Общей физики - Томский политехнический университет

Министерство образования Российской Федерации
Томский политехнический университет
Кафедра теоретической и экспериментальной физики
«УТВЕРЖДАЮ»
Декан ЕНМФ
__________И.П. Чернов
________________2001 г.
ДИФРАКЦИЯ
Методические указания по курсу «Общей физики» для решения задач по
теме: «Дифракция» для студентов-заочников всех специальностей.
Томск 2001
УДК 53.072:681.3
Дифракция.
Методические указания по решению задач по курсу «Общей физики» для
студентов-заочников всех специальностей.
Томск, изд. ТПУ 2001. – 11 с.
Составитель: к.ф.-м.н., Л.В. Жданова
Рецензент: ст. преп. А.Ф. Горбачев
Методические указания рассмотрены и рекомендованы методическим
семинаром кафедры теоретической и экспериментальной физики.
Зав. кафедрой
«___»___________2001г.
Ю.Л. Пивоваров
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Под дифракцией света понимают любое отклонение распространения
световых волн от прямолинейного, не обусловленное законами
геометрической оптики. Дифракцию света в большинстве случаев можно
объяснить с помощью принципа Гюйгенса-Френеля, который можно
сформулировать так: каждая точка фронта волны является источником
вторичных когерентных волн, которые, распространяясь во всех
направлениях, интерферируют. Дифракционная картина на экране и является
результатом этой интерференции. В курсе общей физики рассматриваются
две группы явлений дифракции: дифракция сферических волн (от круглого
отверстия, от круглого диска) и дифракция плоских волн (от узкой щели,
дифракционная решетка). Решить дифракционную задачу - значит найти
относительное распределение освещености на экране в зависимости от
размеров и формы препятствий, вызывающих дифракцию. Простейшие
задачи решаются на основе метода зон Френеля. Суть метода в следующем.
Открытая часть фронта волна разбивается на участки (зоны Френеля) таким
образом, что вторичные волны от двух соседних зон приходят в точку
наблюдения в противофазе. В результате, если число открытых зон Френеля,
построенных для некоторой точки экрана, нечетное, то в этой точке будет
наблюдаться светлое пятно, если четное - то пятно будет темное. Радиусы
зон Френеля для сферической поверхности световой волны, испускаемой
точечным источником 5, вычисляются по формуле:
ab
k 
k
(1)
ab
где а - радиус волновой поверхности, b - расстояние от вершины волновой
поверхности до точки Р, для которой построены зоны Френеля (см. рис. 1), k
- номер зоны (k = 1,2,3,...). Радиусы зон Френеля для плоской волны.
 k  bk
В случае дифракции в параллельных лучах от одной щели положение
минимумов освещенности на экране определяется условием.
a sin   k , k  1,2,3,.....
где  - угол дифракции, а - ширина щели,  - длина волны, k - порядок
минимума.
Условие максимума освещенности.

a sin   2k  1 , k  1,2,3,...
2
где  - угол дифракции. При нормальном
падении лучей на дифракционную решетку
положение
главных
максимумов
освещенности определяется выражением.
d sin   k , k  0,1,2,3,.....
где d - постоянная решетки, k - номер главного максимума, (  - угол между
нормалью к поверхности решетки и направлением дифрагированных волн.
Разрешающая сила дифракционной решетки.

R
kN

где  - наименьшая разность длин волн двух соседних спектральных линий
(  и    ), при которой эти линии могут быть видны раздельно в спектре,
N - число штрихов решетки; k - порядковый номер дифракционного
максимума. Угловая дисперсия дифракционной решетки.

k
D угл. 

 d cos 
где  - угловое расстояние между спектральными линиями,  - разность
длин волн для этих линий. Линейная дисперсия дифракционной решетки.
D лин. 
l

где l - линейное расстояние на экран между спектральными линиями, 
разностью длин волн  . Для малых углов дифракции.
D лин.  fD угл.
где f - главное фокусное расстояние линзы, собирающей на экране
дифрагирующие волны.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1
Точечный источник света S (  = 550 мкм) освещает экран,
расположенный на расстоянии l= 11м от S. Между источником света S и
экраном на расстоянии а == 5м от экрана помещена диафрагма с круглым
отверстием, радиус которого r == 2,1 мм. Является ли освещенность в центре
получающейся на экране дифракционной картины большей или меньшей,
чем та, которая будет иметь место, если диафрагму убрать.
Решение
В отсутствии диафрагмы, когда волновой фронт полностью открыт,
амплитуда колебаний в центре экрана А = A1/2, где А1 - амплитуда
колебания, дошедшего до центра экрана от первой зоны Френеля (см, рис. 1).
Поставим диафрагму с отверстием. Если диафрагма открывает k зон
Френеля, то амлитуда в центре экрана равна A 
А1 А k
; знак плюс

2
2
соответствует нечетному числу открытых зон Френеля, знак минус четному. Радиусы зон Френеля, которые уложились на открытой части
волнового фронта удовлетворяют условию (1). (При малом радиусе
отверстия длину а можно считать равной расстоянию от источника S до
преграды, а длину b - расстоянию от преграды до точки Р ). Если радиус
отверстия удовлетворяет условию :
ab
r
k
ab
где k - четное число, то освещенность в центре экрана уменьшается при
наличии диафрагмы; если k - нечетное число, освещенность увеличивается.
Расчет дает:

r2
l
2,1  10 3 
11
k 

3
9
 al  a  550  10 511  5
Следовательно, освещенность центра экрана увеличивается при наличии
диафрагмы.
Задача 2
2
На диафрагму с круглым отверстием радиусом г •=• 2 мм падает
нормально параллельный пучок лучей монохроматического света (А == 0,5
мкм). Точка наблюдения находится на оси отверстия на расстоянии l = 1 м
от него. Сколько зон Френеля укладывается в отверстии темное или светлое
пятно получится в центре дифракционнной картины, если в месте
наблюдении поместить экран?
Решение
Освещенность точки Р (см. рис. 2) определяется числом зон Френеля,
укладывающихся в отверстии. (В этом случае зоны Френеля имеют вид
плоских колец, т. к. фронт волны - плоский). Расстояния от двух соседних
зон до точки Р различаются на  2 , следовательно, по теореме Пифагора
получаем:
2


2
2
r  b  b  k 
2

где k - число зон Френеля, укладывающихся в отверстии. Т.к.   b ,
членом, содержащим 2 , можно пренебречь. Учтя это, получим:
2

r2
2  10 3 
k

8
b 1  0,5  10 6
Т. к. число зон Френеля - четное, в центре экрана будет темное пятно.
Задача 3
На щель шириной а = 0,2 мм падает нормально параллельный пучок
монохроматического света. Расположенная за щелью линза (см. рис. 3)
проектирует на экран дифракционную картину в виде чередующихся
светлых и темных полос. Расстояние экрана от линзы l = 2 м. Ширина
центральной светлой полосы на экране а= 1,2 см. Определить длину волны
падающего света.
Решение
Центральная светлая полоса заключена между двумя минимумами
интенсивности первого порядка. При дифракции от одной щели
положение минимумов интенсивности света определяется выражением.
a sin   k
где  - углы, под которыми наблюдаются минимумы интенсивности;
k - порядок минимума; у нас k = 1;  - длина световой волны.
b
Из условия видно, что угол  - весьма мал. Поэтому sin   tg  l
2
Подставим найденное значение sin  в условие минимума, получим:
ab
 k
2l
Отсюда:

ab 0,2  10 3  1,2  10 2

 0,6мкм
2lk
2 21
Задача 4
При освещении дифракционной решетки белым светом спектры второго и третьего порядков отчасти перекрывают друг друга. На какую длину
волны Ад, в спектре второго порядка накладывается фиолетовая граница ( 
= 0,4 мкм.) спектра третьего порядка?
Решение
Дифракционная решетка разлагает свет в спектр. На рисунке 4
изображены схематически спектры разных порядков, даваемые решеткой при
пропускании через нее белого света. Буквами к и ф обозначены красный и
фиолетовый концы спектров. По условию задачи спектры второго и третьего
порядков частично перекрывают друг друга; при этом углы отклонения 
одинаковы для длины.
волны  = 0,4 мкм спектра третьего порядка и некоторой длины волны  x в
спектре второго порядка. Из условия максимума интенсивности:
d sin   k
запишем:
2 x
d
3
sin  
d
sin  
Отсюда:
Искомая длина волны:
3 2 x

d
d
x 
3  0,4
 0,6мкм
2
Задача 5
Определить длину волны монохроматического света, падающего
нормально на решетку с постоянной d = 2,2 мкм, если угол между
направлениями на максимумы первого и второго порядков  = 15°
Решение:
Условия максимума 1-го и 2-го порядка:
d sin 1  
где  2  1  
d sin  2  2
d sin1    2d sin 1
sin1    2 sin 1
Проведем тригонометрические преобразования:
sin 1 cos   sin cos 1  2 sin 1
sin 1  sin2 1  sin 1 2  cos 
2 2
sin  1  2  2  cos 
d
d
2  2

2
sin  1  2   2 2  cos 
d  d

2 
4  4 cos   cos 2  
1  2 1 

d 
1  cos 2 

2  5  4 cos  
1 2 

d  sin2  

d sin 
5  4 cos 

2,2  0,26
 0,52мкм
5  4  0,97
Задача 6
Найти угловую дисперсию решетки с постоянной d = 5 мкм, если  =
0,500 мкм, порядок спектра k = 3.
Решение
Угловая дисперсия
D угл. 

k
k
, где 


 d cos  d 1  sin2 
- угол
дифракции.
Из условия главного максимума sin  =
D угл. 
k
Получим:
d
k
 k 
d 1 
 d 
3
D угл. 
5  10
6
 3  5  10 7 
1

6
 5  10 
2
2
 0,63  10 6
рад.
м.
Задача 7
Свет падает нормально на прозрачную дифракционную решетку
шириной l = 6,5 см, имеющую 200 штрихов на миллиметр. Исследуемый
спектр содержит спектральную линию с А = 6708Л, которая состоит из двух
компонентов, отличающихся по длинам волн на  = 0,15А, lA = 10-7 мм.
Найти:
а) в каком порядке спектра эти компоненты будут разрешены;
б) наименьшую разность длин волн min , которую может разрешить эта
решетка в области  ~ 6700A
Решение
а) По определению разрешающая способность дифракционной решетки:
R

 kN

 1
1
 . Число штрихов решетки N  , где d  N
d
постоянная решетки. Тогда:
Отсюда получаем k 
k
 d

 l
6708  10 7 мм1 200мм
k
4
0,15  10 7 мм 65 мм

; Разность длин волн, которую может разрешить решетка,
kN
минимальна при заданных  и N и максимальном k . Максимальный
порядок спектра, который дает решетка, находится из условия отклонения

линии спектра на угол . Из условия максимума дифракции получаем:
2
d  k max
б)  
k max  d 
min
min
2
2


dN l
6,7  10 

3 2
6,5  10 8
 0,07 A
ЛИТЕРАТУРА