l 4 1150 164 D 28 Табличное значение φ *2 0,3 0, 28 2 100% 100% 7% 2 0 ,3 (35) N сж A F=10кН 30 переменные их представляют в виде произведения двух величин уст= сж опасн = кр Допускаемые напряжения на устойчивость уст опасн кр - величина переменная, зависящая от гибкости nу nу Коэффициент запаса устойчивости nу =1,8 – 3,0 1 N A кр nу 3* 0,29 0,28 3 100% 100% 3% 3 0,29 На этом способ последовательных приближений заканчиваем с результатом D2 = 28мм λ = 164 2 4. Поверочный расчет сжатого стержня 2. λ = 164 Нормативом для стальных конструкций является значение коэффициента запаса устойчивости n 1,8 3,0 уст Фактический коэффициент запаса устойчивости N кр nу N I min D 4 64 Критическая сила по формуле Эйлера N кр 2 EI min n 2 2 Ed 4 1 3 2 1011 (0,028) 4 45,0 103 Н 45кН . l 2 l 2 64 1 1,152 64 Фактический коэффициент запаса устойчивости nу Вывод: N кр N 45 2, 25 20 Фактический коэффициент запаса устойчивости соответствует нормам проектирования 3