ИСТОМИНА Н.Б. И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В

ИСТОМИНА Н.Б.
И
МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ
МАТЕМАТИКЕ
В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
Развивающее
обучение
«Ассоциация XXI век»
Истомина Н. Б.
МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ
МАТЕМАТИКЕ
В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
Развивающее обучение
Рекомендовано УМО по специальностям
педагогического образования в качестве учебного
пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по специальности 031200(050708)—
педагогика и методика начального образования.
1НИСЕЙСКОВ
Педучилищ*1
Смоленск
«Ассоциация XXI век»
2005
Истомина Н. Б.
И89
Методика обучения математике в начальной школе:
Развивающее обучение. - Смоленск: Изд-во «Ассоциация XXI
век», 2005. - 2 7 2 с.
Цель учебного пособия — формирование у будущего учителя
методических знаний, умений и опыта творческой деятельности
для реализации на практике идей развивающего обучения младших
школьников математике.
Пособие будет полезно также учителям, работающим в
начальных классах.
ISBN 5-89308-193-5
ISBN 5-89308-193-5
© Истомина Н. В., 2005
© Ассоциация XXI век, 2005
ВВЕДЕНИЕ
В соответствии с государственным стандартом начального общего образова-,'я изучение математики на начальной ступени направлено на достижение следу-:_дих целей:
• развитие образного и логического мышления, воображения, формирование
~эедметных умений и навыков, необходимых для успешного решения учебных и
~Фактических задач, продолжения образования;
•освоение основ математических знаний, формирование первоначальных
~эедставлений о математике;
• воспитание интереса к математике, стремление использовать математические знания в повседневной жизни 1 .
Задача практической реализации этих целей возлагается на учителя и во мно"ом зависит от его методической подготовки, которая должна интегрировать в себе
:~ециальные (математические), психолого-педагогические и методические знания, умения и навыки.
Данное пособие предназначено для студентов дневного отделения факультета начальных классов и для учащихся педагогических училищ и колледжей, так как,
"эиступая к изучению курса «Методика обучения математике», они находятся в равчых условиях с точки зрения опыта методической деятельности и в равной степени должны быть готовы к решению тех задач, которые у них возникнут в процессе
практической работы.
При построении учебного пособия автор старался учесть сам процесс организации деятельности студентов по усвоению методических знаний и умений.
Первая глава призвана сформировать у будущего учителя представления о методике обучения математике как педагогической науке (§1), о развитии начального
математического образования (§2), о методической деятельности учителя в процессе обучения младших школьников математике (§3).
Во второй главе дается методическая интерпретация основных компонентов
понятия «учебная деятельность» и способов ее организации.
Возможные подходы к развитию мышления младших школьников нашли отражение в главе 3. В ней дается краткая характеристика таких приемов умственной
деятельности, как анализ и синтез, сравнение, классификация, аналогия, обобщение^).
Эти приемы в процессе усвоения знаний, умений и навыков выполняют различные функции. Их можно рассматривать:
1) как способы организации учебной деятельности школьников;
2) как способы познания, которые становятся достоянием ребенка, характеризуя его интеллектуальный потенциал и способности к усвоению знаний, умений
и навыков;
'Федеральный компонент государственного стандарта общего образования. — М., 2004 — С. 40
1*
3) как способы включения в процесс познания различных психических функций:
эмоций, воли, чувств, внимания, памяти. В результате интеллектуальная деятельность ребенка входит в различные соотношения с другими сторонами его личности,
прежде всего с направленностью, мотивацией, интересами, уровнем притязаний,
т.е. характеризуется возрастающей активностью личности.
В этой же главе описываются различные способы обоснования истинности суждений младшими школьниками (индуктивные и дедуктивные рассуждения, эксперимент, вычисления, измерения (§2), а также взаимосвязь логического и алгоритмического мышления (§3).
В процессе изучения методического курса будущему учителю необходимо
овладеть умением ориентироваться в предметном содержании методической деятельности, т. е. научиться отвечать на вопросы:
— Какие математические понятия, законы, свойства и способы действий нашли
отражение в начальном курсе математики?
— В каком виде они предлагаются младшим школьникам?
— В какой последовательности они изучаются?
— В какой последовательности могут изучаться?
Формирование этого умения осуществляется в процессе изучения главы 4
«Основные понятия начального курса математики и особенности их усвоения младшими школьниками». Ее содержание включает теоретические сведения о различных понятиях начального курса математики; виды учебных заданий, в процессе выполнения которых дети не только овладевают знаниями, умениями и навыками, но и
продвигаются в своем развитии; методические рекомендации к организации учебной деятельности учащихся.
Установление соответствия между предметными, вербальными, схематическими и символическими моделями рассматривается как основной способ усвоения учащимися математических понятий. Он позволяет учитывать индивидуальные
особенности ребенка, его жизненный опыт, предметно-действенное и нагляднообразное мышление и постепенно вводить его в мир математических понятий, терминов, символов, т.е. в мир математических знаний, способствуя тем самым развитию как эмпирического, так и теоретического мышления.
Глава 5 посвящена методике организации вычислительной деятельности младших
школьников в развивающем курсе начальной математики.
В главе 6 дается краткая характеристика различных методических подходов к
обучению младших школьников решению текстовых задач и подробно раскрывается методика формирования обобщенных умений решения задач, в основе которой
лежат различные методические приемы: выбор схемы, выражений, условия, переформулировка вопроса задачи, постановка вопросов к данному условию и др.
В главе 7 дается характеристика различных подходов к построению урока математики в начальных классах и рекомендации к планированию и анализу развивающих уроков.
Автор надеется, что предложенная структура пособия будет содействовать
улучшению качества учебного процесса и поможет преподавателю и студенту в их
совместной работе.
При написании курса методики автор использовал учебные задания из своих
«ебников математики для четырехлетней начальной школы. Работа по этим учебн о м позволила:
> включить маленького школьника в активную познавательную деятельность,
н^равленную на усвоение системы математических понятий и общих способов
ействий;
. создать методические условия для формирования учебной деятельности, для
азвития эмпирического и теоретического мышления, эмоций и чувств ребенка;
• сформировать умение общаться в процессе обсуждения способов решения
гзличных задач, обосновывать свои действия и критически оценивать их;
• повысить качество усвоения математических знаний, умений и навыков;
• обеспечить преемственность между начальным и средним звеном обучения,
эдготовив учащихся начальных классов к активной мыслительной деятельности;
• развить творческий методический потенциал учителя начальных классов, стиулируя его к самостоятельному составлению учебных заданий, выбору средств и
орм организации деятельности школьников.
Начальная школа работает по учебникам Н.Б. Истоминой с 1993 года. Они вклю5ны в Федеральный Перечень учебников и имеют гриф «Рекомендовано Министергвом общего и профессионального образования Российской Федерации».
За создание учебно-методического комплекта по математике для четырехлетэй начальной школы доктор педагогических наук, профессор Истомина Наталия
орисовна в 1999 году удостоена премии Правительства Российской Федерации.
ГЛАВА 1
МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ КАК ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ НАУКА
И КАК УЧЕБНЫЙ ПРЕДМЕТ
§ 1. НАУКА ОБ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ
Обучение - это целенаправленная, специально организованная и управляемая
учителем деятельность учащихся, в ходе которой они усваивают знания, развиваются и воспитываются.
В обучении, как и в любом процессе, проявляются определенные закономерности, которые выражают существующие связи между педагогическими явлениями, при этом изменение одних явлений влечет за собой изменение других. Например, цели обучения, отражающие потребности общества, оказывают влияние на
содержание и на способы организации деятельности учащихся, направленной на
его усвоение. Результаты обучения зависят от характера деятельности, в которую
на том или ином этапе развития включается ученик. Если приоритет отдается, например, репродуктивной деятельности, то остается невостребованным личностный потенциал школьников, их творческое отношение к учению, самостоятельность
мышления.
Экспериментально доказано, что творчество детей находится в прямой зависимости от творчества педагогов, которые вовлекают учащихся в процесс совместного решения различных учебных задач.
Стратегию обучения определяют дидактические принципы. Но они носят общий характер и не учитывают специфики тех проблем, которые возникают при обучении математике. Взятые в абстрактном виде, в отрыве от математической сути,
они не могут непосредственно служить теоретическими основами методики, так как
остается неясным, как же, опираясь на них, выстраивать обучение конкретному содержанию.
Например, в дидактике разработана теория проблемного обучения: определена
сущность ее основных понятий, обоснована необходимость и эффективность их применения в учебном процессе, раскрыт ряд способов организации и управления самостоятельной деятельностью учащихся, выявлены важнейшие дидактические условия
реализации такого типа обучения. Однако решение вопроса о возможности создания
проблемных ситуаций при обучении младших школьников математике остается за методикой. И пока он не будет представлен на методическом уровне, теория проблемного
обучения, получившая разработку в дидактике, не станет достоянием практики работы
учителей начальных классов.
Задачей методики обучения математике является не только разработка проблемных ситуаций, но и общих подходов к их использованию, в которых бы учитывалась специфика математического содержания и особенности его усвоения
учащимися. Так, например, одним из средств создания проблемных ситуаций на
6
определенном этапе обучения математике являются нестандартные задачи. Они
представляют для ученика проблему, способ решения которой он должен найти
самостоятельно, творчески применив имеющиеся у него знания. Но в то же время
такого рода проблемные ситуации могут оказаться недоступными для большинства
младших школьников, так как их решение требует высокого уровня абстракции и
обобщения.
Учитывая этот факт, в начальном курсе математики для создания проблемных
ситуаций целесообразно использовать задачи практического характера, при решении которых дети могут опираться на свой жизненный опыт и на практические действия.
Так, приступая к изучению темы «Длина предметов» (1-й класс) учитель предлагает классу две полоски (красную и синюю) и спрашивает: «Как можно определить,
какая из них длиннее?» Для младшего школьника это проблемная ситуация, способ
решения которой ему предложено найти самостоятельно.
Доступность в данном случае обеспечивается тем, что при нахождении способа сравнения длин полосок он может опираться только на свой жизненный опыт и
на практические действия. Эту проблемную ситуацию можно усложнить, предложив
вопрос: «Можно ли сравнить длины данных полосок с помощью третьей?» Ответ на
него связан с нахождением нового способа действия, который лежит в основе измерения величин.
Аналогично можно проиллюстрировать и другие положения дидактики, которые
становятся теоретическими основами методики обучения математике только после
переработки их в связи с конкретным содержанием изучаемого математического
материала.
Например, принцип доступности обучения в дидактике понимается как требование представить учащимся материал такой сложности, которую они могли бы самостоятельно или с помощью учителя преодолеть. Но как это сделать, допустим,
при изучении деления многозначного числа на однозначное? Ответ может дать
только методика обучения математике. Руководствуясь алгоритмом письменного
деления и принципом построения десятичной системы счисления, а также учитывая психологические особенности восприятия и мышления младших школьников,
методика начального обучения математике формулирует общие положения, которыми учитель может руководствоваться при формировании у детей навыков письменного деления. Например: знакомству учащихся с алгоритмом письменного деления должны предшествовать упражнения, которые подготовят их к восприятию и
пониманию операций, входящих в данный алгоритм. Это и определение количества
десятков, сотен, тысяч в многозначном числе, и выполнение деления с остатком, и
проверка деления умножением и т.д. Руководство этим методическим положением
обеспечивает доступность нового способа действия и дает простор большей самостоятельности учащихся в его усвоении.
При изучении алгоритма письменного деления следует иметь в виду и такое
положение: при выполнении записи письменного деления необходимо подробно
(развернуто) комментировать производимые операции, так как это позволит учителю не только контролировать правильность конечного результата, но и процесса
его вычисления, и тем самым своевременно корректировать деятельность учащихся по использованию алгоритма.
В приведенной методической рекомендации учитывается одна из психологических закономерностей, состоящая в том, что внешняя деятельность не всегда совпадает с внутренней. Это означает, что внешне дети могут выполнять правильные
действия, а в уме в это время рассуждать неверно. Таким образом, рекомендация
об использовании приема комментирования является обобщенной (в данном случае по отношению к изучению определенного вопроса), теоретически обоснованной (психологическим положением), и может быть применена при изучении других
вопросов содержания. Ее целесообразность подтверждается практикой обучения.
Нельзя не учитывать, что особенность использования теоретических положений дидактики при обучении конкретному предмету заключается в том, что они
становятся действенными, только вступая во взаимосвязь с психологическими
закономерностями, которые, так же как и дидактические, обычно высказываются
обобщенно, в отрыве от конкретного содержания.
Итак, процесс усвоения детьми различного содержания, подчиняясь общим закономерностям, имеет свою специфику, которая должна найти выражение в теоретических положениях, отражающих особенности обучения конкретному предмету.
Разработка теории обучения с учетом специфики содержания и есть необходимое
условие успешного развития определенного раздела методики преподавания конкретной учебной дисциплины.
Каким же требованиям должны отвечать теоретические основы методики обучения математике? Они должны: а) опираться на определенную теорию (психологическую, педагогическую, математическую), используя ее применительно
к конкретному содержанию обучения; б) являться обобщенными положениями,
отражающими не отдельный случай, а общие подходы к процессу обучения математике (в частности, в начальных классах), к решению некоторой совокупности вопросов в нем; в) отражать устойчивые особенности процесса обучения математике,
т. е. закономерности этого процесса или важные факты о нем; г) подтверждаться на
практике экспериментами или опытом работы учителей.
Следовательно, теоретические основы методики обучения математике - это
система положений, лежащих в основе построения процесса обучения математике,
которые теоретически обосновываются и характеризуют общие методические подходы к его организации.
Рассматривая методику обучения математике в начальных классах как науку,
выделим круг проблем, которые она призвана решать, и определим объект и предмет ее исследования.
Все многообразие проблем частных методик, в том числе и методики обучения
математике в начальных классах, можно сформулировать в виде вопросов:
— Зачем обучать? То есть с какой целью обучать детей математике?
— Чему обучать? То есть каким должно быть содержание математического образования в соответствии с поставленными целями?
— Как обучать? То есть:
8
а) в какой последовательности расположить вопросы содержания, чтобы учащиеся могли сознательно усваивать их, эффективно продвигаясь в своем развитии;
б) какие способы организации деятельности учеников (методы, приемы, сред:~ва и формы обучения) следует применять для этого;
в) как обучать детей с учетом их психологических особенностей (как в процессе
нения математике наиболее полно и правильно использовать закономерности
z: зприятия, памяти, мышления, внимания младших школьников)?
Названные проблемы позволяют определить методику обучения математике
<ак науку, которая, с одной стороны, обращена к конкретному содержанию, отбои упорядочению его в соответствии с поставленными целями обучения, с другой — к человеческой деятельности (учителя и ученика), к процессу усвоения этого
держания, управление которым осуществляет учитель.
Объект исследования методики обучения математике - процесс обучения математике, в котором можно выделить четыре основных компонента: цель, содержаj, деятельность учителя и деятельность учащихся. Перечисленные компоненты
-2ХОДЯТСЯ во взаимосвязи и взаимообусловленности, т. е. образуют систему, в которой изменение одного из компонентов вызывает изменения других.
Предметом исследования может являться каждый из компонентов этой системы, а также те взаимосвязи и отношения, которые существуют между ними.
Методические проблемы решаются с помощью методов педагогических исследований, к которым относятся: наблюдение, беседа, анкетирование, обобщение
передового опыта работы учителей, лабораторный и естественный эксперименты.
Различные тесты и психологические методики дают возможность выявить влияние
эазных способов обучения на усвоение знаний, умений и навыков, на общее развитие детей. Все это позволяет установить определенные закономерности процесса
обучения математике.
Задание 1. С какими концепциями обучения младших школьников вы знакомы? Раскройте содержание этих концепций.
§ 2. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАЗВИТИЯ НАЧАЛЬНОГО
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
На каждом этапе развития начального образования методическая наука поразному отвечала на вопросы: «Зачем учить?», «Чему учить?», «Как учить?»
До 1949 г. приоритетом в начальном образовании были практические цели. Это
обусловливалось тем, что до введения общего обязательного 7-летнего образования начальная школа представляла замкнутый этап. Основным содержанием начального курса математики являлось изучение четырех арифметических действий,
решение задач арифметическим способом и знакомство с геометрическим материалом, который был подчинен решению практических задач (размечать земельные участки прямоугольной формы, измерять их длину, ширину, вычислять по формулам площадь и периметр прямоугольника и др.).
9
i
:.
В основу построения содержания курса был положен концентрический принцип
(5-6 концентров). В конце четвертого года обучения предполагалось обобщение
изученного материала и ознакомление с отдельными элементами теории (связи
между действиями, компонентами и результатами действий, некоторые свойства
действий).
Методы обучения учитывали те особенности данного возраста, которые отмечала психологическая наука: образность, преобладание «механической» памяти над
смысловой, легкость и прочность усвоения младшими школьниками многочисленных фактов. В расчете на «механическую» память детям предписывалось запомнить
4 таблицы (2 таблицы умножения и 2 таблицы деления, каждая из которых включала
по 100 примеров). Такой подход к обучению математике в начальных классах обосновывался данными возрастной психологии, которая учет реальных познавательных возможностей младших школьников трактовала как необходимость приспособления содержания и методов обучения к особенностям психического развития
детей данного возраста.
Однако, в работах Л. С. Выготского, виднейшего отечественного психолога,
еще в начале 30-х годов XX века отмечалась ошибочность этой позиции, даже по
отношению к детям, которые отставали в умственном развитии. Он отмечал, что
обучение, которое ориентируется на уже завершенные циклы развития, не ведет за
собой процесс развития, а само плетется у него в хвосте; только то обучение является хорошим, которое забегает вперед развития.
Следует отметить, что 30-40 годы знаменуются совместными исследованиями
психологов и методистов по вопросам методики преподавания отдельных предметов. По поводу направлений этих исследований психолог Н. А. Менчинская писала:
«Для того чтобы психология могла прямо ответить на запросы практики обучения,
необходимо подвергать изучению конкретные виды учебной деятельности, причем
исследовать различные формы этой деятельности как закономерный ответ на педагогические воздействия»1.
В русле этого направления изучались пути усвоения детьми понятия числа
и арифметических действий, особенности овладения процессом счета и формирования вычислительных навыков, умение решать текстовые арифметические задачи.
При этом большое внимание уделялось изучению роли анализа и синтеза, конкретизации, абстрагирования и обобщений. Результаты этих исследований сыграли
определенную роль в развитии методической науки.
Говоря о недостатках методики обучения математике, А. С. Пчелко (автор учебника арифметики для начальных классов) сетовал на то, что основное внимание методистов сосредоточено на учителе, на методах и приемах, которыми он обучает
детей, и совсем не освещаются вопросы о том, как учащиеся воспринимают объяснения учителя, какие затруднения возникают у них при усвоении того или иного раздела арифметики, в чем причина этих затруднений и как их можно предупредить.
В 40-50 годы появляются методические работы, построенные на исследовательском, экспериментальном материале (Н. Н. Никитин, Г. Б. Поляк, М. Н. Скаткин,
1
10
Менчинская Н. А. Психология обучения арифметике. - М., 1947.
А. С. Пчелко) и возникает необходимость в пересмотре содержания обучения в начальных классах.
Однако изменения, внесенные в программу курса арифметики, которая была
зведена в 1960 г., не коснулись ее сущности. Они сводились к незначительным поправкам, направленным в основном на дальнейшее упрощение курса. Новые веяния, вызванные к жизни исследованиями в области методики и психологии, нашли
отражение только в объяснительной записке программы. В ней подчеркивалась необходимость обучения младших школьников общим приемам работы над задачей,
важность формирования у детей правильных обобщений и организации различных
зидов самостоятельной работы.
В 1965 г. выходит книга М. И. Моро и Н. А. Менчинской «Вопросы методики и
психологии обучения арифметике...». Целый ряд положений, сформулированных
в этой книге, остаются актуальными и сегодня, являясь основой для разработки новых методических подходов к усвоению младшими школьниками математического
содержания. Приведем некоторые из них1.
«Для того чтобы младший школьник был активным в процессе обучения, необходимо: во-первых, обеспечить ему широкую возможность для проявления самостоятельности в учебной работе; во-вторых, научить его приемам и методам
самостоятельной работы; в-третьих, пробудить в нем стремление к самостоятельности, создав у него соответствующую мотивацию, т. е. сделать для него
самого жизненно важным его самостоятельный творческий подход к решению
учебных задач».
«Широко известная старинная поговорка гласит: «Повторение — мать учения».
Теперь иногда ей противопоставляется другая: «Применение — мать учения». Вторая формулировка больше отвечает современным задачам, стоящим перед нашей
школой, но надо иметь в виду, что применение знаний не исключает повторения,
а включает его в себя, но при этом имеется в виду повторение не однообразное
или монотонное, а такое, которое предполагает изменение как самих знаний, так и
условий их использования».
«Умение решать задачи, хотя оно и носит общий характер, поддается развитию,
как и все другие, но для этого нужна особая система упражнений, направленная на
то, чтобы формировать у школьников потребность в творческом мышлении, интерес к самостоятельному решению задач-проблем, а следовательно, и к поиску наиболее рациональных приемов их решения».
«Полная сознательность усвоения может быть достигнута учеником только при
условии, если он не пассивно воспринимает сообщаемый новый материал, а активно оперирует им».
«Следует избегать не только чрезвычайно трудного, но и чрезвычайно легкого
для усвоения учеником материала, когда в процессе усвоения для него не возникает никаких проблем или задач, требующих умственных усилий».
1
Менчинская Н. А., Моро М. И. Вопросы методики и психологии обучения арифметике в начальных
классах. - М., 1965.
В книге не только отмечена роль сравнений и противопоставлений как смешиваемых детьми понятий, но и предложены основные пути их применения в процессе
обучения математике. Это одновременное противопоставление, когда оба понятия
или правила вводятся на одном уроке, в сопоставлении друг с другом, и последовательное, когда сначала изучается одно из сравниваемых понятий, а второе вводится на основе противопоставления первому, только когда первое уже усвоено.
Большой вклад в развитие методики обучения математике внесли работы
П. М. Эрдниева. Под его руководством было проведено экспериментальное исследование с целью обоснования идеи укрупнения дидактических единиц в процессе
обучения детей математике (метод УДЕ).
Обучение, построенное в соответствии с этой идеей, оказывается эффективным для повышения качества знаний учащихся при значительной экономии времени, расходуемого на изучение курса математики.
Для реализации идеи УДЕ автор использует конкретные методические приемы:
а) одновременное изучение сходных понятий; б) одновременное изучение взаимно
обратных действий; в) преобразование математических упражнений; г) составление задач школьниками; д) деформированные примеры.
В числе исследований, которые сыграли неоценимую роль в развитии методики начального обучения, следует назвать два: одно под руководством Л. В. Занкова (1957 г.), другое — под руководством Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова (1959 г.).
И хотя объектом экспериментального исследования Л. В. Занкова являлись не отдельные учебные предметы, а дидактическая система, охватывающая все начальное обучение, тем не менее разработанные в лаборатории дидактические принципы (обучение на высоком уровне трудности, изучение программного материала
быстрым темпом; ведущая роль теоретических знаний; осознание школьниками
процесса учения; целенаправленная и систематическая работа над развитием всех
учащихся класса, в том числе и наиболее слабых) могли служить действенной основой для совершенствования методики обучения математике.
Широкомасштабный эксперимент, проведенный под руководством Л. В. Занкова, привел к теоретическому осмыслению типических свойств методической системы начального обучения. В качестве таких свойств ученый называл многогранность,
коллизии, процессуальность. Разработку методической системы Л. В. Занков считал особенно актуальной.
В исследовании под руководством Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова были выделены те новообразования, формирование которых у учащихся начальных классов
оказалось возможным при определенном построении процесса обучения. В качестве таких новообразований были названы: учебная деятельность, теоретическое
мышление и произвольное управление поведением (рефлексия).
Параллельно с психолого-педагогическими проводились исследования методического характера, нацеленные на подготовку реформы начального образования. Разрабатывались варианты программ, создавались экспериментальные
учебники.
Огромный вклад в подготовку реформы математического образования на этом
этапе внесли ученые-методисты М. И. Моро, А. С. Пчелко, М. А. Бантова, Г. В. Бель12
тюкова, Н. В. Меленцова, Е. М. Семенов, П. М. Эрдниев, И. К. Андронов, Ю. М. Коляг
ин. В подготовке реформы начального образования активно участвовали психологи (Н. А. Менчинская, А. А. Люблинская).
В результате проведенных исследований были сделаны выводы о необходимости обогащения содержания начального курса математики, усиления в нем роли теории и включения в содержание курса элементов алгебры и геометрии.
Новое содержание нашло отражение в стабильных учебниках математики
(М. И. Моро и др.), по которым с 1969 г. стали работать все начальные классы Российской Федерации.
Модернизация предметного содержания начального математического образозания сопровождалась указаниями: «Одна из важных воспитательных задач, связанных с изучением курса математики, — развитие познавательных способностей
учащихся»; «Занятия математикой должны способствовать воспитанию у детей самостоятельности, инициативы, творчества, культуры труда»; «Обучение и развитие
при изучении математического материала должны осуществляться в неразрывной
связи друг с другом»1.
Однако реализация этих указаний в школьной практике оказалась, пожалуй,
еще более сложной задачей, нежели внедрение нового содержания единого на-ального курса математики. «Учителя получили новые программы и приступили к их
:существлению, понятия не имея о новой методике», — пишет Ш. А. Амонашвили.
И далее: «Вскоре выяснилось, что детям трудно учиться по этой системе. И вместо
т
ого, чтобы знакомить учителя с новыми подходами к ребенку и к обучению, начали
зыхолащивать программы»2.
Задача развития ребенка в процессе обучения так и осталась нерешенной в стабильном курсе математики (М. И. Моро и др.)- Несмотря на его содержательное обобщение по сравнению с курсом арифметики и нацеленностью на повышение уровня
теоретических знаний младших школьников, ведущим методом оставался показ обзазца и его закрепление. Учебные задания были однообразны, а задания, требующие активизации мыслительной деятельности школьников, классифицировались как
материал «повышенной трудности» и «доставались» только способным к математике
летям. Основной же задачей для всех учащихся по-прежнему оставалось формирозание вычислительных умений, навыков и умение решать определенные типы задач.
Между тем поиски способов организации учебной деятельности младших
школьников продолжались как в теории, так и практике обучения.
В 70-80-е годы тысячи школьников работали по системе Л. В. Занкова, продолжался эксперимент по системе Д. Б. Эльконина, В. В. Давыдова, активно внедрялась в школьную практику система УДЕ, проводился эксперимент А. М. Пышкало и
К. И. Нешкова, в котором проверялась возможность построения начального курса
математики на теоретико-множественной основе.
1
Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах/Под ред. М. И. Моро,
А. М. Пышкало. - М., 1977.
2
Амонашвили Ш. А. в сб. статей «Новое время — новая дидактика»: Педагогические идеи Л. В. Занкова и школьная практика. — Москва — Самара, 2000.
13
Начало 90-х годов знаменуется внедрением в школьную практику различных инноваций, новых технологий обучения, вариативных авторских программ и учебников.
На волне этого инновационного движения «российское начальное образование
приобретает развивающий характер»1.
На передний план выдвигаются задачи становления у ребенка интереса к учению, формирования учебной самостоятельности и необходимых для нее умений,
связанных с осознанием учебной задачи, с поиском ее решения, с выполнением
различных мыслительных операций (анализа, синтеза, сравнения, классификации,
обобщения), с организацией контроля за своими действиями и их оценкой.
Осмысление этих направлений на методическом уровне - актуальная задача
современной методической науки.
§ 3. ЗАДАЧИ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
КАК УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА
Основная задача курса «Методика обучения математике в начальных классах» в
колледже и в вузе - подготовить студентов к профессиональной методической деятельности, направленной на воспитание личности ребенка, на развитие его мышления, на формирование у него умения и желания учиться, на приобретение опыта общения и сотрудничества в процессе усвоения математического содержания.
Определенный вклад в решение этой задачи вносят курсы математики, психологии,
возрастной психологии, дидактики и др. В процессе изучения методического курса
студенты учатся применять эти знания для решения методических задач. Следовательно, методическая деятельность учителя носит интегративный характер.
Сложный механизм такой интеграции обусловлен тем, что методические знания, представленные в виде идей, положений, описаний рекомендаций, приемов,
видов учебных заданий, включают в себя:
• содержание математических понятий, свойств, способов действий;
• закономерности процессов обучения и воспитания;
. психологические особенности развития ребенка и усвоения им знаний, умений и навыков.
Чем лучше учитель осознает эту связь, тем выше уровень его методической
подготовки, тем шире его возможности в осуществлении творческой методической
деятельности.
Рассмотрим типичную ситуацию из практики начального обучения математике
и проанализируем ее сточки зрения понятия «методическая задача».
Представьте, что вы предложили детям задание: «Сравни числа 6 и 8» или «Поставь между числами 6 и 8 знак <, >, = так, чтобы получилась верная запись». Предположим, что ученик дал неверный ответ, т. е. выполнил запись 6>8. Как вы поступите? Обратитесь к другому ученику или попытаетесь разобраться в причинах
допущенной ошибки? Другими словами, как вы решите эту методическую задачу?
'Давыдов В. В. Концепция гуманизации российского начального образования. - Сб. «Начальное образование в России». - М., 1994.
14
Выбор методических действий в этом случае может быть обусловлен целым ряZOM психолого-педагогических факторов: личностью ученика, уровнем его математи-еской подготовки, целью, с которой предлагалось данное задание, и т. д. Допустим,
в=> выбрали второй путь, т. е. решили попытаться разобраться в причинах ошибки. Но
в • это сделать?
Прежде всего надо предложить прочитать выполненную запись.
Если ученик читает ее как «шесть меньше восьми», значит, причина ошибки в
": и, что не усвоен математический символ. Дети одновременно знакомятся со знаи < и >, поэтому они могут путать их значения.
Установив таким образом причину, можно продолжить работу. Но при этом
- ркно учитывать особенности восприятия младшего школьника. Так как оно имеет
-аглядно-образный характер, то учитель использует прием сравнения знака с кон• эетным (для ребенка) образом, например, с клювиком, который раскрыт к боль_ему числу и закрыт к меньшему (5 < 8, 8 > 5). Такое сравнение поможет ребенку
запомнить математическую символику.
Но если ученик прочитал данную запись «6 > 8» как «шесть больше восьми», то
зшибка обусловлена уже другой причиной. Как поступить в этом случае?
Здесь учителю не обойтись без знания таких математических понятий, как «количественное число», «установление взаимно-однозначного соответствия» и теоре"ико-множественный подход к определению отношения «больше» («меньше»). Это
позволит ему правильно выбрать способ организации деятельности учащихся, связанный с выполнением данного задания. Учитывая наглядно-действенный характер
мышления младших школьников, учитель предлагает одному ученику выложить на
парте 6 предметов, а другому — 8 и подумать, как можно расположить их, чтобы выяснить, у кого больше предметов, а у кого меньше.
Опираясь на свой жизненный опыт, ребенок может самостоятельно предложить способ действий или найти его с помощью учителя,
т. е. установить взаимно-однозначное соответствие между элементами данных
предметных множеств.
§ • § § ! §
• •till
id
Теперь представим, что ученик успешно справляется с выполнением задания
на сравнение чисел. В этом случае важно установить, насколько осознанны его действия, т. е. может ли он обосновать их, высказав при этом необходимые рассуждения, которые связаны с ответом на вопрос: «Почему 6 меньше 8?»
Для решения этой задачи учителю понадобится знание таких математических
понятий, как «счет» и «натуральный ряд чисел», т. к. именно они лежат в основе того
обоснования, которое может привести учащийся: «Число, которое называется при
счете раньше, всегда меньше любого числа, следующего за ним».
Чтобы это обоснование стало понятно всем детям, полезно обратиться к отрезку натурального ряда и предложить подчеркнуть в нем числа 6 и 8 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9) или обозначить данные числа на числовом луче.
15
Таким образом, процесс выполнения учеником довольно несложного задания
потребовал от учителя решения четырех методических задач и применения математических, психологических и методических знаний.
Рассмотрим другую ситуацию, связанную с письменным делением на однозначное число. Например, 8463:7. Каждый из вас, конечно, легко справится с этим
заданием.
Но предположим, что ученик получил в ответе не 1209, а 129, т. е. он пропустил
в частном нуль (это типичная ошибка). Причиной такой ошибки может быть либо его
невнимательность, либо отсутствие необходимых знаний и умений.
Как же это выяснить? Наверное, по аналогии с первой ситуацией вы уже сможете ответить на этот вопрос: «Нужно, чтобы ученик проговорил те действия, которые он выполнял». В методике этот прием носит название «комментирование».
Применение такого приема позволяет учителю проконтролировать правильность
не только конечного результата, но и процесса его получения и тем самым скорректировать деятельность школьников по использованию алгоритма.
Но для того, чтобы научить детей осознанно комментировать последовательность операций, которые входят в алгоритм письменного деления, учитель должен
сам владеть необходимыми математическими понятиями. При этом условии он
сможет доступно разъяснить математическую суть выполняемых операций. Например, для случая 8463:7 появление нуля в частном обычно комментируется так: «6 на
7 не делится — ставим нуль». Это формальное объяснение может быть более обоснованным, если опираться на понятие деления с остатком.
Вспомните определение, которое вы рассматривали в курсе математики: «Разделить с остатком целое неотрицательное число а на натуральное число b значит
найти такие целые неотрицательные числа q и г, чтобы a=bq +г\лО r< b».
Понимание того, что данное определение является основой действий учащихся при выполнении деления с остатком, позволит учителю методически правильно
организовать их деятельность по овладению этими способами. Например, выполняя деление для случая 29:4, ученики сначала находят самое большое число до 29,
которое без остатка делится на 4 (эта операция требует прочного усвоения табличных случаев деления): 28:4=7. Остаток находится вычитанием 29-28=1. Конечный
результат: 29:4 = 7 (ост. 1).
Перенесем теперь эти же рассуждения на случай 6:7. Самое большое число
до 6, которое делится без остатка на 7, это 0. 0:7=0. Находим остаток вычитанием
6-0=6. Конечный результат: 6:7=0 (ост. 6). Так знание математических понятий помогает учителю найти обоснованные способы объяснения учащимся тех действий,
которые они выполняют.
Математические знания необходимы учителю для того, чтобы правильно организовать знакомство младших школьников с новыми понятиями. Например, неко16
~орые учителя пытаются объяснить случаи умножения на 1 так: «Число повторили
один раз, поэтому оно и осталось». При изучении случая деления на 1 они обращаются к конкретному примеру: «Представьте, что у мальчика 5 яблок. Он оставил
их все себе, т. е. разделил их на 1, поэтому и получил 5 яблок». Казалось бы, методические действия педагога учитывают психологические особенности детей, и он
стремится обеспечить доступное им введение нового понятия. Тем не менее в его
действиях отсутствует та математическая основа, без которой не могут быть сформированы правильные математические представления и понятия.
Ясно, что методические действия учителя при обучении младших школьников
математике во многом зависят от уровня его математической подготовки. Помимо
этого, математическая подготовка оказывает положительное влияние на четкость
оечи учителя, на правильность использования терминологии и обоснованность
подбора методических приемов, связанных с изучением математических понятий.
Задание 2. Подумайте, на какие математические знания должен опираться
учитель при знакомстве учащихся со случаями умножения и деления на 1.
Деятельность, направленная на воспитание и развитие младшего школьника
в процессе обучения математике, требует от педагога овладения не только частными, но и общими методическими умениями. Их можно назвать дидактическими,
так как они могут быть использованы учителем не только при обучении математике,
но и другим учебным предметам (русский язык, чтение, природоведение и т. д.).
Например, умение целенаправленно применять различные способы организации
внимания детей также является компонентом методической деятельности учителя. Основу этих умений составляют его психолого-педагогические знания. Так, отсутствие у учителя психологических знаний об особенностях внимания младших
школьников приводит к тому, что, организуя их внимание, он пользуется, как правило, только приемом установки, т. е. говорит: «будьте внимательны». Если же эта
установка не действует, он прибегает к различным мерам наказания. Но достаточно разобраться в психологической сути его действий, чтобы понять их ошибочность. А именно: установка «будьте внимательны» рассчитана в основном на произвольное внимание детей. Этот вид внимания требует волевых усилий и быстро
их утомляет. Поэтому действенность данной установки очень кратковременна. Пытаясь усилить ее, некоторые учителя, задавая вопрос всему классу, спрашивают
именно того ученика, который в данный момент отвлекся. Естественно, он не может
ответить. Учитель начинает стыдить его, читать нотацию, наказывать. Но это только
увеличивает психическую нагрузку и вызывает у ребенка отрицательные эмоции:
чувство страха, неуверенности, тревожности. Как же избежать этого? Знание психологических закономерностей поможет педагогу найти верное решение.
В психологии, например, установлена такая закономерность: внимание учеников активизируется, если: а) мыслительная деятельность сопровождается моторной; б) объекты, которыми оперирует ученик, воспринимаются зрительно.
Помимо закономерностей, в психологической науке выделены условия, под
влиянием которых поддерживается внимание. К ним относятся: а) интенсивность,
ЕНИСЕЙСКОМ!
П«дучнляш«
17
-
•
>
новизна, неожиданность появления раздражителей и контраст между ними; б) ожидание конкретного события; в) положительные эмоции. Здесь учителю помогут
различные методические приемы, реализующие эти закономерности: дидактические игры, связанные с конкретным математическим содержанием, использование
предметной наглядности, приемы наблюдения, сравнения, обращение к опыту ребенка, возможность выбора.
Применение различных методических приемов позволяет организовать деятельность учащихся на основе послепроизвольного внимания, т. е. в соответствии
с поставленной целью, но без волевых усилий. Это играет большую роль в построении обучения, так как открывает перед учителем перспективу целенаправленного
управления вниманием детей.
Но вполне возможно, что могут быть и такие ситуации, когда даже проверенные
методические приемы оказываются недостаточными. В этом случае необходимы
меры педагогического воздействия. Например, можно обратиться к невнимательному ученику с таким предложением: «А теперь задания для устного счета, которые
выписаны на карточках, вам предложит Коля. Он будет контролировать и правильность их решения». В результате Коля включается в работу, испытывая положительные эмоции, вызванные тем доверием, которое оказал ему учитель.
В приведенных примерах учитель решает оперативные методические задачи,
т. е. он должен быстро реагировать на те обстоятельства, которые возникают в
процессе урока.
Помимо этого методическая деятельность учителя связана с решением проектировочных задач, которые он продумывает при подготовке к уроку, выбирая способ постановки учебной задачи, подбирая учебное задание для ее решения.
Как видите, методическая деятельность учителя связана с решением различных
методических задач. Формирование умения выявлять, ставить и решать их - одна
из важных задач методического курса.
Задание 3. Приведите примеры методических задач, решение которых вы наблюдали на педагогической практике. Можете ли вы, используя свои психолого-педагогические и математические знания, предложить другие варианты действий на уроке?
18
ГЛАВА 2
УЧЕБНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ МЛАДШЕГО ШКОЛЬНИКА
В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
§ 1. ПОНЯТИЕ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ И ЕЕ СТРУКТУРА
Деятельность — это форма активного отношения человека к окружающей действительности. Она прежде всего характеризуется наличием цели и вызывается
эазличными потребностями и интересами (мотивами).
Учебная деятельность направлена непосредственно на усвоение знаний, умений и навыков, ее содержанием являются научные понятия и общие способы решения практических задач. Будучи ведущей для учащихся начальных классов, она стимулирует появление центральных психических новообразований данного возраста,
развитие психики и личности школьника. Под возрастными новообразованиями понимается «тот новый тип строения личности и ее деятельности, те психические и
социальные изменения, которые впервые возникают на данной ступени и в самом
главном и основном определяют сознание ребенка, его отношение к среде, его внутреннюю и внешнюю жизнь, весь ход его развития в данный период»1.
Структура учебной деятельности включает следующие компоненты: мотивы,
учебные задачи, способы действий, а также самоконтроль и самооценку. Взаимосвязь этих компонентов обеспечивает целостность учебной деятельности.
Мотив - это побудительная сила деятельности, то, ради чего она осуществляется. Мотивы учебной деятельности динамичны и изменяются в зависимости от социальных установок личности. Вначале они формируются под влиянием внешних
по отношению к учебной деятельности факторов, не связанных с ее содержанием.
С помощью мышления учащийся оценивает разные побуждения, сопоставляет их,
соотносит с имеющимися у него убеждениями и стремлениями и после эмоциональной оценки этих побуждений приступает к учебным действиям, осознавая их
необходимость. Поэтому процесс учения должен быть построен так, чтобы задачи,
которые ставятся перед учащимся, были не только понятны, но и внутренне приняты им, чтобы они приобрели для него значимость. Другими словами, необходимо
сформировать познавательную мотивацию, тесно связанную с содержанием и способами обучения.
Мотивация (т. е. направленность школьника на учебные действия) чаще всего
возникает при постановке учебной задачи. Но в некоторых случаях она может появиться и в процессе самой деятельности, ее контроля и самооценки. Этому обычно способствует успешное выполнение школьником тех учебных заданий, которые
учитель предлагает как в процессе решения учебной задачи, так и на этапе самоконтроля.
'Выготский Л. С. Педагогическая психология. - М., 1991.
19
§ 2. УЧЕБНАЯ ЗАДАЧА И ЕЕ ВИДЫ
Учебная
задача
—
ключевой
компонент
учебной
деятельности.
С одной стороны, она уточняет общие цели обучения, конкретизирует познавательные мотивы, с другой — помогает сделать осмысленным сам процесс действий, направленных на ее решение.
В большинстве случаев средством решения учебных задач в математике являются математические задания (упражнения, задачи). Например, овладение алгоритмом письменного умножения составляет учебную задачу, которая решается в
процессе выполнения определенной системы учебных заданий (упражнений). Очевидно, что для решения одной учебной задачи может быть использовано несколько,
зачастую много математических заданий (упражнений). В то же время в процессе
выполнения одного математического задания (упражнения) может решаться несколько учебных задач.
Например:
Даны числа: 18, 81, 881, 42, 442, 818. По какому признаку можно разбить эти
числа на две группы?
Такое задание нацелено как на усвоение разрядного состава числа, понятий
однозначных, двузначных, трехзначных чисел, так и на формирование умения классифицировать объекты.
Учебные задачи могут быть различных видов. Частные: их цель — научить
школьников чему-то применительно к конкретному объекту (например, писать цифру 2, умножать 3 на 4). Локальные: решаемые в пределах одной темы или одного
раздела (например, научить детей находить периметр и площадь прямоугольника,
составлять таблицу умножения). Общие: их решение направлено на формирование
таких способов действий, которые распространяются на значительную часть разделов учебного предмета (например, решение уравнений, умножение любых чисел в
пределах 1000 и т. д.). Перспективные: их решение начинается в начальных классах,
а заканчивается в старших. Например, задачи, связанные с развитием логического
мышления, с усвоением функциональной зависимости, преобразованием математических выражений.
Все виды учебных задач в процессе обучения взаимосвязаны: решение локальных и частных задач обычно сопровождается решением общих и перспективных.
Например, при изучении умножения двузначного числа на однозначное решаются
такие локальные учебные задачи: овладение способом представления числа в виде
суммы двух слагаемых, приемом умножения двузначного числа на однозначное.
Одновременно решаются и общие учебные задачи: распознавание математических объектов, формирование приемов умственной деятельности (анализ и синтез,
сравнение, обобщение) и перспективные - преобразование математических выражений.
20
Задание 4. Проанализируйте приведенные учебные задания и назовите те учебные задачи, которые решаются в процессе их выполнения:
ковы?
Верно ли утверждение, что значения произведений в каждом столбце одина-
а) 31-3
(27+4)- 3
(30+1)-3
б)24 • 4
(18+6)»4
(13+11) -4
(20+4)•4
в) 29*3
(19+10) -3
(13+16) -3
(20+9)-3
По какому правилу составлены пары выражений? Верно ли утверждение, что
значения выражений в каждой паре одинаковы?
39-2
(30+9) • 2
28 «3
(20+8)•3
37-2
(30+7)•2
В обучении одна и та же общая учебная задача может решаться в те-ение длительного времени, поэтапно, и важно не упустить ее из виду.
В противном случае частности могут заслонить общее. Кроме того, большое значение имеет взаимосвязь между различными этапами решения этой учебной задачи. Если ее нет, то это мешает достижению общей цели. Примером может служить
овладение учащимися таким общим способом действия, как моделирование.
Вместе с тем не исключены и такие случаи, когда решение учебной задачи осуществляется обобщенно, без разбиения на этапы. Например, в некоторых учебниках
для начальных классов прибавление числа к сумме и суммы к числу рассматриваются как отдельные этапы, т. е. решаются две разные учебные задачи. Такой способ
требует дополнительной работы по их обобщению, чего обычно не делается. Вместо этого можно сразу решать общую учебную задачу овладения сочетательным
свойством сложения.
Четкое выделение учебных задач, их соотнесение с конкретным материалом
способствуют лучшей организации целенаправленных учебных действий школьников.
Задание 5. Проанализируйте учебник по математике для первого класса и
приведите 5-6 учебных заданий, нацеленных на решение одной учебной задачи.
Задание 6. Приведите примеры учебных заданий, в процессе выполнения которых учащиеся решают несколько учебных задач.
21
§ 3. ПОСТАНОВКА УЧЕБНОЙ ЗАДАЧИ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ
При постановке учебной задачи необходимо выполнение следующих требований:
1. Учебная задача должна ориентировать школьников на поиск нового способа
действия, мотивировать их познавательную деятельность.
2. В процессе ее решения учащиеся должны осознать необходимость и рациональность нового знания (понятия, способа действия).
В практике обучения постановка учебной задачи часто отождествляется с сообщением темы или цели урока. Например, цель урока — научиться складывать любые однозначные числа. Сформулировав ее в начале урока и считая, что учебная
задача поставлена, учитель приступает к актуализации необходимых знаний, умений и навыков и затем разъясняет новый способ действия (в данном случае — вычислительный прием).
Такой подход не отвечает требованиям к постановке учебной задачи, так как только
сообщение цели урока почти не оказывает влияния на мотивацию познавательной деятельности школьников и не нацеливает их на поиск способа действия.
Учебная задача может возникнуть в результате анализа ситуации, которая, с
одной стороны, содержит новизну, а с другой — может быть решена с помощью
творческого применения известных способов действий или имеющегося опыта.
Эти два условия способствуют появлению познавательных мотивов и активизируют
учебные действия школьников. Направляя эти действия вопросами, специальными
заданиями, преподаватель подводит учеников к новому знанию.
Рассмотрим возможность постановки учебной задачи на том же примере (сложение однозначных чисел). В начале урока педагог может предложить детям самостоятельную работу, при выполнении которой они должны будут найти значения
выражений. Содержание работы включает как известные детям случаи сложения и
вычитания, так и новые случаи сложения, соответствующие теме урока.
Например: 7+2, 9-5, 6+3, 8-6, 36-4, 42+6, 78-40, 37+20, 8+9, 6+8, 7+6, 4+7.
Наблюдая за работой, учитель отмечает (для себя), что выражения 8+9 и далее у
большинства детей вызвали затруднения. Это вполне оправдано, так как способ действия (вычислительный прием) им пока неизвестен. Педагог дает дополнительное
время для завершения работы, и число учащихся, которые справляются с ней, увеличивается. Теперь важно обсудить способ действия. Скорее всего это будет присчитывание по одному, потому что этим способом дети уже овладели. Далее полезно выяснить, как действовали ученики при нахождении значений первых восьми выражений.
(Первые четыре выражения — это табличные случаи, здесь сразу дается ответ; при
нахождении значений следующих четырех выражений дети складывают (вычитают)
единицы с единицами, десятки с десятками). При обсуждении способа вычисления
значений последних четырех выражений следует выяснить, чем они все похожи.
(Складываются однозначные числа, а в результате получается двузначное число.)
— При нахождении значений этих выражений, — говорит учитель, — вы воспользовались присчитыванием по единице, но существует более рациональный (быстрый,
лучший) способ действия. Ваша задача — «открыть» этот способ, а я вам помогу.
22
Теперь учебная задача поставлена, а способом ее решения будут те учебные
задания, с большинством из которых учащиеся справятся самостоятельно.
Например, можно предложить такие задания:
Какому рисунку соответствует каждое выражение?
8+2+2
6+4+2
7+3+3
6 + 4+1
Сравни выражения в каждой паре. Чем они похожи? Чем отличаются?
8+6
8+2+4
6+6
6+4+2
7+8
7+3+5
8+7
8+2+5
7+6
7+3+3
9+5
9+1 + 4
Вполне возможно, что некоторые дети смогут сформулировать новый способ
действия и без помощи учителя (то есть без приведенных выше заданий). Однако
такие случаи довольно редки в массовой школьной практике.
В результате выполнения этих заданий учащиеся самостоятельно формулируют новый способ действия. (Сначала дополним первое слагаемое до 10, а затем к
десяти добавим оставшиеся единицы.)
В качестве средства самоконтроля выступают модели десятков (треугольник, в котором 10 кругов) и единиц (круги), а также изображение сложения на числовом луче.
Запись нового способа действия можно представить так:
9+6=15
Л
15
8+6=14
7+4=11
2 4
31
Л
Л
Новый способ действия (вычислительный прием) полезно сравнить с уже известным способом (прибавление по единице) и сделать соответствующие выводы
о рациональности такого «открытия».
Результат решения поставленной учебной задачи выявляется в процессе проверочной самостоятельной работы, качество выполнения которой оценивается как
учителем, так и самими учащимися. Это позволяет учителю более целенаправленно
23
организовать последующую работу, а ученикам — осознать ее необходимость. Для выявления результатов решения учебной задачи можно организовать взаимоконтроль.
Проблемное задание, используемое для постановки учебной задачи, может
быть связано и с выполнением практических действий.
Рассмотрим возможную проблемную ситуацию при формировании понятия
«больше на...» (увеличить на...).
На столе две одинаковые стеклянные банки, причем одна из них загораживается
(экранируется) и в нее наливается немного воды, уровень которой учащимся не виден.
Задается вопрос: «Как сделать так, чтобы во второй банке воды было больше, чем в первой?» Причем больше на столько, сколько воды в кружке, предлагаемой учителем.
Поставленная в таком виде учебная задача позволяет учащимся самостоятельно открыть тот новый способ действия, который чаще всего учителю приходится
самому им сообщать: сначала нужно налить столько же воды, сколько ее налито в
первой банке, а затем долить еще одну кружку. Действие выполняется. В данном
случае планирование действия и само действие были не иллюстрацией, а реальным
(не условным) способом решения задачи, при этом учащиеся использовали свой
опыт.
Мы выяснили, что создание проблемной ситуации - один из способов постановки учебной задачи.
В психолого-педагогических исследованиях (Д. Н. Богоявленский, Н. А. Менчинская, А. А Люблинская, Г. С. Костюк, В. В. Давыдов и др.) было установлено, что
закономерности процесса мышления и закономерности процесса усвоения новых
знаний в значительной степени совпадают. Результаты исследований показали, что
одним из главных условий, обеспечивающих развитие мышления детей, является
постановка заданий, вызывающих проблемные ситуации, активизирующие мыслительную деятельность учащихся.
Следует иметь в виду, что понятия «проблемное задание» и «проблемная ситуация», не тождественны, так как проблемная ситуация характеризует прежде всего
психическое состояние учащегося, а не само учебное задание. В то же время психическое состояние учащегося, связанное с активизацией мышления, возникает
под воздействием определенного учебного задания. Поэтому при разработке проблемных заданий необходимо ориентироваться на основные компоненты (элементы) проблемных ситуаций.
В числе таких компонентов А. М, Матюшкин называет: а) необходимость выполнения такого действия, при котором возникает познавательная потребность
в новом, неизвестном отношении, способе или условии действия; б) неизвестное, которое должно быть раскрыто в возникшей проблемной ситуации; в) возможности учащегося в выполнении поставленного задания, в анализе условий и открытии неизвестного.
Характеризуя процесс поиска нового в проблемной ситуации, важно отметить,
что в нем проявляются не только закономерности логических преобразований, но и
закономерности интуитивного мышления человека.
Значимой особенностью неизвестного как элемента проблемной ситуации, по
мнению А. М. Матюшкина, является его обобщенность. То есть, несмотря на конкретность проблемного задания, неизвестное, которое должно быть раскрыто в ходе его
выполнения, всегда содержит общее, относящееся к целому классу заданий.
24
Главный механизм «открытия», которое делает ученик при выполнении проблем-эго задания, - образование новых связей, так как новое, неизвестное ученику от-ошение, свойство, закономерность, неизвестный способ действия раскрываются
только через установление новых связей с уже известным. Поиск неизвестного - это
"остоянное включение объекта во все новые системы связей (А. М. Матюшкин).
Важным методическим условием осуществления этих связей является целенаправленное и систематическое включение в учебный процесс последовательности
проблемных заданий, при выполнении которых ученик повторяет ранее изученный
материал, активно мыслит, самостоятельно формулирует стоящую перед ним учебную задачу и решает ее сам или с помощью учителя.
В практике обучения, к сожалению, этому не всегда уделяется должное внимание, и объяснение нового не происходит в атмосфере живого поиска, проб, предложений. В этом случае у ребят складывается отношение к школьному знанию как к
чему-то условно привносимому в реальность.
При введении нового способа действия нужно обязательно донести до сознания учащихся суть его новизны. Если этот способ замещает собой другой, менее рациональный,
то их нужно противопоставить и показать ребенку преимущество нового способа перед
старым, тем самым помочь ему осознать свое продвижение в овладении математикой.
Например, при знакомстве с умножением следует так организовать работу,
чтобы дети поняли необходимость выделения в заданной совокупности одинаковых слагаемых. Для этого на наборном полотне выставляется в один ряд довольно большое количество (например 25) предметных картинок. Классу предлагается
сосчитать их. Дети убеждаются в том, что это требует много времени. Тогда учитель жестом отделяет один пяток картинок от другого. После этого ученики считают
картинки сразу пятками. Затем они отвечают на вопросы: почему стало легко считать? Что для этого сделал учитель? Как теперь расположены на доске картинки?
Подобная учебная ситуация позволяет учащимся обнаружить практический смысл
образования равных слагаемых. Последнее обстоятельство способствует не только
принятию данной учебной задачи, но и развитию учебной мотивации вообще.
Мы выяснили, что проблемное задание — необходимый компонент процесса
обучения, целью которого является развитие мышления учащихся.
Однако использование проблемных заданий требует от учителя определенного
отношения к сущности процесса усвоения знаний, что связано с ответом на принципиальные вопросы:
— Как предлагать ученику знания, которые он должен усвоить?
— Что ученик должен сделать для того, чтобы усвоить знание?
В зависимости от ответа на эти вопросы можно выделить две позиции. В одном
случае знание (факты, правила, определения, способы действий) предлагается
классу в виде известного учителю образца, который дети должны запомнить и воспроизвести. Затем во время тренировочных упражнений «отработать» соответствующие умения (навыки). В другом случае — ученик сначала включается в деятельность, в процессе которой у него возникают потребности в усвоении новых знаний,
и он сам или с помощью учителя «открывает» их.
Задание 7. Какую вы выбираете позицию? Почему? Постарайтесь обосновать
свой ответ.
25
§ 4. ВИДЫ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
В зависимости от того, какие учебные задачи должны быть решены в процессе
обучения математике и какие учебные действия выполняют учащиеся, можно говорить о различных видах учебной деятельности: внешних или внутренних, практических или интеллектуальных. Такое деление условно, так как эти виды деятельности
тесно связаны.
Например, поиск способа решения является интеллектуальной деятельностью,
которая может осуществляться не только во внутреннем плане действий (анализ
через синтез, сравнение, абстрагирование, установление связей между данными
и искомым), но и во внешнем (схема, таблица, словесные рассуждения, запись решения).
Практическая деятельность школьников, связанная с записью уравнения, измерением, изготовлением наглядных пособий, выполнением рисунка не может проходить без включения интеллектуальной (познавательной) деятельности.
Если ученики выполняют воспроизводящие действия, то их деятельность называют репродуктивной (например, воспроизведение определения, правила, способа действия, алгоритма, табличных случаев сложения и умножения, соотношения
между единицами величин).
Если учебные действия выполняются в варьирующихся, т. е. видоизмененных
условиях, то такую деятельность можно назвать вариативно-воспроизводящей.
Она наиболее характерна для обучения младших школьников математике, так как
ее усвоение связано с применением правил, способов действия, алгоритмов для
решения различных задач.
Деятельность, направленная на поиск новых знаний, на нахождение новых способов действий, называется продуктивной (творческой или эвристической). Творческая деятельность востребована в нестандартных условиях, когда необходим поиск, в результате которого появляется нечто новое (знание, способ действия). Если
ученики находят этот способ действия самостоятельно, опираясь на имеющиеся у
них знания, то такую деятельность можно назвать исследовательской.
В том случае, когда им помогает учитель, направляет их действия, творческая
деятельность носит частично-поисковый характер. Следовательно, творческая деятельность может осуществляться на разных уровнях (частично-поисковом и исследовательском), и каждый уровень характеризуется степенью самостоятельности
выполнения различных действий (операций).
На становление творческой деятельности школьников существенное влияние
оказывает характер обучения. Оно во многом определяется постановкой учебных
задач, способствующих мотивации учения, и видом предлагаемых заданий, выполнение которых требует разнообразных практических и интеллектуальных действий.
Продуктивная деятельность связана с активной работой мышления и находит
свое выражение в таких мыслительных операциях, как анализ и синтез, сравнение,
классификация, аналогия, обобщение. Эти мыслительные операции в психологопедагогической литературе принято называть логическими приемами или приемами умственной деятельности.
26
Включение подобных операций в процесс усвоения математического содержания — одно из важных условий построения развивающего обучения математике,
~ак как продуктивная деятельность оказывает влияние на развитие всех психиче:.<их функций.
Задание 8. Проанализируйте свой опыт обучения в вузе и приведите примеры
непродуктивной, вариативно-воспроизводящей и творческой деятельности в процессе усвоения различного содержания. Проанализируйте, какие действия (операции) входят в состав каждого вида деятельности.
27
ГЛАВА 3
РАЗВИТИЕ МЫШЛЕНИЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ
В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
§ 1. ПРИЕМЫ УМСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ И ИХ
ФОРМИРОВАНИЕ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ
Анализ и синтез
Важнейшими мыслительными операциями являются анализ и синтез.
Анализ связан с выделением элементов данного объекта, его признаков i
свойств. Синтез — это соединение различных элементов, сторон объекта в едш
целое.
В мыслительной деятельности человека анализ и синтез дополняют друг дру
так как анализ осуществляется через синтез, синтез — через анализ.
Способность к аналитико-синтетической деятельности находит свое выра>
ние не только в умении выделять элементы того или иного объекта, его различи
признаки или соединять элементы в единое целое, но и в умении включать их в t
вые связи, увидеть их новые функции.
Формированию этих умений может способствовать: а) рассмотрение даннс
объекта с точки зрения различных понятий; б) постановка различных заданий кдг
ному математическому объекту.
Для рассмотрения данного объекта с точки зрения различных понятий мла
шим школьникам при обучении математике обычно предлагаются такие задания:
Прочитай по-разному выражение 16-5 (16 уменьшили на 5; разность чисел
и 5; из 16 вычесть 5).
Прочитай по-разному равенство 15-5=10 (15 уменьшить на 5, получим 1
15 больше 10 на 5; разность чисел 15 и 5 равна 10; 15 — уменьшаемое, 5 — выч|
таемое, 10 — разность; если к разности (10) прибавить вычитаемое (5), то получи
уменьшаемое (15); число 5 меньше 15 на 10).
Как по-разному можно назвать квадрат? (Прямоугольник, четырехугольни
многоугольник.)
Расскажи все, что ты знаешь, о числе 325. (Это трехзначное число; оно зг
писано цифрами 3, 2, 5; в нем 325 единиц, 32 десятка, 3 сотни; его можно записат
в виде суммы разрядных слагаемых так: 300+20+5; оно на единицу больше числ
324 и на 1 единицу меньше числа 326; его можно представить в виде суммы дв\
слагаемых, трех, четырех и т. д.)
Конечно, не следует стремиться к тому, чтобы каждый ученик произносил это
монолог, но, ориентируясь на него, можно предлагать детям вопросы и задания, при вы
полнении которых они будут рассматривать данный объект с различных точек зрения.
28
Чаще всего это задания на классификацию или на выявление различных закономерностей (правил).
Например:
По каким признакам можно разложить пуговицы в две коробки?
Рассматривая пуговицы с точки зрения их размеров, мы положим в одну коробку
4 пуговицы, а в другую 3; с точки зрения цвета: 1 и 6; с точки зрения формы: 4 и 3.
Разгадай правило, по которому составлена таблица, и заполни пропущенные
•слетки:
4
6
9
3
5
7
8
2
8
6
5
2
4
6
Увидев, что в данной таблице две строки, учащиеся пытаются выявить
:пределенное правило в каждой из них и обычно выясняют, на сколько одно
число меньше (больше) другого. Для этого они выполняют сложение или вы-итание. Не обнаружив закономерности ни в верхней, ни в нижней строке, про: /ют анализировать данную таблицу с другой точки зрения, сравнивая каждое
число верхней строки с соответствующим (стоящим под ним) числом нижней
строки. Получают: 4<5 на 1; 6<7 на 1; 9>8 на 1; 3>2 на 1. Если под числом 8 за"мсать число 9, а под числом 6 — число 7, то имеем: 8<9 на 1; 6<7 на 1, значит,
5> на 1, >4 на 1.
Аналогично можно сравнивать каждое число нижней строки с соответствующим
зтоящим над ним) числом верхней строки.
Рассмотрение данного объекта с различных точек зрения возможно и при вы-элнении геометрических заданий. Например:
Найди отрезок ВС. Что ты можешь рассказать о нем? (ВС — сторона треуголь-ика ВСЕ; ВС — сторона треугольника DBC; ВС меньше, чем DC; ВС меньше, чем
АВ; ВС — сторона угла BCD и угла ВСЕ).
29
Сколько отрезков на данном чертеже? Сколько треугольников? Сколько мне
гоугольников?
С
В
Рассмотрение математических объектов с точки зрения различных п о н я т
можно использовать для составления вариантов заданий. Возьмем, например, та
кое задание:
Запишите все четные числа от 2 до 20 и все нечетные числа от 1 до 19.
Результат его выполнения - запись двух рядов чисел:
2,4,6,8, 10, 12, 14, 16, 18,20
1,3,5,7, 9, 11, 13, 15, 17, 19
Используем теперь эти математические объекты для составления заданий:
Разбей числа каждого ряда на две группы так, чтобы в каждой были числа
похожие между собой.
По какому правилу записан первый ряд? Продолжи его.
Какие числа нужно вычеркнуть в первом ряду, чтобы каждое следующее былс
на 4 больше предыдущего?
Можно ли выполнить это задание для второго ряда?
Подбери из первого ряда пары чисел, разность которых равна 10 (2 и 12, 4 и
14, 6 и 16,8и 18, 10 и 20).
Подбери из второго ряда пары чисел, разность которых равна 10(1 и 11, 3 и
13, 5 и 15, 7 и 17, 9 и 19).
Какая пара «лишняя»? (10 и 20, в ней два двузначных числа, во всех других
парах двузначное число и однозначное).
Найди в первом ряду сумму первого и последнего чисел, сумму вторых чисел
от начала и от конца ряда, сумму третьих чисел от начала и от конца ряда. Чем п о ]
хожи эти суммы?
30
Выполни это же задание для второго ряда. Чем похожи полученные суммы?
Задание 9. Придумайте задания, в процессе выполнения которых учащиеся
: /дут рассматривать данные в них объекты с различных точек зрения.
Прием сравнения
Особую роль в организации продуктивной деятельности младших школьников
з процессе обучения математике играет прием сравнения. Формирование умения
пользоваться этим приемом следует осуществлять поэтапно, в тесной связи с изучением конкретного содержания. Целесообразно, например, ориентироваться на
^акие этапы:
— выделение признаков или свойств одного объекта;
— установление сходства и различия между признаками двух объектов;
— выявление сходства между признаками трех, четырех и более объектов.
Так как работу по формированию у детей логического приема сравнения лучше
-ачать с первых уроков математики, то в качестве объектов можно сначала использовать предметы или рисунки с изображением предметов, хорошо им знакомых,
г которых они могут выделить те или иные признаки, опираясь на уже имеющиеся
представления.
Для организации деятельности учащихся, направленной на выделение признаков того или иного объекта, можно сначала предложить такой вопрос:
— Что вы можете рассказать о предмете? (Яблоко круглое, большое, красное;
~ыква — желтая, большая, с полосками, с хвостиком; круг —большой, зеленый; квадрат — маленький, желтый.)
В процессе работы учитель знакомит детей с понятиями «размер», «форма» и
предлагает им следующие вопросы:
— Что вы можете сказать о размерах (формах) этих предметов? (Большой, маленький, круглый; как треугольник; как квадрат и т. д.)
Для выявления признаков или свойств какого-то предмета преподаватель
обычно обращается к классу с вопросами:
— В чем сходство и различие этих предметов? Что изменилось?
— форма
— размер
•
О
— форма, размер и цвет
— размер, форма и цвет
31
При формулировке заданий можно использовать термин «признак». «Назов
признаки предмета», «Назови сходные и различные признаки предметов».
Задание 10. Подберите различные пары предметов и изображений, которы
вы можете предложить первоклассникам, чтобы они установили сходство и разль
чие между ними. Придумайте иллюстрации к заданию «Что изменилось... ?»
Умение выделять признаки и, ориентируясь на них, сравнивать предметы уче
ники переносят на математические объекты.
Назови признаки:
выражения 3+2 (числа 3, 2 и знак «+»);
выражения 6-1 (числа 6, 1 изнак«-»);
• равенства х+5=9 (х - неизвестное число, числа 5, 9, знаки «+
и « = »).
По этим внешним признакам, доступным для восприятия, дети могут устанаЕ
ливать сходство и различие между математическими объектами и осмысливать эт
признаки с точки зрения различных понятий.
Например:
В чем сходство и различие:
• выражений: 6+2 и 6-2; 9-4 и 9*5; 6+(7+3) и (6+7)+3;
• чисел: 32 и 45; 32 и 42; 32 и 23; 1 и 11; 2 и 12; 111 и 11; 112 и 12 и т. д.;
• равенств: 4+5=9 и 5+4=9; 3-8=24 и 8-3=24; 4«(5+3)=32 и 4-5+4«3=32
3-(7.10)=210и(3-7)-10=210;
• текстов задач:
а) Коля поймал 2 рыбок, Петя - 6. На сколько больше рыбок поймал Петя, че*
Коля?
б) Коля поймал 2 рыбок, Петя - 6. Во сколько раз больше поймал рыбок Петя
чем Коля?
геометрических фигур:
а) ШШ
б)
• уравнений: 3+х=5 их+3=5; 10-х=6 и (7+3)-х=6; 12-х=4и (10+2)-х=3+1;
вычислительных приемов:
9+6=(9+1 )+5 и 6+3=(6+2)+1
А
А
15
21
Прием сравнения можно использовать при знакомстве учеников с новыми понятиями. Например:
32
Чем похожи между собой:
числа: 50, 70, 20, 10, 90 (разрядные десятки);
геометрические фигуры (четырехугольники)
• математические записи: 3+2, 13+7, 12+25 (выражения, которые называются
суммой).
Задание 11. Составьте из данных математических выражений: 9+4; 520-1;
9-4; 4+9; 371; 520-1; 33; 13-1; 520:1; 333; 173; 9+1; 520+1; 222; 13:1 различные
пары, в которых дети могут выявить признаки сходства и различия.
В обучении младших школьников значительная роль отводится упражнениям,
которые связаны с переводом предметных действий на язык математики. В этих
упражнениях дети обычно соотносят предметные модели и символические.
Например:
Какому рисунку соответствуют записи 2*3; 2+3?
Г
С_
~V-
1
_
_
_
_
~1
Г
J
,С
1
)С
1
I
W
J
Какой рисунок соответствует записи 3 • 5? Если такого рисунка нет, нарисуй.
Выполни рисунки, соответствующие данным записям: 3*7; 4 # 2+4-3; 3+7.
Задание 12. Придумайте различные упражнения на соотнесение предметных
и символических моделей.
Показатель сформированности приема сравнения — умение детей самостоятельно использовать его для решения различных задач, без указания: «сравни ...,
укажи признаки ..., в чем сходство и различие ...».
2-12726 Истомина
33
Приведем конкретные примеры таких заданий:
Убери «лишнюю» картинку... (При выполнении его школьники ориентиру
на сходство и различие признаков.)
Расположи числа в порядке возрастания: 12, 9, 7, 15, 24, 2. (Для выполне
этого задания ученики должны выявить признаки различия данных чисел.)
Сумма чисел в первом столбце равна 74. Как, не выполняя сложения во в
ром и третьем столбцах, найти суммы чисел:
21
22
23
30
31
32
11
12
13
12
13
14
74
Продолжи ряды чисел: 2, 4, 6, 8, ...;
1,5,9,13,...
•
(Основа установления закономерности (правила) записи чисел — также оперция сравнения.)
Задание 13. Придумайте задания, при выполнении которых нужно использс
вать прием сравнения, при этом в содержании задания на это нет специальных ука
заний.
Прием классификации
Умение выделять признаки предметов и устанавливать между ними сходство
B O iI
различие — основа приема классификации.
Из курса математики известно, что при разбиении множества на классы необходимо выполнять следующие условия: а) ни одно из подмножеств не пусто; б) подмножества попарно не пересекаются; в) объединение всех подмножеств составн
ляет данное множество. Предлагая детям задания на классификацию, эти условии
следует учитывать.
Также, как при формировании приема сравнения, дети сначала выполняют за-|
дания на классификацию хорошо знакомых предметов. Например:
34
Разложи листочки на две группы
а)по цвету;
б) по размеру;
в) по форме.
3
*
3
По какому признаку расставили чашки на две полки?
Что могут обозначать эти равенства: 3+2=5; 4+1 =5?
Задание 14. Придумайте задания на классификацию предметов по различным
основаниям.
Умение производить классификацию формируется у школьников в тесной связи
с изучением конкретного содержания. Например, для упражнений в счете им часто
предлагаются иллюстрации, к которым можно поставить вопросы, начинающиеся
со слова «Сколько...?»
Рассмотрим рисунок, к которому можно поставить следующие вопросы:
— Сколько больших кругов? Маленьких? Синих? Красных? Больших красных?
Маленьких синих?
2*
35
Выполняя задание, учащиеся сначала выделяют предметы, обладающие на
званными в нем признаками, затем упражняются в счете.
Задания, связанные с приемом классификации, обычно формулируются в та
ком виде: «Разбейте (разложите) все круги на две группы по какому-то признаку».
Большинство детей успешно справляются с этим, ориентируясь на такие призна
ки, как цвет и размер. По мере изучения различных понятий задания на классификацик
могут включать числа, выражения, равенства, уравнения, геометрические фигуры.
Например, при изучении нумерации чисел в пределах 100 можно предложит!
такое задание:
По какому признаку можно разбить данные числа на две группы:
• 33, 84, 75, 22, 13, 11, 44, 53 (в одну группу входят числа, записанные двум!
одинаковыми цифрами, в другую — различными);
• 9 1 , 8 1 , 82, 95, 87, 94, 85 (основание классификации — количество десятков
в одной группе чисел оно равно 8, в другой — 9);
• 45, 36, 25, 52, 54, 61,16, 63,43, 27, 72, 34 (основание классификации — сумма «цифр», которыми записаны данные числа: в одной группе она равна 9, в другой — 7).
Если в задании не указано количество групп разбиения, то возможны различные варианты. Например: 37, 6 1 , 67, 34, 6 1 , 64 (данные числа можно разбить на тру
группы, если ориентироваться на цифры, записанные в разряде единиц, и на две
группы, если ориентироваться на цифры, записанные в разряде десятков. Возможны и другие варианты).
Задание 15. Составьте аналогичные упражнения на классификацию с пятизначными и шестизначными числами.
При изучении сложения и вычитания чисел в пределах 10 возможны такие задания на классификацию:
Разбейте данные выражения на группы по какому-то признаку:
• 3+1, 4 - 1 , 5+1, 6 - 1 , 7+1, 8 - 1 . (В этом случае основание для разбиения на две
группы дети легко находят, так как признак представлен явно в записи выражения
Но можно подобрать и другие выражения:
• 3+2, 6+3, 4+5, 9-2, 4+1, 7-2, 10-1, 6+1, 3+4. (Разбивая на группы данное
множество выражений, ученики могут ориентироваться не только на знак арифметического действия, но и на результат.)
Приступая к новым заданиям, дети обычно сначала ориентируются на те признаки, которые имели место при выполнении предшествующих заданий. В этом
случае полезно указывать количество групп разбиения.
Например, к выражениям: 3+2,4+1,6+1, 3+4,5+2 предложите задание в т,а к ой
формулировке: «Разбей выражения на три группы по какому-то признаку».
36
Ученики, естественно, сначала ориентируются на знак арифметического действия, но тогда разбиения на группы вообще не получается. Они начинают ориентироваться на результат, но получаются только две группы. В процессе поиска вы:
сняется, что разбить на три группы можно, ориентируясь на второе слагаемое (2,
1.4).
В качестве основания для разбиения выражений на группы может выступать и
вычислительный прием. С этой целью хорошо использовать задание такого типа:
По какому признаку можно разбить данные выражения на две группы: 57+4,
23+4, 36+2, 75+2, 68+4,52+7,76+7,44+3, 88+6, 82+6?
Если учащиеся не сумеют увидеть нужное основание для классификации, то
учитель помогает им следующим образом: «В одну группу я запишу такое выражение: 57+4, — говорит он, — в другую: 23+4. В какую группу вы запишете выражение
36+2?». Если и в этом случае дети затрудняются, то педагог может подсказать им
основание: «Каким вычислительным приемом вы пользуетесь для нахождения значения каждого выражения?»
Задания на классификацию стоит предлагать не только на этапе закрепления
знаний, умений и навыков, но и при знакомстве с новыми понятиями. Например,
для определения понятия «прямоугольник» к множеству геометрических фигур,
расположенных на фланелеграфе, предложите такую последовательность заданий
и вопросов:
8
Убери «лишнюю» фигуру. (Дети убирают треугольник и фактически разбивают множество фигур на две группы, ориентируясь на количество сторон и углов в
каждой фигуре.)
Чем похожи все остальные фигуры? (У них 4 угла и 4 стороны.) Как можно назвать все эти фигуры? (Четырехугольники.)
Покажи четырехугольники с одним прямым углом (6 и 5). (Для проверки своего предположения ученики используют модель прямого угла, соответствующим образом прикладывая его к указанной фигуре.)
Покажи четырехугольники: а) с двумя прямыми углами (3 и 10); б) с тремя
прямыми углами (таких нет); в) с четырьмя прямыми углами (2, 4, 7, 8, 9).
Разбей четырехугольники на группы по количеству прямых углов (1-я группа — 5 и 6, 2-я группа — 3 и 10, 3-я группа — 2, 4, 7, 8, 9).
37
Четырехугольники соответствующим образом раскладываются на фланелегр;
фе. В третью группу входят четырехугольники, у которых все углы прямые. Это пр:
моугольники.
Таким образом, при обучении математике можно использовать задания t
классификацию различных видов:
1. Подготовительные задания. К ним относятся: «Убери (назови) "лишни*
предмет», «Нарисуй предметы такого же цвета (формы, размера)», «Дай названи
группе предметов». Сюда же можно отнести задания на развитие внимания и нг
блюдательности: «Какой предмет убрали?» и «Что изменилось?».
2. Задания, в которых на основание классификации указывает учитель.
3. Задания, при выполнении которых дети сами выделяют основание класса
фикации.
Задание 16. Составьте различные виды заданий на классификацию предме
тов, чисел, выражений, геометрических фигур.
Прием аналогии
Слово «аналогичный» в переводе с греческого языка означает «сходный», «со
ответственный», понятие «аналогия» — сходство в каком-либо отношении межд
предметами, явлениями, понятиями, способами действий.
В процессе обучения математике учитель довольно часто говорит детям: «Сде
лайте по аналогии» или «Это аналогичное задание». Обычно такие указания следуюза показом образца действий. Тогда в аналогичном задании будут только другие
числа, а способ выполнения останется тем же.
Но возможен и другой вариант, когда, используя аналогию, ученики находят новые способы действий. В этом случае они сами должны увидеть сходство межд^
объектами в некоторых отношениях и самостоятельно высказать догадку о сходстве в других отношениях, т. е. сделать заключение по аналогии. Но для того, чтобь
учащиеся смогли высказать «догадку», необходимо определенным образом организовать их деятельность. Например, школьники усвоили алгоритм письменного
умножения на однозначное число. Переходя к письменному умножению на двузначное число, учитель предлагает им сравнить две записи:
375
24
1500
375
х
1500
+
750
9000
После этого спрашивает: «Кто догадается, как нужно рассуждать, чтобы выполнить запись справа?» Выявив различия в записях, ученики проверяют свою догадку,
умножив 375 на 2. Получив в результате число 750, они высказывают свое предположение. Теперь остается только догадаться, почему запись числа 750 сместилась
влево на одну цифру.
38
Умозаключение по аналогии можно использовать при изучении свойств арифметических действий. В частности, переместительного свойства умножения. Для
' цели учащимся сначала предлагается найти значения выражений:
3+6
4+7
4+8
6+3
7+4
8+4
— Каким свойством вы воспользовались при выполнении задания? (Переме~ельным свойством сложения.)
— Подумайте: как установить, выполняется ли переместительное свойство для
-ожения?
Учащиеся по аналогии записывают пары произведений и находят значение кажцмт>, заменяя произведение суммой.
Для правильного умозаключения по аналогии необходимо выделить суще:~зенные признаки объектов, в противном случае вывод может оказаться невер-э1м. Например, некоторые дети пытаются применить способ умножения числа на
:умму при умножении числа на произведение. Это говорит о том, что существен-эе свойство данного выражения — умножение на сумму оказалось вне их поля
ззения.
Формируя у младших школьников умение выполнять умозаключения по аналог и , необходимо иметь в виду следующее:
• Аналогия основывается на сравнении, поэтому успех ее применения зави: ит от того, насколько ученики умеют выделять признаки объектов и устанавливать
: <одство и различие между ними.
• Для использования аналогии необходимо иметь два объекта, один из котоэых известен, второй сравнивается с ним по каким-либо признакам. Отсюда, применение приема аналогии способствует повторению изученного материала и систематизации знаний и умений.
• Для ориентации школьников на использование аналогии следует в доступной форме разъяснить им суть этого приема, обратив их внимание на то, что в математике нередко новый способ действий можно открыть по догадке, вспомнив иззестный способ действий и проанализировав данное новое задание.
• Для правильных действий по аналогии сравниваются признаки объектов,
существенные в данной ситуации. Иначе вывод может быть ошибочным.
Задание 17. Приведите примеры умозаключений по аналогии, которые возможно использовать при письменном умножении на трехзначное число, при изучении сочетательного свойства умножения.
Прием обобщения
Выделение существенных признаков математических объектов, их свойств и
отношений — основная характеристика такого приема умственных действий, как
обобщение.
Следует различать результат и процесс обобщения. Результат фиксируется в
понятиях, суждениях, правилах. Процесс же обобщения может быть организован
39
по-разному. В зависимости от этого говорят о двух типах обобщения — теоретич
ском и эмпирическом.
В курсе начальной математики наиболее часто применяется эмпирический ти
при котором обобщение знания является результатом индуктивных рассужден!
(умозаключений).
В переводе на русский язык «индукция» означает «наведение», поэтому, \л
пользуя индуктивные умозаключения, учащиеся могут самостоятельно «открыват
математические свойства и способы действий (правила), которые в математи!
строго доказываются.
Для организации индуктивных обобщений необходимо:
• Продумать подбор математических объектов и последовательность вопр<
сов для целенаправленного наблюдения и сравнения.
• Рассмотреть как можно больше частных объектов, в которых повторяется I
закономерность, которую ученики должны подметить.
Варьировать виды частных объектов, т. е. использовать предметные ситу;
ции, схемы, таблицы, выражения, отражая в каждом виде объекта одну и ту же зг
кономерность.
Помогать детям словесно оформлять наблюдения, задавая наводящие вс
просы, уточняя и корректируя те формулировки, которые они предлагают.
Рассмотрим на конкретном примере, как можно реализовать приведенные ре
комендации. Для того чтобы подвести учащихся к формулировке переместительнс
го свойства умножения, учитель предлагает им такие задания:
Рассмотрите рисунок и попробуйте быстро подсчитать, сколько окон в доме
Дети могут предложить следующие способы: 3+3+3+3; 4+4+4 или 3 • 4=12; 4 • 3=12
Учитель предлагает сравнить полученные равенства, т. е. выявить их сходстве
и различие. Отмечается, что оба произведения одинаковы, а множители переставлены.
Аналогичное задание учащиеся выполняют с прямоугольником, который разбит на квадраты. В результате получают 9*3=27; 3*9=27 и словесно описывают те
сходства и различия, которые существуют между записанными равенствами.
40
Ученикам предлагается самостоятельная работа: найти значения следующих
выражений, заменив умножение сложением:
3-2
4-2
3-6
4>5
5-3
8-4
2-3
2-4
6-3
5'4
3-5
4*8
Выясняется, чем похожи и чем отличаются равенства в каждом столбце. Отве~ы могут быть такими: «Множители одинаковы, но они переставлены», «Произведе1 одинаковы» или «Множители одинаковы, но они переставлены, произведения
эдинаковы».
Учитель помогает сформулировать свойство с помощью наводящего вопроса:
=Если множители переставить, то что можно сказать о произведении?»
Вывод: «Если множители переставить, то произведение не изменится» или «От
перестановки множителей значение произведения не изменится».
Задание 18. Подберите последовательность заданий, которые можно использовать для выполнения индуктивных умозаключений при изучении:
а) переместительного свойства сложения;
б) принципа образования натурального ряда чисел (если к числу прибавить
единицу, то получим следующее при счете число; если вычесть единицу, то получим предыдущее число);
в) выводов: «сумма двух последовательных чисел есть число нечетное»; «если
из последующего числа вычесть предыдущее, то получится 1»; «произведение двух
последовательных чисел делится на 2»; «если к любому числу прибавить, а затем
вычесть из него одно и тоже число, то получим первоначальное число».
Задание 19. Опишите работу с этими заданиями, учитывая методические требования к использованию индуктивных рассуждений при изучении нового материала.
Формируя у младших школьников умение обобщать наблюдаемые факты индуктивным способом, полезно предлагать задания, при выполнении которых они
могут сделать неверные обобщения.
Рассмотрим несколько таких примеров.
Сравни выражения, найди общее в полученных неравенствах и сделай соответствующие выводы:
2+3...2-3
4+5...4-5
3+4...3-4
5+6...5-6
Сравнив данные выражения и отметив закономерности: «слева записана сумма, справа произведение двух последовательных чисел; сумма всегда меньше произведения», большинство детей делают вывод: «сумма двух последовательных чисел всегда меньше их произведения». Но высказанное обобщение ошибочно, так
как не учтены случаи:
0+1...0-1
1+2...1-2
41
Можно попытаться сделать правильное обобщение, в котором будут учтен
определенные условия: «сумма двух последовательных чисел, начиная с числа :
всегда меньше произведения таких же чисел».
Найди сумму. Сравни ее с каждым слагаемым. Сделай соответствующий вь
вод.
Слагаемое
1
2
3
4
5
6
Слагаемое
4
4
4
4
4
4
Сумма
На основе анализа рассмотренных частных случаев учащиеся приходят к выв<:
ду, что: «сумма всегда больше каждого из слагаемых». Но его можно опровергнул
так как: 1 +0=1, 2+0=2. В этих случаях сумма равна одному из слагаемых.
Проверь, будет ли делиться каждое слагаемое на число 2, и сделай вывод.
(2+4):2=3
(6+8):2=7
(4+4):2=4
(8+10):2=9
(6+2):2=4
Анализируя предложенные частные случаи, дети могут прийти к заключеник
«если сумма чисел делится на 2, то каждое слагаемое этой суммы делится на 2». Н
этот вывод ошибочный, его можно опровергнуть: (1 +3):2. Здесь сумма делится на 1
а каждое слагаемое не делится.
Задание 20. Придумайте задания, при выполнении которых можно сделат
неверные индуктивные заключения.
Большинство психологов, педагогов и методистов считают, что эмпирическо
обобщение, в основе которого лежит действие сравнения, для младших школьни
ков наиболее доступно. Этим, собственно, и обусловлено то, что при формирована
понятий в начальном курсе математики используются индуктивные рассуждения.
Сравнивая математические объекты или способы действий, ребенок выделяв
их внешние общие свойства, которые могут стать содержанием понятия. Тем не ме
нее ориентир на внешние, доступные для восприятия свойства сравниваемых ма
тематических объектов не всегда позволяет раскрыть сущность изучаемого поня
тия или усвоить общий способ действий. При эмпирическом обобщении учащиес:
часто сосредоточиваются на несущественных свойствах объектов и на конкретны:
ситуациях. Это отрицательно сказывается на формировании понятий и общих спо
собов действий.
Например, формируя понятие «больше на...», учитель обычно предлагает серик
конкретных ситуаций, отличающихся друг от друга лишь числовыми характеристи
ками. На практике это выглядит так: детям предлагается положить в ряд три крас
ных кружка, под ними положить столько же синих, затем выясняется — как сделан
42
~ак, чтобы в нижнем ряду кружков стало больше на 2 (добавить 2 кружка). Затем
тель предлагает положить в первый ряд 5 (4,6,7 ...) кружков, во второй ряд — на
3 2,5,4 ...) больше. Предполагается, что в результате выполнения таких заданий
• эебенка сформируется понятие «больше на...», которое найдет свое выражение
з способе действий: «взять столько же и еще...».
Но, как показывает практика, в центре внимания учащихся в этом случае прежде всего остаются различные числовые характеристики, а не сам общий способ
действия. На самом деле, выполнив первое задание, ученик может сделать вывод
i: ~ько о том, как «сделать больше на 2», выполнив следующие задания — «как сделать больше на 3 (на 4, на 5)» и т. д. В итоге, обобщенная словесная формулировка
~эсоба действия: «нужно взять столько же и еще» дается учителем, и большинство
-этей усваивают понятие «больше на...» только в результате выполнения однооба зных тренировочных упражнений. Поэтому они способны выполнять те или иные
:ассуждения только в рамках данной конкретной ситуации и в ограниченной обла:'•'• чисел.
Теоретическое обобщение в отличие от эмпирического осуществляется путем
;-ализа данных о каком-либо одном объекте или ситуации с целью выявления су_эственных внутренних связей. Эти связи сразу фиксируются абстрактно (с помо_ою слова, знаков, схем) и становятся той основой, на которой в дальнейшем
выполняются частные (конкретные) действия.
Необходимое условие формирования у младших школьников способности к тематическому обобщению — направленность обучения на стимулирование общих
: ~особов деятельности. Для выполнения этого условия нужно продумать такие дей:~вия с математическими объектами, в результате которых дети смогут сами «от• оывать» существенные свойства изучаемых понятий и общих способов действий
: ними.
Разработка данного вопроса на методическом уровне представляет опредеенную сложность. В настоящее время это одна из самых актуальных проблем на-ального обучения, решение которой связано как с преобразованием содержания,
"эк и с модификацией учебной деятельности младших школьников, направленной
-а усвоение материала.
В курс начальной математики (В. В. Давыдов), целью которого является развитие у детей способности к теоретическому обобщению, внесены существенные изменения. Они касаются и его содержания, и способов организации деятельности.
Основу теоретических обобщений в этом курсе составляют предметные действия с
зеличинами (длина, объем), а также различные приемы моделирования этих действий с помощью геометрических фигур и символов.
Но это лишь один из возможных вариантов построения начального курса математики. Туже задачу можно решать, выполняя различные действия и с множествами
предметов. Примеры таких ситуаций нашли отражение в статьях Г. Г. Микулиной1.
1
Микулина Г. Г. Психологические основы усвоения смысла вычитания//Начальная школа, 1982. — № 9.
43
Педагог советует для формирования понятия «больше на...» использовать си
туацию с множествами предметов: детям предлагается пачка красных карточе»
Нужно сложить пачку из зеленых карточек так, чтобы в ней было вот на столько (по
казывается пачка синих карточек) больше, чем в пачке красных. Условие: карточи
пересчитывать нельзя.
Пользуясь способом установления взаимно-однозначного соответствия, уча
щиеся выкладывают в зеленой пачке столько же карточек, сколько их в красной, i
добавляют к ней еще третью пачку (из синих карточек).
Наряду с эмпирическим и теоретическим обобщениями в курсе ма
тематики имеют место обобщения-соглашения. Примерами могут слу
жить правила умножения на 1 и на 0, справедливые для любого числа
Их обычно сопровождают пояснениями: «в математике договорились...», «в мате
матике принято считать...».
Задание 21. Придумайте ситуации для теоретического и эмпирического обоб
щения при изучении какого-либо понятия, свойства или способа действия.
§ 2. СПОСОБЫ ОБОСНОВАНИЯ ИСТИННОСТИ СУЖДЕНИЙ
Непременным условием развивающего обучения является формирование у детей способности обосновывать (доказывать) те суждения, которые они высказывают. В практике эту способность обычно связывают с умением рассуждать, доказывать свою точку зрения.
Суждения бывают единичными: в них что-то утверждается или отрицается относительно одного предмета. Например: «Число 12 — четное; квадрат ABCD не
имеет острых углов; уравнение 23-JC=30 не имеет решения (в рамках начальных
классов) и т. д.
Помимо единичных суждений различают суждения частные и общие. В частных
что-то утверждается или отрицается относительно некоторой совокупности предметов из данного класса или относительно некоторого подмножества данного множества предметов. Например: «Уравнение х-7= 10 решается на основе взаимосвязи между уменьшаемым, вычитаемым и разностью». В этом суждении речь идет об
уравнении частного вида, представляющего собой подмножество множества всех
уравнений, изучаемых в начальных классах.
В общих суждениях что-то утверждается или отрицается относительно всех
предметов данной совокупности. Например: «В прямоугольнике противоположные
стороны равны». Здесь речь идет о любом, т. е. о всех прямоугольниках. Поэтому
суждение является общим, хотя в данном предложении слово «всех» отсутствует.
«Любое уравнение в начальных классах решается на основе взаимосвязи между результатами и компонентами арифметических действий». Это тоже общее суждение,
так как охватывает всевозможные уравнения, встречающиеся в курсе математики
начальных классов.
44
Предложения, выражающие суждения, могут быть различными по форме:
утвердительными, отрицательными, условными (например: «если число оканчивается нулем, то оно делится на 10»).
Как известно, в математике все предложения, за исключением исходных, как
правило, доказываются дедуктивно. Суть дедуктивных рассуждений сводится к
тому, что на основе некоторого общего суждения о предметах данного класса и некоторого единичного суждения о данном объекте высказывается новое единичное
суждение о том же объекте. Общее суждение принято называть общей посылкой,
первое единичное суждение — частной посылкой, новое единичное суждение — заключением.
Пусть, например, требуется решить уравнение: 7*х=14. Для нахождения неизвестного множителя используется правило: «Если значение произведения разделить на один множитель (известный), то получим другой (значение неизвестного
множителя)». Это правило (общее суждение) — общая посылка. В данном уравнении произведение равно 14, известный множитель 7. Это частная посылка. Заключение: «нужно 14 разделить на 7, получим 2».
Особенность дедуктивных рассуждений в начальных классах заключается в том,
что они применяются в неявном виде, т. е. общая и частные посылки в большинстве
случаев опускаются (не проговариваются), ученики сразу приступают к действию,
которое соответствует заключению.
Поэтому, собственно, и создается впечатление, что дедуктивные рассуждения
отсутствуют в курсе математики начальных классов.
Примером дедуктивных умозаключений в начальном обучении математике является такое рассуждение: «4<5 потому, что 4 при счете называется раньше, чем 5».
В данном случае общая посылка: «если одно число называется при счете раньше
другого, то это число меньше»; частная посылка: «4 при счете называют раньше,
чем 5»; заключение: «4<5».
Дедуктивные рассуждения имеют место в начальном курсе математики и при
работе со значительно более сложными выражениями. В качестве общей посылки
выступают правила порядка выполнения действий в выражениях, в качестве частной посылки — конкретное числовое выражение, при нахождении значения которого учащиеся и руководствуются правилом порядка выполнения действий.
Процесс выполнения любого задания должен всегда представлять цепочку суждений (общих, частных, единичных), для обоснования истинности которых школьники используют различные способы.
Покажем это на примере заданий:
Вставь числа в «окошки», чтобы получились верные равенства:
•:6=27054
•:7 - 4083 (ост. 4)
Учащиеся высказывают общее суждение: «если значение частного умножим на
делитель, то получим делимое». Частное суждение: «значение частного — 27054,
делитель — 6». Заключение: «27054*6».
45
Теперь в качестве общей посылки выступает алгоритм письменного умнож«
ния, находится результат: 162324. Высказывается суждение: 162324:6=27054.
Истинность этого суждения можно проверить, выполнив деление «уголком» ил
воспользовавшись калькулятором.
Аналогично поступают со второй записью.
Составь верные равенства, используя числа: 6, 7, 8, 48, 56.
Учащиеся высказывают суждение:
6• 8=48 (обоснование — вычисления)
56-48=8 (обоснование — вычисления)
8-6=48 (для обоснования суждения можно воспользоваться общей посылко!
«от перестановки множителей значение произведения не изменится»)
48:8=6 (тоже возможна общая посылка и т. д.)
Анализ школьной практики позволяет сделать вывод о том, что для формирок
ния у ребят умений рассуждать не всегда используются все методические возмоа
ности.
Например, при выполнении задания:
Сравни выражения, поставив знак <, > или =, чтобы получилась верная запиа
6+2...6+3
6+4.,.4+6
учащиеся предпочитают заменять рассуждения вычислениями: «6+2 < 6+3, потом
что 8<9». Этим ответ ограничивается, так как суждение «8<9» чаще всего не обоснс
вывается. Хотя при выполнении данного задания они могли бы сравнить слагаемы
в суммах и сделать умозаключение о том, какой следует поставить знак, не прибе
гая при этом к вычислениям.
Интересный опыт работы по формированию умения рассуждать отражен в рг
боте В. П. Леховой1. Детям предлагались два листа, на одном из которых были нг
писаны общие посылки, на другом — частные. Нужно было установить, какой обще
посылке соответствует каждая частная. Ученикам давалась инструкция: «Вы дола
ны выполнить каждое задание на листе 2, не прибегая к вычислениям, а лишь вое
пользовавшись одним из правил, записанных на листе 1».
Задание 22. Следуя приведенной выше инструкции, выполните задание, ко
трое предлагалось детям.
Лист 1
1. Если уменьшаемое увеличить на несколько единиц, не изменяя при этом вы
читаемого, то разность увеличится на столько же единиц.
2. Если делитель уменьшить в несколько раз, не изменяя при этом делимого, I
частное увеличится во столько же раз.
1
Лехова В. П. Дедуктивные рассуждения в курсе математики начальных классов//Начальная школ<
1988, — № 5 .
46
3. Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, не изменяя при этом
^эугое, то сумма увеличится на столько же единиц.
4. Если каждое слагаемое делится на данное число, то сумма тоже разделится
на это число.
5. Если изданного числа вычесть предшествующее ему число, то получим ...
Лист 2
(Задания расположены в другой последовательности, чем посылки.)
1. Найди разность: 84-83; 32-31; 54-53.
2. Назови суммы, которые делятся на 3: 9+27; 6+9; 5+18; 12+24; 3+4; 1 +6.
3. Сравни выражения и поставь знаки <, > или = :
125-87 ... 127-87
246-93 ... 249-93
584-121 ... 588-121
4. Сравни выражения и поставь знаки <, > или = :
304:8 ... 304:4
243:9 ... 243:3
1088:4 ... 1088:2
5. Как быстро найти сумму в каждом столбце:
Ответ:
9
12
30
40
91
9
15
30
40
9
12
32
40
9
16
32
40
Делаем вывод: дедуктивные рассуждения могут являться одним из способов
обоснования истинности суждений в начальном курсе математики. Учитывая, что
они доступны не всем младшим школьникам, в начальных классах используются
и другие способы обоснования истинности суждений, которые в строгом смысле
нельзя отнести к доказательствам. К ним относятся: эксперимент, вычисления, измерения.
Эксперимент обычно связан с применением наглядности и предметных действий. Например, ребенок может обосновать суждение 7>6, выложив в одном ряду
7 кругов, под ним — 6. Установив между кругами первого и второго ряда взаимно-однозначное соответствие, он фактически обосновывает свое суждение (в первом ряду один круг без пары, «лишний», значит, 7>6). Ребенок может обращаться к
предметным действиям и для обоснования истинности полученного результата при
сложении, вычитании, умножении и делении, при ответе на вопросы: «На сколько
одно число больше (меньше) другого?», «Во сколько раз одно число больше (меньше) другого?». Предметные действия могут быть заменены графическими рисунками и чертежами.
Например, для обоснования результата деления 7:3=2 (ост. 1) он может использовать рисунок:
_
Л
л
л
л
ft ft ft ft ft ft ft
Для формирования у детей умения обосновывать свои суждения полезно предлагать им задания на выбор способа действия (при этом оба способа могут быть:
а) верными, б) неверными, в) один верным, другой неверным). В этом случае каждый предложенный способ выполнения задания можно рассматривать как суждение, для обоснования которого учащиеся должны использовать различные способы
доказательств.
Например, при изучении темы «Единицы площади» классу предлагается задание:
Во сколько раз площадь прямоугольника ABCD больше площади прямоугольника КМЕО? Запиши ответ числовым равенством.
А
В
D
К
м
О
Маша записала такие равенства: 15:3=5, 30:6=5.
Миша — такое равенство: 60:12=5.
Кто из них прав? Как рассуждали Миша и Маша?
К обоснованию суждений, высказанных Мишей и Машей, учащиеся могут применить как способ дедуктивных рассуждений, где в качестве общей посылки выступает правило кратного сравнения чисел (чтобы узнать, во сколько раз одно число
больше (меньше) другого, надо большее число разделить на меньшее), так и практический. В этом случае они опираются на приведенный рисунок.
Предлагая способ решения задачи, дети также высказывают суждения, используя для их доказательства математическое содержание, данное в сюжете задачи.
Прием выбора готовых суждений активизирует эту деятельность.
В качестве примера можно привести такие задачи:
Туристы в первый день прошли 18 км, во второй день, двигаясь с той же скоростью, они прошли 27 км. С какой скоростью шли туристы, если они затратили на
весь путь 9 часов?
Миша записал решение задачи так:
1) 18:9=2 (км/ч); 2) 27:9=3 (км/ч) и 3) 2+3=5 (км/ч).
Маша — так:
1) 18+27=45 (км); 2) 45:9=5 (км/ч).
Кто прав: Миша или Маша?
Сколько картофелин собрали с 10 кустов, если с трех собрали по 7 картофелин, с четырех по 9, с шести по 8, а с семи по 4 картофелины?
Маша решила задачу так:
1) 7-3=21 (к.); 2) 4-7=28 (к.); 3) 21+28=49 (к.).
48
Ответ: 49 картофелин собрали с 10 кустов.
А Миша так решил задачу:
1) 9-4=36 (к.); 2) 8-6=48 (к.); 3) 36+48=84 (к.).
Ответ: 84 картофелины собрали с 10 кустов.
Кто из ребят прав? (Оба правы. Возможны и другие варианты ответов.)
Таким образом, для обоснования истинности суждений в начальном курсе математики учащиеся обращаются к вычислениям, дедуктивным рассуждениям, к измерениям и к эксперименту.
Измерение как способ обоснования истинности суждений обычно применяется при изучении величин и геометрического материала. Например, суждения: «синий отрезок длиннее красного», «стороны четырехугольника равны», «одна сторона
прямоугольника больше другой» дети могут обосновать измерением.
Задание 23. Опишите способы обоснований истинности суждений, высказанных учащимися при выполнении следующих заданий:
Можно ли, не выполняя вычислений, утверждать, что значения выражений
в каждом столбце одинаковы:
9-7+9+5
8-6+8+3
7-9+9+5
8-7+3
9-8+5
7-8+3
Верно ли утверждение, что значения выражений в каждом столбце одинаковы:
12-5
16-4
(8+4)-5
(8+8)-4
(7+5)-5
(9+7)-4
(10+2)-5
(10+6)-4
Вставь знаки <, > или =, чтобы получились верные записи:
(14+8)-3... 14-3+8-3
(27+8)-6... 27-6+8
(36+4)-18...40-18
Какие знаки действий нужно вставить в «окошки», чтобы получить верные равенства:
8-8=8П7П8
8-3=8П4П8
8-6=6П8П0
8-5=8П0П32
Верно ли утверждение, что значения выражений в каждом столбце одинаковы:
8-(4-6)
(9-3)-3
8-24
2-27
(8-4)-6
9-(3-2)
6-32
(2-3)-9
49
§ 3. ВЗАИМОСВЯЗЬ ЛОГИЧЕСКОГО И АЛГОРИТМИЧЕСКОГО
МЫШЛЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ
Умение последовательно, четко и непротиворечиво излагать свои мысли тесн<
связано с умением представлять сложное действие в виде организованной после
довательности простых. Такое умение называется алгоритмическим. Оно находисвое выражение в том, что человек, видя конечную цель, может составить алгорит
мическое предписание, или алгоритм (если он существует), в результате выполне
ния которого цель будет достигнута.
Составление алгоритмических предписаний (алгоритмов) — сложная задача
поэтому начальный курс математики не ставит своей целью ее решение. Но опреде
ленную подготовку к ее достижению он может и должен взять на себя, способству!
тем самым развитию логического мышления школьников.
С первого класса важно учить детей «видеть» алгоритмы и осознавать алго
ритмическую сущность тех действий, которые они выполняют. Начинать эту работ;
следует с простейших алгоритмов, доступных и понятных ученикам. Можно соста
вить алгоритм перехода улицы с нерегулируемым и регулируемым перекрестком
алгоритмы пользования различными бытовыми приборами, приготовления какоголибо блюда (рецепт приготовления), представить в виде последовательных операций путь от дома до школы, от школы до ближайшей остановки автобуса и т. д.
Способ приготовления кофейного напитка написан на коробке и представляв!
собой следующий алгоритм:
• Налить стакан горячей воды в кастрюлю.
• Взять чайную ложку напитка.
• Засыпать (всыпать) кофейный напиток в кастрюлю с водой.
• Нагреть содержимое кастрюли до кипения.
• Дать нап итку отстояться.
• Налить напиток в стакан.
Рассматривая такие инструкции, сам термин «алгоритм» можно не вводить, г
говорить о правилах, в которых выделены пункты, указывающие на определенныб
действия, в результате выполнения которых решается поставленная задача.
Следует заметить, что сам термин «алгоритм» можно употреблять только условно, так как те правила и предписания, которые рассматриваются в курсе математики начальных классов, не обладают всеми свойствами, его характеризующими.
Алгоритмы в начальных классах описывают последовательность действий на конкретном примере, а не в общем виде, в них находят отражение не все операции,
входящие в состав выполняемых действий, поэтому их последовательность строго не определена. Например, последовательность действий при умножении чисел,
оканчивающихся нулями, на однозначное число (800*4) выполняется так:
1. Представим первый множитель в виде произведения однозначного числа и
разрядной единицы:
(8-100)-4
2. Воспользуемся сочетательным свойством умножения:
(8-100)-4=8-(100-4)
50
3. Воспользуемся переместительным свойством умножения:
8-(100-4)=8-(4-100)
4. Воспользуемся сочетательным свойством умножения:
8-(4-100)=(8-4)-100
5. Заменим произведение в скобках его значением:
(8-4)-100=32-100
6. При умножении числа на 1 с нулями нужно приписать к числу столько нулей,
сколько их во втором множителе:
32*100=3200
Безусловно, младшие школьники не могут усвоить последовательность действий в таком виде, но, представляя отчетливо все операции, учитель будет предлагать детям различные упражнения, выполнение которых позволит им осознать
способ деятельности.
Например:
Можно ли, не выполняя вычислений, утверждать, что значения выражений
в каждом столбце одинаковы:
9-(8-100)
(9-8)-100
(9-100)-8
9-800
72-100
.
800-7
(8-7)-100
8-(7-100)
8-700
56-100
Объясни, как получено выражение, записанное справа:
4-6-10=40-6
2-8-10=20-8
8-5-10=8-50
5-7-10=7-50
Верно ли утверждение, что значения произведений в каждой паре одинаковы:
45-10
54-10
32-10
9-50
60-9
8-40
Для осознания детьми алгоритмической сути выполняемых ими действий нужно переформулировать данные математические задания в виде определенной программы.
Например, задание:
Найти 5 чисел, первое из которых равно 3, каждое следующее на 2 больше
предыдущего. Его можно представить в виде алгоритмического предписания так:
1) Запиши число 3.
2) Увеличь его на 2.
3) Полученный результат увеличь на 2.
4) Повторяй операцию 3) до тех пор, пока не запишешь 5 чисел.
Словесное алгоритмическое предписание можно заменить схематическим:
ш
+2
12
12
12
* • -—*• • - -* • - —-
51
Это позволит учащимся более четко представить каждую операцию и последа
вательность их выполнения.
Задание 24. Сформулируйте в виде алгоритмических предписаний следую
щие математические задания и представьте их в виде схемы действий:
• Напиши 4 числа, первое из которых равно 1, каждое следующее в 2 раз
больше предыдущего.
Напиши 4 числа, первое из которых 0, второе больше первого на 1, треть
больше второго на 2, четвертое больше третьего на 3.
Напиши 6 чисел: если первое равно 9, второе 1, а каждое следующее равш
сумме двух предыдущих.
Наряду со словесными и схематическими предписаниями можно задать алго
ритм в виде таблицы.
Например, задание: «Запиши числа от 1 до 6. Каждое увеличь: а) на 2; б) на 3
имеет смысл представить в такой таблице:
+
1
2
3
4
5
6
2
3
Итак, алгоритмические предписания можно задавать словесным способом
схемой и таблицей.
Действуя с конкретными математическими объектами и обобщениями в виде
правил, дети овладевают умением выделять элементарные шаги своих действий
и определять их последовательность.
Например, правило проверки сложения можно сформулировать в виде алго
ритмического предписания следующим образом.
Для того чтобы проверить сложение вычитанием, нужно:
1. Из суммы вычесть одно из слагаемых.
2. Сравнить полученный результат с другим слагаемым.
3. Если полученный результат равен другому слагаемому, то сложение выполнено верно.
4. В противном случае ищи ошибку.
Задание 25. Составьте алгоритмические предписания, которые вы считаете
возможным предложить младшим школьникам.
Для формирования умения составлять алгоритмы нужно научить детей: находить общий способ действия; выделять основные, элементарные действия, и;
которых состоит данное; планировать последовательность выделенных действий:
правильно записывать алгоритм.
52
В этом случае уместны комбинаторные задания. Их особенность заключается в
юм, что они имеют не одно, а множество решений, и при их выполнении необходимо осуществлять перебор в рациональной последовательности. Огромная роль, ко": эую играют комбинаторные задачи в развитии мышления, доказана в целом ряде
"ихологическихи методических исследований. Система комбинаторных задач для
' -4 классов нашла отражение в Тетрадях с печатной основой «Учимся решать комбинаторные задачи» (авторы Н. Б. Истомина, Е. П. Виноградова, 3. Б.Редько).
Приведем примеры некоторых задач.
Расположи буквы О, Н, С в клеточках по-разному.
Обведи те варианты, где получились слова, имеющие смысл.
В стаканчике на столе стояли кисти для рисования.
Возьми для урока рисования две из них. Какие
варианты возможны при выборе?
Сколько вариантов у тебя получилось?
Отправляясь в поход, ребята взяли с собой палатки: красные, жёлтые, синие
и зелёные. После того как они расположились на ночлег, оказалось, что две палатки
лишние.
Какого цвета могли быть лишние палатки? Покажи на рисунке.
У Саши 5 цветных ручек: красная, синяя зелёная, чёрная и жёлтая,
а) Раскрась эти ручки.
Сколько вариантов выбора двух ручек может быть у Саши?
53
б) Заполни таблицу и закрась жёлтым цветом клетки с возможными вариантами
выбора.
К
к с
3
ч ж
с
3
ч
ж
1. Прочитай задачу.
Маша занимается теннисом 2 раза в неделю. Какие два дня может выбрать
Маша для тренировок, если в понедельник и в воскресенье нет занятий?
2. Обозначь дни недели (вторник — В, среда — С, четверг — Ч, пятница — П,
суббота — Сб) и запиши все возможные варианты.
Ш
Ш
Ш
ПИ
ПИ
Сколько получилось вариантов?
3. Заполни таблицу и закрась клетки, в которых записаны ответы на вопрос задачи.
в с ч п Сб
В
с
Сколько клеток оказалось закрашенными?
1. Прочитай задачу.
Сколько различных трёхзначных чисел можно записать цифрами 3, 0, 4, 8, если
эти цифры в числе не повторяются?
2. Заполни схему дерева возможных вариантов.
54
3. Используя схему, выпиши все числа, в которых 4 сотни.
4. Используя схему, запиши неравенства с числами, у которых в разряде десятков записана цифра 8.
5. Используя схему, выпиши все числа, у которых в разряде единиц записана
цифра 0.
1. Прочитай условие задачи.
Девочки Рая (Р), Таня (Т), Маша (М), Нина (Н), Ира (И) и Клава (К) решили встретиться. Их визиты показаны на графе.
2. Рассмотри граф и ответь на вопросы:
Т
а) Кто из подружек побывал в гостях у Раи?
б) Кто из девочек навестил Таню?
/
\ М
в) Кто из девочек не принимал гостей?
Р;
г) У кого в гостях была Маша?
-N
д) Кого из подружек навестила Катя?
|
\ ~J*~~±-4~ I h
е) С кем из девочек встретилась Ира?
ж) У кого из подружек побывала Нина?
з) Сколько всего визитов сделали девочки?
и) Кто из девочек больше всех сделал визитов?
1. Прочитай задачу.
Сколько различных завтраков, состоящих из 1 напитка и 1 вида выпечки, можно
составить из чая (ч), кофе (к), булочки (б), печенья (п) и вафель (в)?
2. Пользуясь условными обозначениями, составь таблицу, соответствующую
условию задачи.
Сколько завтраков у тебя получилось? — завтраков.
3. Заполни схемы дерева возможных вариантов в соответствии с условием задачи,
уу Схема 1
Напитки
Выпечка
Сколько завтраков у тебя получилось? — завтраков.
Схема 2
Выпечка
Напитки
Сколько завтраков у тебя получилось? | | завтраков.
4. Дострой граф так, чтобы он соответствовал данной задаче.
'Б
К
Сколько завтраков у тебя получилось? | | завтраков.
5. Сравни ответы, которые у тебя получились в пунктах 2, 3, 4.
При выполнении этих заданий ученики осознают необходимость определения
общего способа действий, который позволит не упустить ни одного случая, соответствующего условию задания.
В начальных классах учащиеся могут решать комбинаторные задачи, применяя
способ перебора, таблицы, «дерево возможных вариантов» и графы.
Задание 26. а) Используя «дерево возможных вариантов», выполните комбинаторное задание: «По правилам игры в волейбол, из 6 членов команды (1,2,
3, 4, 5, 6), находящихся на игровой площадке, мяч могут отбить только три игрока.
Сколько вариантов игровой ситуации возможны, если мяч принял игрок 1 ? Если мяч
принял игрок 2? Игрок 3?»
б) Используя способ перебора, таблицу и «дерево возможных вариантов», выполните комбинаторное задание: «У клоуна четыре берета: красный (К), черный (Ч),
желтый (Ж), зеленый (3) и три рубашки: клетчатая (1), полосатая (2), в горошек (3).
Сможет ли клоун в течение двух недель надевать каждый день разные комплекты
«берет - рубашка»?
56
ГЛАВА 4
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ НАЧАЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ И
ОСОБЕННОСТИ ИХ УСВОЕНИЯ МЛАДШИМИ ШКОЛЬНИКАМИ
§ 1 . НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО. СЧЕТ. ВЗАИМОСВЯЗЬ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ
И ПОРЯДКОВЫХ ЧИСЕЛ. ЦИФРА
В методике формирования понятия натурального числа у младших школьников
находят отражение как исторический путь возникновения и развития данного понятия, так и его трактовка в математической науке. Рассмотрим основные этапы исторического развития понятия натурального числа.
Математика возникла из потребностей практической деятельности людей,
связанной с необходимостью сравнивать конечные множества между собой. В глубокой древности человек, решая эту задачу, устанавливал взаимно-однозначное
соответствие между данными множествами или между одним из множеств и подмножеством другого. Таким образом, первый этап в развитии понятия числа характеризовался тем, что численность группы предметов устанавливалась в результате
соотнесения обозримых множеств. Например, о численности группы из пяти предметов говорили: «столько же, сколько пальцев на руке», о множестве из двадцати
предметов: «столько же, сколько пальцев у человека».
Второй этап в развитии понятия натуральных чисел характеризуется тем, что
для сравнения множеств стали применять множества-посредники: мелкие камешки, раковины, пальцы. Эти множества-посредники уже представляли собой задатки
понятия натурального числа, хотя пока еще число не отделялось от предметов: речь
шла о пяти камешках, пяти пальцах, а не о числе вообще.
Важнейшим этапом в развитии понятия числа является отвлечение от конкретных множеств предметов: появляется необходимость в строгом логическом обосновании понятия натурального числа, систематизации знаний о нем. В связи с
этим возникают разные подходы к определению понятия натурального числа и нуля
и к введению отношений на множестве целых неотрицательных чисел.
Теоретическая наука, изучающая числа и действия над ними, получила название «арифметика».
Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии,
Египте. Накопленные в этих странах математические знания были развиты и продолжены учеными Древней Греции. В средние века большой вклад в развитие арифметики внесли математики Индии, стран арабского мира и Средней Азии, а начиная
с XIII века — европейские ученые.
Термин «натуральное число» впервые употребил римский ученый и государственный деятель А. Боэций (ок. 480-524).
Суть числа как характеристики порядка была обобщена в аксиоматической теории, а количественное натуральное число получило теоретико-множественную
трактовку.
57
При теоретико-множественном подходе натуральное число рассматриваете?
как общее свойство класса конечных равномощных множеств, а число «нуль» - ка1
число элементов пустого множества. Каждый класс равномощных множеств можне
задать, указав его представителя, т. е. множество из этого класса. Например, класх
множеств, определяющий число «три», можно задать, указав одно множество и:
этого класса — множество вершин треугольника.
При теоретико-множественном подходе к числу сравнение чисел производят
используя отношения между множествами. Числа а и Ъ равны, если они определяются равномощными множествами. Число а меньше числа Ъ, если а=п(А), Ь-п(В).
множество Л равномощно собственному подмножеству множества В.
При аксиоматическом подходе натуральное число рассматривают как элемеш
некоторого множества N, в котором задано отношение — «непосредственно следовать за», удовлетворяющее следующим аксиомам:
1. В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни зг
каким элементом этого множества. Его называют единицей.
2. Для каждого элемента из N существует единственный элемент а\ непосредственно следующий за а.
3. Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.
4. Если множество М есть подмножество множества N и: а) единица содержите?
в М; б) из того, что а содержится в М, следует, что и а 'содержится в М, то множестве
М совпадает с множеством N.
Число а меньше числа Ъ (а<Ь) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что a+c=b.
Определенное так отношение «меньше» упорядочивает множество натуральны)
чисел, и, используя его, можно показать, что ни для одного натурального числа а не
существует такого натурального числа п, что будет истинно неравенство а<п<а'
Это свойство называют свойством дискретности множества натуральных чисел, г
числа а и а 'называют соседними.
Задание 27. Приведите примеры упражнений из начального курса математики
в которых находит отражение свойство дискретности множества натуральных чисе
Первые шаги в формировании понятия числа у младших школьников связань
с выполнением ими определенных действий с предметными совокупностями.
В основе такого подхода лежит положение психологии о том, что представле
ние о предметах, явлениях начинается с выполнения действий над ними с целью из
изменения, рассмотрения их состава. Качества внутренних умственных операций
во многом зависят от того, как они сформировались на внешнем предметном уровне. Кроме того, действия, выполняемые с предметами, в силу своей наглядности
легко поддаются контролю и исправлению, что позволяет заложить фундамент дл$
правильных умственных действий.
Выполняемые предметные действия как бы кодируются знаками, осмыслива
ются в общих терминах и формулируются в общем виде. После этого ученик мо58
жет действовать не с самими предметами, а со знаками (символами). Это особенно
зажно учитывать при обучении математике шестилетних и семилетних детей,
у которых наиболее развитой формой усвоения является наглядно-действенная,
т. е. учащиеся 6—7 лет лучше усваивают то, с чем они могут непосредственно действовать.
Основные характеристики понятия числа — количественная и порядковая —
осознаются ребенком уже на первом этапе, при изучении однозначных чисел. Это
происходит в процессе счета предметов. Для выполнения подобной операции он
должен не только запомнить определенный порядок слов-числительных, но и осознать:
а) необходимость ставить в соответствие каждому предмету только одно слово-числительное (нельзя пропускать предметы при счете и дважды указывать на
один и тот же предмет);
б) возможность пересчитывания предметов данной совокупности в любом порядке;
в) взаимосвязь между количественным и порядковым числом (названное при
счете число указывает на порядок предмета в совокупности и характеризует количество предметов всей совокупности).
Пока школьник не овладел операцией счета, число выступает для него какхарактеристика численности предметных групп (числовых фигур). В этом случае ответ на
вопрос: «Сколько?» он может дать, опираясь на целостное восприятие (узнавание)
данной числовой фигуры. Не прибегая к операции счета, ребенок в состоянии ответить и на такие вопросы, как: «Больше?», «Меньше?», «Столько же?», устанавливая
взаимно-однозначное соответствие между элементами различных множеств.
Но постепенно, в процессе обучения, происходит перестройка системы связей, лежащих в основе определения количества, т. е. устанавливается связь между
словом «Сколько?» и названием последовательности числительных, последнее из
которых и будет ответом на данный вопрос. Осознание единства количественной и
порядковой характеристик числа важно для выполнения операций присчитывания и
отсчитывания, овладение которыми служит подготовкой к выполнению арифметических действий.
Особенность этих операций заключается в том, что одна из совокупностей представляется не конкретными элементами, а числом, поэтому ученик должен узнать
сумму или остаток не пересчетом элементов, а как бы продолжая счет от заданного
числа, называя числа в прямом или обратном порядке.
Огромная роль числа в жизни людей обусловливает довольно раннее формирование числовых представлений у ребенка. Уже в 2—3 года, отвечая на вопрос,
сколько ему лет, малыш показывает два или три пальчика и называет соответствующее слово-числительное, обозначающее количество пальцев (предметов). В общении со взрослыми и в игре у него расширяется запас числовых представлений.
В его речи появляются новые слова-числительные, которые он соотносит с определенными образами (два глаза, два уха, один нос, пять пальцев и т. д.).
Натуральное число выступает для ребенка на этом этапе как целостный наглядный образ, в котором он не выделяет единичных предметов. Наглядный образ числа
59
находит свое выражение и в «числовых фигурах», каждую из которых малыш соотносит с определенным словом-числительным. Уже в 4 года он может легко усвоить
правила игры в «домино», ориентируясь на «числовые фигуры», и непроизвольнс
запомнить их названия, закодировав тем самым каждый образ определенным словом, обозначающим число.
•
один
три
пять
•
•
•
•
два
•
• четыре
шесть
•
• •
Итак, первые представления детей о числе связаны с его количественной характеристикой, и они могут отвечать на вопрос: «Сколько?», не владея операцией
счета.
Количественная характеристика предметных групп осознается ребенком и Е
процессе установления взаимно-однозначного соответствия между предметными
множествами. В этом случае количественная характеристика числа находит выражение в понятиях «столько же», «больше», «меньше».
Для установления взаимно-однозначного соответствия между предметными
совокупностями можно использовать:
1) Наложение предметов одного множества на предметы другого:
а)
Л
б)
2) Расположение предметов одного множества под предметами другого:
Л Л Л Л
о
о
о
о
О
Л
Л
Л
Л
Л
о
о
о
а» Л
3) Образование пар, т.е. соединение каждого предмета одного множества с
предметом другого:
А
а) треугольников столько же, сколько кружков;
б) треугольников больше, чем кружков; кружков меньше, чем треугольников.
60
Установление взаимно-однозначного соответствия между предметными мнокггвами связано с вычленением отдельных элементов и подготавливает детей к
ознательному овладению операцией счета.
На первом этапе счет выступает для ребенка как установление взаимно-одноначного соответствия между предметной совокупностью и совокупностью словислительных, расположенных в определенном порядке.
о
один
о
два
о
три
о
четыре
о
пять
о
о
шесть семь
о
о
восемь девять
Поэтому для овладения операцией счета прежде всего необходимо запомнить
орядок слов-числительных, которым договорились пользоваться при счете.
Деятельность, связанная с усвоением порядка слов-числительных, естествено, выполняется по образцу и закрепляется в процессе однотипных упражнений,
ачинающихся со слова: «Сколько ...?» Начинать выполнять эти упражнения полезо как можно раньше (с 3-4 лет), постепенно увеличивая количество пересчитывае|ых предметов. В этом случае ребенок сможет непроизвольно запомнить последоательность слов-числительных.
Большинство детей шестилетнего и семилетнего возраста, поступающих в
жолу, уже владеют этим навыком, хотя ошибки возможны. Например, после числа
емь называется число девять, после трех называется пять и т. д.
Этот факт, конечно, необходимо учитывать, организуя процесс обучения в шков. Но для этого надо не только использовать упражнения, начинающиеся со слова
Сколько ...?», но и включать учащихся в разнообразную деятельность, связанную
осознанием операции счета и с введением математических символов (цифр).
Для усвоения и уточнения порядка слов-числительных при счете можно предагать различные формулировки заданий.
Например:
Что изменилось? Что не изменилось?
Анализируя рисунки, дети указывают на разное количество больших и маленьих рыбок в одном и в другом аквариуме, разное направление их движения, разную
юрму аквариумов, а также отмечают, что количество (число) рыбок в одном и друэм аквариуме одинаково (7), т. е. количество рыбок не изменилось.
Закрой «лишнюю» картинку:
V
id
Что обозначают цифры |11,|7|?
iiiliii
Чем похожи рисунки? Чем отличаются?
В качестве признака сходства выступает количественная характеристика. (Чи(
ло предметов на одном и другом рисунке - четыре). Изменился их порядок. Для хг
рактеристики этого изменения дети могут применять не только понятия «за», «пе
ред», «между», но и порядковые числительные (ножницы на левом рисунке - первые
а на правом — третьи).
Хватит ли белочкам орехов, если:
каждой белочке дать по одному ореху;
каждой белочке дать по два ореха;
• каждой белочке дать по три ореха.
Чтобы выполнить задание, дети устанавливают соответствие между каждой
белочкой и определенным количеством орехов (один, два, три). Для этого удобен
фланелеграф, с которого ученики могут одновременно снимать белочку и соответствующее число орехов.
62
По какому признаку подобраны пары картинок?
ОО
ОООО
ОО
о
оо
оо
оо
О
ооо
ооо
ооо
ооо
•••
•••
•••
•••
Закрой «лишнюю» картинку:
Анализируя картинки с точки зрения различных их признаков (форма, количество изображений), учащиеся упражняются в счете. В процессе выполнения приведенных упражнений уточняется порядок слов-числительных, используемых при
счете. Все дети могут принимать активное участие в работе, в том числе и те, кто не
усвоил порядок слов-числительных до школы или допускает в нем ошибки.
Таким образом, операция счета сводится к нумерации данных объектов в определенной последовательности. Речь идет об устной нумерации, т. е. установлении
взаимно-однозначного соответствия между каждым объектом данной совокупности и словами-числительными, которые называются в определенном порядке.
Усвоение детьми последовательности слов-числительных позволяет учителю
перейти к формированию операции счета и к знакомству учащихся с символическим обозначением каждого числа (цифрами). При этом, если перейти от счета
предметов к обозначению их количества цифрой, то не обязательно ориентироваться на порядок чисел в натуральном ряду. Можно сначала научиться писать
цифру 1, затем 7, затем 4 и т. д., ориентируясь на сложность ее графического написания.
Осознание различия между числом и цифрой при изучении однозначных чисел
является довольно сложной задачей для ребенка, да и сам учитель в некоторых случаях испытывает затруднения, связанные с употреблением этих терминов. Например, на доске написано: 5. Что это — цифра или число?
При такой постановке вопроса трудно ответить однозначно, так как это может
быть и число «пять», если речь идет о пяти каких-то предметах, но может быть и
цифра, обозначающая число «пять». Но если учитель предлагает такие задания,
как: «Запиши цифры от 1 до 10» или «Запиши данные цифры по порядку», это уже
грубая ошибка с его стороны. Установление соответствия между числовой фигурой
(предметная модель), словом-числительным (вербальная модель) и знаком — цифрой (символическая модель) поможет детям понять, что цифра — это знак, которым
обозначается количество или число различных предметов.
63
J
три
Так как каждому предмету группы ребенок ставит в соответствие определенное
слово-числительное, то в процессе счета он легко осознает порядковую характеристику числа, которая находит свое выражение в словах: первый, второй, третий..
Гораздо труднее довести до его сознания тот факт, что каждое число, названное
при счете, является одновременно и порядковым, так как указывает на порядо!
предмета при счете, и количественным, так как указывает на количество всех пере
численных предметов.
Для осознания взаимосвязи между количественным и порядковым числом да
ются специальные практические упражнения. Например, учитель показывает детяа,
полоску с кружками и, указывая на последний, говорит:
— Это пятый кружок.
— Кто может сказать, сколько кружков нарисовано на полоске? (Пять.)
Полоска появляется на доске, и к ней добавляются еще несколько кружков.
— Сколько теперь кружков? — спрашивает учитель.
Действия ребенка сводятся к следующему: он показывает начало и конец по
лоски, содержащей пять кружков.
— Это пять кружков, — говорит он.
Затем, не отрывая левой руки, перемещает правую на один кружок и называвчисло «шесть», затем, опять же не отрывая левой руки, передвигает правую еще HJ
один кружок и называет число «семь», и т. д.
Не менее важно с математической точки зрения, чтобы в процессе выполненш
практических упражнений дети осознали и тот факт, что, как бы мы ни нумерова
ли предметы данной совокупности, ответ на вопрос «Сколько?» всегда будет одно
значным, надо только начинать нумерацию с числа 1, не пропускать ни одного пред
мета и не указывать на один предмет дважды.
Для этого, например, работая с приведенным ниже рисунком, учитель може
предложить детям следующие вопросы:
— Посчитайте, сколько кругов на рисунке. (Так как они могут поставить слово
числительное «один» в соответствие любому кругу, то, естественно, «четвертым
может также оказаться любой круг.)
— Какой круг по счету четвертый? (Большинство уверенно показывает на какой
то определенный круг.) Тогда учитель задает наводящие вопросы:
64
— Может ли синий круг быть четвертым? Красный? Желтый? (Ответы проверяйся счетом.)
— Какой круг может быть четвертым, если первый — зеленый, второй — жел№ й? (Ответы проверяются счетом.)
— Какой круг может быть четвертым, если первый синий? (Ответы проверяются
счетом.)
— Какое число мы назвали последним, отвечая на вопрос: «Сколько?»
Задание можно усложнить, предложив учащимся большее число кругов, распложенных так, как показано на рисунке:
О
©о
П
°©
О
Счет кругов при таком расположении создает определенные трудности для не<оторых детей. Поэтому ответ на вопрос: «Сколько...?» может быть различным. Для
проверки лучше вызвать ученика, владеющего последовательностью слов-числительных, и при этом сделать задачу более интересной:
— Считай круги так, чтобы красный круг был четвертым.
— Теперь сосчитай круги так, чтобы красный круг был третьим, синий - пятым,
зеленый — восьмым.
Пересчитав различными способами все круги, дети убеждаются в том, что число кругов остается постоянным, а следовательно, одному и тому же конечному множеству может соответствовать лишь одно натуральное число. (Данный термин, конечно, не стоит использовать в начальном курсе математики.)
Таким образом, в основе формирования понятия числа, с одной стороны, лежит
счет предметов, который служит для определения их количества. Число выступает как результат счета и характеризует количество предметов данной совокупности («количественное число»). С другой стороны, число как общая характеристика
класса равномощных множеств осознается ребенком в процессе установления взаимно-однозначного соответствия между элементами различных множеств. Ответы
на вопросы: «Больше?», «Меньше?», «Столько же?» - могут быть получены как способом пересчитывания, так и способом установления взаимно-однозначного соответствия. Эти способы используются параллельно, дополняя друг друга.
Каждое число, называемое в процессе счета, ставится в соответствие одному
из пересчитываемых предметов, характеризуя его порядок при счете («порядковое
число»). Порядковая и количественная характеристика числа тесно связаны.
Итак, овладение учащимися операцией счета предполагает усвоение порядка
слов-числительных и определенных правил: первым при счете может быть указан
любой объект данной совокупности, важно только, чтобы ему соответствовало числительное «один»; ни одному объекту нельзя поставить в соответствие два словачислительных; ни один объект не должен быть пропущен при счете.
3-12726 Истомина
65
Задание 28. Найдите в учебниках математики для 1-го класса задания, которые можно использовать для формирования у учащихся представлений: а) о количественном числе; о порядковом числе; о взаимосвязи между количественным и
порядковым числами. Ответьте на вопрос: «Почему установление взаимно-однозначного соответствия между элементами предметных множеств подготавливает
ребенка к овладению счетом?»
§ 2. ОТРЕЗОК НАТУРАЛЬНОГО РЯДА. ПРИСЧИТЫВАНИЕ
И ОТСЧИТЫВАНИЕ ПО 1
Понятие счета тесно связано с понятием отрезка натурального ряда чисел и конечного множества. Отрезком Na натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа п. Множество Л называется
конечным, если существует взаимно-однозначное соответствие между этим множеством и отрезком натурального ряда чисел. Установление этого взаимно-однозначного соответствия есть счет элементов множества А. Число а называют числом элементов в множестве А и пишут: a=n(A). Это число единственное и является
количественным натуральным числом. Таким образом, при пересчете не только
расставляются в определенном порядке элементы конечного множества (при этом
используются порядковые натуральные числа, выражаемые числительными «первый», «второй», «третий» и т. д.), но и устанавливается также, сколько элементов содержит множество А (при этом используются количественные натуральные числа,
выражаемые числительными «один», «два», «три» и т. д.).
Замена слов-числительных (один, два, три и т. д.), названных в определенной
последовательности, математическими знаками (цифрами 1, 2, 3,4 и т. д.) позволяет познакомить школьников с отрезком натурального ряда.
Изучение этого понятия в начальных классах сводится к усвоению учащимися
той закономерности, которая лежит в основе построения натурального ряда: каждое число в натуральном ряду больше предшествующего и меньше следующего
на 1.
Для получения отрезка натурального ряда чисел дети пересчитывают предметы, заменяя названия чисел соответствующими символами (знаками-цифрами),
другими словами, они нумеруют предметы в определенной последовательности.
Учитель предлагает детям задание:
— Посчитай жуков. Запиши цифрами числа, которые ты называешь.
— Проверь, получился ли у тебя такой ряд чисел: 1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
— Подумай, как ты получил каждое следующее число.
66
Ответы детей могут быть различными: «Я считал жуков», «Один жук, еще
:лин — два жука, еще один — три жука; еще один жук — четыре жука и т. д.». Так,
нумеруя жуков, дети получают отрезок натурального ряда чисел. Но этот термин
зводить не следует. Записанный ряд чисел воспринимается ребенком как ряд, с
помощью которого можно посчитать предметы. Приведенная характеристика получения следующего числа (еще один, еще один, еще один, еще один...) отражает
-а предметном уровне то существенное, что связано с построением натурального
эяда чисел.
Для усвоения натурального ряда чисел и принципа его образования необходимо постоянно обращаться к действиям с предметами, рассматривая различные ситуации.
Например. На доске изображена туча. Она скрывает звезды на небе, и дети сначала их не видят. Но вот подул ветер, и туча начала двигаться. На небе появилась
первая звездочка.
— Сколько звездочек на небе? (Одна.)
— Какой цифрой обозначается это число? (Ученики поднимают карточку с цифрой 1.)
— А теперь на небе сколько звездочек? (Две.)
— Какой цифрой обозначается это число? (Учащиеся поднимают карточку с
цифрой 2.) Затем появляется еще одна звездочка, затем еще одна и т. д. Учитель
каждый раз выясняет, сколько звездочек стало видно на небе и какой цифрой обозначается их число.
Выкладывая на парте карточки, ученики получили ряд чисел: Q] [5] [З] R1 [5\
— Кто обратил внимание на то, как появились звездочки на небе? (Сначала
одна, потом еще одна.)
— Сколько получилось? (Две.)
— А как стало 3 звездочки? (Было 2, затем появилась еще одна.)
— А как стало 4? (Было три, потом появилась еще одна.)
В результате дети устанавливают принцип получения каждого следующего
числа натурального ряда. Для демонстрации построения натурального ряда чисел
можно использовать пирамидку, на которую последовательно набрасываются кольца. Учитель предлагает ученикам задание: «Я буду надевать кольца на пирамидку,
а вы выкладывайте карточки с цифрами, которые будут обозначать число колец».
Опираясь на имеющиеся у них представления о количественном числе и на свой
жизненный опыт, учащиеся выполняют действия с предметными множествами, под
руководством учителя переводят их на язык математических символов и осмысливают в общих терминах: «предыдущее число», «последующее число», «следует за
числом ...», «предшествует числу ...».
з*
67
Полезны и такие задания:
Что изменяется?
d A
A
jf -f зу щ ц -щ Щ
Выбери ряд чисел, которыми можно пользоваться при подсчете предметов:
а) 1,2,4,3,5,6,7,9,8
б) 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1
в) 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9
г) 1,3,2,5,4,7,6,9,8
Г. Г. Микулина описывает интересную игровую ситуацию, которую она использует для обобщения принципа образования натурального ряда чисел. Эта ситуация
переносит детей в сказочную школу, где все числа, кроме 1, обозначаются необычными знаками, но принцип получения каждого следующего числа в ряду остается
таким же, как в натуральном.
Свой рассказ учитель начинает так: «Приснился мне однажды сон, будто попала
я в сказочную школу. Иду и вдруг нахожу полоску бумаги, на которой написаны какие-то непонятные знаки:
Подхожу я к сказочному мальчику и спрашиваю:
— Что это такое?
А он мне отвечает:
— Это числа, написанные по порядку.
— Как это, по порядку?
— А вот так, каждое число в этом ряду на 1 больше предыдущего и на 1 меньше
следующего.
Решила я посмотреть, какие же задания предлагает учитель детям в сказочной
школе. Может быть, и вы, ребята, справитесь с этими заданиями?»
Учитель выставляет на наборное полотно карточки со «сказочными цифрами»
и предлагает такие задания:
Пошли два гномика в лес за грибами. Гномик в красной шапочке нашел «вот
столько» грибов, в синей шапочке — «вот столько». (Над двумя числами сказочного
ряда выставляются картинки с гномиками в разных шапочках.)
— Как вы думаете, кто из них нашел грибов больше и на сколько?
68
Шла я по сказочному лесу и нашла «вот столько» грибов. (Над одним из чисел
сказочного ряда помещается карточка со стрелкой.) Иду домой, навстречу мне гномик. Посмотрел он в мою корзинку и подарил мне еще один белый гриб. Сколько же
грибов у меня стало?
Отправилась Красная Шапочка в гости к бабушке и понесла ей «вот столько»
пирожков. Встретился ей ежик по дороге. Красная Шапочка была доброй девочкой
и угостила ежика пирожками. А бабушке она принесла «вот столько» пирожков.
— Как вы думаете, сколько пирожков она дала ежику?
Отвечая на поставленный вопрос и двигаясь то вправо, то влево в зависимости
от ситуации по отрезку сказочного ряда чисел, дети осознают в общем виде принцип его построения, учатся рассуждать и обосновывать свой ответ.
Задание 29. Найдите в учебниках математики для начальных классов задания,
которые можно использовать для разъяснения учащимся принципа образования
натурального ряда чисел. Придумайте сами ситуации с интересными сюжетами для
обобщения принципа построения натурального ряда чисел.
Осознание принципа построения натурального ряда чисел позволяет детям выполнять присчитывание и отсчитывание по единице.
В отличие от счета особенность этих операций заключается в том, что одно из
предметных множеств представлено натуральным числом. Переход от счета к присчитыванию или отсчитыванию представляет для многих учеников определенную
трудность — и не в силу сложности самой операции, а в силу того, что известные,
усвоенные способы действий (в данном случае счет) имеют тенденцию сохраняться. Для преодоления этой трудности нужно в обучении сопоставить два способа:
пересчет и присчитывание — отсчитывание.
Конечно, словесное сопоставление доступно не всем первоклассникам, поэтому необходимо и здесь опираться на предметные действия. Так, учитель, выставив
на доске 5 грибов (ученики путем пересчитывания убеждаются в этом), добавляет
еще три гриба и обращается к классу с вопросом: «Сколько всего грибов на доске?»
Для ответа на этот вопрос большинство ребят будет обращаться к пересчитыванию,
но учитель закрывает 5 грибов листом бумаги, на котором написано число 5, и спрашивает: «Как можно действовать в этом случае?» Такая ситуация может рассматриваться как проблемная, так как ее решение требует от учеников поиска нового способа действия.
Для овладения операцией присчитывания и отсчитывания полезны разные
упражнения. Например, такие:
Сколько всего грибов на каждой
картинке?
У у?
69
Выполняя данное упражнение, дети заключают корзинку между ладошками, затем отодвигают правую руку вправо на один гриб, называя число, которое следует
за числом 7, потом опять отодвигают правую руку вправо еще на один гриб и называют число, которое следует за числом 8. После проделанных действий они дают
ответ: на рисунке 9 грибов.
Прием отсчитывания требует работы с аналогичными упражнениями.
Сколько кубиков в коробке?
Сколько лампочек закрыли?
ТТ
8
Только теперь между ладошками заключается весь рисунок, а правая рука отодвигается на один предмет влево и при этом называется предыдущее число.
Операция присчитывания осваивается детьми значительно легче, чем операция отсчитывания. В этом немаловажную роль играет усвоение порядка чисел при
счете. И дело не только в том, что дети больше упражняются в назывании слов-числительных отрезка натурального ряда и многие из них уже приходят в школу, владея этим умением. Гораздо важнее то, что с помощью отрезка натурального ряда
они определяют количество предметов, сравнивают их, строят новую совокупность
предметов и т. д. Другими словами, последовательность чисел натурального ряда
применяется ими для решения практических задач, что способствует лучшему усвоению самого числового ряда.
Иначе обстоит дело с обратной последовательностью чисел: 9, 8,7,... 1, в основе которой лежит отсчитывание по 1. Здесь учащиеся, как правило, упражняются
только в воспроизведении последовательности числительных, что никак не связано
с решением каких-либо практических задач. Поэтому цепочка слов-числительных:
девять, восемь ... запоминается ими формально, что не способствует овладению
операцией отсчитывания. Для того чтобы они осознали практическую значимость
этого умения, полезно использовать ситуации, особенности которых связаны с движением от большего числа к меньшему.
Здесь возможны различные варианты. Первый - это когда ученик должен двигаться от большего числа к меньшему, однако при этом все предметы находятся
перед ним и он может воспользоваться счетом, т. е. подкрепить свое решение.
На доске 9 домиков. Каждому из них нужно дать номер. Это делается в процессе счета. Учитель обыгрывает ситуацию. Зайцу-почтальону нужно отнести письмо
в дом № 8. Как он может попасть в этот дом? Выясняется, что он может прибежать
к началу улицы и посчитать дома от первого, но может считать их и с конца улицы.
Конечно, второй вариант рациональнее.
В другой ситуации часть предметов скрыта от глаз, поэтому счет осуществить
невозможно.
70
Например:
а) У доски несколько учеников выстраиваются по росту. Их пересчитывают (от
большого к маленькому). Каждому (на карточке) дается порядковый номер, и они
садятся на место. Теперь нужно снова построиться, но так, чтобы карточки с цифрами были расположены в обратном порядке (от маленького к большому).
б) На доске нарисованы спинки стульев. Часть ряда спрятана за шторкой. Представим себе, что мы в кинотеатре, где уже погасили свет и начала ряда не видно.
Мы стоим у девятого места, нам нужно шестое. Найди его. (Приведенные ситуации
взяты из статьи Г. Г. Микулиной//Начальная школа, 1987. — № 9).
Задание 30. Ориентируясь на приведенные выше ситуации, составьте учебные задания, в процессе выполнения которых у детей формируются навыки присчитывания и отсчитывания по единице.
§ 3. СРАВНЕНИЕ ЧИСЕЛ
Для установления между числами отношений «больше», «меньше», «равно»
младшие школьники могут использовать предметные, графические и символические модели.
Предметные модели удобны для определения взаимно-однозначного соответствия, когда каждый предмет одной совокупности соединяется с одним предметом
другой совокупности (образование пар).
Функции графической модели выполняет числовой луч, с которым учащихся целесообразно познакомить в первом классе. Естественно, что введению числового
луча должно предшествовать знакомство с лучом и отрезком.
Построение числового луча полезно выполнять не только в тетрадях, где, выбирая единичный отрезок (мерку), первоклассники ориентируются на клетки, но и на
белом листе бумаги, располагая по-разному луч и выбирая различные мерки (единичные отрезки). В этом случае дети пользуются циркулем.
Нумеруя на числовом луче отложенные отрезки (мерки) и соотнося конец каждого с определенным числом, ребята убеждаются, что если двигаться вправо по
числовому лучу, то числа увеличиваются, а если двигаться влево, то числа уменьшаются. Следовательно, числовой луч можно использовать и для сравнения чисел.
Чтобы ученики могли записывать отношения между числами, учитель знакомит
их со знаками > (больше), < (меньше), = (равно) и с математическими записями,
которые называются равенствами и неравенствами (5<9, 9>5, 5=5).
В качестве символической модели используется отрезок натурального ряда
(ряд чисел, которым можно пользоваться при счете предметов: «5<9, так как число
5 называется при счете раньше, чем 9»).
Графической моделью служит числовой луч, на котором дети отмечают точки,
соответствующие натуральным числам.
71
Задание 31. Найдите в учебнике первого класса различные виды заданий, которые можно предложить детям для усвоения ими отношений «больше», «меньше»,
«равно» между однозначными числами. Составьте подобные задания сами.
§ 4. СМЫСЛ ДЕЙСТВИЙ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ
В основе разъяснения смысла действия сложения лежит определение суммы
в количественной теории числа. А именно: суммой целых неотрицательных чисел
а и Ъ называется число элементов в объединении непересекающихся множеств Л и
В — таких, что a=n{A); b= n(B).
Возможность перевода этого определения на язык предметных действий позволяет организовать восприятие школьниками предметного смысла сложения,
опираясь при этом на жизненный опыт детей, на их самостоятельную деятельность
и учитывая психологические особенности данного возраста.
Наблюдая или выполняя предметные действия, суть которых сводится к объединению двух совокупностей предметов, ребята интерпретируют эти действия на
числовом луче (графическая модель) и переводят их на язык математики, записывая числовые выражения или равенства (символическая модель).
Таким образом, для разъяснения действия сложения используются предметные, вербальные, графические и символические модели, между которыми устанавливается соответствие.
Например, детям предлагается картинка, на которой Миша и Маша запускают
рыбок в один аквариум, и дается задание: «Расскажи, что делают Миша и Маша».
Организуя деятельность учащихся с этой картинкой, педагог ориентируется на
такую последовательность в работе:
• Дети разглядывают картинку, которая служит предметной моделью.
Выполняют задание, выражая свои наблюдения в словах (вербальная модель, соответствующая картинке)
Ответы учеников обычно выглядят так: «Запускают рыбок в один аквариум; запускают рыбок вместе в аквариум, объединяют рыбок; Миша запускает в аквариум 2 рыбок, Маша - 3». Ответы могут быть разными, важно, чтобы класс обратил
внимание на то, сколько рыбок запускает в аквариум Миша, а сколько Маша, и что
рыбки Миши и Маши объединяются вместе в одном аквариуме.
• Затем учитель обращает внимание первоклассников на записи под картинками (это числовые выражения) и предлагает им найти ту запись, которая, по их
мнению, подойдет к картинке. Анализируя выражения и ориентируясь на числа,
имеющиеся в них, дети находят подходящие (2+3 и 3+2).
Выясняется, чем похожи эти выражения (в каждом два числа и знак «+»)
и как можно прочитать их по-разному (2 плюс 3, к двум прибавить три, сложить
числа 2 и 3). Дети упражняются в чтении выражений.
Помимо выражений к рассматриваемой картинке можно поставить в соответствие определенное число. (Об этом ученики также могут догадаться, пересчитав предметы на ней.)
72
В результате проведенной работы дети записывают равенства, а также знакомятся с названиями результата сложения и его компонентов.
• После этого числовые равенства интерпретируются на числовом луче.
Можно условно выделить три вида ситуаций, связанных с операцией объединения:
а) составление одного предметного множества из двух данных: такая ситуация
рассмотрена выше;
б) увеличение данного предметного множества на несколько предметов.
Указанием к выполнению предметных действий в этом случае может стать задание: «Покажи ...».
Например, учитель предлагает задание: «У Коли было 4 марки. Ему подарили
еще 2. Покажи, сколько марок стало у Коли».
Дети выкладывают 4 марки (круга, квадрата, треугольника) и движением руки
показывают, сколько марок было у Коли. Затем добавляют 2 марки. И движением
руки показывают, сколько марок стало у Коли. Далее выясняется, как можно записать выполненное предметное действие математическими знаками, используя для
этой цели цифры, знаки «плюс» и «равно» (4+2=6). Целесообразно уже на этом этапе употреблять термины «выражение» и «равенство».
Ситуации вида б) фактически можно свести к ситуациям вида а), рассматривая
марки, которые были у Коли, как одно предметное множество, а марки, которые ему
подарили, как другое предметное множество.
Для разъяснения смысла сложения можно также опираться на представления
детей о соотношении целого и его частей. В данной ситуации все марки Коли (целое) будут состоять из двух частей: марки, которые у него «были», и марки, которые
ему «подарили».
Обозначая части их числовыми значениями, дети получают выражение (4+2),
или целое, значение которого равно 6 (4+2=6).
в) увеличение на несколько предметов множества, равночисленного данному:
В этом случае деятельность учащихся можно так же, как при увеличении данного множества предметов, организовать с помощью задания «Покажи...»
Например: «На одной тарелке 5 яблок, а на другой на 3 яблока больше. Покажи, сколько яблок на второй тарелке».
В процессе выполнения предметных действий, соответствующих ситуациям вида в), у школьников формируется понятие «больше на...» («увеличить на...»),
представления о котором связаны с построением совокупности, равночисленной
данной («взять столько же»), и ее увеличением на несколько предметов («и еще»),
то есть объединяются совокупности «столько же» и «еще».
Задание 32. Продумайте необходимые предметные действия и объясните,
почему приведенные ниже ситуации можно использовать при формировании у учащихся представлений о смысле действия сложения.
73
С дерева сначала улетели 5 синиц, затем еще 3. Покажи, сколько синиц улетело с дерева.
Маша съела утром 3 яблока, вечером еще 2. Покажи, сколько всего яблок съела Маша.
У Коли было 4 марки, у Пети — на две марки больше. Покажи, сколько марок
у Пети.
С одного дерева улетели 5 синиц, с другого на 3 больше. Покажи, сколько синиц улетело со второго дерева.
У Коли было 4 марки, у Пети — 2. Покажи, сколько марок было у них вместе.
В гараже стояли грузовые и легковые машины. После того как 3 грузовые машины уехали, осталось 4 легковых. Покажи, сколько всего машин стояло в гараже.
Задание 33. Придумайте интересные ситуации, которые вы могли бы предложить детям для усвоения ими смысла действия сложения. Опишите, как они будут
выполнять задания, опираясь на представления о соотношении целого и части.
При формировании у первоклассников представлений о вычитании можно
условно ориентироваться на следующие предметные ситуации:
а) уменьшение данного предметного множества на несколько предметов (предметы, которые удаляются, зачеркиваются).
Рассмотрим конкретный пример: «У Маши было шесть шаров. Два она подарила Тане. Покажи шары, которые у нее остались». Дети рисуют 6 шаров, зачеркивают 2 из них и показывают движением руки те шары, которые остались у Маши.
Для разъяснения смысла вычитания, так же как и сложения, можно использовать представления детей о соотношении целого и части. В этом случае шары, которые были у Маши («целое»), состоят из двух частей: «шары, которые она подарила»
и «шары, которые у нее остались».
Часть всегда меньше целого, поэтому нахождение части связано с вычитанием. Обозначая целое и части их числовыми значениями, дети получают выражение
(6-2) или равенство (6-2=4).
б) уменьшение множества, равночисленного данному, на несколько предметов.
В процессе выполнения предметных действий, соответствующих ситуациям б),
у детей формируются представления о понятии «меньше на...» («уменьшить на...»),
которые связаны с построением совокупности, равночисленной данной («взять
столько же»), и ее уменьшением на несколько предметов («без»). В этом случае совокупность, обозначаемая термином «без», включается в совокупность, обозначаемую термином «столько же». Совокупность, полученная в результате вычитания,
является дополнением совокупности, обозначаемой термином «без», до совокупности предметов, обозначаемой термином «столько же».
74
Усвоение понятий «больше на...», «меньше на...» дается детям легче, если
организовать их деятельность, используя предметные и символические модели.
Приведем примеры возможных заданий.
Сравни картинки. Что изменилось слева направо? Что изменилось справа налево?
5+2
7-2
Что изменилось? Запиши ответ равенством.
Что изменяется? Разгадай правило.
Выбери ряд числовых выражений, который соответствует данному рисунку:
8, 8-2, 6-2, 4-2
9, 9 - 1 , 8 - 1 , 7-1
9, 9-2, 7-2, 5-2
в) сравнение двух предметных множеств, т. е. ответ на вопрос: «На сколько
предметов в одном множестве больше (меньше), чем в другом?»
В процессе выполнения предметных действий у младших школьников формируется представление о вычитании как о действии, которое связано с уменьшением
количества предметов.
При рассмотрении ситуации в) в практике обучения обычно учащимся предлагается иллюстрация, по которой проводится следующая беседа:
О О
Учитель задает вопрос:
— В каком ряду кругов больше? (Вопрос почти никогда не вызывает затруднений.)
— На сколько в верхнем ряду предметов больше, чем в нижнем? (Вопрос также
не вызывает затруднений, потому что дети ориентируются на количество предметов, оставшихся без пары.) Однако свой ответ первоклассники никак не связывают с
выполнением вычитания, так как никаких действий с предметами они не выполняют.
Для того чтобы ребята могли осознать связь вопроса: «На сколько больше (меньше)?» с вычитанием, нужно направить их деятельность на решение этой задачи.
Опишем возможный вариант.
К доске вызываются два ученика. Каждому из них дается фланелеграф с кругами. У одного из мальчиков (Вити) 7 кругов, у другого (Коли) — 5 кругов. Ученики
встают так, чтобы не видеть кругов на фланелеграфе друг у друга. Класс также не
видит этих кругов. Учитель обращается к классу:
— Никто не знает, сколько кругов у каждого ученика на фланелеграфе, и не может пока ответить на вопрос, у кого их больше или меньше. Поступим так: мальчики,
стоящие у доски, будут одновременно снимать по одному кругу. Может быть, выполнение этого действия поможет ответить на поставленный вопрос.
Дети приступают к выполнению задания. Наступает момент, когда один из учеников говорит:
— У меня нет больше кругов.
— А у тебя еще остались круги? — спрашивает учитель у другого. (Да.)
Учитель обращается к классу:
— Может быть, теперь кто-нибудь догадался, у кого кругов больше, у кого меньше?
— Как ты догадался? (У кого круги остались, у того больше.)
— А вот сколько кругов осталось, мы не знаем. Но я вам скажу, сколько кругов
было у Вити. Может быть, тогда вы догадаетесь, какое нужно выполнить действие,
чтобы ответить на вопрос: «На сколько больше кругов у Вити, чем у Коли?»
(Дети в раздумье...)
— Хорошо, давайте посчитаем, сколько кругов мне дал Коля, а сколько Витя.
(Одинаково. Коля — 5 и Витя — 5.)
— А если я вам скажу, что у Вити было 7 кругов. Тогда вы сможете ответить на
вопрос: «Сколько кругов у него осталось?» или «На сколько у Вити кругов больше,
чем у Коли?» (Нужно из 7 вычесть 5.)
В истинности ответа учащиеся могут убедиться, проанализировав рисунки.
Какие числовые равенства нужно записать, чтобы ответить на вопрос под каждой картинкой:
На сколько больше цыплят,
чем яиц?
76
На сколько больше черепах,
чем листочков?
В результате у первоклассников формируется представление о разностном
сравнении чисел, которое можно обобщить в виде правила: «Чтобы узнать, на
сколько одно число больше (меньше) другого, нужно из большего числа вычесть
меньшее».
При сравнении совокупностей двух предметных множеств также можно опираться на представления детей о соотношении целого и части. Для этого необходимо обратить их внимание на то, что для ответа на вопрос: «На сколько больше ...
(меньше)?» мы выделяем в большей совокупности такую часть предметов, которая
равночисленна другой данной совокупности, и находим другую часть большей совокупности, т. е. выполняем вычитание.
Задание 34. Придумайте необходимые предметные действия и объясните, почему нижеприведенные ситуации можно использовать при формировании у детей
представлений о смысле вычитания.
В гараже стояло шесть машин. После того, как несколько машин выехало,
осталось 2. Покажи, сколько машин выехало из гаража.
Зайчику дали 5 морковок. Две он съел. Покажи, сколько морковок осталось у
зайчика.
В одной вазе 6 апельсинов, в другой на 2 меньше. Покажи, сколько апельсинов во второй вазе.
В одной коробке 10 карандашей, в другой 6. Покажи, на сколько карандашей
в одной коробке больше (меньше), чем в другой.
Придумайте еще ситуации, которые вы могли бы предложить ученикам. Приведите предполагаемые ответы детей и опишите их действия.
Для упражнений в переводе реальных ситуаций на язык математических знаков
можно использовать также пары рисунков. Например:
В этом случае детям целесообразно предложить задание:
— Рассмотрите левую картинку. (Три цветочка.)
— А теперь скажите: что изменилось на правой картинке по сравнению с левой?
Более коротко этот вопрос можно сформулировать так: «Что изменилось слева направо?» (Справа цветков больше. Слева 3 цветка, справа 5. Справа на 2 цветочка больше.)
Учитель предлагает детям записать это изменение на языке математики
(3+2=5).
Затем можно взять пары картинок с разными предметами
В этом случае на вопрос: «Что изменилось слева направо?» дети могут ответить: «Слева телефоны, справа флажки», «Справа флажков больше, чем телефонов
слева».
— А можно ли ответить на вопрос так: «Справа количество предметов на три
больше, чем слева? — спрашивает учитель. — Давайте опишем изменения с точки
зрения количества предметов».
Предлагая такое задание, учитель задает признак, по которому нужно проанализировать изменение, произошедшее при переходе от левой картинки к правой.
С этой же целью можно дать задание: «Пользуясь рисунком, вставьте числа
в "окошки"».
[ZZ1+CIZI-IZZI
При работе с этим рисунком знак «+» служит ориентиром для описания картинки: «Слева 3 гриба, справа — 1. Всего на рисунке 4 гриба». Названные числа расставляют в «окошки», и получается равенство 3+1=4.
Возможно, некоторые дети опишут данную картинку иначе: «Справа один гриб,
а слева на два больше». Тогда в «окошки» нужно вставить другие числа: 1+2=3.
Если к этому же рисунку предложена запись: - = , то описание картинки
будет другим: «Слева три гриба, а справа на два гриба меньше». Математическая
запись этого описания будет выглядеть так: 3-2=1.
Задание 35. Найдите в учебниках математики для начальных классов иллюстрации, которыми можно воспользоваться при формировании у учащихся представлений о смысле действий сложения и вычитания. Составьте вопросы для
беседы с детьми по этим иллюстрациям и приведите предполагаемые ответы. Придумайте ситуации с интересными сюжетами на все виды предметных действий для
работы по этой теме.
Задание 36. Найдите в учебнике первого класса задания, при выполнении которых дети соотносят:
предметные действия с математическими записями;
математические записи с графическими моделями;
вербальную модель с предметной;
вербальную модель с предметной и графической.
78
§ 5. СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ
Из курса математики вам известно, что для сложения целых неотрицательных
чисел используются его коммутативное и ассоциативное свойства. В начальном
курсе математики учащиеся знакомятся с коммутативным свойством сложения, называя его «переместительное свойство сложения» или «перестановка слагаемых».
Ассоциативное свойство сложения представлено в курсе математики начальных классов как сочетательное свойство сложения.
Понимание первоклассниками формулировки переместительного свойства
сложения («От перестановки слагаемых значение суммы не меняется») требует
специальной подготовительной работы, которая включает различные действия
с предметными моделями, анализ и сравнение рисунков, а также усвоение необходимой терминологии. Поэтому при формировании у детей представлений о смысле
сложения полезно предлагать им такие ситуации для предметных действий, при выполнении которых они сами подмечают закономерность, связанную с переместительным свойством сложения.
Например:
На левой тарелке 4 апельсина, на правой — 3. Покажи, сколько апельсинов на
двух тарелках.
Ученики выполняют схематический рисунок и записывают равенство, подсчитав количество апельсинов на двух тарелках.
Теперь на левой тарелке 3 апельсина, на правой — 4. Покажи, сколько апельсинов на двух тарелках.
Ученики выполняют схематический рисунок и записывают равенство, подсчитав количество апельсинов на двух тарелках.
О О О О|
ООО|
l O O О|]
4+3=7
О О О Oil
3+4=7
Сравнивая рисунки (в чем их сходство и различие), дети убеждаются в том, что
количество апельсинов на двух тарелках не изменилось.
Анализ предметных моделей и их соотнесение с математическими записями — важное условие для понимания учащимися формулировки переместительного свойства сложения. Для усвоения данного вопроса могут быть предложены задания:
Чем похожи фишки домино, чем отличаются?
в
• •
• • •
• ••
• • •
в •
•
• • •
•••
ч
ч 1*1
Запиши равенства, соответствующие рисункам.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Выбери равенства, которые соответствуют рисунку:
4+3=7
5+2=7
1+6=7
3+4=7
Выбери равенства, которые соответствуют данным рисункам. Объясни, что
обозначает каждое число в этих равенствах.
==:
3+2=5
4+2=6
<Г-^
Z^Xx^N.
2+4=6
/^
5+1=6
3+3=6
//тш^^птш^^х
4+1=5
С сочетательным свойством сложения младших школьников целесообразно
познакомить при изучении табличных случаев сложения однозначных чисел с переходом в другой разряд (7+6, 9+5, 8+4 и т. д.).
Если действия с сочетательным свойством сложения предшествуют составлению таблицы сложения в пределах 20, то необходимо так же, как и при работе с
переместительным свойством сложения, использовать соотнесение предметных и
символических моделей. В этом случае сочетательное свойство сложения послужит теоретической основой вычислительного приема при сложении однозначных
чисел с переходом в другой разряд.
Однако, обращение к «теоретическим основам» того или иного вычислительного приема для большинства младших школьников представляет определенную
трудность, преодоление которой требует воспроизводящей деятельности и заучивания образцов рассуждений. Использование же предметных моделей (десятков и
единиц) позволяет детям «открыть» тот или иной вычислительный прием самостоятельно. В этом случае, знакомство с сочетательным свойством сложения выступает
как содержательный материал для развития мышления учащихся. Дети сами «открывают» сочетательное свойство сложения, пользуясь приемами анализа и синтеза, сравнения и обобщения.
Для этой цели можно воспользоваться, например, таким заданием:
Догадайся, по какому правилу записаны равенства слева и справа, и вставь
числа в «окошки»:
9+1+6=10+6
9+1+6=9+7
8+2+4=10+4
8+2+4=8+6
7+3+2=10+2
7+3+2=7+5
8+2+5=CZl+[II]
8+2+5=[H]+CZD
9+1+7=CZl+[II]
80
Какое правило ты заметил?
Ответы детей обычно выглядят так: слева сначала сложили первые два числа, а
затем прибавили третье, а справа сложили второе и третье числа и результат прибавили к первому числу. Перевод таких высказываний на язык математики обусловливает необходимость введения нового математического знака (скобок). С их помощью можно записать высказывания школьников в таком виде:
(8+2)+4=8+(2+4)
и сформулировать сочетательное свойство сложения: «Два соседних слагаемых
можно заменить значением суммы». Скобки же в данном случае показывают, какое
действие следует выполнять первым.
Например:
Покажи с помощью скобок, какие два слагаемых ты заменишь значением суммы, и найди значение каждого выражения:
30+40+7
20+70+2
60+30+8
В приведенной выше формулировке сочетательное свойство сложения может
иметь дальнейшее практическое применение в курсе математики начальных классов.
Например:
Можно ли утверждать, что значения выражений в каждой паре одинаковы?
29+1+6
46+4+5
57+3+5
29+7
46+9
57+8
Какое свойство сложения ты можешь использовать для обоснования своего
ответа?
Объясни, как получены выражения, записанные в каждом равенстве справа.
Найди значения этих выражений:
38+2+7=38+9
57+3+5=57+8
76+4+3=76+7
84+6+3=84+9
Сравни выражения, не выполняя вычислений. Какое свойство сложения ты
использовал?
(28+8)+10...28+(8+10)
(36+7)+30...36+(7+30)
Запиши каждое выражение в виде суммы двух слагаемых и найди их значения.
81
Можно ли, не вычисляя, утверждать, что значения выражений в каждом столбце одинаковы?
27+15+8
•
34+6+57
27+18+5
34+57+6
7+15+28
34+7+56
15+27+8
'
4+57+36
Какие числа нужно вставить в «окошки», чтобы получить верные равенства:
74+23=74+СИ+3
77+16=77+CZ]+10
88+11=88+[Ц]+1
29+43=29+[Ц]+40
56+24=56+а+4
36+58=36+LZl+50
§ 6. ВЗАИМОСВЯЗЬ КОМПОНЕНТОВ И РЕЗУЛЬТАТОВ ДЕЙСТВИЙ СЛОЖЕНИЯ
И ВЫЧИТАНИЯ
В основе усвоения взаимосвязи между компонентами и результатами сложения
и вычитания лежит осознание учащимися предметного смысла этих действий. При
этом следует учитывать, что особую трудность для некоторых детей представляет
вычленение и удаление части множества, т. е. понимание тех предметных действий,
которые связаны со смыслом вычитания.
В исследовании Г. Г. Микулиной1 были выявлены интересные факты, которые
необходимо учитывать при изучении смысла действия вычитания. Ею было установлено, что значительная часть учащихся при выполнении предметных действий, связанных с вычитанием, фиксирует скорее пространственное отделение, разъединение двух множеств, чем вычленение и удаление части из целого. Такой вывод был
получен на основе анализа результатов выполнения ряда заданий, предложенных
ученикам. Приведем их.
Учитель берет бумажную полоску, говорит, что сейчас с ней что-то сделает.
Обращаясь к ученикам, просит внимательно следить за производимыми действиями, чтобы ответить на вопрос: «Какое действие выполнено: сложение или вычитание?» Затем отрезает небольшую часть полоски и отодвигает ее в сторону. Большинство учеников сразу отмечают, что выполнено вычитание. Учитель соглашается
и записывает выражение 8-2, поясняя его следующим образом: «Здесь записано,
что мы из 8 см вычли 2 см. Покажите на полоске, где 2 см, а теперь — где 8 см».
Обычно учащиеся правильно показывают 2 см, но многие первоклассники относят 8 см не ко всей первоначальной длине полоски, а только к ее остатку.
На столе кубики (11 шт.). Детям это не сообщается. Учитель говорит, что сейчас произведет с кубиками действие, и нужно определить, какое оно. Отодвигает
в сторону 3 кубика.
'Микулина Г. Г. Действия с предметами как основа усвоения математических понятий\\Начальная
школа. — 1983, №9.
82
— Какое число вычитали? (3)
Учитель фиксирует это записью на доске
- 3 и предлагает в «окошко» вписать
нужное число кубиков. Значительная часть класса, посчитав оставшиеся на столе
кубики, записывает в «окошко» число 8, и вместо правильной записи 11-3 получается запись 8-3.
На столе кубики (12 шт.). Их число не сообщается учащимся. Учитель отодвигает 4 кубика и предлагает детям составить соответствующее выполненному
действию выражение. В отличие от предыдущих в этом задании не дается никакой
предварительной записи. Неверную запись 8-4 вместо 12-4 по-прежнему делают
многие ученики.
Школьникам выдаются карточки или кружки (больше 10), с помощью которых
предлагается проиллюстрировать выражение 6-2. («Покажи на карточках это выражение».) И в этом случае некоторые ребята берут из стопки сначала 6 карточек,
затем 2 и отодвигают эти 2 карточки от 6.
Происхождение подобных ошибок можно объяснить так. В психологии установлено, что дошкольникам свойственно не удерживать одновременно во внимании целое и его части: когда они оперируют частями, то уже не видят перед собой
целого, и наоборот. Преодоление таких ошибок происходит постепенно и обычно
в возрасте 7-8 лет. Поэтому так важно продумать психологический аспект изучения
этого вопроса.
Рассмотрим некоторые методические приемы, в которых учитываются описанные выше психологические особенности младших школьников.
• Работая у доски с рисунками и дидактическими пособиями, полезно сначала
предложить ученику показать предметные совокупности, с которыми он действует, а затем уже назвать число предметов в них. Например, на доске 3 гриба, из них
вычленяется и отодвигается один. Ученикам предлагаются задания: «Покажи:
а) сколько сначала было грибов; б) те грибы, которые отодвинули, и затем те, которые остались». При этом жест, указывающий на целое, должен быть особенным.
(Он делается двумя руками и таким образом как бы объединяет пространственно
разделенные при вычитании части.) Демонстрация такого жеста (без упоминания
числа предметов) позволяет быстро и наглядно прийти к нужному обобщению.
• Выполняя задания с рисунками, к которым дана запись вида - = , рекомендуется заполнять «окошки» не только в прямом порядке, но и начиная с любого. Например, после выяснения содержания рисунка (изображены птички) учитель
может спросить: «Какое число нужно записать после знака минус? После знака
равенства? А теперь покажите на рисунке тех птичек, число которых нужно записать
в первом "окошке"».
• Можно использовать задания такого же рода, но со скрытыми количествами.
При их выполнении внимание учащихся сосредоточивается на соотнесении элементов схемы и предметных совокупностей. Например, на доске записана схема:
83
Учитель ставит на наборное полотно несколько карточек, сложенных пачкой так,
чтобы учащиеся не смогли их пересчитать. Затем в соответствии со схемой он производит вычитание, сохранив оставшуюся часть карточек опять в виде пачки. Потом
указывает в схеме «окошко»-вычитаемое и спрашивает, какое число нужно записать
в него.
— Покажите те карточки, которые убрали. Пересчитайте их.
Полученное число записывается во втором «окошке».
Далее показываются, а потом подсчитываются карточки, число которых надо
поставить в третьем «окошке», затем в первом. Порядок обращения к «окошкам»
нужно все время менять, а сами задания можно предлагать в игровой форме: «Если
правильно покажешь, то можно сосчитать».
• Не менее эффективен и другой методический прием. Например, из б карточек откладываются 2 и производится запись 6-2=4. Учитель обращает внимание на
то, что в записи имеются три числа, и предлагает трем ученикам взять карточки:
одному — 6, другому — 2, третьему — 4. Детей предупреждают, что это нужно сделать всем одновременно, по команде учителя. При выполнении задания обнаруживается, что все карточки либо забирает один ученик и тогда двум другим ничего не
достается, либо двое забирают карточки, тогда одному ничего не достается. Нужно
обязательно проиграть оба варианта распределения карточек, а в итоге подчеркнуть, что карточки каждого из двух ребят - это части того, что должен взять третий.
Заметим, что такое задание, даже воспроизведенное на нескольких уроках, вызывает у учащихся большой интерес.
• Можно предложить комплексное задание с карточками и со схемами.
Например, на доске дана схема - = . Учитель производит действие с пачками карточек так же, как в третьем случае. Только теперь уже указывает не на
«окошки» в схеме, для которых дети находили соответствующую группу карточек,
а на карточки (допустим, оставшиеся) и предлагает найти для их числа место в схеме.
Затем находится место для числа тех карточек, которые вычитали, и запись принимает такой вид: -5=3. Учитель выражает удивление, обращая внимание учеников
на то, что в схеме одно «окошко» осталось незаполненным, хотя карточек больше
нет. Показывая жестом все целое, учащиеся называют учителю то значение, которого недостает.
Разрешение таких «противоречий» в игровой форме помогает ребятам усвоить
взаимосвязь между компонентами и результатами действий сложения и вычитания.
Однако, осознавая «предметную» взаимосвязь компонентов и результатов действий, не все школьники могут описать ее, пользуясь математической терминологией: слагаемые, значение суммы, уменьшаемое, вычитаемое, значение разности.
В этом случае целесообразно использовать понятия целого и части и соотношение
между ними (часть всегда меньше целого; если убрать одну часть, то останется другая).
Понятие целого и части позволяет как бы «материализовать» такие термины,
как слагаемые, уменьшаемое, вычитаемое.
Например, устанавливая соответствие между рисунком и математической записью:
84
S
оо
о
оо
-—
5+3=8
3+5=8
оо
о
8-5=3
8-3=5
первоклассники рассматривают значение суммы как целое, а слагаемые - как его
части. Отсюда: а) если из значения суммы вычесть одно слагаемое, то получим другое слагаемое; б) если к значению разности (часть) прибавить вычитаемое (часть),
то получим уменьшаемое (целое); в) если из уменьшаемого (целое) вычесть значение разности (часть), то получим вычитаемое (часть).
Для более глубокого понимания взаимосвязи между сложением и вычитанием
полезно также использовать соотнесение предметных, вербальных, графических и
схематических моделей, предложив такие задания:
По какому признаку фигуры разбиты на две группы? Объясни, что обозначают
записанные равенства. Какие числа обозначают в каждом равенстве целое, а какие — его части?
5+3=8
3+5=8
8-5=3
8-3=5
Пользуясь словами «целое» и «части», объясни, что обозначают на рисунке
данные равенства:
^
< •
i
i
... ,
i
i V i
>
6+3=9
i >
9-3=6
У О—J
Подумай! Какие равенства ты можешь записать к рисункам:
-*—i—i—i—i—i—н-^ $—i—i—i—I—*—i—i—t
У
Маша составила по рисунку выражения:
8-6
6+3
8-2
2+6
Догадайся! Какое выражение «лишнее»?
Петя сделал 7 корабликов и 3 из них подарил Саше. Обозначь каждый кораблик квадратом и покажи, сколько корабликов Петя подарил Саше и сколько корабликов у него осталось.
Маша выполнила задание так:
осталось
сделал
подарил
85
Миша
—так:
вделал_
осталось подарил
Кто прав: Маша или Миша?
Составь к каждому рисунку три верных равенства.
а)
i
Ф*
б)
i
i
Задание 37. Найдите в учебниках математики для начальных классов упражнения, в процессе выполнения которых дети усваивают взаимосвязь между компонентами и результатами сложения и вычитания. Придумайте сами задания, которые вы могли бы предложить первоклассникам с этой целью.
§ 7. ЧИСЛО И ЦИФРА О
Число «нуль» является характеристикой пустого множества, т. е. множества, не
содержащего ни одного элемента. Первые представления о таком множестве могут
возникнуть у детей уже на этапе использования «числовых фигур», когда они устанавливают соответствие между «числовой фигурой» и цифрой, обозначающей количество предметов.
1
2
3
4
0
Воспользовавшись этим, советуем познакомить первоклассников с числом
и цифрой «нуль» до изучения арифметических действий.
Переходя к арифметическим действиям, число «нуль» можно рассматривать,
опираясь на действия с предметами, как результат вычитания. Для этой цели учащимся предлагаются предметные ситуации, которые они сначала описывают (рассказывают, что нарисовано на картинке), а затем записывают свой рассказ числовыми равенствами.
Например, нарисована веточка с тремя листочками. На втором рисунке на веточке два листочка, а на третьем - один. Ученики комментируют рисунок: «На веточке три листочка. Один листочек сорвали, осталось: 3-1=2. Затем сорвали еще один
листочек, осталось: 2-1=1. Еще один листочек сорвали, осталось: 1-1». Для записи
полученного результата в математике используется число 0: 1-1=0.
Однако, при таком введении числа «нуль» у школьников могут сложиться неправильные представления об этом числе как о результате вычитания, а именно: нуль
получается только в том случае, если из числа 1 вычитается число 1.
86
Чтобы этого не случилось, необходимо рассмотреть как можно больше различных ситуаций, в которых нуль является результатом и таких действий: 2-2, 3-3, 4-4
и т. д.
Например:
На тарелке лежало 2 яблока. Нина и Таня съели их. Сколько яблок осталось на
тарелке?
Можно также предложить задание с вопросом: «Что изменилось?»
3-3=0
4-4=0
Полезно познакомить детей с числом «нуль» как с компонентом арифметического действия (сложения и вычитания). Для этой цели также предлагается задание: «Что изменилось?»
Дети обычно отвечают:. «Ничего не изменилось».
— Может быть, кто-нибудь догадается, какую математическую запись можно
сделать в этом случае? — спрашивает учитель.
Обычно ребята сами предлагают записать равенства: 5+0=5, 5-0=5.
Для введения числа «нуль» можно придумать и другие ситуации, связанные с
изменением количества. Например, на фланелеграфе 3 зайца. Ученики закрывают
глаза, учитель в это время изменяет количество зайцев (добавляя одного). Математическая запись выполненного предметного действия выглядит так: 3+1=4. Затем
рассматриваются ситуации, соответствующие записям: 4+2=6, 4+3=7 и т. д. Наконец, дети закрывают глаза, а учитель оставляет картинку без изменения. Возникает
вопрос - как записать такое «изменение» математическими знаками? Для этой цели
можно использовать число «нуль»:
4+0=4;
4-0=4.
Задание 38. Придумайте различные ситуации, используя которые вы можете
познакомить учащихся с числом и цифрой «нуль».
§ 8. ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ. НУМЕРАЦИЯ ЧИСЕЛ
Из курса математики вам известно, что системой счисления называют язык для
наименования чисел, их записи и выполнения действий с ними. Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах один и тот же
87
знак (из принятых в данной системе) может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа.
В десятичной системе счисления для записи чисел используются 10 цифр (знаков): 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Из них образуют конечные последовательности, которые
являются краткими записями чисел. Например, последовательность 2745 является
краткой записью числа: 2* 103+7• 102+4« 101+5« 10°. Числа 10°=1, 10\ 102, 103, ... 10"
называют разрядными единицами первого, второго, третьего ... («+1)-го разряда.
При этом 10 единиц одного разряда составляют одну единицу следующего высшего
разряда, т. е. отношение соседних разрядов равно 10.
Умения, а затем навыки читать и записывать числа в десятичной системе счисления формируются у младших школьников поэтапно и тесно связаны с такими понятиями, как «число», «цифра», «разряд», «класс», «разрядные единицы», «разрядные десятки», «разрядные сотни» и т. д.... «разрядные слагаемые».
В качестве таких этапов традиционно выделяли концентры: десяток, сотня,
тысяча, многозначные числа. Но это не совсем корректно, так как многозначными
можно называть числа уже в пределах сотни и тысячи.
Рассмотрим подход к изучению нумерации чисел, при котором выделяются
темы: «Однозначные числа», «Двузначные числа», «Трехзначные числа», «Четырехзначные числа», «Пятизначные и шестизначные числа». Такие названия более полно
отражают содержание, при изучении которого учащиеся учатся читать и записывать
числа, содержащие один, два, три и т. д. знаков, а также помогают детям лучше осознать различия между цифрой (знаком) и числом.
В теме «Однозначные числа» первоклассники овладевают навыками счета, у них формируются представления о количественном и порядковом числе, они
знакомятся с цифрами, которые используются для записи чисел, и с принципом построения отрезка натурального ряда однозначных чисел. Затем усваивают смысл
сложения и вычитания, понятий «увеличить на...», уменьшить на...», разностного
сравнения и состав однозначных чисел. Запись числа «десять» и его представление в виде суммы двух слагаемых включаются в тему «Двузначные числа».
На первом уроке по теме «Двузначные числа» учащимся предлагаются картинки, на которых предметы расположены по десять в каждом ряду.
:..
.
.
.
.
. •
«Сколько предметов на каждой картинке?» — выясняет учитель. Если предоставить ученикам возможность самостоятельно ответить на этот вопрос, то возникшую
ситуацию можно назвать проблемной. Некоторые дети уверенно принимаются за
дело, при этом начинают считать яблоки, которые расположены в первом столбце.
Но где-то на третьем-четвертом столбце они приостанавливают свою деятельность
и начинают смотреть, что делает сосед по парте. Другими словами, ребята не могут
выполнить задание известным им способом.
88
Большинство первоклассников самостоятельно находят способ действия —
счет десятками — и приходят к выводу, что считать десятками можно так же, как
единицами.
1 ед., 2ед., Зед., 4ед
1 дес, 2дес, 3 дес, 4 дес
Пользуясь десятком как счетной единицей, учащиеся легко определяют количество предметов на других картинках и осмысливают записи: 4 дес. 3 ед.; 3 дес. 4ед.
Таким образом вводятся числа, для записи которых нужно использовать два
знака (двузначные числа). Учебная задача поставлена - научиться читать и записывать эти числа.
Усвоение нумерации двузначных чисел начинается с осознания того, что двузначное число состоит из десятков и единиц. Для этой цели используется модель
десятка - треугольник, на котором нарисованы 10 кружков. Каждый кружок является предметной моделью единицы:
В качестве наглядных пособий при изучении двузначных чисел в практике используют также 10 палочек, связанных в пучок (модель десятка) и отдельные палочки, счеты, абак — таблицу с двумя рядами карманов: один ряд для палочек, другой
для разрезных цифр, а также пособие с выдвижными пластинками, в котором единицы и десятки обозначены кругами разного цвета.
Десятки
Единицы
•
о
о
о
о
о
о
о
о
1
о
оо
о
о
оо
Однако модель десятка в виде треугольника, наполненного десятью кругами,
каждый из которых обозначает одну единицу, является более эффективной как для
осознания детьми структуры двузначного числа, так и для усвоения соотношения
разрядных единиц.
Преимущество этой предметной модели в том, что она удобна для восприятия.
Расположение кругов в треугольнике (один в верхнем ряду, ниже 2, 3 и 4) позволяет
ученикам быстро определить их полное количество (10 кругов) или отсутствие какого-то количества.
Последующая работа, направленная на усвоение десятичной системы счисления и на формирование навыка читать и записывать двузначные числа, связа89
на с установлением соответствия между предметной моделью двузначного числа
(треугольник, в котором 10 кругов, и отдельные круги, обозначающие единицы) и
его символической записью (запись двузначного числа цифрами).
Для этой цели предлагаются задания.
Запиши цифрами числа, которые соответствуют каждому рисунку.
Чем похожи рисунки? Чем различаются?
Чем похожи числа? Чем отличаются?
Увеличь число 30 на 2 д е с , на 5дес, на 3 дес. (Дети работают с моделями
десятков и записывают числовые выражения и равенства.)
Наблюдай! Какая цифра изменяется в числе 30? Какие еще числа можно прибавить к числу 30, чтобы изменилась только цифра, обозначающая десятки, а цифра,
обозначающая единицы, не изменилась?
Основной способ усвоения устной и письменной нумерации двузначных чисел —
это анализ их названий, выявление сходства и различий в их записи, обобщение
установленных в результате наблюдений закономерностей.
Например:
Для названий чисел, в которых 1 десяток, существует свое правило. Попробуй его разгадать:
1 дес. — десять
1 дес. 1 ед. — одиннадцать
1 дес. 2 ед. — двенадцать
1 дес. 3 ед. — тринадцать
1 дес. 4 ед. — четырнадцать
1 дес. 5 ед. — пятнадцать
1 дес. 6 ед. — шестнадцать
1 дес. 7 ед. — семнадцать
1 дес. 8 ед. — восемнадцать
1 дес. 9 ед. — девятнадцать
90
Сравни названия чисел слева и справа
1 десяток — десять
2 десятка —двадцать
3 десятка —тридцать
4 десятка —сорок*
5 десятков —пятьдесят
6 десятков —шестьдесят
7 десятков —семьдесят
8 десятков —восемьдесят
9 десятков —девяносто*
Что ты заметил? Как ты думаешь, почему названия двух чисел отмечены звездочкой?
Чем похожи и чем отличаются числа в каждой паре?
1 и 10
7 и 70
4 и 40
2 и 20
8 и 80
9 и 90
Прочитай числа:
71 и 17
61 и 16
81 и 18
91 и 19
41 и 14
21 и 12
Чем отличаются названия чисел, в которых 1 десяток, от названий других двузначных чисел?
Повторение ранее изученных вопросов в теме «Двузначные числа» происходит
в процессе решения новой учебной задачи. Средством организации деятельности
учащихся, направленной на формирование умения читать и записывать трехзначные числа и на повторение пройденного, служит калькулятор.
Например:
Увеличивай число 20 на 3 д е с , на 5 дес, на7дес. Наблюдай! Какая цифра изменяется в числе 20?
Какие числа можно прибавить к числу 30, чтобы изменилась только цифра,
обозначающая десятки? Запиши эти числа.
Проверь себя с помощью калькулятора.
Какие числа можно вычесть из числа 80, чтобы изменилась только цифра,
обозначающая десятки? Запиши эти числа.
Проверь себя с помощью калькулятора.
При изучении нумерации трехзначных чисел используется аналогичный методический подход.
На первом уроке по теме «Трехзначные числа» детям предлагается задание:
«Назови «лишнее» число: 83, 54, 49, 309, 39, 23, 94». Ориентируясь на внешние при91
знаки, ученики без труда обнаруживают это число. Но назвать его могут обычно не
все. «Этому будем учиться», — говорит учитель. Учебная задача поставлена — научиться читать и записывать числа, в которых три знака (цифры).
Знакомство с новым разрядом можно начать с похожего задания, но вместо
числа 309 записать число 100, которое большинство учеников смогут прочитать,
опираясь на свой опыт, и высказать предположение о названии нового разряда. Выявление сходства и различия в специально подобранных парах двузначных и трехзначных чисел позволит детям самостоятельно прочитать трехзначные числа.
Чем похожи и чем различаются числа в каждой паре: 32 и 132, 48 и 148, 54 и
154,99 и 199?
Для усвоения соотношения разрядных единиц в трехзначном числе полезно обратиться к предметным моделям сотни, десятка, единицы, предложив , например,
такое задание:
Рассмотри рисунок.
Сколько единиц в 1 десятке?
Сколько десятков в 1 сотне?
Сколько единиц в 1 сотне?
1 сотня
1 дес.
1 ед.
Устную и письменную нумерацию трехзначных чисел лучше осваивать одновременно, выполняя задания на соотнесение предметных, вербальных и символических моделей.
Например:
Учитель выставляет на доске предметные модели: 2 сотни, 4 десятка, 5 единиц и просит детей назвать количество кружков на рисунке, указывая разряды (сотни, десятки, единицы). Затем выясняется, как по-другому называют 2 сотни (двести), 4 десятка (сорок), 5 единиц (пять). После этого ученики записывают число,
соответствующее данной предметной модели.
Учитель записывает на доске число 402. Школьники выставляют модели:
4 сотни и 2 единицы. Заменяют названия разрядов названиями чисел, получают
число: четыреста два.
Работу с разрядным составом числа делает более интересной и результативной применение калькулятора:
Набери на калькуляторе 1 сотню. Какие клавиши ты нажимал? Проверь: на
экране должно быть число 100. Прибавь к этому числу 1 сотню, еще 1 сотню, еще
1 сотню.
Наблюдай! Что происходит на экране?
92
Полезным окажется калькулятор и для повторения принципа образования натурального ряда чисел. Для этой цели учитель предлагает детям:
— Наберите на калькуляторе число 200. Какое следует за ним число? (201) Проверьте свой ответ на калькуляторе. (Для получения следующего числа надо прибавить 1.) Такие задания оказываются особенно эффективными при работе с числами, название и запись которых вызывают у детей затруднения. Речь идет о числах,
следующих за трехзначным числом, у которого в разряде единиц цифра 9 (299, 209,
159,829).
Для записи трехзначного числа в виде суммы разрядных слагаемых в практике
используют карточки, на которых изображены: однозначные числа (0, 1, 2, 3
9),
двузначные (10, 20, 30, 40, ...90) и трехзначные (100, 200, 300, 400,...900). Записывая, например, число 543, ученики берут карточку с числом 500, затем накладывают
на нее карточку с числом 40 (ориентируясь на соответствующие разряды), а поверх
разряда единиц карточку с числом 3. После этого, разложив карточки в ряд и поставив между числами знак«+», получают запись трехзначного числа в виде суммы
разрядных слагаемых.
543
500+40+3
При изучении трехзначных чисел, так же как и при изучении двузначных, детям
предлагаются задания:
— на выявление признаков сходства и различия двузначных и трехзначных чисел:
Чем похожи и чем отличаются числа в каждой паре:
32 и 132
54 и 154
48 и 148
99 и 199
— на запись трехзначных чисел определенными цифрами;
Запиши цифрами 4 и 7 различные трехзначные числа. Сколько таких чисел
можно записать?
— на сравнение чисел:
Какие цифры можно вставить в «окошки», чтобы получились верные неравенства:
35>335
>
2
>2 6
547< 47
— на классификацию:
По какому признаку можно разбить числа на две группы:
581, 685, 584, 681, 589, 686, 582
Какими числами можно дополнить каждую группу?
— на выявление правила (закономерности) построения ряда чисел:
По какому правилу записан каждый ряд чисел:
а) 123, 125, 127, 129, 131 ...
6)389,388,387,386,385...
Перечисленные виды заданий используются и при изучении тем «Четырехзначные числа», «Пятизначные и шестизначные числа».
Для усвоения детьми математической терминологии необходимо систематически включать ее в формулировки заданий, а учителю важно следить за своей речью
и не допускать ошибок в использовании терминов «число» и «цифра», а также обратить особое внимание на четкость вопросов, предметом которых являются либо
единицы определенного разряда, либо все число. Например, по отношению к числу
248 можно задать два вопроса:
— Сколько десятков содержится в разряде десятков? (4)
— Сколько десятков содержится в числе 248? (24 десятка)
Некорректно также утверждать, что цифра 0 обозначает отсутствие разряда.
Например: нельзя говорить, что в числе 209 отсутствует разряд десятков. Следует
сказать, что в числе 209 отсутствуют разрядные десятки. Но так как 2 сотни — это
20 десятков, то в числе 209 содержится 20 десятков.
В теме «Четырехзначные числа» учащиеся знакомятся с новым разрядом: «единицы тысяч», или «тысячи».
Им предлагается задание:
По какому правилу записан ряд чисел?
991,992,993,994,...
Продолжи ряд, записав в нем еще 8 чисел. Если возникнет затруднение,
воспользуйся калькулятором. По какому признаку можно разбить числа, записанные в ряду, на две группы?
Знаешь ли ты, как называется самое маленькое четырехзначное число?
Дети самостоятельно записывают первые пять чисел: 995, 996, 997, 998, 999.
Проблема может возникнуть при записи следующего числа. В этом случае число 999
набирается на калькуляторе и, пользуясь принципом образования натурального ряда
чисел (прибавив 1), ученики получают на экране число 1000. Выясняется, чем отличается это число от всех предыдущих чисел (4 цифры, новый разряд). Многие дети
узнают это число, называют его и высказывают догадку о названии нового разряда.
Полезно выяснить, как можно назвать это число по-другому (сто десятков, десять сотен). Вполне вероятно, что ребята смогут самостоятельно ответить на этот |
вопрос, используя соотношение разрядных единиц. Так же, как и в теме «Трехзначные числа», допустимо обратиться к калькулятору и выполнить такое задание:
Набери на калькуляторе 1 тысячу. Какие клавиши ты нажимал? Проверь, на
экране должно быть число: 1000. Прибавь к этому числу 1 тысячу, еще 1 тысячу, за-е1.' е_~ 1 тысячу... Наблюдай! Что происходит на экране?
Запиши в ряд числа, которые ты получал на экране калькулятора. Чем похожи
94
Догадайся, как называется новый разряд, который стоит на четвертом месте
справа?
Использование предметной модели при изучении нумерации четырехзначных
чисел вряд ли возможно. Поэтому основным способом усвоения нумерации являются задания на анализ, сравнение, классификацию, в которых тщательно подбираются числа и при выполнении этих заданий дети могут применять уже известный
им материал.
По какому правилу составлен каждый ряд чисел? Продолжи ряды, записав
в каждом еще шесть чисел. Прочитай по-разному каждое число.
а) 10, 20, 30, 40, ...
б) 100,200,300,400, ...
в) 1000, 2000, 3000,4000, ...
г) 1001, 1002, 1003, 1004, 1005, ...
Чем похожи и чем отличаются числа в каждой паре? Прочитай каждое число,
а) 4 и 54
б) 52 и 352
в) 375 и 4375
4 и 504
52 и 3052
808 и 4808
г) 8 и 68
8 и 608
д)91 и 391
91 и 3091
е) 672 и 9672
501 и 7501
Разгадай правило, по которому записаны числа в каждом столбце. Вставь
пропущенные числа.
а) 1200
6)5400
в) 6800
г) 7900
1020
5040
1002
5004
6008
7009
Чем отличаются друг от друга числа в каждой паре?
а) 378 и 2378
б)9 и 8009
в)507 и 8507
г) 7 и 5007
д)620 и 8620
е)78 и 2078
В теме «Четырехзначные числа» учащиеся знакомятся с правилом умножения
числа на 100, которое они «открывают» самостоятельно в результате выполнения
задания:
1. Не вычисляя значений выражений, поставь знаки <, >, =, чтобы получились
верные равенства:
а) 4-100... 100+100+100+100+100
б) 6-100... 100+100+100+100+100+100
в) 8-100... 100+100+100+100
2. Догадайся: каким правилом можно пользоваться при умножении любого числа на 100?
95
3. Проверь свою догадку на калькуляторе.
4. Запиши, чему равны значения произведений:
3-100; 10-100; 12-100; 25-100; 47-100.
5. Проверь свои ответы на калькуляторе.
Используя только что выведенное правило, можно повторить ранее изученные
вопросы, решая при этом новую учебную задачу — овладеть нумерацией четырехзначных чисел.
Не вычисляя значений произведений, поставь знаки >, <•, =, чтобы получились
верные записи:
а)27-100
100-32
6)10-13
12-10
34-100
100-34
52-100
100-48
100-10
9-100
3-1000
1000-4
Здесь повторяется переместительное свойство умножения и смысл действия
умножения.
Можно повторить понятия «увеличить в...», «уменьшить в...», предложив задания:
Запишите числовые равенства:
а) 9 сотен увеличить в 3 раза;
б) 8 сотен увеличить в 5 раз;
в) 5 сотен увеличить в 7 раз;
г) 60 сотен уменьшить в 10 раз.
Дети учатся по-разному читать четырехзначные числа: 9 сотен увеличить в
3 раза — получим 27 сотен, или 2700.
Распределительное свойство умножения повторяется при выполнении задания:
Вставь пропущенные числа, чтобы получились верные равенства:
а)75-
=7500
83- =8300
•100=5400
680 • =6800
92- =9200
6)46 • =460
27• =270
•100=3400
•19=9200
•100=5400
Взаимосвязь компонентов и результата умножения, а также понятие «увеличить в...» находят применение в задании:
Верно ли утверждение, что значения выражений в каждом столбце одинаковы? Ответить на вопрос нужно, не выполняя вычисления.
а)9-(8-100)
6)800-7
в)500-6
(9-8)-100
(8-7)-100
(5-6)-100
96
(9-100)-8
8-(7-100)
(5-100)-6
9-800
8-700
5-600
72-100
56-100
30-100
В этом же упражнении повторяются сочетательное свойство умножения и таблица умножения.
Для повторения ранее изученных вопросов также используется калькулятор.
Набери на калькуляторе любое число, в котором 8 тысяч. На сколько можно
уменьшить это число, чтобы изменилась только цифра, обозначающая тысячи, а
цифры, обозначающие единицы, десятки и сотни, не изменились? Проверь свои
предположения на различных числах.
Запиши числовые равенства. Чем эти равенства похожи?
Какое действие нужно выполнить на калькуляторе, чтобы узнать, на сколько:
а) 5078 меньше 6394;
б) 8124 больше 7028;
в) 4002 больше 2027;
г) 6037 меньше 8108?
Выполни действие на калькуляторе и запиши ответы числовыми равенствами.
Умение называть количество единиц, десятков, сотен, тысяч в числе требует
как усвоения разрядного состава числа, так и осознания того, что каждая разрядная единица в числе (за исключением первого разряда единиц) содержит 10 единиц
низшего разряда,т. е. 1 дес. = Юед.; 1 сотня = Юдес. = 100ед.; 1 тыс.=10сот. = 100 дес.=
= 1000 ед.
Следует заметить, что именно такое рассуждение оказывается более доступным для младших школьников, чем то, что 10 единиц каждого разряда составляют
1 единицу высшего разряда.
Например: число 843 содержит 843 единицы, так как в разряде единиц 3 ед.,
в разряде десятков их 40 (1 дес. = 10 ед., 4 дес. = 40 ед.); в разряде сотен содержится 8 сотен. Это 80 десятков, или 800 ед.
Таким образом: 843 = 800+40+3.
Число 843 содержит 84 дес., так как в разряде десятков 4 дес., в разряде сотен
8 сот., или 80 дес.
Приведенные рассуждения могут быть впоследствии обобщены в виде приема:
для того, чтобы определить количество десятков в числе, нужно закрыть цифры,
стоящие в разряде единиц:
345 (34 дес), 8754 (875 дес.)
Для того, чтобы определить количество сотен в числе, нужно закрыть цифры,
стоящие в разряде единиц и десятков:
9456 (94 сот.), 81506 (815 сот.).
Аналогично определяется количество тысяч, десятков тысяч и т. д. в любом
числе.
4-12726 Истомина
97
При изучении темы «Пятизначные и шестизначные числа» учащиеся знакомятся
с понятием «класс». Для введения пятизначных чисел можно воспользоваться заданием, при выполнении которого ученики используют приемы анализа, сравнения
и аналогии.
Разгадай правило, по которому составлен ряд чисел.
1285,2285,3285,4285, ...
Запиши в этом ряду еще семь чисел по тому же правилу. Догадайся, как прочитать пятизначные числа. Какой новый разряд появился в пятизначных числах?
Анализируя записанные числа, дети самостоятельно называют правило (изменяется цифра, стоящая в разряде тысяч). Каждое следующее число увеличивается
на одну тысячу. Продолжая ряд, ученики самостоятельно доходят в записи до числа
9285. Увеличивая это число на 1 тысячу, они получают 10 тысяч 285. Это позволяет
им высказать предположение о появлении нового разряда, название которого угадать легко (десятки тысяч). Запись последующих чисел ряда, как правило, не вызывает затруднений.
В школе обычно широко используется таблица разрядов и классов, в которую
учащиеся записывают различные числа, выполняя задания такого вида:
Запиши число, в котором 5 сотен тысяч, 3 десятка тысяч, 2 единицы тысяч,
8 десятков и 1 единица.
Запиши число, в котором 35 единиц второго класса и 2 единицы первого
класса.
При этом ученики ориентируются на названия разрядов и классов, данные
в таблице. Однако такая работа, как показывает практика, оказывается малоэффективной для самостоятельной записи чисел без опоры на таблицу. Гораздо продуктивнее прием определения цифр в записи числа. В этом случае таблица может
присутствовать в таком виде и выполнять функцию контроля.
Класс тысяч
(второй класс)
десятки
Класс единиц
(первый класс)
единицы
десятки
етырех
единицы
гачныечисла
Например, детям предлагается задание: «Запиши число 204 тысячи семь».
Ученик рассуждает так: «Если в числе 204 тысячи, значит, в записи этого числа
обязательно есть разряды сотен, десятков и единиц, следовательно, в числе 6 знаков». Он пишет 204 и ставит еще три точки: 204... Но в числе еще 7 единиц. (Запи98
сывает в разряде единиц цифру 7.) Делает вывод — в числе отсутствуют разрядные
десятки и сотни. Пишет в этих разрядах нули. Имеем число 204007.
Полезно продолжить работу, предложив ученикам записать еще три числа, в
которых 204 тысячи. (Дети записывают разные числа.)
Аналогично: «Запиши число, в котором 21 тысяча 20 (21...).
Так же, как при изучении четырехзначных чисел, дети самостоятельно «открывают» правило умножения на 1000.
Поставь знаки <, >, =, чтобы получились верные записи.
а)3-1000
1000+1000+1000
6)5-1000
1000+1000+1000+1000
в)2-1000
1000+1000+1000
Основной способ усвоения нумерации пятизначных и шестизначных чисел, (как
и четырехзначных) — это выполнение заданий на анализ, сравнение, классификацию специально подобранных чисел.
Задание 39. Ориентируясь на методику изучения трехзначных и четырехзначных чисел, подберите различные виды заданий для усвоения детьми нумерации пятизна чных и шестизна чных чисел.
§ 9 . ВЕЛИЧИНЫ
Формирование у младших школьников представлений о числе и о десятичной
системе счисления тесно связано с изучением величин. При знакомстве учащихся
с конкретными величинами важно, чтобы у них сложилось определенное представление о том, что такое величина вообще и как ее измерять. Не менее важно, чтобы представление о величинах связывалось у ребенка с предметами и явлениями
экружающего мира и так же, как и понятие числа, понятие «величина» приобрело
цля него практическую значимость.
В математике существуют различные подходы к раскрытию понятия величины,
<ю ни одним из них нельзя прямо руководствоваться в начальной школе, так как все
эни обладают высоким уровнем абстракции.
В начальных классах у детей имеются некоторые интуитивные представления
э величинах и об их измерении. Измерение заключается в сравнении данной величи<ы с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу. Процесс сравнения за•исит от рода рассматриваемых величин: для длины он один, для площади — другой,
для масс — третий и т. д. Но каким бы ни был этот процесс, в результате измерения
кличина получает определенное числовое значение при выбранной единице измерения.
Если имеется величина а, которую надо измерить, а единицей измерения вы>рана величина е, то путем измерения а находят число х (а=хе). Число х называют
исловым значением величины а при единице величины е.
Результатом измерения является числовое значение величины.
99
Современная математика различает такие понятия, как число и величина.
Хотя эти понятия и являются тесно связанными, но операции счета и измерения
различны по своей сути. Отмеряя, например, кусок проволоки и пользуясь меркой — дециметром, ученик отсчитывает 1 дм, 2 дм, Здм,..., 20 дм.
На самом же деле последовательно откладывается данная мерка — дециметр — по длине измеряемой проволоки, поэтому и результат записывается с соответствующим наименованием: 20 дм. Это уже не число, а величина. Если же длину
данной проволоки измерить сантиметром, то результат должен быть записан с другим наименованием — 200 см, а, если единицей измерения будет метр, то получим
2 м. Не случайно в методике начального обучения математике существовал термин
«именованные числа».
Действия с величинами и их отношения равносильны аналогичным действиям и
отношениям с их числовыми значениями.
Если величины а и Ъ измерены при помощи одной и той же единицы, то отношения между величинами а и Ъ будут такими же, как и отношения между их числовыми
значениями, и наоборот.
Например, если массы двух предметов таковы, что а=5 кг, Ь=3 кг, то а>Ь, так как
5>3.
Если величины av\b измерены при помощи одной и той же единицы, то, чтобы
найти числовое значение суммы а+b, достаточно сложить числовые значения величин а и Ъ. Справедливо и обратное утверждение. Так, если а=5 кг, 6=12 кг, то
fl+Z)=15 кг+12 кг=27 кг.
Если величины а и b таковы, что Ь=ах, где х- неотрицательное число, то, чтобы
найти числовое значение величины Ъ, достаточно числовое значение величины а
умножить на число х.
Например, если масса Ъ в 3 раза больше массы а и а-1 кг, то Ь=2 кг -3=6 кг.
В курсе математики начальных классов дети знакомятся с различными величинами: длина, масса, объем, время, площадь.
При формировании представлений о каждой из названных величин целесообразно ориентироваться на определенные этапы, в которых нашли отражение:
математическая трактовка данного понятия, его взаимосвязь с изучением других
вопросов начального курса математики, а также психологические особенности
младших школьников.
1-й этап. Выяснение и уточнение представлений детей о данной величине (обращение к опыту ребенка).
2-й этап. Сравнение однородных величин (визуально, с помощью ощущений,
наложением, приложением, путем использования различных мерок).
3-й этап. Знакомство с единицей данной величины и с измерительным прибором.
4-й этап. Формирование измерительных умений и навыков.
5-й этап. Сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах
одного наименования.
6-й этап. Знакомство с новыми единицами величин в тесной связи с изучением
нумерации и сложения чисел. Перевод однородных величин, выраженных в едини100
цах одного наименования, в величины, выраженные в единицах двух наименований,
и наоборот.
7-й этап. Сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований.
8-й этап. Умножение и деление величин на число.
Рассмотрим некоторые конкретные величины.
Длиной отрезка называется некоторая положительная величина, определенная
для каждого отрезка так, что:
а) равные отрезки имеют равные длины;
б) если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме
их длин.
В математике доказано, что при выбранной единице измерения длина любого
отрезка выражается действительным числом и для каждого положительного числа
есть отрезок, длина которого выражается этим числом. Основная единица длины —
метр. Из этой единицы образуются другие единицы длины: сантиметр, дециметр,
миллиметр, километр.
В начальном курсе математики длины отрезков выражаются натуральным числом, при этом оно выступает в новом качестве: показывает, из скольких выбранных
единичных отрезков состоит данный отрезок. При выбранной единице длины для
заданного отрезка это число единственное. Новый смысл приобретают и действия
с натуральными числами — результатами измерения длин отрезков.
Так, если натуральное число п — значение длины отрезка АВ при единице длины е, а натуральное число m — значение длины отрезка CD при той же единице, то
сумма т+п есть числовое значение длины отрезка AD при единице длины е.
При знакомстве с понятием «длина» детям предлагаются различные картинки, а
ученики рассказывают, что на них нарисовано, используя слова: длиннее — короче,
шире — уже, выше — ниже, ближе — дальше.
Имеющийся у первоклассников жизненный опыт позволяет им выполнить задание, а затем с помощью учителя перевести свой ответ на язык математики. В данном случае: «длина больше...», «длина меньше...», «длина одинаковая».
Большую роль в осознании детьми процесса измерения могут сыграть различные ситуации проблемного характера.
Например, на доске прикреплены две полоски (90 см и 120 см). Учитель обращается к классу с вопросом: «Как вы думаете, длина какой полоски больше?» Ученики
могут высказать правильное предположение, но его нужно обосновать. Сначала они
предлагают известный им способ действия (наложить полоски одну на другую). Но
учитель ставит условие: полоски передвигать нельзя. Отыскивая новый способ действия, учащиеся предлагают использовать для этой цели карандаши, ручки, веревочки и т. д. Учитель, в свою очередь, предлагает им воспользоваться для обоснова101
ния ответа планками различных цветов и размеров: красная — 30 см; синяя — 15 см.
Укладывая красную планку по длине первой полоски, дети, пока еще не осознавая
этого, проводят измерение. В результате измерения первой полоски они получают
число 4, а второй — 3 и самостоятельно приходят к выводу, что 4>3 и, значит,
длина первой полоски больше длины второй.
Можно подкрепить вывод, использовав планку другого цвета (например, синюю — 15 см). Для создания проблемной ситуации учитель действует сам: «А теперь
я попробую выяснить с помощью планок (мерок), какая полоска длиннее».
Ученики внимательно следят за действиями педагога, т. к. они не сопровождаются какими-либо пояснениями.
Учитель берет красную планку (30 см) и укладывает ее подлине полоски 120 см
(получает число 4), затем берет синюю планку (15 см) и укладывает ее подлине полоски 90 см (получает число 6).
«У меня получилось, что 4<6, — говорит учитель, — значит, длина первой полоски меньше длины второй. Кто же прав, я или вы?» (Учащиеся находят причину
ошибки.)
Данный вопрос позволяет первоклассникам осознать, что для сравнения длин
полосок необходимо пользоваться одной меркой и числовое значение величины зависит от выбранной единицы. Этот вывод усваивается в процессе выполнения различных учебных заданий.
Например, используя групповую форму организации деятельности учащихся,
можно провести на уроке такую практическую работу. На каждую парту кладется полоска и две мерки: одна красная, другая синяя. Один ученик измеряет полоску красной меркой, другой — синей. Естественно, получаются разные числовые значения,
что позволяет организовать обсуждение следующих вопросов: «Разве может быть
так: измерялась одна и та же полоска, а числа получились разные? В чем дело? Может быть, допущена ошибка?»
Можно предложить и такое задание. На клетчатой бумаге начерчена полоска.
Учитель описывает ситуацию: трое учеников измеряли эту полоску, один получил
число 8, другой — 4, а третий — 2. Кто из них прав?
Чем больше будет рассмотрено практических ситуаций, тем активнее учащиеся
будут постигать понятие величины. Большой интерес вызывает у них ситуация из
мультфильма, когда измеряли длину удава попугаями, мартышками, слониками, но
так и не смогли решить, какой же он длины.
Для сравнения длин отрезков различными мерками целесообразно познакомить учащихся с циркулем. С помощью этого инструмента дети могут выполнять,
например,такие задания:
Сравни длины отрезков, пользуясь мерками:
а)
М
102
б)
Можно ли утверждать, что длины отрезков AD и ЕК одинаковы?
Начерти в тетради отрезки такой же длины.
Дети проводят луч и циркулем откладывают на нем данные отрезки.
В результате практической деятельности они сами делают вывод о необходимости введения единицы длины. Тогда учитель знакомит их с сантиметром и дециметром, а также с линейкой — инструментом для измерения длины.
Для того чтобы учащиеся лучше осознали взаимосвязь между числом и величиной, т. е. поняли, что в результате измерения они получают числа, которые можно
складывать и вычитать, полезно в качестве наглядного пособия для сложения и вычитания чисел использовать ту же линейку.
Например, ученикам дается полоска. Требуется с помощью линейки определить ее длину. Линейка прикладывается так, чтобы 0 совпал с началом полоски. Конец полоски совпадает с числом 3. Затем учитель предлагает вопросы: «А если приложить линейку так, чтобы начало полоски совпадало с числом 2, с каким числом на
линейке тогда совпадет конец полоски? Почему?»
Некоторые учащиеся сразу называют число 5, объясняя, что 2+3=5. Тот, кто затрудняется, прибегает к практическому действию, в процессе которого закрепляет вычислительные навыки и приобретает умение пользоваться линейкой для вычислений.
Возможны аналогичные упражнения с линейкой и на обратное действие (вычитание). Для этого ученики сначала определяют длину предложенной им полоски
(например, 4 см), а затем учитель спрашивает: «Если конец полоски совпадает с
числом 9 на линейке, то с каким числом совпадает начало полоски?» (5; 9-4=5).
Знакомство с каждой новой единицей длины также связано с практическими
действиями школьников. Например, при введении новой единицы измерения — дециметра — учитель строит изучение материала так, чтобы дети прежде всего осознали ее необходимость. Для этого можно снова вернуться к сравнению длин полосок, например 50 см и 70 см, предложив мерки в 1 см и 1 дм (поначалу можно
не сообщать длину этих мерок), и выполнить задание — сравнить длины полосок с
помощью предложенных мерок.
Учащиеся на практике убеждаются в том, что пользоваться меркой в I см неудобно: это требует значительного времени. Использование же второй мерки позволяет справиться с заданием гораздо быстрее. Учитель сообщает, что длина
второй мерки — 10 см и ее называют дециметром. После чего ученики находят на
линейке 1 дм.
103
Установив соотношение между единицами длины (1 дм=10 см), первоклассники могут выполнять различные упражнения, связанные с переводом единиц одних
наименований в другие, и даже рассматривать длины, выраженные в единицах двух
наименований.
Вера купила ленту длиной 70 см, а Маша —длиной 8 дм. У кого лента короче?
Что ты можешь рассказать об этих отрезках?
1 дм 2 см
1ДМ
ртгрргрррфлрф^ттг^
9
Ш
11
L
На сколько сантиметров надо уменьшить длину каждого отрезка, чтобы получились отрезки длиной 1 дм?
1 дм 6 см
36 см
Здм 2 см
1 дм 8 см
72 см
6 дм 4 см
19 см
41 см
8 дм 1 см
28 см
50 см
1 дм 4 см
На сколько сантиметров
чились отрезки длиной 3 дм?
2 дм 6 см
1
2 дм Зсм
1
2 дм 4 см
1
надо увеличить длину каждого отрезка, чтобы полудм 8 см
дм 2 см
дм 5 см
21см
18 см
14 см
Поставь знаки >, < или =, чтобы получились верные записи:
4 дм 8 см ... 4 дм 6 см
62 см ... 6 дм 4 см
34 см ... Здм 2 см
8 дм 3 см ... 83 см
6дм7см...7дм
50см...5дм
Пользуясь рисунком, вставь пропущенные в тексте буквы и числа:
«Длина отрезка АВ ... см. Он короче отрезка МКна ... см. Длина отрезка CD ... см.
Он длиннее отрезка ВК на ... см. Отрезок ВК длиннее отрезка АВ на ... см».
-.в
А г-
М i-
в 'с L
--D
pifmiiqiwpjyp"^
г
з
"•
'.1
Запиши числовым выражением сумму длин отрезков АВ и ВК; разность длин
отрезков CD и АВ.
104
При выполнении упражнений типа: «Вставь пропущенные числа: 1 дм 5 см = ... см;
18 см =... дм ... см», полезно обращаться к практическим действиям, потому что у
детей не сразу формируется четкое представление о возможности выражения длины в виде чисел с единицами двух наименований и запись 2 дм 6 см они относят к
двум различным полоскам — одна 2 дм, другая 6 см. Чтобы помочь ученикам разобраться в этом вопросе, можно организовать такую работу.
Детям предлагается, например, полоска длиной 85 см. Для ее измерения сначала используется мерка в 1 дм. Она укладывается в полоске 8 раз, и остается еще
маленький кусочек, в который эта мерка не укладывается. Можно, конечно, приложить линейку и ею измерить оставшийся кусочек, но из методических соображений
этого делать не следует, так как задача заключается в том, чтобы измерить полоску
с помощью различных мерок. Поэтому в оставшийся кусочек пять раз укладывается мерка в 1 см. Таким образом в полоске уложилось 8 дм и 5 см. В этом случае
говорят, что длина полоски 8 дм 5 см. После введения 1 м можно измерить длину
полоски, используя единицы трех наименований.
Например, 2 м 3 дм 5 см.
С единицей длины — метром — учащихся целесообразно познакомить после
того как они научатся читать и записывать трехзначные числа: тогда они смогут
пользоваться соотношениями: 1 м=10 дм и 1 м=100 см для выполнения различных
упражнений. С единицей длины — километром — лучше начать действия в теме
«Четырехзначные числа», так как только в этом случае учащиеся могут для выполнения различных упражнений пользоваться отношением: 1 км=1000 м.
Дополни каждую величину до 1км: 999м, 800м, 750м, 980м, 200м, 400м,
900м.
Дополни каждую величину до 4км: Зкм 998м, Зкм 100м, Зкм 850м, 2км 900м.
Вставь пропущенные числа: 8713 м =
км
м
Сравни величины: 1562 м
1км 562 м
Единица длины — миллиметр — будет востребована после того как дети научатся читать и записывать шестизначные числа. В этом случае они смогут выразить в
миллиметрах не только, например, 40 см (40 см=400 мм), но и 40 м (40 м=40000 мм).
Задание 40. Подберите или составьте сами различные учебные задания, в
процессе выполнения которых у младших школьников формируются представления о длине, о ее единицах и их соотношениях.
Также поэтапно проводится работа по формированию представлений о массе, емкости, времени. Например, для формирования представления о массе можно
использовать такие ситуации.
Ситуация 1, На столе учителя стоят два одинаковых по форме, цвету, размерам
предмета (кубики, портфели и др.). Причем один из них пустой, а другой с грузом.
105
Учитель обращается к детям с вопросом: «В чем сходство и различие этих предметов?» Быстро назвав различные признаки сходства, учащиеся, естественно, затрудняются указать признаки различия до тех пор, пока учитель не предложит им
взять предметы в руки или кто-то из класса не проявит сам инициативу. Ребенок,
участвующий в опыте, обычно непроизвольно восклицает: «Какой тяжелый!» Оказывается, окружающие нас предметы могут не только различаться по длине, но и быть
легче или тяжелее. Таким образом вводится понятие массы.
Ситуация 2. Учитель предлагает ученикам два яблока, которые очень незначительно отличаются по массе, и спрашивает, какое яблоко легче, какое тяжелее.
В данном случае его задача заключается в том, чтобы мнения учащихся были различными. Учитель создает разногласия для того, чтобы дети убедились в необходимости использования весов. Положив яблоки на чашечные весы, одно на одну чашку, другое на другую, ребята приходят к единому мнению.
Ситуация 3 носит проблемный характер, и ее решение связано с введением
единицы массы. На столе три предмета: гиря в 1 кг и два пакета, массой очень незначительно отличающиеся от гири (например, 990 г). Учитель предлагает детям, не
пользуясь весами, ответить на вопросы: «Масса какого предмета самая маленькая?
Самая большая?» Как правило, мнения учащихся опять разделяются, и они приходят
к выводу, что для ответа на эти вопросы необходимо использовать весы. В данном
случае неважно, как будет решаться Эта задача, самостоятельно или с помощью
учителя. Важно, чтобы в процессе ее решения дети поняли, что в качестве меры
можно принять любой из предметов и здесь, как и при измерении длины, нужно договориться о том, какой единицей пользуются. (Единица массы — килограмм).
Затем учащиеся выполняют задания, которые сопровождаются рисунками.
Например:
Какова масса каждого мешка с мукой?
Какова масса каждого арбуза?
Запиши свой ответ равенствами.
106
Как уравновесить чашки весов?
Запиши свой ответ равенством.
Задание 41. Придумайте ситуации и упражнения, которые можно использовать для формирования у младших школьников представлений о величинах: масса,
емкость, время.
Знакомство учащихся с понятием «площадь фигуры», так же как и знакомство
с величинами: «длина», «масса», «емкость», «время», начинается с уточнения имеющихся у ребят представлений о данной величине. Исходя из своего жизненного
опыта, дети легко воспринимают такое свойство объектов, как размер, выражая его
в понятиях «большая» или «маленькая» фигуры и устанавливая между ними отношения «больше», «меньше», «равно».
Используя эти представления, можно познакомить учеников с понятием «площадь», выбрав для этой цели такие две фигуры, при наложении которых друг на
друга одна целиком помещается в другой. «В этом случае, — сообщает учитель, — в математике принято говорить, что площадь одной фигуры больше (меньше) площади
другой». Когда же фигуры при наложении совпадают, их площади равны, или одинаковы. Этот вывод ученики могут сделать самостоятельно.
Но возможен и такой случай, когда одна из фигур не помещается полностью
в другой. Например, два прямоугольника, один из которых — квадрат:
После безуспешных попыток вызванных к доске наложить один прямоугольник
на другой так, чтобы они совпали, учитель поворачивает фигуры обратной стороной, и дети видят, что в одной фигуре уложилось 10 одинаковых квадратиков, а в
другой — 9 таких же квадратиков.
м, м 2 м 3 м 4
м
Для учеников вместо обозначений М,, М 2 , ... мерки закрашиваются в разные
цвета.
Оказывается, для сравнения площадей, также как и для сравнения длин, можно
воспользоваться меркой.
107
Возникает вопрос — какая фигура может послужить меркой для сравнения площадей?
Учитель или сами дети предлагают использовать в качестве мерок треугольник,
равный половине площади квадрата М (М,,) или прямоугольник, равный половине
площади квадрата М (М2) или квадратик М 3 , или треугольник М 4 , равные 1/4 площади квадрата М.
Учащиеся укладывают в прямоугольники различные мерки и подсчитывают их
число в каждом.
Так, пользуясь меркой Mv они получают: 20М 1 и 18М Г Измерение меркой М2
дает 20М 2 и 18М 2 . Использование мерки М3 - 40М 3 и 36М 3 . Измеряя прямоугольники
меркой М 4 , получаем 40М 4 и 36М 4 .
В процессе этой работы полезно обсудить такие вопросы: как зависит количество мерок, которые укладываются в прямоугольнике, от величины самой мерки;
почему совпадают числовые результаты при измерении мерками М1 и М2 (оказывается, формы фигур могут быть разными, а площади их одинаковыми).
Учитель может предложить измерить площадь одного прямоугольника меркой
Mv а площадь другого (квадрата) меркой М 3 . В результате выясняется, что площадь
прямоугольника равна 20 меркам, а площадь квадрата — 36 меркам. «Какже так, — говорит учитель, — получается, что в прямоугольнике уложилось мерок меньше, чем
в квадрате? Может быть, вывод, который мы сделали раньше, о том, что площадь
прямоугольника больше площади квадрата, неверен?»
Поставленный вопрос помогает акцентировать внимание детей на том, что для
сравнения площадей также необходимо пользоваться одной меркой. Учитель может предложить выложить на фланелеграфе разные фигуры из четырех квадратов
или нарисовать их в тетради, обозначая квадрат клеткой:
После того как задание выполнено, нужно выяснить:
— Чем построенные фигуры похожи? (Они состоят из четырех одинаковых квадратов.)
— Можно ли утверждать, что площади всех фигур одинаковы? (Дети могут проверить свой ответ, наложив квадраты одной фигуры на квадраты других фигур.)
Перед знакомством школьников с единицей площади полезно провести практическую работу, связанную с измерением площади данной фигуры различными
мерками. Например, измеряя площадь прямоугольника квадратиками, получаем
число 10. Измеряя площадь прямоугольником, состоящим из двух квадратиков, получаем число 5. Если мерка равна 1/2 квадратика, то получаем 20, если 1/4 квадратика, то получаем 40.
108
Чтобы проследить зависимость числового значения величины от величины мерки, следует расположить мерки в возрастающей последовательности и под ними
записать числовые значения площади:
40
СП
20
10
Дети подмечают, что каждая следующая мерка состоит из двух предыдущих
(т. е. ее площадь больше площади предыдущей мерки в 2 раза). Отсюда вывод: во
сколько раз увеличилась площадь мерки, во столько же раз уменьшилось числовое
значение площади данной фигуры.
С этой же целью можно предложить детям такую ситуацию. Трое учеников измеряли площадь одной и той же фигуры. (Фигура предварительно чертится в тетрадях или на листочках.) В результате первый из них получил в ответе 8, второй — 4,
а третий — 2. Кто из них прав? (Учащиеся догадываются, что полученные числовые
результаты зависят от той мерки, которой пользовался каждый ученик.)
Задания такого вида подводят к осознанию необходимости введения общепринятой единицы площади 1 см 2 (квадрат со стороной 1 см). Модель 1 см 2 вырезается из плотной бумаги. С помощью этой модели измеряются площади различных
фигур. В этом случае учащиеся сами придут к выводу, что измерить площадь фигуры — значит узнать, сколько квадратных сантиметров она содержит.
Измеряя площадь фигуры с помощью модели квадратного сантиметра, школьники убеждаются в том, что укладывать 1см 2 в фигуре неудобно, так как это требует
много времени. Гораздо удобнее использовать прозрачную пластинку, на которую
нанесена сетка из квадратных сантиметров. Она называется палеткой.
Наложив палетку на прямоугольник, дети легко находят его площадь. Для этого они подсчитывают число квадратных сантиметров в одном ряду, потом считают
число рядов и перемножают полученные числа: а-b (см 2 ). Измерив линейкой длину
и ширину прямоугольника, учащиеся замечают или учитель обращает их внимание
на то, что число прямоугольников, которые укладываются по длине, равно числовому значению длины прямоугольника (а см), а число строк совпадает с числовым
значением ширины (Ьсм).
После того как третьеклассники убедятся в этом экспериментально на нескольких прямоугольниках, учитель может познакомить их с правилом вычисления пло109
щади прямоугольника: чтобы вычислить площадь прямоугольника, нужно знать его
длину и ширину и перемножить эти числа. Впоследствии правило формулируется
более кратко: площадь прямоугольника равна его длине, умноженной на ширину.
При этом длина и ширина должны быть выражены в единицах одного наименования.
Полезно познакомить детей с правилами пользования палеткой при измерении
площади произвольной фигуры.
Подсчитывается число полных квадратных сантиметров (пусть оно равно а).
Затем подсчитывается число неполных квадратных сантиметров (пусть оно будет
равно Ь) и делится на 2 (Ь/2). Площадь фигуры приблизительно равна а+Ь/2 (см 2 ).
Одновременно с понятием «площадь прямоугольника» следует рассмотреть в
сравнении понятие «периметр прямоугольника».
В этом случае ученики делают меньше ошибок при записи наименований в полученных результатах.
После введения определения понятия периметра прямоугольника дети самостоятельно «открывают» возможные способы его вычисления. Если возникнут затруднения, можно воспользоваться таким заданием:
Чему равен периметр прямоугольника?
Маша ответила на вопрос так:
8+8+2+2-20 (см).
Миша — так:
8-2+2-2=20 (см).
Догадайся: как рассуждал Миша?
Возможен и третий способ вычисления: (8+2)-2=20 (см)
110
При знакомстве учащихся с периметром прямоугольника можно ввести термин
«половина периметра» или «полупериметр» (сумма длины и ширины).
При решении задач на вычисление площади и периметра прямоугольника советуем ввести обозначения площади (S) и периметра (Р), но не стоит вводить формулы S=a-Ъ\ Р=(а+Ь)'2, так как понятие «формула» детям пока не известно.
Формирование представлений о величинах и усвоение отношений между их
единицами тесно связаны с изучением нумерации чисел. Так, для понимания
структуры двузначных чисел можно использовать модели единиц длины: 1 дм и
1 см (1 дм=10см, 1 дес.=10ед.).
Структура трехзначного числа допускает в качестве моделей 1 м, 1 дм, 1 см. Это
позволит учителю наглядно интерпретировать отношения между разрядными единицами, десятками, сотнями, а детям - легче усвоить отношения между единицами
величин.
Задание 42. Подберите или составьте задания, связанные с переводом величин из одних единиц в другие. Приведите рассуждения учащихся при выполнении
этих заданий.
Задание 43. Подберите или составьте сами задания, которые можно предложить учащимся с целью формирования у них представлений: а) о площади фигур,
б) о способах сравнения площадей фигур, в) о единицах измерения площади.
Задание 44. Подберите или составьте задания, в процессе выполнения которых у учащихся вырабатываются умения вычислять площадь и периметр прямоугольника.
Таким образом, формирование у младших школьников представлений о величинах тесно связано с изучением различных вопросов курса математики начальных
классов и распределено во времени. На протяжении четырех лет обучения математике дети знакомятся с различными единицами величин:
длины — 1 см, 1 дм, 1 м, 1 км, 1 мм;
массы — 1 кг, 1 г, 1 т, 1 ц;
площади — 1 см 2 , 1 дм 2 , 1 м 2 ;
времени — 1 с, 1 мин, 1 ч, 1 сут;
объема — 1 л (1 дм 3 ) и соотношениями между ними, складывают и вычитают
однородные величины, выраженные в единицах одного или двух наименований,
умножают и делят величины на число.
Действия с величинами, выраженными единицами одного наименования,
обычно не вызывают у школьников затруднений, так как они сводятся к выполнению действий с числовыми значениями величин. Но некоторые учащиеся все же испытывают трудности при переводе однородных величин, выраженных в единицах
одних наименований, в другие, а также при выполнении действий с однородными
величинами, выраженными в единицах различных наименований. Эти трудности
обусловливаются разными причинами:
111
а) недостаточной работой по формированию представлений о той или иной величине;
б) недостатком практических упражнений, целью которых является измерение
величин;
в) формальным введением единиц величин и соотношений между ними (см. этапы формирования представлений о величинах);
г) однообразием упражнений, связанных с переводом однородных величин одних наименований в другие.
Задание 45. Как вы понимаете «формальное введение единиц величин»?
В четвертом классе знания о величинах обобщаются в теме «Действия с величинами».
Одной из задач темы является формирование умения переводить однородные
величины, выраженные в единицах одних наименований, в другие единицы.
Для этого прежде всего необходимо, чтобы учащиеся знали, какими единицами
нужно пользоваться при измерении каждой величины.
С этой целью им предлагаются задания:
На какие группы можно разбить единицы величин:
а) 1 ч, 1 т, 1 мин, 1 с, 1 ц, 1 кг
б) 1 м 2 , 1 дм, 1 км, 1 см 2 , 1 мм, 1 т, 1 кг
Какая величина «лишняя»?
а) 3080 см, 5407 км, 6027 дм, 4078 кг, 18009 м
б) 120 см, 12 дм, 1 м 2 д м , 1 м 2 0 с м , 1 м 2 см
Выполняя задание, в строке а) ученики соотносят единицы измерения с определенной величиной и называют в качестве «лишней» — 4078 кг (масса).
Работу с заданием можно продолжить, выразив, например, каждую величину в
единицах других наименований (3080 см=30 м 80 см). Дети могут обосновать свои
действия, потому что такие вопросы, как смысл деления, деление с остатком, десятичный состав числа, уже изучены. Ответ ученика может выглядеть так: 1 м = 100 см.
Узнаем, сколько раз в 3080 см содержится по 100 см, т. е. сколько сотен содержится в числе 3080 (30 сотен). Значит, в 3080 см содержится 30 метров и
еще 80 сантиметров.
Можно воспользоваться и алгоритмом письменного деления:
3080 100
300 30
80 ост.
Далее: 10 см=1 дм, 80 см=8 дм, 3080 см=30 м 8 дм.
Работая с этим же заданием, можно найти, например, сумму двух величин:
3080 см+6027 дм. Для этого нужно выразить величины в единицах одного наименования:
112
1)3080 см = 308 дм
6027
+
308
6335
6335 дм = 633 м 5 дм
2) 6027 дм = 60270 см
3080
+
60270
63350
6335 дм = 633 м 5 дм
При определении «лишней» величины в строке б) следует искать другой признак — числовое значение величин. Для этого нужно все величины выразить в единицах одного наименования:
12 дм = 120 см
1 м 2 д м = 12дм = 120 см
1м 20см = 120 см
1м 2см = 102см
Усвоению соотношения единиц величин способствуют и такие задания:
Запиши величины в порядке возрастания: 5085 дм, 5085 см, 5085 км, 5085 м.
По какому признаку записаны величины в каждом столбце:
74 м
8т
740 дм
80 ц
7400 см 8000 кг
74000 мм 8000000 г
Составь по этому правилу столбцы для величин: 9 км, 1 сут, 6 м 2 .
По какому правилу составлена первая строка таблицы? Пользуясь этим правилом, вставь пропущенные числовые значения величин.
7 кг
4 мм
.г
. мм
70 кг
4 см
5 кг
... см
7
Ц
.ДМ
. кг
.дм
7т
... м
... ц
900 м
70 т
... м
... т
9 км
Упражнения на сложение и вычитание величин можно предложить в разных
формулировках:
Найди закономерность и продолжи каждый ряд:
а) 93 см, 8 дм 6 см, 79 см, 7 дм 2 см, 65 см ...
б) 2 м 8 дм, 3 м 6 дм, 4 м 4 д м , 5 м 2 дм...
Выполняя задание, учащиеся сначала находят разность между первой и второй
величиной ряда: 93 см-8 дм 6 см; 8 дм 6 см=86 см; 93 см-86 см=7 см.
Затем проверяют, в каком отношении находятся вторая и третья величины в
ряду:
86 см-7 см=79 см; 79 см+7 см=86 см=8 дм 6 см и т. д.
Следующее действие: находят величину, которой можно продолжить ряд:
65 см-7 см=58 см.
113
В соответствии с правилом записи ряда эта величина фиксируется так: 5 дм 8 см.
Далее: 5 дм 8 см-7 см =5 дм 1 см = 51см; 5 дм 1 см-7 см = 4 дм 4 см;
4 дм 4 см-7 см = 3 дм 7 см = 37 см ...
Дополни каждую величину до 3 км:
1781м
2073 м
2503 м
2909 м
Вставь пропущенные числа, чтобы получились верные равенства:
7 дм 2 см + 4 см = ... см
7 т 2 ц + 4 ц = ... ц
18 мин - 15 с.= ... мин ... с
12 км 600 м - 600 м = км м
Важно, чтобы учащиеся понимали: складывать, вычитать и сравнивать можно
только однородные величины. Для проверки предлагаются задания:
Подумай! Какие величины можно сложить? Вычисли их сумму:
3084 м+ 285 дм
813 м2+ 545 дм2
2
840 м +120 м
703 дм+ 102 кг
2 м 6 д м 4 с м + 6см
Зм7дм5мм + 3мм
При выполнении задания полезно обсуждать два способа сложения величин,
один из которых связан с переводом их в единицы одинаковых наименований, другой — когда эту операцию можно не выполнять:
2 м 6 дм 4 см + 6 см = 2 м 7 дм
4 см + 6 см = 10 см
10 см + 1 дм = 2 дм
2 м 6 дм + 1 дм = 2 м 7 дм
Подумай! Какие величины можно сравнивать? Поставь знаки < или >:
7300мм ...73км
54км... 52кг
35 м... 32 м2
20 км... 207 м
Не менее важно, чтобы учащиеся могли осознанно использовать различные
единицы величин для практических измерений.
Догадайся! Какими единицами пользовались при измерении? Заполни пропуски:
Расстояние между городами 1260 ...
Высота полета самолета 10400 ...
Площадь участка 500 ...
Масса курицы 6...
Высота дома 33...
114
•
•
Ширина стола 2 ...
Рост человека 185 ...
Задание 46. Подберите или составьте сами различные задания, в процессе
выполнения которых учащиеся усваивают соотношения между единицами массы
(времени) и учатся складывать эти величины.
§ 10. СМЫСЛ ДЕЙСТВИЯ УМНОЖЕНИЯ
Из курса математики вам известно, что если а и Ъ целые неотрицательные
числа,то:
a)a'b-a+a+a+...+a, при 6>1;
Ъ слагаемых
б) о-1=а, при Ъ=Л\
в) а-0=0, при 6=0.
В основе разъяснения младшим школьникам смысла умножения лежит теоретико-множественная трактовка этого определения. Она легко переводится на язык
предметных действий и позволяет при усвоении нового понятия активно использовать ранее изученный материал. Для осознания необходимости введения нового
действия можно полезно придумать (подготовить) реальные ситуации. Например:
требуется посчитать количество кафельных плиток для выкладки стены на кухне.
Стена имеет форму прямоугольника, разбитого на квадраты. Посчитав квадраты в
одном ряду и убедившись в том, что их количество во всех рядах одинаково, ученики
записывают сумму одних и тех же слагаемых.
Другой пример: учащимся предлагается схематический рисунок поля прямоугольной формы, которое разбито на равные участки (квадраты). Нужно определить,
на сколько участков (квадратов) разбито данное поле.
Достаточно посчитать число квадратов в одном ряду (их 11) и повторить это число слагаемым 4 раза (11+11+11+1 1). Затем можно ввести запись 11 -4=44. В результате сопоставления двух записей выясняется: что обозначает во втором равенстве
первый множитель (какие слагаемые складываются) и второй множитель (сколько
таких слагаемых). Это помогает детям лучше усвоить чтение выражений вида: 11*4,
7 • 6, 28-4, 5 7 ' 3 (57 взять 3 раза, 57 повторить 3 раза, 57 умножить на 3).
115
Возможен и другой подход к разъяснению смысла умножения.
Детям дается задание: «Разбейте выражения каждого столбца на две группы».
9+9+9+9+9
12+12+12+12
5+5+9+5+8
34+34+34+34
7+7+7+7+7+7
28+28+28
8+7+5+8+8+8
32+32+32
8+8+8+8+8
18+18+28+27
6+6+6+3+3
24+24+24+21
В качестве оснований для разбиения учащиеся могут выбрать: а) количество
слагаемых, б) одинаковые или неодинаковые слагаемые.
Затем дети самостоятельно выписывают все суммы с одинаковыми слагаемыми:
9+9+9+9+9
7+7+7+7+7+7
8+8+8+8+8
и т.д.
Учитель сообщает, что сложение одинаковых слагаемых в математике называют умножением. И показывает запись, которую используют в математике для сложения одинаковых слагаемых. Например: 9+9+9+9+9=9'5; 7+7+7+7+7+7=7*6.
— Кто догадается, что обозначают в записях справа первое и второе число?
Ответ на вопрос требует использования приемов анализа и синтеза, сравнения
и обобщения. (Первое число показывает — какие слагаемые складывают, второе
число — сколько таких слагаемых).
Для усвоения смысла умножения предлагаются различные виды заданий, при
выполнении которых необходимо применять приемы сравнения, выбора, преобразования и конструирования:
а) на соотнесение рисунка и математической записи:
Прочитай относящиеся к рисункам выражения и догадайся, что означают в
каждом произведении первый и второй множители:
2-7
7-2
б) на выбор рисунка, соответствующего данной записи:
Выбери рисунок, который соответствует записи 2-6.
116
в) на преобразование рисунка в соответствии с математической записью:
Какие изменения нужно внести в другие рисунки, чтобы они соответствовали
записи 2 »6?
г) на выбор записи, соответствующей данному рисунку;
д) на использование смысла умножения для сравнения выражений:
Не вычисляя значений произведений, поставь знаки > или <, чтобы получились верные неравенства:
12-9.... 12-11
24-7... 24-5
Можно ли, не вычисляя значений выражений, ответить на вопрос: на сколько
значение первого произведения в каждой паре меньше значения второго произведения?
6-4
5-3
7-8
6-3
7-2
6-5
5-4
7-9
6-5
7-4
Не выполняя вычислений, найди в каждом столбце «лишнее» выражение:
9-5
8-4
7-4
9-6-6
8-5-4
7-3+3
9-4+9
8-3+8
7-3+7
9-6-9
8-5-8
7-5-7
е) на замену произведения суммой и суммы произведением:
Замени там, где можно, сложение умножением и запиши, чему равно значение каждого выражения:
13+31+9
3+3+3+3+3+4
1+1+1+1+1
4+4+4+4+4
0+0+0+0+0
19+19+119
Вставь числа в «окошки», чтобы получились верные равенства:
3+3+3+3+ =3-6
24*3+24+24=244+4+4+ + + =4-6
Найди «лишнее» выражение:
104+104+104+104
208+208+208+208
306+306+306
120+120+120+120
Запиши каждое произведение в виде суммы одинаковых слагаемых:
(19-3)-4= + + +
(56-8)-6= + + + + +
117
ж) на сравнение двух произведений, значение одного из которых известно:
Как можно вычислить значения произведений, пользуясь данными равенствами:
12-3=36
6-7
18-5
18-4=72
12-4
18-3
6-8=48
7-8
6-9
7-9=63
12-2
7-10
Вычисли значения произведений в каждом столбце, пользуясь данным равенством:
9-5=45
8-7=56
7-6=42
9-4
8-6
7-5
9-6
8-8
7-7
Задание 47. Ориентируясь на виды приведенных заданий, составьте сами
различные учебные задания, в процессе выполнения которых учащиеся будут осваивать смысл умножения.
При изучении данной темы необходимо рассмотреть случаи умножения на
нуль и на единицу. Для этой цели можно воспользоваться таким заданием:
Вычисли значения произведений, заменив умножение сложением. Догадайся, почему некоторые выражения записаны в рамках:
8-2
5-3
|12-1|
7-4
|6-1|
13-4
\Щ
9-3
|15-0|
Важно, чтобы при выполнении данного задания все дети поняли, что умножение
на 0 и на 1 мы не можем заменить сложением. Эти случаи нужно запомнить, так как
математики договорились, что при умножении любого числа на 1 мы получаем это
же число. При умножении любого числа на нуль, мы получаем нуль.
Большинство в классе, высказывая догадки относительно того, почему некоторые выражения выделены в рамке, только отмечают как факт, что в этих выражениях
умножают на 0 и на 1, но некоторые дети способны высказать суждение о том, что в
этих случаях мы не можем умножение заменить сложением.
Смысл умножения тесно связан с понятием «увеличить в несколько раз». Поэтому надо разъяснить ребятам, что запись 2-5 можно прочитать по-разному:
«2 повторить 5 раз», «по 2 взять 5 раз», «2 умножить на 5» и «2 увеличить в 5 раз».
Понятие «увеличить в...» целесообразно ввести сразу после знакомства со
смыслом умножения, предложив задание, с которым учащиеся смогут справиться
самостоятельно.
Например:
Сравни рисунки. Что изменилось слева направо? Догадайся! Что обозначают
записанные выражения?
3+9
3-4
118
Одновременное использование в одном задании понятий «увеличить на...» и
«увеличить в...» позволит ученикам лучше дифференцировать их и допускать меньше ошибок, применяя эти понятия к решению различных задач.
В основе выполнения задания лежит способ соотнесения рисунка и математической записи. Выражение 3+9 обозначает те круги, которые нарисованы справа.
Учащиеся обычно так комментируют это выражение: «Слева нарисовано 3 круга,
а справа 3 и еще 9, значит, справа нарисовано 3+9 кругов». Таким образом, с записью 3+9 соотносятся высказывания: «Справа на 9 кругов больше, чем слева»;
«Число кругов увеличилось слева направо».
Выражение 3*4 также обозначает круги, которые нарисованы справа. В этом
случае комментарии детей выглядят так: «Слева 3 круга, а справа три круга повторяются 4 раза, значит, справа нарисовано 3-4 кругов».
Естественно, возникает вопрос, как увеличивается число 3, если его повторять слагаемым 4 раза. «В этом случае говорят, что 3 увеличили в 4 раза», — сообщает учитель.
После этого предлагаются различные задания на соотнесение рисунка и математической записи (выражения); на запись и на выбор выражений, соответствующих паре рисунков.
Объясни, что обозначают выражения, записанные под каждой картинкой, и
по-разному прочитай их:
2+10
2-6
Какими числовыми выражениями можно записать изменения слева направо?
Выполни рисунок:
а) в одном ряду 2 треугольника, а в другом ряду на 5 треугольников больше; запиши выражением, сколько треугольников во втором ряду;
б) в одном ряду 2 треугольника, а в другом в 5 раз больше; запиши выражением,
сколько треугольников во втором ряду.
Выбери выражения, которые соответствуют каждой паре рисунков:
а)
б) • » • • • »
в)
\фф »
г) | < » » е "|
• •••••
• •••••
• •••••
119
Затем предметные множества заменяются схемами. Для этой цели используются отрезки. Например:
Выбери отрезок, который в 6 раз больше отрезка АВ.
А
В
Начерти отрезок, который 4 раза больше данного.
Задание 48. Подберите или составьте задания, которые вы предложили бы
учащимся при изучении понятия «увеличить в...».
§ 1 1 . СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ
В начальном курсе математики нашли отражение все свойства умножения: коммутативное, ассоциативное и дистрибутивное.
Коммутативность умножения представлена в начальных классах как переместительное свойство: от перестановки множителей значение произведения не изменяется. При знакомстве с этим свойством умножения учащиеся выполняют задания
на соотнесение рисунка с математической записью и на сравнение числовых выражений, в которых переставлены множители. Усвоение формулировки переместительного свойства умножения обычно не вызывает затруднений, хотя многие дети и
ошибаются, называя множители слагаемыми, а произведение — суммой.
Эти ошибки могут возникнуть по разным причинам. Во-первых, сам учитель
редко использует в своей речи математическую терминологию, во-вторых, ученики
больше нацелены на заучивание таблицы, нежели на усвоение смысла умножения,
в-третьих, вербальная формулировка переместительного свойства умножения не
соотносилась с предметными моделями, иллюстрирующими это свойство.
Следствием формального подхода к изучению данного свойства является и то,
что многие учащиеся путают значения первого и второго множителей в записи произведения. Чтобы предупредить эту ошибку, полезно предлагать задания на выполнение рисунков, соответствующих той или иной конкретной ситуации. Например:
«На каждую тарелку положили по 2 яблока. Покажи, сколько яблок на шести тарелках». Большинство детей выложат на фланелеграфе такой рисунок:
оо оо оо оо оо оо
и выполнят запись 2*6=12. Стоит сразу же выяснить: можно ли к данному рисунку сделать такую запись: 6'2=12? При обсуждении предлагается заменить произведение суммой и найти результат. Выясняется, что означают в этом случае
числа 6, 2 и 12. Делается вывод, что выражение 6*2 к данной ситуации не подходит. Учитель предлагает иначе разложить яблоки на тарелки, в соответствии
120
с записью 6*2=12. Получается, что переместительное свойство умножения в
любом случае справедливо только для выражений (3-4=4-3; 5"8=8-5), не имеющих предметного смысла. Если же речь идет о предметной ситуации, то необходимо учитывать, что обозначает каждое число в записи произведения.
Выполнение таких упражнений оказывается полезным в дальнейшем при решении текстовых задач на умножение, в которых даны не отвлеченные числа, а
числовые значения величин, поэтому при перестановке множителей произведение
может не иметь смысла, соответствующего сюжету задачи.
Рассмотрим, например, такую задачу: «От мотка проволоки длиной 82 м отрезали 4 куска, по 8 м каждый. Сколько метров проволоки осталось в мотке?» Приведем два варианта записи решения:
1 -й вариант
2-й вариант
1) 8-4=32 (м)
1) 4-8=32 (м)
2) 82-32=50 (м)
2) 82-32=50 (м)
В практике начального обучения традиционно второй вариант записи решения
задачи считается ошибочным. Это объясняется тем, что, комментируя решение задачи, дети (да и сам учитель) говорят: «Я 8 метров умножу на 4, т. е. повторю 8 метров 4 раза». Если так же прочитать запись, которая дана справа: «Я 4 куска умножу
на 8», то, конечно, это не будет иметь смысла.
Но если в записи решения наименования даны только в скобках, то обе записи
первого действия можно считать верными, т. к. предметный смысл произведения
находит отражение в том наименовании, которое записано в скобках, а умножение выполняется с числами. Однако эта условность воспринимается с трудом и не
столько учениками, сколько учителями начальных классов.
Знание переместительного свойства умножения позволяет учащимся выполнять задания, в которых они используют и определение умножения, и его переместительное свойство.
Например:
Можно ли, не вычисляя значений выражений, вставить в «окошки» знаки <, >, =,
чтобы получились верные записи:
9+9
2+2+2+2+2+2+2+2+2
7+7
2+2+2+2+2
2+2+2+2+2
6+6
Какие числа можно вставить в «окошки», чтобы получились верные записи:
9-8+ >8-9+
9-7> -9+9
По какому правилу составлены равенства:
2-9=9+9
3-9=9+9+9
4-9=9+9+9+9
Пользуясь этим правилом, найди значения выражений.
121
Задание 49. Подберите или составьте задания, которые вы могли бы предложить учащимся при изучении переместительного свойства умножения.
Задание 50. Рассмотрите два варианта объяснения темы «Умножение на 1».
1) Один учитель предложил:
а) сначала найти значение выражения 1 • 5;
б) затем переставить множители и найти результат, применяя переместительное свойство умножения: 1 -5-5' 1.
Далее был сделан вывод: при умножении числа на единицу получаем то число,
которое умножаем.
2) Другой учитель представил случай умножения числа на 1 как особый, когда
нельзя заменить произведение суммой и найти результат; нужно запомнить, что
при умножении любого числа на 1 получаем то число, которое умножаем. Затем
он предложил ученикам самостоятельно найти значения произведений 1-6; 1 '7и
сравнить равенства в каждой паре:
6-1=6
7-1=7
12-1=12
1-6=6
1-7=7
1-12=12
В результате был сделан вывод, что для случая умножения с единицей применимо переместительное свойство умножения.
Какое объяснение вы считаете правильным? Постарайтесь обосновать ответ.
Как вы думаете, будет ли зависеть объяснение случая умножения на 1 от того, на
каком этапе изучения темы «Умножение» он рассматривается?
С сочетательным свойством умножения учащихся целесообразно познакомить
после изучения таблицы умножения. Для этой цели можно использовать как прием
аналогии, так и соотнесение предметных и символических моделей.
В первом случае следует вспомнить, какие свойства арифметических действий
уже известны детям. Уместно будет предложить задания на сравнение числовых
выражений, при выполнении которых школьникам предстоит пользоваться тем или
иным свойством сложения.
Например:
— Верно ли утверждение, что значения выражений в данном столбце одинаковы:
875+(78+284)
(875+78)+284 •
875+(284+78)
(875+284)+78
Вполне возможно, что не все дети смогут сформулировать сочетательное и переместительное свойства сложения, но все обратят внимание на то, что в предложенных выражениях даны одинаковые числа, только по-разному расставлены скобки и
переставлены слагаемые. А это значит, что школьники будут анализировать выражения, искать в них признаки сходства и различия, рассуждать и делать выводы.
Имеет смысл предложить выражения, значения которых ученики вычислить не
могут, в этом случае они будут вынуждены сделать вывод на основе рассуждений.
122
Сравнивая, например, первое и второе выражения, они отмечают их сходство
и различие; вспоминают сочетательное свойство сложения (два соседних слагаемых можно заменить их суммой), откуда следует, что значения выражений будут
одинаковыми. Третье выражение целесообразно сравнить с первым и, используя
переместительное свойство сложения, сделать вывод. Четвертое выражение сравнивается со вторым.
— А можно ли произведение двух соседних множителей заменять их значением?— спрашивает учитель. (Дети могут самостоятельно придумать различные
выражения, чтобы высказать то или иное предположение.) Например: (2*3)*4 и
2.(3-4).
При знакомстве с сочетательным свойством умножения можно также использовать соотнесение предметных и символических моделей.
Найди число всех квадратов на рисунке.
Учитель предлагает два способа действия. Записав каждый способ в виде выражений: ( 6 # 4 ) ' 2 и 6°(4-2), просит детей объяснить, как он действовал в каждом
случае, отвечая на вопрос задания. В результате обсуждения ученики записывают
равенство: ( 6 4 ) ' 2 = 6 ( 4 - 2 ) и знакомятся с формулировкой сочетательного свойства умножения.
Сочетательное свойство умножения удобно применять, вычисляя значения
произведений однозначных чисел на «круглые» десятки:
4 • 90=4 • (9 • 10)=(4 • 9) • 10=36 • 10=360
-
Ф
Задание 51. Подумайте, можно ли сразу после изучения переместительного
свойства умножения познакомить учащихся с сочетательным свойством умножения и использовать его при составлении таблиц умножения?
Распределительное свойство умножения также целесообразно объяснять на
основе приема соотнесения предметных и символических моделей, который создает условия для анализа, сравнения, обобщения и понимания детьми формулировки данного свойства. Предлагаются задания:
Догадайся: что обозначают выражения, записанные под каждым рисунком?
Чем они похожи? Чем отличаются? Вычисли их значения.
a) DDDDDII
DDDDD1I
nananm.
5-3+2-3
(5+2)-3
б) OOOOOOftt
ОООООО###
888888SSS
6-4+3-4
(6+3)-4
Сколько всего квадратов в красном и синем прямоугольниках?
• -с
Маша ответила на вопрос так:
6-4+3-4=36 (кв.).
Миша — так:
(6+3)-4=36 (кв.).
Как рассуждали Маша и Миша? Кто из них прав?
Главным средством усвоения распределительного свойства умножения также
являются учебные задания. Например:
Вставь знаки <, > или =, чтобы получились верные записи:
(14+8)-3 14-3+8-3
(27+8)-6
27-6+8
(36+4)-18 40-18
Вставь пропущенные числа, чтобы равенства были верными:
а) (8+ )-3= +4-3
б)( + )• 5=35+45
(6+ )• 7=6-7+49
( + )• =63+72
(5+ )• =5-8+32
(6+9)- =36+
Запиши пропущенные цифры, чтобы равенства были верными:
а) (7+6)- =3 +3
б)( + )-4=3 +2
(8+ )• = 6+ 1
( + )• =42+6
Вставь пропущенные числа, чтобы равенства были верными:
а)27-3= +21
б)
-5=50+30
36-2= +
-8=80+
14- =40+
• =60+
Вставь знаки <, >, =, чтобы получились верные записи:
а) 19-6
60+54
6)48-9
(50+8)-9
24-3
80+12
53-6
90-6+3-6
12-7 70+21
74-4
(70+4)-3
Знакомство школьников с распределительным свойством умножения позволяет им самостоятельно «открыть» рациональный вычислительный прием устного
умножения двузначного числа на однозначное, проверять результаты вычислений,
124
используя различные способы, а также находить различные методы решения текстовых задач.
Задание 52. Подберите или составьте задания, при выполнении которых учащиеся используют распределительное свойство умножения.
§ 12. СМЫСЛ ДЕЙСТВИЯ ДЕЛЕНИЯ
Основой формирования у младших школьников представлений о смысле деления служит теоретико-множественный подход к трактовке частного, суть которого
сводится к разбиению конечных множеств на равночисленные подмножества, не
имеющие общих элементов.
Выбор этого подхода обусловлен тем, что он позволяет опираться на жизненный опыт детей при введении новой терминологии и математической записи. Действительно, большинство учащихся легко справляются с таким практическим заданием: «Раздай 10 яблок — по 2 каждой девочке».
Наглядное изображение выполняемых действий помогает ребенку осознать их
математический смысл.
m. m
т • <• # , <• 9,
Он сводится к разбиению конечного множества яблок на равночисленные подмножества (по 2 яблока). В результате получаем число частей в этом разбиении. На
языке, доступном младшему школьнику, это означает, что он разделил все яблоки
на части, по 2 яблока в каждой, т. е. узнал: «сколько раз по 2 содержится в 10». Выполненные действия в математике принято записывать так: 10:2=5 (десять разделить на 2 — получится 5).
Доступно детям и такое задание: «Раздай 10 яблок поровну двум девочкам».
В данной ситуации учащиеся могут действовать по-разному:
• одни будут брать по одному яблоку и раздавать их девочкам по очереди
(сначала одной девочке, потом другой), пока не раздадут все;
• другие могут сразу взять два яблока, т. к. девочек две, и разделить между
ними эти яблоки, затем так же поступить со второй парой яблок, с третьей и т. д.,
пока не раздадут все яблоки.
В результате выполнения описанных действий множество всех яблок будет разделено на 2 равные части, численность каждой из которых равна пяти.
Процесс деления на равные части довольно трудно изобразить на рисунке, но
когда деление выполнено практически и определена численность каждой части,
рисунок можно использовать для осознания учащимися результата выполненного
предметного действия:
ттттт
Таким образом, частное (5) может обозначать число частей, на которые разделили данное количество яблок (при этом делили поровну, по 2 яблока в каждой
125
части). Этот случай деления в методике математики принято называть делением по
содержанию. Но частное (5) может обозначать и количество яблок в каждой части
(при этом делили опять же поровну, но на 2 равные части). Этот случай называют
делением на равные части.
В практике начального обучения принято сначала рассматривать ситуации, связанные только с первым случаем деления, а затем со вторым. Некоторые учителя
вводят даже термины «деление по содержанию» и «деление на равные части», требуя
от школьников узнавания каждого случая деления и воспроизведения его названия.
При этом, когда выполняется деление «по содержанию», нужно говорить, что
«10 (десять) разделили по два», а когда выполнено «деление на части», то надо говорить, что «10 (десять) разделили на два».
Однако в математике числовые равенства (10:2=5; 8:4=2) принято читать так:
«10 разделить на 2; 8 разделить на 4», независимо от тех конкретных ситуаций, которые им соответствуют. Термин «разделить по» употребляется лишь в том случае,
когда речь о конкретных предметах, что связано с особенностями русского языка..
Например, по-русски не говорят: «10 яблок разделить на 2 яблока», а говорят так:
«10 яблок разделить по 2 яблока». При чтении же числового равенства мы не называем предметы, поэтому можно сказать: «10 разделить на 2, получим 5». Отсюда
следует, что термины «деление по содержанию» и «деление на равные части» вводить не нужно, так как числовые равенства вида 10:2=5 могут соответствовать предметной ситуации, связанной как с «делением по содержанию», так и с «делением на
равные части».
Рассмотрим как можно организовать деятельность учащихся при знакомстве их
со смыслом деления.
Для постановки учебной задачи учитель сначала выясняет, какие представления имеются у детей о делении. Эту работу можно организовать, задав классу вопрос: «Что вам известно о делении?» (Ученики приводят примеры житейских ситуаций, некоторые знают, каким знаком обозначается в математике действие деление
(две точки) и т.д.
После этого учитель призывает всех ребят внимательно наблюдать за его действиями, чтобы потом суметь рассказать о том, что он делал.
В руках у педагога 12 конфет (макеты). Он выкладывает их на доске в таком
виде:
Ф
• • •
9 •
9 9
тт
• 9 т 9
• т 9 9
Выясняет, чем похожи и чем отличаются данные картинки. Школьники называют различные признаки. На одной картинке 12 конфет, на другой тоже 12. На первой
картинке в каждой части конфет одинаково, на второй картинке - тоже. Конфеты
разделили поровну и т. д.
Если никто не сможет в обобщенном виде указать существенный признак сходства (одинаковое количество конфет в каждой части), то следует адресовать этот
же вопрос к такой паре картинок:
126
ф
•
• •
• •
а
т
ш
тт
тт•
Дети сразу замечают, что на одной картинке в каждой части одинаковое количество конфет, а на другой разное. Это позволяет им самостоятельно выполнить
рисунки других способов деления 12 конфет на равные части:
•
тФ
ф
#
• •
§ф
• •
Ф
•
••9
mm
•Ф •
•т
Последующая работа сводится либо к объяснению выражений и равенств, записанных под каждым рисунком, либо к выбору выражений, соответствующих каждому рисунку.
Например, к рисункам ф и © учитель выполняет запись 12:4=3, а ученики поясняют, что число 12 обозначает количество конфет на одном и на другом рисунках.
Число 4 на рисунке ©обозначает количество конфет в каждой части, а на рисунке
3— количество равных частей, на которые разделили конфеты. Поэтому число 3
в одном случае обозначает количество частей, а в другом - количество конфет в
каждой части. Такое комментирование требует содержательного анализа каждого
рисунка и в то же время оно доступно и понятно всем детям.
Подобная работа является хорошей подготовкой к решению задач, где нужно
будет вербальную модель переводить в символическую.
Важно обратить внимание учеников на то, что деление конфет на рисунке @
нельзя записать на языке математики.
Итак, основная задача учителя при ознакомлении младших школьников со
смыслом деления - организовать работу таким образом, чтобы они, опираясь на
свой опыт, анализировали конкретные ситуации и выбирали соответствующие им
математические записи.
С этой же целью предлагаются задания следующих видов:
Сравни рисунки в каждой паре и объясни, что обозначает каждое число в данных равенствах:
•••••••
•#••#••
»•••••j
•••••••
\ 28:4=7
• •• • •
• ••
• ••• •• •
• ••
Л.
•
А
А
А
А
А
А
А
А
А
(к
\
ААААА
А А А А А/
20:5=4
127
Выбери рисунок, которому соответствуют выражения,
а) 12-2, 24:12, 24:2
6)4-5, 20:5, 20:4
Найди значения выражений. Что обозначает каждое число в полученных равенствах?
W**
Что обозначают выражения, записанные под каждой картинкой?
4-3
12:3
12:4
3-6
18:6
18:3
Прочитай выражения по-разному.
Выбери рисунок, которому соответствуют три выражения.
\ 7-3 1
©(••••• | •
©(••••
«
® (• • •
21:7
21:3
••••
• ••••)
••1
I •••
Какие три равенства можно записать к другим рисункам?
В процессе выполнения приведенных выше заданий дети осознают связь действий умножения и деления, которая обобщается в виде правил, отражающих взаимосвязь компонентов и результатов умножения и деления. Эти правила формулируются так:
Если значение произведения разделить на один множитель, то получим другой
множитель.
Если делитель умножить на значение частного, то получим делимое.
Если делимое разделить на значение частного, то получим делитель.
128
Задание 53. Подберите или составьте различные учебные задания, в процессе выполнения которых учащиеся усваивают правила о взаимосвязи компонентов и
результатов действий умножения и деления.
Формирование представлений о смысле деления сопряжено с введением понятия «уменьшить в несколько раз» («меньше в...»).
Для знакомства третьеклассников с этим понятием можно предложить задание:
Сравни рисунки. Что изменилось слева направо?
Что изменилось справа налево?
Что обозначают записанные выражения?
3+9
3-4
12-9
12:4
Ориентируясь на известные понятия «увеличить на...» и «увеличить в...», которые относятся к выражениям 3+9 и 3 • 4, учащиеся высказывают предположение
о том, что выражение 12:4 связано с понятием «уменьшить в...». Обоснованием этого предположения является анализ рисунка. (Слева 3 круга, справа 3 круга повторяются 4 раза. Это означает, что количество кругов увеличили в 4 раза. Справа
12 кругов. Если разделить их на 4 равные части, то в каждой части получим кругов в
4 раза меньше.)
Для усвоения понятия «уменьшить в...» классу предлагаются задания:
Запиши к каждой паре рисунков соответствующие выражения:
©
Ф
м
* * * * *
* * * * *
шшшш
*****
Что ты можешь сказать о длине отрезков в каждой паре?
ФА»М*-
-•К
-•к
5-12726 Истомина
-в
129
Пользуясь циркулем и линейкой, дети отвечают на поставленный вопрос, используя понятия «больше в...», «меньше в...», «больше на...», «меньше на...»
Выбери фигуру, площадь которой в 2 раза меньше площади данной фигуры.
" ЯЛ
!ЖТТТТ"ШТТТТ]
Задание 54. Подберите или составьте задания, в процессе выполнения которых учащиеся усваивают понятия «увеличить в...», «уменьшить в...»
Овладев понятиями «увеличить в...» («больше в...»), «уменьшить в...» («меньше в...»), дети получают возможность познакомиться с кратным сравнением: «Во
сколько раз меньше? Во сколько раз больше?»
Для осознания предметного смысла кратного сравнения можно использовать
представления детей о площади фигуры и ее измерении с помощью мерок, предложив классу задание:
Верно ли утверждение, что площадь прямоугольника в 6 раз больше площади
квадрата, а площадь квадрата в 6 раз меньше площади прямоугольника? Как это
проверить?
При этом желательно, чтобы у каждого ученика были модели фигур, которые
даны на рисунке.
Дети накладывают квадрат на прямоугольник и практически убеждаются в том,
сколько квадратов в нем уложилось.
Затем самостоятельно выясняют:
— сколько клеток в прямоугольнике (54);
— сколько клеток в квадрате (9).
Учитель уточняет:
— Чему равна площадь прямоугольника? (54 клетки.)
— Чему равна площадь квадрата? (9 клеток.)
Так, размещая должным образом квадрат в прямоугольнике, мы выясняем сколько раз площадь квадрата укладывается в площади прямоугольника, или сколько раз 9 клеток укладываются в 54 клетках. Данный вывод записывается на языке
математики в виде равенства 54:9=6 (раз).
Для усвоения понятия кратного сравнения учащиеся выполняют различные задания.
130
Сравни рисунки. Что изменилось слева направо? Что изменилось справа налево? Объясни, что обозначают равенства, записанные под рисунками:
3-6=18
18:6=3
18:3=6
Во сколько раз площадь левой фигуры больше площади правой?
©
Запиши ответ числовым равенством.
Догадайся, какой меркой измеряли площадь прямоугольника, если она равна:
7-3(м.)
7-6(м.)
7-12(м.)
XX XXXX
XXXXXXX
XXXXXX
\
ж
Во сколько раз:
а) мерка жёлтого цвета больше мерки синего цвета;
б) мерка жёлтого цвета больше мерки красного цвета;
в) мерка красного цвета меньше мерки синего цвета?
Задание 55. Подберите или составьте сами задания, в процессе выполнения
которых учащиеся усваивают понятие кратного сравнения.
§ 1 3 . ДЕЛЕНИЕ СУММЫ НА ЧИСЛО
Изучая тему «Делимость целых неотрицательных чисел» в курсе математики, вы
доказывали две теоремы:
Если каждое слагаемое делится на натуральное число п, то их сумма делится
на это число.
Если в сумме одно слагаемое не делится на данное число тп, а все остальные
слагаемые делятся на число ш, то вся сумма на число m не делится.
131
В начальном курсе математики теоремы о делимости суммы представлены в
виде свойства «деление суммы на число». Пользуясь этим свойством, можно делимое представить в виде суммы двух чисел, каждое из которых делится на данное
число; разделить на это число сначала первое слагаемое, затем второе и полученные результаты сложить.
Учащиеся могут самостоятельно «открыть» новый способ действия при выполнении такого задания:
Догадайся! По какому правилу записаны выражения в каждом столбце? Вычисли их значения.
а) 54:9
6)63:7
в) 42:7
(36+18):9
(49+14):7
(21+21 ):7
36:9+18:9
49:7+14:7
21:7+21:7
г) 72:8
Д)56:7
е) 24:4
(24+48):8
(42+14):7
(16+8):4
24:8+48:8
42:7+14:7
16:4+8:4
Анализируя выражения каждого столбца, дети обнаруживают, что сначала дано
частное двух чисел. Его значение легко найти, пользуясь таблицей умножения. Затем
дано выражение, где делимое представлено в виде суммы двух слагаемых. Поэтому
значения первого и второго выражений во всех столбцах одинаковы. В третьем выражении каждого столбца учащиеся замечают, что каждое слагаемое суммы, записанной в скобках во втором выражении, делят на то же число. Пользуясь правилом
порядка выполнения действий, школьники находят значение третьего выражения.
Оно такое же, как значения первого и второго выражений.
По аналогии дети составляют такие же столбцы выражений для частных 36:4,
48:4, 27:3, 45:9. Остается только описать выполняемый способ действий. (Если
представить делимое в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых делится на
данное число, то можно на это число разделить сначала первое слагаемое, затем
второе и результаты сложить.)
Для усвоения нового способа действия выполняются различные задания. При
этом выражения, используемые в заданиях, включают только табличные случаи деления, поэтому дети не испытывают затруднений в вычислениях.
Например:
Представь числа 81, 72, 45 в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых
делится на 9. Запиши выражения и вычисли их значения.
Чем похожи выражения в каждой паре? Чем различаются?
а) (24+48):8
б)(42+14):7
в) (35+30):5
(22+50):8
(40+16):7
(33+32):5
г) (36+18):9
(34+20):9
132
д)(49+14):7
(47+16):7
е) (24+42):6
(25+41 ):6
Чем похожи все выражения?
(36+6):6
(10+32):6
(30+12):6
(34+8):6
(24+18):6
(28+14):6
Догадайся, по какому признаку Миша разбил выражения на две группы, если он
выполнил задание так:
а)(36+6):6
б)(10+32):6
(24+18):6
(34+8):6
(30+12):6
(28+14):6
Какие из чисел 36, 48, 52, 6, 24, 38, 56, 54, 28 можно записать в виде суммы
двух слагаемых, каждое из которых делится на 6?
Запиши выражения, в которых сумма делится на число, и проверь свои ответы,
вычислив их значения.
Какие суммы делятся на 4?
а) 24+4
б)20+8
20+9
23+5
26+32
19+9
в) 16+12
16+15
15+13
г) 24+5
20+7
21+7
Вставь пропущенные числа, чтобы получились верные равенства,
а) (30+ ):3=30:3+ :3
б)( + ):5= :5+ :5
в)( + ):6= :6+ :
г) (32+16): =32: +16:
д) (17+16): =17: +16:
Запиши каждое выражение в виде частного двух чисел и найди его значение.
(30+18):3
(80+4):4
б)(60+12):3
(90+9):9
(70+21 ):7
(80+12):4
(30+12):3
(50+25):5
(60+24):6
(70+14):7
(60+18):6
(40+8):4
(40+28):4
(30+27):3
(30+21 ):3
Вставь знаки
а) (40+16):4
б) (70+14):7
в) (80+12):2
г) 20:2+12:2
<, > или =, чтобы получились верные записи.
40:4+16:4
70:7+14:2
80:2+12
(20+12):2
Вставь пропущенные числа, чтобы получились верные равенства.
а) (42+28):7=6+
б) (30+ ):6=30:6+3
(20+12): =20:4+
( + ):9=8+2
(40+32): =5+4
( +. ): =4+2
(70+ ):7= +4
( + ):4=7+3
Задание 56. Подберите или придумайте задания, которые вы можете предложить учащимся при изучении свойства деления суммы на число.
§ 14. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ДЕЙСТВИЙ В ВЫРАЖЕНИЯХ
Основная цель изучения данной темы — познакомить учащихся с правилами
порядка выполнения действий в выражениях и сформировать у них умение пользоваться ими.
В начальных классах эти правила обычно формулируются в таком виде.
Правило 1. В выражениях без скобок, содержащих только сложение и вычитание или умножение и деление, действия выполняются в том порядке, как они записаны: слева направо.
Правило 2. В выражениях без скобок сначала выполняются по порядку слева
направо умножение или деление, а потом сложение или вычитание.
Правило 3. В выражениях со скобками сначала вычисляют значение выражений
в скобках. Затем по порядку слева направо выполняются умножение или деление, а
потом сложение или вычитание.
Анализ приведенных правил позволяет выделить те основные признаки выражений, на которые учащиеся будут ориентироваться при вычислении их значений.
А именно: выражения без скобок и со скобками; содержащие только сложение и вычитание или умножение и деление; выражения, обладающие признаками: наличие
скобок и все четыре арифметических действия.
Приступая к изучению данной темы, следует иметь в виду, что уже до знакомства с правилами порядка выполнения действий учащиеся вычисляли значения выражений, содержащих либо только сложение и вычитание, либо только умножение
и деление, т. е. действовали в соответствии с правилом 1.
Кроме того, они знакомы с тем, что действие, записанное в скобках, выполняется первым. Необходимость введения этого правила возникла при изучении сочетательного свойства сложения, а затем оно использовалось при изучении сочетательного и распределительного свойств умножения и при делении суммы на число.
Однако дети воспринимали это правило скорее как один из способов вычисления
определенных выражений, нежели как общий способ действий.
Для подготовки учащихся к восприятию правил порядка выполнения действий
в выражениях как общего способа действий при вычислении их значений нужно
прежде всего научить детей анализировать различные числовые выражения сточки
зрения тех признаков, на которые сориентировано каждое правило.
Для этого до знакомства с правилами целесообразно выполнить такие задания:
Сравни выражения в каждой паре. Чем они похожи? Чем отличаются? Чем похожи все вторые выражения в каждой паре? Чем похожи первые выражения в каждой паре?
72-9-3+6
48-6+7+8
27-3+2-7
72:9-3:6
48:6-7:8
27:3-2:6
134
Чем отличаются друг от друга выражения в каждом столбце:
56-(8+9)-7
72:9-3:6:2
56-8-9-7+24
72:9-3:(6:2)-7
56-8-9-(7+24)
72:9-3:6:2-7
Чем похожи и чем отличаются выражения в каждой паре:
35:7
18+24:8-2
35:7-8
18+24:(8-2)
63:7+8-4
63+7-8+4
Анализ и сравнение предложенных пар выражений акцентирует внимание учащихся на действиях, которые даны в каждом выражении, на их количестве и на числах, с которыми эти действия выполняются, и подготавливает школьников к пониманию смысла каждого правила.
Дальнейшая работа направлена на формирование умения соотносить данное
выражение с определенным правилом, которым следует руководствоваться при
вычислении его значения. В этом случае целесообразно по отношению к приведенным выше выражениям выполнить следующее задание.
Выпиши выражения, при нахождении значения которых ты будешь пользоваться: а) правилом 1; б) правилом 2; в) правилом 3.
С этой же целью можно предложить и такие задания:
Догадайся! По какому признаку записаны выражения в каждом столбце:
29-8+24
72:9-3
84-9-8
32+9-7+14
48:6-7:8
54+6-3-72
64-7+16-8
27:3-2:6-9
8+7-8+63:9
Расставь порядок выполнения действий и вычисли значения выражений.
По какому признаку можно разбить выражения на три группы:
81-29+27
400+200+300-100
400+200+30-100
72:9-3
48:6-7:8
27:3-2:6-9
84-9-8
54+6-3-72:8
По какому признаку можно разбить выражения на две группы? Вычисли значение каждого выражения.
Верно ли утверждение, что значения выражений в каждом столбце одинаковы:
56:7
54:9
7-8:(32:4)
9-6:(36:4)
(65-9):(24:3)
(72-18):(27:3)
Как составлены в каждом столбце второе и третье выражения?
Составь столбцы по такому же правилу, используя выражения:
72:8,36:9,27:9,63:7.
Какие числа нужно вставить в «окошки», чтобы получить верные равенства:
24+4-3= +24
36:6- = -5
72-5-3=8-9(4+2)-7=672+(40-4):9= +4
:(9-3)=48:
-7
Расставь порядок выполнения действий на каждой схеме:
а)
+ : + • б) • +( + ) в) : + - - ( + )
Выбери числовые выражения, которые соответствуют каждой схеме, и вычисли
их значения.
63:7+(20-5)-(9+6)
18+36:9+6-8-50
5-(4+3)+19-10
(18+36):9+6-8-50
63:7+20-5-(9+6)
5-4+(3+19)-10
Какие арифметические действия могут выполняться в указанном порядке?
3
1 2
3
2
1
1
1
Следует иметь в виду, что при вычислении значений выражений некоторые учащиеся, правильно расставив порядок выполнения действий, допускают ошибки,
связанные с выбором чисел, с которыми эти действия нужно произвести. Например, в выражении:
42-21:3+8
ученик правильно расставляет порядок действий, но далее делает так:
1)21:3=7; 2 ) 4 2 - 2 1 = 2 1 ; 3)3+8=11.
Для предупреждения этой ошибки полезно использовать такой прием.
Выражения (карточки с числами и знаками действий) выкладываются на фланелеграфе.
42 - 21
3 + 8
После того как дети расставят в выражении порядок действий и выполнят первое действие, полученный результат сразу вставляется в выражение:
42 -
7
+ 8
Аналогично следует поступить после второго действия:
35 + 8
136
В зависимости от состава класса можно подбирать выражения, содержащие до
10 действий.
Полезно использовать и такой прием:
42 - 21 : 3 + 8
64 : 8 + 9 • 5
[451
[53К
В процессе усвоения правил порядка выполнения действий в выражениях учащиеся совершенствуют вычислительные умения и навыки, а также повторяют ранее изученный материал. Для этой цели можно предлагать не только упражнения на
вычисление значений выражений, но и задания с различными способами решений,
требующие выполнения рассуждений.
Например:
Вставь пропущенные знаки действий, чтобы равенства были верными:
7-4...8...2=32
7+4... 8-2=37
(7-4) ...8...2=22
7...4-8:2=7
Какие числа можно вставить в «окошки», чтобы получились верные равен-
ства:
+
=72
= 100
Найди значение выражения:
24+40:8-3-9
Поставь скобки в данном выражении так, чтобы его значение было равно 96.
Чем похожи выражения? Чем отличаются?
98-(6-9+8-3)
98-6-9+8-3
Объясни, какими правилами порядка выполнения действий ты будешь пользоваться при вычислении их значений.
Верно ли утверждение, что значения выражений в каждой паре одинаковы:
17+(4-3)-2-8
8-(4+3)+6-4
17+4-(3-2)-8
8-4+(3+6)-4
137
Задание 57. Из приведенных выше заданий выделите те, при выполнении которых учащиеся повторяют: а) взаимосвязь между компонентами и результатами
действий; б) свойства умножения.
Подберите или составьте сами задания, в процессе выполнения которых повторение ранее изученных вопросов связано с усвоением правил порядка действий в выражениях.
§ 15. ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ
Из курса математики вам известно, что «разделить с остатком целое неотрицательное число а на натуральное число Ъ — это значит найти такие целые неотрицательные числа q и г, чтобы a=bq+r и 0 < г < Ь».
Методика формирования понятия «деление с остатком» во многом зависит от
ответа на вопрос: «С какой целью вводится данное понятие в начальный курс математики?»
В числе этих целей можно назвать: а) расширение представлений учащихся о
делении; б) усвоение существенного признака деления с остатком (остаток должен быть меньше делителя); в) овладение способами деления с остатком (подбор
делимого или подбор частного); г) совершенствование вычислительных навыков
(табличных случаев умножения и соответствующих случаев деления); д) использование данного понятия для выполнения письменных вычислений (алгоритма письменного деления).
Все названные цели взаимосвязаны. Однако приоритетной является цель, названная последней. Во-первых, она включает в себя все предыдущие цели, во-вторых, определяет перспективу практического использования данного понятия, что
позволяет в процессе его усвоения провести подготовительную работу к изучению
алгоритма письменного деления.
Ориентируясь на математическое определение деления с остатком, на основную цель изучения данного понятия и на особенности усвоения понятий младшими
школьниками, выделим в методике изучения темы «Деление с остатком» следующие этапы.
1-й этап. Постановка учебной задачи. Разъяснение предметного смысла деления с остатком. Знакомство с новой формой записи и с новыми терминами.
Для постановки учебной задачи учитель опирается на знания детей о смысле
действия деления и предлагает им объяснить, что обозначают записи, выполненные под каждым рисунком:
Объясни, что обозначают записи под каждым рисунком:
12:3=4
138
12:4=3
13:3=4 (ост. 1)
13:4=3 (ост. Г
14:3=4 (ост.2)
14:4=3 (ост.2)
Дети самостоятельно комментируют записи, данные под верхним рисунком,
используя знания о смысле деления. Рассматривая второй рисунок и пользуясь
известным способом действия, они называют количество кругов в каждой части
(3, 3,3,3) и обычно заканчивают свой ответ так: «А один круг остался». Поэтому комментирование записей, данных под этим рисунком, также не вызывает у них затруднений (первая запись означает, что 13 кругов делили на части по 3 круга в каждой,
получили 4 равных части и один круг остался; вторая запись означает, что 13 кругов
разделили на 4 равные части, получили в каждой части по 3 круга и один круг остался. Аналогично комментируются записи под третьим рисунком.
Для подведения учащихся к выводу о том, что остаток при делении должен быть
меньше делителя, полезно обсудить следующие вопросы: а) Можно ли к первому
рисунку выполнить такую запись: 12:3=3(ост.З)? (Нет, так как имеем 4 равные части,
в каждой из которых по 3 круга); б) Можно ли ко второму рисунку сделать такую запись: 13:3=3 (ост.4)?
Различные упражнения с предметными моделями позволяют либо ученикам
высказать предположение о том, что остаток должен быть меньше делителя, либо
сам учитель сообщает об этом, а дети проверяют справедливость данного утверждения на различных моделях.
2-й этап. Усвоение смысла деления с остатком. Взаимосвязь различных форм
записи деления с остатком.
Средством организации деятельности учащихся на этом этапе являются учебные задания на
• выполнение рисунка по данной записи (лучше, если в этом случае учитель будет использовать как деление без остатка, так и деление с остатком);
• выполнение записи поданным рисункам;
• выбор рисунков, соответствующих данной записи;
• выбор записи, соответствующей данному рисунку.
Например:
Выполни рисунки, которые соответствуют записям:
3-2+1=7
7:3=2 (ост. 1)
7:2=3 (ост. 1)
Дети сначала рисуют круги, соответствующие первой записи:
139
Затем, опираясь на сделанный рисунок, комментируют записи:
7:3=2 (ост.1) — 7 кругов разделили на части, по 3 круга в каждой. Получит
2 части, и 1 круг остался.
7:2=3 (ост.1) — 7 кругов разделили на 2 равные части, получили по 3 круга
каждой, и 1 круг остался.
Аналогично нужно действовать и при выполнении такого задания:
Выбери рисунок, которому соответствуют все три записи.
3-4+2=14
(Df
14:3=4 (ост.2)
••••
•
4 »»»»»
14:4=3 (ост.2)
••
•••
При выборе рисунка следует ориентироваться на запись: 3*4+2=14 (на рису
ке 3 круга повторяются 4 раза и еще 2 круга) В противном случае дети могут выбрарисунок 1, но к нему не подойдет первое равенство.
В процессе выполнения таких заданий учащиеся осознают взаимосвязь межл
делимым, делителем, неполным частным и остатком.
3-й этап. Овладение способами деления с остатком.
Возможны два способа деления с остатком. Один можно условно назвать noj
бором делимого, другой способ — подбором неполного частного.
Используя способ подбора делимого, учащиеся рассуждают: «28:5. Делимое *
не делится на 5. Самое большое число до 28, которое делится на 5, это 25. Разд<
лим 25 на 5, получится 5. Вычтем из 28 число 25, получится остаток 3.
28:5=5 (ост.З)
Остаток 3 меньше, чем делитель 5».
Успешное проведение таких рассуждений во многом зависит от сформирова!
ности табличных навыков деления, так как начать свой ответ с фразы «28 не делите
на 5» ученик сможет, если быстро вспомнит нужный случай из таблицы деления, 41
и является показателем прочных и автоматизированных вычислительных навыков
Но следует заметить, что ориентировка на данный способ действия при делем
с остатком не нацеливает детей на осознание той взаимосвязи, которая существу<
между делимым, делителем, неполным частным и остатком. В результате многие к
понимают, что для нахождения остатка нужно из делимого вычесть произведем
неполного частного и делителя, а для того, чтобы найти делимое, нужно неполне
частное умножить на делитель и прибавить остаток.
140
Для усвоения этих взаимосвязей более эффективным является выполнение деления способом подбора частного. Ориентировка на него предполагает четкое знание таблицы умножения, что более доступно большинству учащихся. Подбор частного требует применения операций, способствующих осознанию математического
смысла деления с остатком.
Например, при делении 57:6 ученик может начать свои действия с подбора
частного. Он вспоминает таблицу умножения на 6: 6*8=48, 57-48=9, 9>6; так как
остаток не может быть больше делителя, то число 8 не подходит.
Проверим число 9: 6-9=54, 57-54=3, 3<6. Остаток меньше делителя, следовательно, 57:6=9 (ост. 3).
Целесообразно познакомить учащихся с обоими способами деления с остатком. Однако, в качестве приоритетного следует все-таки ориентироваться на способ подбора частного, так как он позволяет детям осознать взаимосвязь делимого,
делителя, неполного частного и остатка и использовать эти знания при выполнении
различных заданий:
— Какие действия нужно выполнить, чтобы найти остаток?
26:8=3 (ост....)
Выяснив последовательность действий для решения данного равенства, можно
приступить к выполнению заданий:
а)
Вставь пропущенное делимое, чтобы получились верные записи:
:6=12(ост.З)
б) :9=8 (ост.7)
:5=9(ост.4)
:7=14(ост.З)
:7=8(ост.2)
:4=15(ост.2)
Можно ли, не выполняя вычислений, сказать, в какой паре записей делимые
одинаковы?
а)
:7=5804 (ост.З)
б) :8=607 (ост.1)
:5804=7 (ост.З)
:8=607 (ост.2)
Проверь свой ответ, выполнив вычисления.
Найди пропущенный делитель.
86 :
=9 (ост.5)
Усвоение учащимися способа подбора частного позволяет им самостоятельно
выполнить деление трехзначного числа на двузначное, четырехзначного числа на
трехзначное, пятизначного на четырехзначное (при условии получения в частном
однозначного числа) до знакомства их с алгоритмом письменного деления.
Например, 107:17. Подобрать число, меньшее 107, которое без остатка делится на 17, довольно трудно. Если же воспользоваться способом подбора частного, то
можно проверить числа 4, 5, 6, что послужит упражнением в вычислениях. При этом
в каждом из случаев надо проверять, каким будет остаток (он должен быть меньше
делителя).
На этом же этапе учащихся следует познакомить еще с одной формой записи
деления с остатком («уголком»).
Для этой цели можно воспользоваться таким заданием:
Сравни записи:
34:8=4 (ост.2) и _ 3 4 [ 8 _
32И~
2 ост.
Чем они похожи? Чем отличаются? Догадайся, что обозначает знак |
в записи справа? В чём преимущество записи, которая выполнена справа?
Я думаю, что здесь помимо делимого, делителя, неполного частного и
остатка записывается ещё число, которое делится без остатка на данный делитель.
А ещё в этой записи хорошо видно, как получается остаток.
Используя знак |
(«уголок»), выполни деление: 27:8, 31:5, 58:9.
Используя запись деления «уголком», учащиеся могут выполнить деление четырехзначных чисел на трехзначные: (Тема «Умножение многозначного числа на
однозначное» должна в этом случае предшествовать теме «Деление с остатком».)
1384 1275
"1375 Г~5~
9 ост.
9<275
3581I403
3224ПГ~
357 ост.
357<403
5-й этап. Деление с остатком меньшего числа на большее.
Для обобщения способов деления с остатком целесообразно рассмотреть
случаи деления меньшего числа на большее. Например 7:15. Пользуясь способом
подбора делимого, ученики рассуждают: «Найдем число, которое было бы меньше
семи и без остатка делилось на 15. Это число нуль. 0:15=0. Теперь найдем остаток:
7-0=7. Получаем 7:15=0(ост.7); 7 меньше 15.
Пользуясь способом подбора частного, многие дети могут оказаться в затруднении — какое число «попробуем» первым? Учитель сам может предложить: «Давайте попробуем число 1». Но если 1 • 15, то получим 15. Это число уже больше делимого. Ясно, что число 2 «пробовать» не имеет смысла. Остается единственная
возможность — число «нуль».
В результате проведенных рассуждений учащиеся делают вывод: если меньшее число разделить на большее, неполное частное равно нулю, а остаток равен
делимому.
142
6-й этап. На этом этапе следует рассмотреть случаи деления с остатком на 10,
наЮО, на 1000 (65:10, 365:100, 5365:1000). Пользуясь различными способами деления с остатком (подбор делимого и подбор частного), а также выделяя в делимом
количество десятков, сотен или тысяч, дети получают неполное частное и остаток.
В первом случае остаток 5, во втором случае — 65, в третьем случае — 365.
Задание 58. Подберите или составьте сами различные задания, которые
вы можете предложить учащимся на различных этапах изучения темы «Деление
с остатком».
Таким образом, методические особенности формирования понятия деления с
остатком заключаются в следующем:
1. Учащиеся знакомятся с понятием «Деление с остатком» после того, как изучены темы «Пятизначные и шестизначные числа», «Сложение и вычитание многозначных чисел» и усвоен алгоритм письменного умножения на однозначное число.
Это позволяет: во-первых, активно привлекать при изучении деления с остатком
ранее полученные знания, умения и навыки, во-вторых, целенаправленно готовить
детей к изучению алгоритма письменного деления.
2. Наиболее эффективным способом деятельности учеников, направленной на
усвоение смысла деления с остатком, является установление соответствия между
предметными моделями (рисунками) и математической записью. Вариативность
способа деятельности обеспечивается применением приемов сравнения, выбора,
преобразования и конструирования.
Задание 59. Подберите или составьте задания, в процессе выполнения которых учащиеся усваивают предметный смысл деления с остатком, используя при
этом приемы сравнения, выбора, преобразования и конструирования.
3. Основным способом действия при делении с остатком (еще раз обратим на
это внимание) является подбор частного, так как:
• он позволяет учащимся осознать смысл новой записи с точки зрения взаимосвязи компонентов и результата действия;
• его можно использовать при делении трехзначного числа на двузначное, а
также в дальнейшем при выполнении письменного деления.
4. В теме «Деление с остатком» дети знакомятся с формой записи деления
«уголком» и обсуждают ее преимущества.
143
Задание 60. Составьте различные задания, в процессе выполнения которых
учащиеся усваивают:
а) способ подбора частного при делении с остатком;
б) условие, которое необходимо выполнять при делении с остатком;
в) взаимосвязь компонентов и результата при делении с остатком.
5. В теме «Деление с остатком» рассматривается случай деления меньшего
числа на большее. Для вычисления результата школьники могут использовать как
способ подбора частного, так и способ подбора делимого.
Задание 61. Составьте задания, которые вы можете предложить учащимся к
следующим записям:
: = (ост. 3)
36: = (ост. 1)
52: =7 (ост. )
Приведите рассуждения детей при выполнении каждого задания.
§ 16. УРАВНЕНИЕ
В курсе математики начальных классов уравнение рассматривается как истинное равенство, содержащее неизвестное число, и решается на основе правил взаимосвязи между компонентами и результатами действий.
Термин «решение» употребляется в двух смыслах: он обозначает как число (корень), при подстановке которого уравнение обращается в верное числовое равенство, так и сам процесс отыскания такого числа, т. е. способ решения уравнения.
Ответ на вопрос: когда (в каком классе) целесообразно знакомить младших
школьников с уравнением, неоднозначен. Одна точка зрения — познакомить с уравнениями как можно раньше и в процессе их решения работать с детьми над правилами о взаимосвязи компонентов и результатов действий.
Другая точка зрения — приступать к решению уравнений после того, как учащиеся усвоят необходимую терминологию и те правила, которыми они будут пользоваться для решения уравнений.
Автор данного пособия разделяет вторую точку зрения. Это обусловлено тем,
что для осознания взаимосвязи между компонентами и результатами арифметических действий необходимо опираться на предметную деятельность, а овладение
терминологией и правилами распределить во времени и связать по возможности с
изучением других вопросов курса.
В противном случае при решении уравнений мы вынуждены идти путем действий по образцу, сопровождая их большим количеством тренировочных однообразных упражнений. Это приводит к тому, что, решая уравнения, учащиеся часто руководствуются не общим способом действия (правилом), а внешними признаками.
Например, предложив детям решить уравнение 8+х=6, мы довольно часто получаем ответ: х=8-6, который ребята обосновывают так: «Здесь знак «+», значит, надо
вычитать, я из большего числа вычитаю меньшее». Ясно, что дети ориентируются не
144
на существенные признаки данного равенства, а на числа 8 и 6. А так как младший
школьник может вычитать только меньшее число из большего, то он и оценивает
данное равенство с этой точки зрения, не пытаясь осознать взаимосвязь, которая
существует между слагаемыми и значением суммы.
Более позднее изучение уравнений позволяет:
1. Использовать в уравнениях многозначные числа и ранее изученные понятия.
Запиши каждое предложение уравнением и реши его.
а) Неизвестное число уменьшили на 708 и получили 1200.
б) Число 1208 уменьшили в несколько раз и получили 302.
в) Неизвестное число увеличили в 7 раз и получили 1449.
Запись таких предложений в виде уравнений обычно не вызывает у детей затруднений, а их решение позволяет повторить не только знания о взаимосвязи компонентов и результатов действий, но и поупражняться в вычислениях.
2. Познакомить учащихся с уравнениями, в которых неизвестный компонент
представлен в виде буквенного выражения:
а)5-х-10=290
б)5'(х-10)=290
в) (10838-Х): 342-31
г) 150-х:2=140
При решении усложненных уравнений следует опираться на правила порядка
выполнения действий, так как не все ученики могут овладеть способом действия
при отсутствии четких ориентиров. Порядок действий расставляется в той части
уравнения, где содержится неизвестное (х).
Например, в уравнении 5-л;-10=290 следует сначала определить порядок выполнения действий в левой части уравнения:
5-х-10=290
Расставив порядок выполнения действий, учащиеся выделяют компоненты,
относящиеся ко второму действию (в данном случае это вычитание). Неизвестное
число находится в уменьшаемом, поэтому для решения уравнения применяем правило: «Если к значению разности прибавить вычитаемое, то получим уменьшаемое».
Значит, 5'Х=290+10. Заменяем числовые выражения их значениями (в данном случае это 290+10).
Получаем 5*х=300. Применяем правило: «Если значение произведения разделить на один множитель, то получим другой множитель».
Записываем: х=300:5; л=60.
Задание 62. Приведите рассуждения учащихся при решении уравнений б), в), г).
3. Познакомить детей с решением задач способом составления уравнений.
При этом можно возвращаться к тем задачам, которые они решали ранее ариф145
метическим способом. Например, ребята находят в учебнике задачу, которую они
уже решали арифметическим способом (учитель называет номер).
На 9 машинах доставили 47700 кг зерна. Сколько зерна могут перевезти
12 таких машин?
Учащимся предлагается задание: «Объясни, как рассуждала Маша, записав эту
задачу уравнением: х: 12=47700:9.»
Аналогично организуется деятельность класса с заданием:
Вычисли остаток: 322:37-8 (ост. ...); 327:47=6 (ост....). Обозначь остатки буквой х.
Объясни, как рассуждали Миша и Маша, записав такие уравнения:
Миша:
8-37+х=322
(322-х):37=8
(322-х):8=37
Маша:
6-47+х=327
(327-JC):47=6
(327-JC): 6=47
Для подготовки учащихся к решению задач способом составления уравнений
полезны задания на соотнесение вербальных, предметных, схематических и символических моделей.
Например:
На одной чашке весов дыня и гиря массой 2кг. На другой — гири массой 10кг
и 5кг. Весы находятся в равновесии.
Какое уравнение можно составить по данному рисунку, если масса дыни х кг?
Объясни, почему по данной схеме можно составить уравнение: х+40=56+32.
Найди корень уравнения.
56
х
146
32
40
В классе 34 ученика. Английский язык изучают 12 детей, а остальные - немецкий. Сколько детей изучает немецкий язык?
Рассмотри схему и выбери уравнения, которые соответствуют данной задаче.
х
12
а)х+12=34
б) 12-х=ЗА
в)х-12=34
г)34-х=12
34
Выбери задачи, которым соответствует данная схема, и составь уравнения.
342
285
X
1. В одном пансионате отдыхали 342 человека, в другом — 285. Сколько было
отдыхающих в двух пансионатах?
2. В одном пансионате 285 человек, в другом — на 342 человека больше. Сколько человек отдыхает во втором пансионате?
3. В июне в пансионате отдыхали 285 человек, а в июле — 342. На сколько меньше отдыхающих было в июне, чем в июле?
4. В двух пансионатах отдыхали 342 человека. Сколько человек отдыхало во втором пансионате, если в первом было 285 человек?
5. В июне в пансионате отдыхали 342 человека. Из них 285 взрослых, остальные —
дети. Сколько детей было в пансионате?
Задание 63. Подберите или составьте сами задания на соотнесение различных видов моделей при изучении уравнений.
§ 17. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ
Основой формирования представлений о геометрических фигурах является
способность детей к восприятию формы. Она позволяет ребенку узнавать, различать и изображать различные геометрические фигуры: точку, прямую, кривую,
ломаную, отрезок, угол, многоугольник, квадрат, прямоугольник и т. д. Для этого
достаточно показать ему ту или иную геометрическую фигуру и назвать ее соответствующим термином. Например: это отрезки (рис. 1), это квадраты (рис. 2), это
круги (рис. 3), это прямоугольники (рис. 4). Аналогично можно поступить с геометрическими телами, показав их модели: это цилиндр (куб, конус и т. д.).
D
Рис. 1
Рис.3
Рис.2
О
О
Рис. 4
•
Такое знакомство учащихся с геометрическими фигурами позволяет им воспринимать их как целостный образ. Поэтому, если изменить расположение или размер тех фигур, которые были предложены в образце, дети могут допускать ошибки.
Например, в фигурах, изображенных на рис. 5, ученик может не узнать квадраты, в
фигурах на рис. 6 — прямоугольники. Но фигуры на рис. 7 он может назвать прямоугольниками, а фигуры на рис. 8 — треугольниками. Восприятие геометрической
фигуры как целостного образа — лишь первый этап в формировании геометрических представлений ребенка. В дальнейшем необходимо сосредоточить его внимание на выделении тех элементов, из которых состоят геометрические фигуры,
и на их существенных признаках. Для этой цели геометрические фигуры изучают в
определенной последовательности, выполняя с моделями различные практические
действия.
Рис.5
Рис.7
о
Рис.6
Рис. 8
Рассмотрим возможный вариант такого изучения.
Элементарная геометрическая фигура — точка. Любую другую геометрическую фигуру можно рассматривать как множество точек. Через точку можно провести различные линии. Опираясь на свой жизненный опыт, ребенок самостоятельно
справляется с задачей проведения линий через точку и даже сам может их назвать
соответствующими терминами: «кривая», «прямая» линии.
При этом прямые линии целесообразно не только изображать на листе бумаги.
Используя в качестве модели плоскости тот же лист, получить, например, прямую
линию, сгибая его так, чтобы линия сгиба проходила через данную точку.
Аналогичноследуетдействоватьи проводя прямую линию через две точки. Дети
могут самостоятельно справиться с решением задачи, перегибая лист бумаги так,
чтобы линия сгиба проходила через указанные точки. Это позволит им практически
убедиться в том, что через две точки можно провести только одну прямую.
Для проведения прямых линий необходимо пользоваться линейкой. Ученики
сами могут проверить это на практике. Если расположить на доске две точки на
большом расстоянии друг от друга и предложить ребятам провести через эти точки
прямую линию, то вряд ли кто-либо из них сможет это сделать, не воспользовавшись линейкой.
148
Полезно, чтобы в процессе выполнения различных упражнений дети научились
различать такие понятия, как: «точка пересечения двух линий», «линия проходит через точку», «линия соединяет две точки», «точка принадлежит линии».
Предложите задания:
Проведи прямые линии через точку К и через точку В так, чтобы они пересеклись в точке О.
К •
О
Проведи прямую через точку К так, чтобы точка О лежала на прямой, а точка В —
вне прямой.
•о
Проведи разные кривые линии через данные точки.
Проведи прямую линию так, чтобы она пересекала кривую: а) в одной точке, б) в двух точках, в) в трех точках.
Проведи кривую линию так, чтобы она пересекала данную прямую: а) в одной
точке, б) в двух точках и т. д.
Учащиеся могут находить (узнавать) прямые и кривые линии на различных геометрических фигурах, как на плоских — круг, квадрат, многоугольник, так и на объемных — куб, конус, цилиндр, шар. В процессе такой деятельности у них формируются обобщенные образы понятий «прямая» и «кривая» линии.
Кривые линии могут быть замкнутые и незамкнутые. Ученик легко усваивает эти
понятия, если они ассоциируются у него с различными жизненными и игровыми ситуациями.
Для этой цели, например, можно использовать приведенный ниже рисунок, поставив к нему следующие вопросы:
д
а) Какая мышка может пробежать в домик, не перепрыгивая через линию?
б) Сделай так, чтобы первая и третья мышка не смогли прибежать в домик.
149
При знакомстве с отрезком следует выделить такие его признаки, ориентируясь на которые школьники могли бы легко узнавать эту геометрическую фигуру. Для
этого прежде всего нужно обратить их внимание на то, что отрезок имеет два конца
и его (отрезок) следует проводить по линейке.
Если учеников познакомить с отрезком после введения понятия «длина», то помимо названных признаков данного понятия стоит отметить, что у любого отрезка
можно измерить длину. Дети могут самостоятельно прийти к выводу, что те прямые линии, которые ими выделены на различных фигурах, по сути дела являются
отрезками, так как в них фиксируются два конца. Ориентируясь на рассмотренные
признаки отрезков, учащиеся находят их на различных геометрических фигурах:
плоскостных и объемных.
Надо также обратить внимание класса на условность изображения прямой и отрезка. А именно: изображая отрезок, мы обязательно фиксируем две точки - концы
отрезка, при изображении прямой линии эти точки не фиксируются.
Если из данной точки провести по линейке прямую линию, то получим геометрическую фигуру, называемую лучом.
Если провести два луча из одной точки, то получим геометрическую фигуру, называемую углом. В этом случае угол рассматривается как фигура, которая состоит
из двух лучей с общим началом.
Дети легко справляются с построением такой геометрической фигуры. Однако
этого недостаточно, так как дальнейшая их деятельность связана с определением
угла как части плоскости, ограниченной двумя лучами.
Для формирования представления об угле, в основе которого лежит данное
определение, можно воспользоваться моделями угла или соответствующими рисунками:
Модель прямого угла дети получают, выполняя практическую работу. Каждому из них даются листы бумаги разных размеров с неровными краями. В середине
листа ставится точка. Ученики должны сложить лист так, чтобы линия сгиба прошла
через эту точку. Затем они еще раз складывают лист так, чтобы части линии сгиба
совместились.
150
Организуя деятельность учащихся, педагог сам может демонстрировать им
способ действия. В результате получится модель прямого угла. Модели, изготовленные учениками, накладываются друг на друга и делается вывод, что все прямые
углы равны между собой.
Сознательное выполнение этого действия требует правильных представлений
о величине угла. Так как в начальных классах дети не знакомятся с единицей измерения углов, то можно воспользоваться только приемом наложения и их представлениями о луче.
Например, если школьникам предложить два рисунка
и спросить, какой угол больше — левый или правый, то большинство из них ответят
неверно. В этом случае следует обратить внимание на то, что стороны угла — это
лучи, а значит, их можно продолжить. Поэтому, если стороны углов при наложении
совпадают, значит, эти углы одинаковые (имеется в виду понятие плоского угла).
При знакомстве с острыми и тупыми углами используются модели трех видов. А именно: если на модель прямого угла накладывается модель острого угла
так, чтобы одна сторона этих моделей совместилась, то другая сторона острого
угла пройдет внутри прямого; а в случае наложения тупого угла, его другая сторона
пройдет вне данного прямого угла.
Прямые, острые и тупые углы ученики выделяют на различных фигурах, пользуясь для этого заранее заготовленными моделями. При этом рассуждения можно
построить по отношению к прямому углу.
Например: если наложить модель прямого угла на углы данного четырехугольника,
то в случае а) одна сторона прямого угла совпадет со стороной четырехугольника,
другая пройдет внутри. Это значит, что данный угол четырехугольника тупой.
В случае б) одна сторона прямого угла совпадет со стороной четырехугольника,
другая пройдет вне, это значит, что угол четырехугольника острый.
В случаях в) и г) стороны углов четырехугольника и модели прямого угла совпадут, следовательно, эти углы прямые.
Имея представление о точке, отрезке и угле, школьники могут находить эти
геометрические фигуры в треугольниках, четырехугольниках, прямоугольниках и
151
квадратах, выделяя в качестве их элементов вершины (точки), стороны (отрезки) и
углы. Ориентируясь на эти элементы, дети сумеют распознавать треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т. д., называя все эти фигуры многоугольниками.
Для упражнений в распознавании многоугольников можно применять не только
плоские фигуры, но и объемные тела - призмы, пирамиды. Оперируя с объемными телами, учащиеся легко усваивают такие термины, как «грань» (многоугольник),
«ребро» (отрезок), «вершина» (точка).
Если конец одного отрезка является началом другого, конец второго - началом
третьего и эти отрезки образуют между собой угол, то мы имеем ломаную линию,
которая может быть так же, как и кривая, незамкнутой и замкнутой (многоугольник).
Определенную трудность для младших школьников представляет осознание
того, что любой квадрат является прямоугольником. Причина в том, что целостный
образ квадрата и прямоугольника уже сложился у большинства детей, а умением
выделять существенные признаки фигуры они еще не овладели. Поэтому очень
важно продумать последовательность вопросов, направленных на выделение существенных признаков прямоугольника и квадрата.
Учитель располагает на фланелеграфе различные фигуры. Сначала следует
выяснить, как можно их назвать (многоугольники). Затем предлагает учащимся показать и назвать многоугольники, у которых три угла и три стороны; четыре угла и
четыре стороны; пять углов и пять сторон и т. д.
После этого педагог просит оставить на фланелеграфе только четырехугольники и выделить из них те, у которых один, два, три, четыре прямых угла (после нескольких попыток некоторые ученики догадаются, что четырехугольников с тремя
прямыми углами вообще быть не может). Дети выполняют задание учителя, сначала
прикидывая «на глаз», какие углы могут быть прямыми, затем проверяют свое предположение с помощью модели прямого угла.
В результате выделяются четырехугольники, у которых все углы прямые. Они имеют название — прямоугольники. Среди прямоугольников можно выделить такие, у которых все стороны равны. Это квадраты. Отношения между понятиями «многоугольник», «четырехугольник», «прямоугольник», «квадрат» представлены схематически:
152
квадраты
прямоугольники
четырехугольники
многоугольники
Пустую схему можно затем использовать для проведения различных игр, например игры «Где мое место?». Двум ученикам дается одинаковое количество различных многоугольников (одному синего, другому красного цвета). Побеждает тот,
кто правильно и быстро заполнит схему фигурами.
Можно игру провести иначе. Один ученик получает несколько геометрических
фигур. Сначала он рассматривает каждую фигуру так, чтобы ее видел весь класс, но
не видел партнер по игре. Затем описывает фигуру, называя ее признаки, партнер
угадывает название и помещает ее на схеме. Основное условие игры: фигуру нужно
так описать, чтобы выбор ее места был однозначным. Например, ребенок описывает фигуру так: «пять сторон и пять углов» (выбор однозначен - это пятиугольник,
он помещается в области «многоугольники»). Далее он предлагает такое описание:
«четыре стороны и четыре угла». В этом случае выбор не однозначен. Это может
быть любой четырехугольник, либо прямоугольник, либо квадрат. Или такое описание: «четыре стороны и все равны» (выбор также не однозначен). Это может быть
квадрат или ромб, который можно будет поместить в область «четырехугольники».
В процессе такой игры дети начинают осознавать, что такое существенные признаки геометрической фигуры.
Возможна и такая игра: «Кто больше придумает имен». На фланелеграфе помещается фигура. Дети дают ей названия: многоугольник, четырехугольник, трапеция.
Затем помещается другая фигура. Ее можно назвать: многоугольник, четырехугольник, прямоугольник, квадрат. Третью фигуру, изображенную на рисунке, можно назвать: многоугольник, четырехугольник, параллелограмм, ромб.
Задание 64. Придумайте игры, которые вы могли бы предложить детям для
выяснения отношений между геометрическими фигурами, для определения их существенных свойств и усвоения названий.
Младшие школьники проявляют большой интерес к изучению геометрического
материала, легко запоминают названия геометрических фигур и выделяют их свойства в процессе практических действий с ними. Поэтому перечень геометрических
понятий, с которыми они знакомятся, можно расширить, включив в программу такие
понятия, как «шар», «круг», «окружность», «симметрия». Это положительно скажется как на развитии пространственного мышления ребенка, так и на формировании
навыков работы с линейкой, угольником, циркулем.
153
При изучении окружности и круга можно предложить задания:
Чем похожи и чем отличаются рисунки слева и справа:
Дети анализируют рисунки и выделяют признаки сходства: слева и справа нарисованы замкнутые кривые линии. На каждой из них отмечены 4 точки. Точка О находится внутри замкнутой линии на левом и на правом рисунке.
Затем выделяют признак различия: на левом рисунке все точки, которые отмечены на замкнутой кривой, находятся на одинаковом расстоянии от точки О, а на
правом рисунке это условие не выполняется.
Наложи на страницу учебника прозрачный лист бумаги и обведи на нем замкнутую кривую линию. Проверь! Можно ли назвать эту линию окружностью? Вырежи
фигуру, ограниченную кривой линией.
У тебя получился круг.
Можно ли провести окружность с центром в точке О так, чтобы она проходила
через точки А, В, С,
Догадайся! Через какие точки будет проходить окружность:
с
.
^
.А
•О
а) с центром в точке О;
б) с центром в точке С;
в) с центром в точке D?
•В
D,
Проверь себя с помощью циркуля.
С понятием «симметричные фигуры» можно познакомить учащихся уже в первом классе, используя для этой цели практический (предметный) способ действий,
который доступен младшему школьнику. Например:
•—v'
Вырежи из бумаги такие фигуры:
154
'
-^—•*
Сложи их по прямой линии. Что ты наблюдаешь? Это симметричные фигуры.
Прямая линия, по которой ты сложил фигуры — ось симметрии.
Развитию пространственного мышления детей способствуют упражнения, где
требуется составить новые геометрические фигуры: из данных фигур, из палочек; выделить геометрические фигуры на чертеже. Приведем примеры конкретных
упражнений:
Составь различные четырехугольники из данных моделей треугольников.
Покажи все треугольники на чертеже:
Составь из пяти палочек а) три треугольника, б) квадрат и два треугольника.
Задание 65. Подберите или придумайте сами различные упражнения на составление геометрических фигур и нахождение геометрических фигур на чертеже.
155
ГЛАВА 5. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ МЛАДШИХ
ШКОЛЬНИКОВ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
§ 1. УСТНЫЕ И ПИСЬМЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ
МАТЕМАТИКИ
Усвоение основных математических понятий, свойств арифметических действий и правил тесно связано в начальном курсе математики с вычислительной деятельностью учащихся.
В методике начального обучения математике традиционно выделяют устные и
письменные вычисления.
Каковы же различия между ними?
Обычно к письменным вычислениям относят те, записи которых выполняются
«в столбик» (по отношению к сложению, вычитанию, умножению). По отношению
к письменному делению используется либо тот же термин, либо говорят о делении
«уголком». Следуя этому критерию, запись
1
15
можно отнести к письменным вычислениям, а запись 9+6=15 — к устным. Однако это
не совсем верно, так как в том и другом случае выполняются одни и те же действия.
Это либо автоматизированный навык, когда ученик, не производя промежуточных
операций, записывает результат; либо записанное значение суммы является результатом нескольких операций: дополнение числа 9 до числа 10, а затем сложение
полученного результата с числом 5. Поэтому в данном случае запись «в столбик»
следует рассматривать как методический прием, наглядно отражающий переход
10 единиц в разряд десятков.
Другой взгляд на различие устных и письменных вычислений связан с выделением той области натуральных чисел, в которой они выполняются. Например:
«К устным относят все приемы вычислений в пределах 100, а также сводящиеся
к ним приемы вычислений для случаев за пределами 100 (например, прием для случая 900-7). К письменным относятся приемы для всех других случаев вычислений
над числами большими 100»1.
Для характеристики устных и письменных вычислений можно воспользоваться
понятиями «умение» и «навык».
Вычислительное умение — это развернутое осуществление действия, в котором каждая операция осознается и контролируется.
Вычислительное умение предполагает усвоение вычислительного приема. Любой вычислительный прием можно представить в виде последовательности опера1
1984.
156
М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова. Методика преподавания математики в начальных классах. — М.,
ций, выполнение каждой из которых связано с определенным математическим понятием или свойством.
В отличие от умения навыки характеризуются свернутым, в значительной мере
автоматизированным выполнением действия, с пропуском промежуточных операций, когда контроль переносится на конечный результат.
Говоря об устных вычислениях, следует иметь в виду либо вычислительный навык, когда результат того или иного арифметического действия ученик запоминает
и воспроизводит его механически, не выполняя никаких промежуточных операций.
В этом случае говорят об автоматизированном навыке. Либо вычислительное умение — развернутое осуществление операций (одна за другой), сопровождающееся
осознанием цели, способа действий и условий их выполнения. В этом случае можно
говорить как об устных, так и о письменных вычислениях.
Если речь идет об устных вычислениях, то эти операции могут быть различными
как по сути, так и по форме записи.
Например, вычислить значение суммы 35+3.
• 35+3=(30+5)+3=30+(5+3)=30+8=38
• 35+3=35+(2+1)=(35+2)+1=37+1=38 и др.
Если же речь идет о письменных вычислениях, то выполнение операций и их
последовательность должны соответствовать правилу (алгоритму) и определенной
форме записи. Например, алгоритм письменного сложения натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления, в общем виде формулируют так:
1. Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.
2. Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти, записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков).
3. Если сумма больше или равна десяти, то представляют ее в виде суммы разрядных слагаемых (10+й), где а — однозначное число. Это число записывают в разряд единиц ответа, а 1 десяток прибавляют к десяткам первого слагаемого, после
чего переходят к разряду десятков.
4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т. д. Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов (для краткости
используется термин «цифра» вместо «однозначное число, изображаемое цифрой».
Русская школа всегда отдавала приоритет устным вычислениям, так как они
открывают более широкие возможности для развития у детей внимания, памяти,
находчивости, сообразительности. Известный русский математик и методист
А. И. Гольденберг в своих «Беседах по счислению» отмечал, что устное вычисление — творческое, а письменное — скованное. С этим можно согласиться, если речь
идет только об использовании того или иного алгоритма для получения результата.
В методике формирования вычислительных умений и навыков можно выделить два
подхода, принципиальное различие которых заключается в организации деятельности
учащихся, направленной на овладение вычислительными умениями и навыками.
В основе одного подхода лежит показ образца способа действия (вычислительного приема), конечной целью которого является нахождение результата того или
иного типа выражения (9+7, 34+5, 34+50, 30-6, 78-6, 78-60 и т. д.).
157
В основе другого подхода — «открытие» способа действия самими учащимис
в результате выполнения различных учебных заданий, наблюдения и анализа спе
циально подобранных выражений, выявления в них сходства и различия, что позво
ляет детям высказать те или иные предположения о возможном способе действи!
(вычислительном приеме).
Конкретизируем один и другой подход на примере сложения и вычитания двуз
начных разрядных чисел (30+40, 50-20).
«Объяснение решения двух-трех примеров сопровождается иллюстрацией ,
такой записью:
70+20
7дес.+2дес.
70+20=90
60-40
6дес.-4дес.
60-40=20
В дальнейшем, на последующих двух-трех уроках, ученики проговаривают объяснение вслух, а затем про себя. В результате упражнений у учащихся постепенно
вырабатывается навык»1.
Как видим, учитель объясняет способ действия, используя образец записи, затем учащиеся воспроизводят этот образец, выполняя однотипные упражнения.
Другой подход включает детей в познавательную деятельность: для этой цели
специально подбираются задания:
Вырази расстояния в километрах:
а)18048 м
б)720000 м
700541м
32489 м
в)31004 м
83007 м
г) 385007 м
д) 40798 м
е) 130004 м
50203 м
7004 м
36078 м
Если затрудняешься, то прочитай рассуждения Миши и Маши.
Я буду рассуждать так: 1км = 1000 м. Значит, число тысяч будет обозначать километры, а число сотен, десятков и единиц — метры.
18048 м = 18 км 48 м,
2700541 м = 2700 км 541 м.
А я — так: 1 км в 1000 раз больше 1м. Значит, число километров должно
быть в 1000 раз меньше числа метров. Поэтому:
18048: 1000=18(ост.48).
Число 18 обозначает количество километров, а остаток — количество метров.
'М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова. Методика преподавания математики в начальных классах. — М.:
1984.
158
Начерти отрезок длиной 7 см 5 мм. Увеличь его на 8 мм.
Маша начертила отрезок длиной 83 мм.
Миша начертил отрезок длиной 8 см 3 мм.
Кто прав: Маша или Миша?
Догадайся, какими единицами пользовались при измерении, и заполни пропуски:
а) расстояние между городами 760
б) высота полёта самолёта 12300
в) площадь участка 420 ;
г) масса курицы 4 ;
д) ширина стола 7 ;
е) высота дома 51
ж)длина забора 76
з) длина карандаша 170 ;
и) рост человека 160
к) длина комнаты 60
л)длина гвоздя 90 ;
м)длина иголки 30
Выбери величины, которые можно сравнивать, и поставь знак > или < .
а) 7300 мм 73 км
б) 480 см 49 дм
83 мм 8 см
540 дм 55 м
35 м 32 м2
54 км 52 кг
Вырази расстояние в миллиметрах:
а) Здм 4 см
б) 109 см 15 мм
в) 37 см 8 мм
г) 575 см
д) 207 см 3 мм
е) 27 дм
Длина прямоугольника 65 см, ширина 1 дм 7 см. Найди периметр прямоугольника.
Найди периметр квадратного участка, если его сторона равна 7 м 25 дм.
В прямоугольнике одна сторона на 8 м больше другой. Найди площадь прямоугольника, если его периметр равен 28 м.
Выбери схему, которая соответствует условию, и реши задачу.
14м
8м
159
Составь верные равенства из чисел:
а) 3,5, 9, 4, 8
б) 30, 50, 90, 40, 80
Задание 66. Приведите рассуждения учащихся при выполнении указанных
выше заданий.
§ 2. ТАБЛИЦА СЛОЖЕНИЯ И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ СЛУЧАИ ВЫЧИТАНИЯ
К таблице сложения в математике относят все случаи сложения однозначных
чисел. В соответствии с требованиями стандарта они должны быть усвоены детьми
на уровне навыка, т. е. доведены до автоматизма.
В противном случае ученики будут испытывать трудности при овладении различными вычислительными умениями, в каждое из которых в качестве операций
входят вычислительные навыки.
В методике обучения математике существуют различные подходы к решению
этой учебной задачи как по содержанию, так и по способам организации деятельности младших школьников.
По содержанию можно выделить два подхода;
1. Учащиеся усваивают сразу всю таблицу сложения однозначных чисел (в пределах 20).
2. Учащиеся усваивают таблицу сложения в два этапа: сначала в пределах 10,
а затем в пределах 20 (случаи сложения с переходом в другой разряд).
При каждом из этих подходов возможны разные способы организации деятельности детей.
Можно просто выучить (вызубрить) таблицы сложения и соответствующих случаев вычитания, закрепить их в процессе решения примеров (собственно, само
решение будет в этом случае показателем того, выучена таблица или нет), так как
сами примеры представляют собой таблицу, только вразбивку. Познавательная деятельность учащихся в этом случае характеризуется активной работой памяти и напряжением произвольного внимания.
Можно познакомить детей с различными вычислительными приемами (присчитывание и отсчитывание по 1, по 2, по 3, по частям). После этого они самостоятельно составляют таблицы и запоминают их, выполняя многочисленные тренировочные вычислительные упражнения.
В данном случае усвоение вычислительных навыков предполагает осознанное
составление таблиц, которое обеспечивается теоретической (понятийной, содержательной) линией курса, предметными действиями, методическими приемами и
наглядными средствами.
Таблицы сложения и соответствующие им случаи вычитания в пределах 10 можно условно разделить на четыре группы, каждая из которых связана с теоретическим обоснованием и соответствующим способом действия.
160
Теоретическое
обоснование
Способ действия
Таблицы сложения
и вычитания (4 группы)
Принцип построения
натурального ряда
чисел
Присчитывание
и отсчитывание
по единице
Смысл сложения
и вычитания
Присчитывание
и отсчитывание
по частям
+2,
-2,
Переместительное
свойство сложения
Взаимосвязь сложения
и вычитания
Перестановка
слагаемых
Правило:если из
значения суммы вычесть
одно слагаемое,
то получим другое
слагаемое
+5,
+1,
-1
+3,
-3,
+4,
-4
+6, +7,
+8, +9
6- , 7 - , 8 - ,
9- ,10-
Составление таблиц 1 -й группы ( +1, -1) не вызывает у детей затруднений,
так как навык присчитывания и отсчитывания по 1 у них уже имеется. При формировании вычислительных навыков для случаев сложения и вычитания, представленных во второй, третьей и четвертой группах, работа организуется по этапам.
1-й этап. Подготовка к знакомству с вычислительным приемом.
2-й этап. Ознакомление с вычислительным приемом (образец действия).
3-й этап. Составление таблиц с помощью вычислительных приемов.
4-й этап. Установка на запоминание таблиц.
5-й этап. Закрепление таблиц в процессе тренировочных упражнений.
Обучая, например, навыкам табличного сложения случая « +2», учитель сначала фиксирует внимание детей на вычислительном приеме, включающем операции,
которые у большинства сформированы на уровне вычислительного навыка (6+1+1;
7+1+1). Параллельно ведется аналогичная работа со случаем « -2». Затем составляются две таблицы: 1 +2, 2+2, 3+2 и т. д. и 3-2, 4-2, 5-2 и т. д. Учитель дает задание — выучить таблицу, т. е. запомнить 16 случаев.
Но, как известно из психологии, материал большого объема запоминается неохотно, так как требует значительных волевых усилий. Кроме того, присчитывание
и отсчитывание по единице для случаев
+2 и
-2 позволяет довольно быстро
найти результат, поэтому необходимость запоминания таблицы не мотивирована.
В итоге многие ученики предпочитают пользоваться приемами присчитывания и отсчитывания по 1 и не стараются запомнить таблицу. Вследствие этого не все случаи
+2 и -2 оказываются доведенными до уровня навыка. Это осложняет усвоение
следующих таблиц — +3 и - 3 , при составлении которых ученики также предпочитают пользоваться приемами присчитывания и отсчитывания по единице.
Аналогичная ситуация возникает с таблицами +4 и - 4 .
6-12726 Истомина
161
Несформированность навыка для случаев +2, +3, +4 создает трудности
при нахождении значений выражений, в которых второе слагаемое больше первого.
Например, для вычисления значения выражения 3+5 учащиеся используют переместительное свойство сложения (5+3). Но если этот табличный случай не усвоен, они
опять же вынуждены пользоваться присчитыванием и отсчитыванием по 1.
Таким образом, подход, связанный с последовательным составлением каждой
группы таблиц сложения (вычитания) в соответствии с выделенными этапами, на
практике не всегда оказывается эффективным для формирования автоматизированных навыков сложения и соответствующих случаев вычитания в пределах 10.
Можно составлять таблицу сложения однозначных чисел, ориентируясь на результат, т. е. представлять каждое однозначное число в виде суммы двух слагаемых
и соответственно давать ученикам установку на запоминание этих случаев, т. е. на
запоминание состава каждого однозначного числа.
Какой из подходов наиболее эффективен? Какой из них может обеспечить в более короткие сроки сформированность прочных (доведенных до автоматизма) вычислительных навыков?
На этот вопрос очень трудно ответить однозначно, так как многое зависит от
индивидуальных особенностей памяти и внимания младшего школьника. Тем не
менее практика показывает, что для большинства учащихся наиболее приемлем
подход, направленный на усвоение состава однозначных чисел и числа 10.
Следует иметь в виду, что к формированию навыков табличного сложения следует приступать только после того, как дети познакомятся со смыслом этого действия, с понятиями «выражение», «равенство», с названиями компонентов и результата действия сложения.
Работу, связанную с усвоением состава каждого числа, можно организовать,
ориентируясь на такие этапы:
1 -й этап. Непроизвольное запоминание состава числа.
На этом этапе предлагаются задания на классификацию, на соотнесение предметных и символических моделей, на выбор рисунка, соответствующего предложенной записи (выражению, равенству), и наоборот, выражения, равенства, отвечающего данному рисунку.
Основная цель работы на этом этапе — усвоение детьми смысла действия сложения как объединения предметных совокупностей и приобретение навыков записи всех возможных случаев представления данного числа в виде суммы двух слагаемых.
Например:
Чем похожи все фишки домино?
162
По каким признакам можно разложить фрукты на две тарелки?
Пользуясь рисунком, найди значения выражений и объясни, что обозначает
каждое число.
5+3
1+7
6+2
4+4
3+5
7+1
2+6
Запиши равенство, соответствующее каждому рисунку.
0
1 2
Ч
3
0
1
2
3
4
Чем похожи эти равенства?
1
Ь
8
5
9
6
7
Выбери равенства, которые соответствуют данным рисункам. Объясни, что
обозначает каждое число в этих равенствах.
3+2=5
5+1=6
4+2=6
3+3=6
2+4=6
4+1=5
2-й этап. Установка на запоминание состава данного числа (например, числа 5).
Постарайся запомнить!
4+1=5
3+2=5
1+4=5
2+3=5
Данная установка сопровождается изготовлением карточек для самоконтроля
(взаимоконтроля). На одной стороне карточки записывается выражение (например:
3+2), на другой стороне карточки — значение суммы (5).
3-й этап. Самоконтроль и взаимоконтроль. Дети выполняют различные упражнения, которые помогают им усвоить (запомнить) состав данного числа, а также
проверяют друг у друга результаты усвоения табличных случаев.
163
Игра «Соревнуюсь с калькулятором» оказывает положительное влияние на
формирование вычислительных навыков. Она проводится так. К доске вызываются
два ученика. Сидящие за партами называют различные суммы. Один ученик произносит результат на память, другой — после того, как итог появится на экране калькулятора. Желание обыграть калькулятор активизирует память учащихся и является
определенным стимулом для усвоения табличных случаев сложения.
4-й этап. Контроль усвоения таблицы сложения (состава каждого однозначного
числа). Учитель предлагает учащимся различные суммы (лучше, если для этой цели
используются перфокарты), а ученики записывают их значения.
Работа по формированию табличных навыков сложения и соответствующих им
случаев вычитания продолжается после знакомства со смыслом действия вычитания, а также в процессе усвоения понятий «увеличить на...», «уменьшить на...» и разностного сравнения.
Аналогичная методика используется для усвоения состава числа 10, после того
как дети начнут изучение двузначных чисел.
Задание 67. Подберите или составьте сами различные учебные задания, которые можно использовать для формирования табличных навыков сложения и соответствующих им навыков вычитания в пределах 10.
Знакомство учащихся с нумерацией двузначных чисел, изучение таблицы сложения (в пределах 10) и соответствующих ей случаев вычитания позволяет организовать работу по усвоению таблицы сложения однозначных чисел (с переходом в
разряд десятков) и соответствующих ей случаев вычитания.
Однако возникает вопрос: когда это целесообразнее сделать? После того как
дети познакомятся с нумерацией чисел в пределах 20 и научатся записывать эти
числа в виде суммы разрядных слагаемых или после того как они рассмотрят приемы устного сложения и вычитания в пределах 100 без перехода в другой разряд?
Анализ практики показывает, что у большинства первоклассников к моменту изучения нумерации двузначных чисел автоматизированные навыки табличного сложения и соответствующих случаев вычитания в пределах 10 окончательно не отработаны. Поэтому необходимо продолжить работу в этом направлении.
Если ориентироваться только на формирование вычислительных умений и навыков, то можно пойти по любому пути, т. е. либо изучать таблицу сложения однозначных чисел с переходом в другой разряд, либо овладевать приемами устного
сложения и вычитания в пределах 100 без перехода в другой разряд. Но если речь
идет о развивающем курсе, в котором приоритетной целью является развитие самостоятельности и мышления ребенка, формирование приемов умственной деятельности (анализа и синтеза, сравнения, аналогии и обобщения), то более целесообразен второй вариант.
Тогда, во-первых, не придется разбивать изучение нумерации двузначных чисел на два этапа: от 11 до 20 и от 21 до 100. Во-вторых, при овладении приемами
164
устного сложения и вычитания в пределах 100 (без перехода в другой разряд) возможно использование приема сравнения новых способов действий с табличными
случаями сложения и соответствующих случаев вычитания, что создает более благоприятные условия для совершенствования навыков табличного сложения в пределах 10.
Итак, к изучению табличных случаев сложения однозначных чисел (с переходом в разряд десятков) и соответствующих случаев вычитания лучше приступать
тогда, когда дети уже овладели табличными навыками сложения однозначных чисел
в пределах 10 на уровне автоматизированного навыка и научились представлять
двузначные числа в виде суммы разрядных слагаемых.
§ 3. СЛОЖЕНИЕ ОДНОЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ С ПЕРЕХОДОМ В ДРУГОЙ РАЗРЯД
И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ СЛУЧАИ ВЫЧИТАНИЯ
(ТАБЛИЦА СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ В ПРЕДЕЛАХ 20)
Основная цель работы по этой теме — прочное усвоение детьми табличных случаев сложения и вычитания в пределах 20. Эффективность ее во многом зависит от
того, как младшие школьники усвоили разрядный состав двузначных чисел (единицы и десятки), а также состав чисел в пределах 10. Первая учебная задача связана
с «открытием» способа действия, которым можно пользоваться при сложении однозначных чисел (с переходом в разряд десятков).
Способ этот состоит из двух операций: сначала надо дополнить первое слагаемое до 10 (прочное знание состава числа 10), затем составить число из десятков и
единиц (добавляется знание разрядного состава двузначных чисел).
Начать можно с таких заданий:
Сколько кругов нужно добавить в каждый треугольник, чтобы получить 1 десяток?
Запиши числовые равенства.
При его выполнении отрабатывается одна из операций, которая входит в вычислительный прием. Основой этой операции служит знание состава числа 10. Конечно, учащимся можно предложить и такой вопрос: «На сколько нужно увеличить
числа 9, 8, 7, 6, чтобы получить число 10?» У большинства ответ на него не вызывает
затруднений, дети самостоятельно смогут записать равенства: 9+1 = 10, 8+2=10,
7+3=10; 6+4=10. Тем не менее на данном этапе не следует отказываться от наглядности: она оказывает положительное влияние на запоминание табличных случаев
сложения в пределах 20.
165
Для организации деятельности учащихся, направленной на решение первой
учебной задачи, целесообразно использовать прием установления соответствия
между предметными и символическими моделями:
Дополни синие круги красными до десяти.
Объясни, что обозначают выражения:
8+2+3
8+5
Можно ли утверждать, что значения этих выражений одинаковы?
При выполнении этого задания, ученики соотносят наглядность с двумя числовыми выражениями, в результате осознают взаимосвязь между ними и возможность
замены в первом выражении суммы двух чисел (2 и 3) числом 5.
Таким образом, выполняя действия с предметными моделями, они выделяют
две основные операции, которые входят в вычислительный прием. Важно, чтобы на
этом этапе учащиеся проговаривали свои действия. Например, комментируя данные в задании выражения, они обращаются к рисунку: «Число 8 обозначает количество кругов в первом ряду. К этим кругам добавили сначала 2 круга из второго
ряда (дети показывают это на рисунке). Затем объединили 10 кругов первого ряда
и 3 круга второго ряда (показывают движением руки). Второе выражение означает,
что объединили 8 кругов первого ряда с пятью кругами второго ряда».
Наглядная интерпретация результата выполненных действий позволяет ребенку осознать, что объединять круги первого и второго рядов можно различными способами. Для осмысления этого факта полезно на предметном уровне рассмотреть
другие варианты и зафиксировать их в математической записи: 8+1+4, 8+3+2,
8+4+1 и т. д.
Вставь числа в «окошки», чтобы получились верные равенства:
8+ +3=13
9+ +4=14
7+ +2=12
6+ +7=17
2+ +6=16
4+ +5=15
9+ +3=13
3+ +8=18
Чем похожи эти равенства?
Анализируя предложенные записи, дети (если потребуется, то с помощью учителя) должны прежде всего обратить внимание на то, что третье слагаемое во всех
записях равно числу разрядных единиц в двузначном числе. Поэтому сумма первого и второго слагаемых должна равняться числу 10 (8+ +3=13).
Опираясь на знание состава числа 10, учащиеся проверяют это предположение.
166
В зависимости от состава класса учитель в большей или меньшей мере обращается к моделям десятков и единиц или привлекает к активной деятельности с ними
тех учащихся, которые испытывают затруднения, выполняя операции с числами.
Дополни до 1 десятка.
Чем похожи рисунки слева? Чем похожи рисунки справа?
Найди значения сумм:
9+6
8+6
9+5
8+5
Дети сначала выполняют и анализируют действия с моделями, выявляя в них
то общее (существенное), что является основой вычислительного приема. Затем
переносят эти действия на числовой материал.
Важно акцентировать внимание не только на составе числа 10, но и на количестве тех кругов, которые даны на рисунках вне треугольников. Дополнив число
кругов в треугольнике до 10, учащиеся получают предметную модель разрядного
состава двузначного числа. На верхних рисунках это: 1 дес. 5 ед. и 1 дес. 4 ед.
Проанализировав с детьми таким образом каждый рисунок, можно предложить
им найти значения сумм: 9+6; 9+5; 8+6; 8+5. Если возникнут трудности, необходимо
каждое выражение соотнести с соответствующим рисунком.
Затем выявляются сходство и различие рисунков слева и справа. (Левые рисунки похожи тем, что и в верхнем и в нижнем треугольнике по 9 кругов, т. е. к 9 прибавляется 1. Различие — в количестве кругов вне треугольника. Поэтому верхнему
рисунку соответствует число 15, а нижнему— 14.)
Сравнивая суммы, надо обратить внимание класса на слагаемые. В выражениях 9+6 и 9+5 первые слагаемые одинаковы, а второе слагаемое в первой сумме
больше, значит, и сумма будет больше: 9+6>9+5. На сколько 6 больше 5, на столько
и первая сумма больше второй (15 и 14). Это хорошо видно на рисунках.
Объясни, что обозначают на рисунках выражения каждого столбца:
7+3
7+3+2
7+5
9+1
9+1+4
9+5
8+2
8+2+3
8+5
6+4
6+4+1
6+5
В этом задании нужно провести более глубокий анализ, сопоставляя рисуматематические записи. А именно: выражения первого столбца означают дополне
ние кругов в треугольниках до 10. Первое выражение соответствует верхнему ри
сунку слева, второе — верхнему рисунку справа и т. д. Результаты сопоставлени!
выражений и иллюстраций можно сформулировать иначе — выражения первоп
столбца означают, что объединили круги, помещенные в треугольнике, и часть кру
гов вне треугольника так, чтобы в треугольнике их получилось 10.
Выражения второго столбца означают, что сначала добавили в треугольна
столько кругов, сколько нужно, чтобы их стало 10, а потом добавили остальные. Вы
ражения третьего столбца означают, что объединили (дети, вероятнее всего, буду
говорить «сложили») круги внутри треугольника и вне его. После того как учению
выскажут свои догадки, полезно выяснить:
— Как связаны между собой все три столбца выражений? (Во втором (в левей
его части) повторяются выражения первого столбца, а в третьем сумму второго i
третьего чисел среднего столбца заменяют ее значением.)
— Если учащиеся будут испытывать затруднения, то им следует помочь наво
дящими вопросами:
— Чем похожи выражения: 7+3; 7+3+2; 7+5?
— Почему в третьем столбце второе слагаемое во всех выражениях равно 5
(3 и 2 — это 5, 4 и 1 — это б и т . д.).
— В каких столбцах значения сумм будут одинаковыми? (В первом все сумм!
равны 10; во втором и третьем столбцах суммы равны в соответствующих строчках.]
При выполнении задания дети записывают выражения, соответствующие каж
дому рисунку, вычисляют их значения. После этого имеет смысл заменить в каж
дом выражении сумму второго и третьего слагаемых одним числом (например
7+3+2=7+5), показать новое выражение на луче и объяснить, как можно действоват
при вычислении результата.
В процессе выполнения приведенных выше упражнений, учащиеся овладеваю
общим способом действия. Затем последовательно рассматривается состав каж
дого двузначного числа от 11 до 19.
Вторая учебная задача связана с усвоением таблицы в пределах 20, для чеп
необходимо знать разрядный состав каждого числа. Предполагаются обучающи!
задания: с моделями десятков и единиц, с числовым лучом, с наглядным материа
лом и дается установка на запоминание: «Постарайся запомнить!» Так же, как при
168
изучении табличных случаев в пределах 10, дети изготовляют карточки для самоконтроля.
Аналогично организуется деятельность учащихся, направленная на «открытие»
общих способов действий (вычислительных приемов) при вычитании (случаи, соответствующие таблице сложения).
Таких способов два. Первый связан с вычитанием по частям. Он описывается
детьми так: «Вычитаем по частям. Сначала вычитаем столько единиц, чтобы получилось 10, а потом вычитаем из 10 оставшиеся единицы».
Для описания способа действия с конкретными выражениями используются записи:
16-8=16-6-2=8
/\
6 2
12-5=12-2-3=7
/\
2 3
Как видите, в основе этого способа действия лежит знание состава однозначных чисел, числа 10 и разрядного состава двузначного числа.
В основе другого способа — усвоение взаимосвязи компонентов и результатов
действий, а также прочное знание состава двузначных чисел в пределах 20. Если,
например, дано выражение 12-5, то 12 — это 5 и 7; если 12-3, то 12 — это 3 и 9 и
т. д. Уменьшаемое представляется в виде суммы двух слагаемых, одно из которых
равно вычитаемому.
Это также можно представить в виде схемы:
12-5
/\
5 7
12-3
/\
3 9
и т. д.
Табличные навыки сложения в пределах 20 и соответствующие случаи вычитания должны быть сформированы на уровне автоматизированного навыка. Это требует систематической и кропотливой работы, которую нельзя заменять так называемым устным счетом в начале урока. Задача учителя — помочь детям запомнить
эту таблицу. Здесь опять можно использовать карточки для самоконтроля. На них
должны быть выписаны все случаи сложения и вычитания:
9+2
9+3
9+4
9+5
9+6
9+7
9+8
9+9
8+3
8+4
8+5
8+6
8+7
8+8
7+4
7+5
7+6
6+5
6+6
11-2
11-9
11-3
11-8
11-4
11-7
11-5
11-6
12-3
12-9
12-4
12-8
12-7
12-5
12-6
13-9
13-4
13-8
13-5
13-6
13-7
14-5
14-9
14-6
14-8
15-9
15-6
15-8
15-7
16-9
16-7
16-8
17-9
17-8
18-9
169
На обороте карточки записывается значение данного выражения. Естественно,
процесс усвоения табличных случаев сложения и соответствующих случаев вычитания зависит от типа памяти ребенка. Поэтому работа с карточками должна дополняться различными видами упражнений: с предметами, с рисунками, отрезками,
знаковыми схемами.
Для контроля усвоения таблицы сложения и вычитания в пределах 20 можно
использовать виды заданий, которые предлагались при изучении состава чисел в
пределах 10.
Найди сумму чисел 5 и 9; 8 и 7.
Найди разность чисел 6 и 5, 7 и 9.
На сколько 18 больше 9? 13 больше 6?
Увеличь 9 на 7, 8 на 4.
Уменьши 15 на 9, 15 на 6.
Запиши выражения, в которых уменьшаемое равно 15, а вычитаемое — однозначное число. Найди их значения.
Запиши выражения, в которых уменьшаемое больше, чем вычитаемое, на 4.
Запиши число 14 в виде суммы двух однозначных чисел.
Запиши число 7 в виде разности двух чисел.
Составь различные выражения из чисел 17, 6, 11, 5, 9, 8 и найди их значения.
Разгадай закономерность и вставь в «окошки» числа:
8+2+ =15
9+1+ =15
15-5- =7
8+ =15
9+ =15
15- =7
Задание 68. Подберите или составьте задания, в процессе выполнения которых учащиеся усваивают прием сложения однозначных чисел (с переходом в разряд десятков).
Задание 69. Подберите или составьте задания, которые помогут учащимся запомнить таблицу сложения и соответствующие случаи вычитания в пределах 20.
§ 4. ПРИЕМЫ УСТНОГО СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ ЧИСЕЛ
Усвоение учащимися смысла сложения и вычитания, разрядного состава двузначных чисел и состава каждого однозначного числа позволяет организовать их деятельность, направленную на «открытие» и овладение приемами устного сложения
и вычитания чисел. Содержанием этой деятельности являются:
• Сложение и вычитание «круглых» десятков (30+20, 50-30).
• Сложение и вычитание двузначных и однозначных чисел без перехода в другой разряд (75+4, 75-4).
• Сложение и вычитание двузначных чисел и круглых десятков (46+30, 46-30).
• Дополнение любого двузначного числа до «круглых» десятков (28+2, 43+7).
• Вычитание однозначного числа из «круглых» десятков (30-4, 60-7).
170
• Сложение и вычитание однозначных и двузначных чисел с переходом в другой
разряд (29+7, 23-6).
• Сложение и вычитание двузначных чисел с переходом в другой разряд (38+27,
34-29).
Два последних вида действий рассматриваются после изучения таблицы сложения однозначных чисел и соответствующих случаев вычитания, что создает условия для совершенствования ранее поолученных навыков.
Для формирования вычислительных умений используется подход, в основу которого положены действия с предметными моделями и перевод их на язык математики (символическая модель).
Средством организации этой работы являются учебные задания, в процессе выполнения которых учащиеся наблюдают изменения в записи чисел, выявляют сходства и различия выражений, классифицируют их, обобщают результаты наблюдений. В итоге они самостоятельно «открывают» способы действий (вычислительные
приемы) и затем используют их для вычисления значений различных выражений.
При выполнении заданий первоклассники опираются на знания разрядного состава двузначных чисел, на таблицы сложения и соответствующие случаи вычитания.
Например, при изучении приема сложения двузначных и однозначных чисел
без перехода в другой разряд учащимся предлагаются задания:
Увеличь число 32 на 1, на 2, на 3, на 4, на 5.
Наблюдай, какая цифра изменяется в числе 32. Какие другие числа можно прибавить к числу 32, чтобы изменялась цифра, обозначающая единицы, а цифра, обозначающая десятки, не изменялась? Запиши равенства.
Набери на калькуляторе число 53.
Подумай, на сколько можно его увеличить, чтобы изменилась только цифра,
обозначающая единицы, а цифра, обозначающая десятки, осталась без изменения.
На сколько можно увеличить числа 72, 86, 58, 33, 57, чтобы изменилась только
цифра, обозначающая единицы?
Проверь себя с помощью калькулятора и запиши равенства.
Обобщая результаты наблюдений и анализируя записанные равенства, дети
самостоятельно делают вывод о том, как нужно действовать при сложении однозначных и двузначных чисел (единицы нужно складывать с единицами, оставив данное количество десятков без изменения).
Аналогично организуется работа при изучении приема сложения двузначного
числа с «круглыми» десятками. Выполняются такие задания:
По какому правилу составлены суммы во всех парах?
Составь три пары выражений по тому же правилу. Найди значения всех выражений.
66+3
44+5
22+6
33+4
66+30
44+50
22+60
33+40
Верно ли утверждение, что значения выражений в каждой паре одинаковы?
26+3
52+7
32+6
66+3
23+6
57+2
36+2
63+6
Задание 70. Подберите или составьте сами задания, которые можно использовать для формирования умения складывать и вычитать однозначные и двузначные числа без перехода в другой разряд.
Овладев приемом сложения и вычитания двузначных и однозначных чисел без
перехода в другой разряд, учащиеся легко справляются с дополнением двузначных
чисел до «круглых» десятков и с вычитанием однозначных чисел из «круглых» десятков. В случае затруднений они обращаются к моделям десятков и единиц. Специальный подбор чисел и выражений в заданиях, их анализ, сравнение, классификация и обобщение позволяют детям самостоятельно высказать предположения о
способе действия. Например, при рассмотрении дополнения двузначных чисел до
«круглых» десятков, ребята выполняют такое задание:
На сколько можно увеличить каждое число, чтобы в нем изменилась только
цифра, обозначающая единицы, а цифра, обозначающая десятки, осталась та же:
38, 17, 68, 79, 46, 57, 48, 29, 56
Догадайся, по какому признаку сгруппированы числа:
29,79
38,68,48
17,57
46,56
Дети называют числа, удовлетворяющие условию задания, обосновывают свой
ответ на предметных моделях и подмечают определенную закономерность: если в
разряде единиц записана цифра 9, то нельзя назвать ни одного числа, которое удовлетворяет условию задания; если в разряде единиц записана цифра 8, то условию
задания удовлетворяет только число 1 и т. д. Эта закономерность проверяется при
выполнении последующих заданий.
Например:
Сравни выражения в каждом столбике. Чем они похожи? Чем отличаются?
7+3
6+4
8+2
9+1
37+3
56+4
48+2
29+1
67+3
26+4
38+2
79+1
47+3
86+4
68+2
19+1
172
Какое выражение соответствует данному рисунку? Найди его значение.
Можешь ли ты найти значения всех выражений, не делая рисунков?
Работая с этим заданием, ученики сами обращают внимание на то, что цифры,
обозначающие в первом слагаемом и десятки, и единицы, в значении суммы изменяются. Здесь также полезно выяснить — на сколько можно увеличить каждое
слагаемое, чтобы изменились только цифры, обозначающие единицы, а цифры,
обозначающие десятки, не изменились.
Для усвоения приема дополнения двузначного числа до «круглых» десятков полезны и такие задания:
Можно ли утверждать, что значения выражений в каждой паре одинаковы?
53+3
62+8
84+6
49+1
57+3
68+2
86+4
41+9
Проверь себя, используя модели десятков и единиц.
Какие цифры нужно вставить в «окошки», чтобы получились верные равенства:
37+3=4
32+8=4
54+6=6
29+1=3
Что ты заметил?
56+4=6
78+2=8
При вычитании однозначных чисел из «круглых» десятков также можно не давать образец способа действия. Учащиеся могут «открыть» его сами, если использовать прием соотнесения предметных и символических моделей.
Запиши выражения, которые соответствуют каждому рисунку. Чем похожи
эти выражения? Найди их значения, пользуясь рисунком.
Дети описывают сходство и различие данных рисунков. (Везде только треугольники — модели десятков; на каждом рисунке в последнем треугольнике зачеркнуты круги (единицы): на первом рисунке — два круга, на втором — четыре, на третьем — три.)
В тетрадях учащиеся выполняют записи, соответствующие рисункам: 30-2 = 28,
40-4 = 36; 60-3 = 57.
Полезно обратить их внимание на те цифры, которыми записан результат, и
сравнить их с цифрами, которыми записано уменьшаемое, а также на то, что во всех
случаях число десятков в значении разности меньше, чем число десятков в уменьшаемом, на 1 десяток. Следует обсудить и такой вопрос: какое равенство можно
будет записать к каждому рисунку, если круги (модели единиц) зачеркнуть не в последнем треугольнике, а в первом или во втором? (Те же равенства.)
Пользуясь рисунками, можно обсудить и такие выражения:
30-3
40-1
60-3
60-1
30-6
40-9
60-6
60-9
30-7
40-8
60-7
60-8
30-2
40-5
60-2
60-5
В этом случае следует сравнить выражения первого и третьего, второго и четвертого столбцов.
В результате выполнения этих заданий дети приходят к обобщению: если мы
вычитаем однозначное число из «круглых» десятков, то количество десятков в результате всегда уменьшается на один, а чтобы определить количество разрядных
единиц, нужно вычесть это однозначное число из 10.
Учащиеся могут «открыть» сами и другой способ вычитания однозначного числа
из «круглых» десятков, если им предложить такое задание:
Верно ли утверждение, что значения выражений в каждой паре одинаковы?
30-1-3
60-1-5
80-1-6
30-4
60-6
80-7
Выполняя последовательно действия, например, в первом выражении (30-1-3)
и фиксируя их на предметных моделях, ученики убеждаются в том, что число 30
уменьшили на 4 единицы. Следовательно, значения выражений 30-1-3 и 30-4 одинаковы.
Подобным образом анализируются другие пары выражений.
Проделав такой анализ по отношению к каждой паре, дети смогут ответить на
вопрос — чем похожи все пары? Здесь важно обратить внимание на то, что число
«круглых» десятков в первом выражении каждой пары уменьшается на один.
В результате сравнения выражений учащиеся делают вывод, что однозначное
число можно вычитать из «круглых» десятков «по частям» — сначала вычесть 1, а затем оставшиеся единицы.
После этого учитель записывает на доске выражения:
40-5, 50-7, 70-3, а ученики фиксируют в тетрадях способ нахождения их значений: 40-1-4,50-1-6, 70-1-2.
174
Преимущество данного способа вычислений заключается в том, что, вычитая единицу, дети легко находят предыдущее число и тем самым получают случай вычитания,
где нужно из двузначного числа вычесть однозначное без перехода в другой разряд.
Усвоение табличного сложения и соответствующих случаев вычитания в пределах 20 позволяет организовать деятельность учащихся, направленную на «открытие» способа действия (вычислительного приема) при сложении (вычитании) двузначных и однозначных чисел с переходом в другой разряд. Для этой цели классу
предлагаются задания, при выполнении которых следует использовать ранее
изученные понятия, способы действий и вычислительные навыки.
Можно ли утверждать, что значения выражений в каждой паре одинаковы?
68+2+5
87+3+6
36+4+2
68+7
87+9
36+6
Какое свойство сложения ты можешь использовать для обоснования своего
ответа?
Найди значения выражений:
29+1+8
46+4+5
34+6+1
57+3+4
45+5+4
58+2+3
58+2+7
29+1+7
46+4+4
34+6+2
57+3+6
45+5+2
Подумай! Какие равенства ты можешь использовать для вычисления значений
выражений:
58+5
34+8
45+7
57+9
29+8
46+8
Сравни выражения в каждом столбце. Чем они похожи? Чем отличаются?
9+7
8+4
7+6
19+7
48+4
27+6
29+7
58+4
67+6
39+7
68+4
87+6
Сравни выражения в каждой паре. Чем они похожи? Чем отличаются?
62-2-3
83-3-5
74-4-5
62-5
83-8
74-9
46-6-2
46-8
25-5-4
25-9
Найди их значения:
63-3
84-4
60-2
80-3
37-7-1
37-8
76-6
70-2
32-2
30-7
Можно ли использовать полученные равенства для вычисления значений выражений:
63-5
84-7
Задание 71.
денных заданий.
76-8
32-9
Опишите рассуждения учащихся при выполнении вышеприве-
Для обобщения и дифференциации приемов устного сложения (вычитания)
полезны задания на анализ выражений и выявление в них сходства и различия, на
классификацию выражений, на нахождение правила (закономерности).
Например:
Разгадай правила, по которым составлены ряды чисел. Запиши в каждом ряду
еще 4 числа:
а) 19, 23, 27, 31 ...
6)83,78,73,68...
в) 54, 50, 46, 42, 38...
Сравни
76-5
87-4
98-6
43-2
выражения в каждом столбце. Чем они похожи?
76-7
Чем похожи выражения
87-9
первого и второго столбцов?
98-9
Чем отличаются?
43-5
Сравни выражения в каждом столбце. Чем они похожи? Чем отличаются?
9+8
7+6
8+4
19+8
27+6
28+4
29+8
47+6
48+4
Запиши в каждом столбце выражения с другими числами по тому же правилу.
Приемы сложения и вычитания двузначных чисел с переходом в другой разряд
включают в себя уже известные детям вычислительные приемы сложения (вычитания) двузначных и однозначных чисел с переходом в другой разряд и сложения (вычитания) двузначных чисел и «круглых» десятков.
Для закрепления материала можно предложить задания.
Например:
Сравни выражения, не выполняя вычислений. Какое свойство сложения ты
использовал?
(28+8)+10...28+(8+10)
(36+7)+30...36+(7+30)
Запиши каждое выражение в виде суммы двух слагаемых и найди их значения.
176
Вставь числа в «окошки», чтобы получились верные равенства:
(37+4)+50= +50
(68+5)+20= +20
(46+5)+30= +30
Какие числа нужно вставить в «окошки», чтобы получить верные равенства:
74+23=74+ +3
77+16=77+ +10
88+11=88+ +1
29+43=29+ +40
56+24=56+ +4
36+58=36+ +50
Задание 72. Подберите или составьте сами задания, которые можно использовать для формирования у учащихся умения складывать (вычитать) двузначные
числа с переходом в другой разряд.
Усвоение структуры трехзначного числа в десятичной системе счисления может являться основой устного сложения и вычитания выражений с трехзначными
числами. Полезно выполнить задания:
Запиши все трехзначные числа, у которых в разряде единиц стоит цифра 8,
а в разряде сотен — цифра 1. Назови эти числа. Запиши их в порядке возрастания.
Чему равна разность двух соседних чисел в этом ряду?
На сколько можно увеличивать число 308, чтобы изменилась только цифра,
стоящая в разряде десятков?
На сколько можно уменьшать число 529, чтобы изменилась только цифра,
стоящая в разряде единиц?
По какому правилу записан каждый ряд чисел:
а) 123, 125, 127, 129, 131 ...
6)812,822,832,842,852...
Увеличивай число 372 на 1, на 2, на 3, на 4.
Наблюдай, какая цифра изменяется в числе 372. Какие еще числа можно прибавить к числу 372, чтобы изменилась только цифра, обозначающая единицы?
Увеличивай число 827 на 1 дес., на 2 дес., на 3 дес., на 4 дес.
Наблюдай, какая цифра изменяется в числе 827. Какие еще числа можно прибавить к числу 827, чтобы изменилась только цифра, обозначающая десятки?
Уменьшай число 693 на 1 д е с , на 2 дес, на 3 д е с , на 4 дес.
Наблюдай, какая цифра изменяется в числе 693. Какие еще числа можно вычесть из числа 693, чтобы изменилась только цифра, обозначающая десятки?
177
Для нахождения значений выражений 900-600, 500+400 дети пользуются выводом, который был сделан ими при изучении нумерации трехзначных чисел (считать
сотнями можно так же, как единицами и десятками).
Аналогичные задания они могут выполнять и в области четырехзначных, пятизначных и шестизначных натуральных чисел.
Таким образом:
• Процесс формирования вычислительных умений ориентирован на усвоение
общего способа действий, в основе которого лежит осознание детьми записи чисел в десятичной системе счисления (разрядный состав числа) и смысла действий
сложения и вычитания.
• Основным способом введения нового вычислительного приема является не
показ образца действия, а выполнение учащимися действий с моделями десятков
и единиц (см. «Десятичная система счисления. Нумерация чисел».) и соотнесение
этих действий с математической записью.
В процессе такой деятельности ученики наблюдают изменение цифр, обозначающих в записи числа десятки (единицы), при увеличении (уменьшении) числа на
несколько десятков (единиц).
• Наблюдение за изменением в записи чисел сопровождается активным использованием приемов анализа и синтеза, сравнения, классификации, обобщения.
Средством организации этой деятельности является система учебных заданий,
в процессе выполнения которых учащиеся сами «открывают» способ действия и
овладевают вычислительными умениями.
Задание 73. Подберите или сами составьте задания для упражнений в устных
вычислениях в области трехзначных натуральных чисел.
§ 5. ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ
(Соответствующие случаи деления)
Табличные случаи умножения и соответствующие им случаи деления, как уже
было сказано, учащиеся должны усвоить на уровне навыка. Это сложный и длительный процесс, в котором можно выделить два основных этапа. Первый этап связан с
составлением таблиц, второй — с их усвоением, т. е. прочным запоминанием.
Так как в современной начальной школе речь идет о формировании сознательных вычислительных навыков, то составлению таблиц умножения (деления)
предшествует изучение теоретических вопросов, являющихся основой тех вычислительных приемов, которыми дети будут пользоваться при составлении этих
таблиц.
В число таких вопросов входят: смысл действия умножения как сложения одинаковых слагаемых, переместительное свойство умножения, взаимосвязь компонентов и результата умножения.
178
Однако последовательность составления таблиц и организация деятельности
учеников, направленной на их усвоение, может быть различной.
Например, можно сначала изучить все теоретические вопросы (смысл действий
умножения и деления, переместительное свойство умножения, взаимосвязь между
компонентами и результатом умножения) и после этого приступить к одновременному составлению таблиц умножения и соответствующих случаев деления.
В этом случае таблица умножения и соответствующих случаев деления, например, с числом 2 будет иметь такой вид:
2-2=4
3-2=6
6:2=3
6:3=2
2-3=6
4-2=8
8:2=4
8:4=2
10:5=2
2-4=8
5-2=10
10:2=5
12:6=2
2-5=10
6-2=12
12:2=6
14:7=2
2-6=12
7-2=14
14:2=7
16:8=2
2-7=14
8-2=16
16:2=8
18:9=2
2-8=16
9-2=18
18:2=9
2-9=18
При вычислении результатов в первом столбце учащиеся используют определение умножения, т. е. заменяют произведение суммой одинаковых слагаемых и
вычисляют результат. Или для вычисления каждого произведения, начиная со второго, используют предыдущее равенство. Значения произведений второго столбца
они находят, пользуясь переместительным свойством умножения. Результаты деления в третьем и четвертом столбце находятся с помощью правила: если значение
произведения разделить на один множитель, то получим другой множитель.
Предполагается, что запомнить (довести до автоматизма) нужно только первый
столбец, так как результаты второго столбца можно найти, применив к каждому равенству первого столбца переместительное свойство умножения, а для получения
результатов третьего и четвертого столбца воспользоваться знанием о взаимосвязи компонентов и результата умножения.
Таков же подход к составлению таблиц умножения и деления с числом 3.
В связи с тем, что случай 3 • 2 уже рассматривался во втором столбце таблицы умножения с числом 2, он не включается в таблицу умножения с числом 3, и поэтому она начинается с произведения, в котором одинаковые множители, т. е. количество табличных
равенств в первом столбце этой таблицы уменьшается. Соответственно уменьшается
и количество табличных равенств во втором, третьем и четвертом столбцах.
3-3=9
4-3=12
12:3=4
12:4=3
3-4=12
5-3=15
15:3=5
15:5=3
3-5=15
6-3=18
18:6=3
18:3=6
7-3=21
3-6=18
21:3=7
21:7=3
3-7=21
8-3=24
24:3=8
24:8=3
3-8=24
9-3=27
27:3=9
27:9=3
3-9=27
Аналогично составляются таблицы умножения и деления с числами 4, 5, 6, 7, 8, 9.
179
Задание 74. Составьте таблицы умножения и соответствующих случаев деления с числами 7,8,9. Сколько случаев табличного умножения содержит каждая из
этих таблиц?
Составление таких таблиц обычно не вызывает у детей затруднений. Тем более что одни и те же действия многократно повторяются. Однако их усвоение
на уровне автоматизированного навыка представляет для многих большую проблему.
Во-первых, не все дети, в силу своих индивидуальных особенностей, могут за
отведенное программой время усвоить на уровне навыка первый столбец каждой
таблицы. Это, естественно, создает трудности для запоминания второго, третьего
и четвертого столбцов.
Во-вторых, не все дети могут в свернутом виде (т. е. на уровне навыка) выполнить операции, которые связаны с применением переместительного свойства
умножения и правила о взаимосвязи множителей и произведения.
В-третьих, не все дети могут осознать взаимосвязь между составленными таблицами.
Например, таблица умножения (деления) с числом 9 содержит один случай:
9*9 (81:9), а случай 9*8 имеет место в предшествующей таблице, 9*7 — в таблице
умножения (деления) с числом 7 и т. д., а случай 9- 2 в таблице умножения (деления)
с числом 2.
Наконец, в-четвертых, каждая таблица умножения (деления), особенно для чисел 2, 3,4, имеет большой объем, поэтому установка на запоминание всех столбцов
каждой таблицы также оказывается неэффективной.
В связи с вышесказанным установка на одновременное запоминание четырех
столбцов таблицы для определенного случая умножения превращается для многих
детей в зубрежку и в выполнение большого количества однообразных тренировочных упражнений.
Задача методики — найти такие способы организации деятельности учащихся, которые позволили бы учесть или устранить названные трудности, создав тем
самым необходимые дидактические условия для эффективного формирования табличных навыков умножения и деления.
Один из возможных путей решения этой проблемы — распределить во времени
как составление таблиц умножения и соответствующих случаев деления, так и установки на их запоминание.
Например, после усвоения учениками смысла умножения составить только
первый столбец таблицы умножения с числом 2 и дать установку на его запоминание.
Затем, познакомив детей с переместительным свойством умножения, составить второй столбец и применить для этой цели знание вышеназванного свойства.
На усвоение этих двух столбцов отвести определенное время. В этот период учащиеся рассматривают такие вопросы, как смысл деления, взаимосвязь множителей и
произведения, решают задачи и только после этого составляют третий и четвертый
столбцы таблицы деления.
180
Таким образом, усвоение таблицы умножения (деления) с числом 2 распределяется во времени. И тем самым создаются более благоприятные условия для формирования вычислительных навыков.
Но возможен и другой вариант. Например: сначала составляется и усваивается, распределяясь во времени, только таблица умножения, а со смыслом деления
дети знакомятся после того, как рассмотрены все случаи табличного умножения.
Целесообразность такой последовательности оправдана с различных точек
зрения: 1) в математике нет таблицы деления, а есть таблица умножения и соответствующие случаи деления; 2) с методической точки зрения, ребенок может вычислить результат деления, опираясь только на таблицу умножения; 3) с психолого-методической точки зрения (учет индивидуальных особенностей учащихся),
некоторые дети не могут усвоить табличные случаи умножения за отведенное программой время.
Работа по совершенствованию навыков табличного умножения продолжается в
процессе изучения темы «Деление», где учащиеся в большей мере могут осознать
необходимость усвоения табличных случаев умножения ( мотивация — вычисление
результата деления), что окажет положительное влияние на усвоение ребенком
взаимосвязи умножения и деления.
Рассмотрим один из возможных вариантов, при котором усвоение табличных
случаев умножения и соответствующих случаев деления распределяется во времени и органически включается в содержательную (понятийную) линию курса.
В отличие от традиционного подхода, когда первый столбец таблицы включает
случаи табличного умножения с числом 2, в предлагаемом варианте, составление
таблицы начинается со случаев умножения числа 9. При этом составление табличных равенств и установка на их запоминание распределяется во времени: сначала
это равенства 9 • 5, 9 • 6, 9 • 7, где в качестве опорного выступает случай 9 • 6.
Ориентировка на него позволяет детям быстро найти значения произведений
9 • 5=9• 6-9, 9• 7=9• 6+9, затем находятся значения выражений 9*2, 9*3, 9*4, где в
качестве опорного выступает случай 9 • 3 и, наконец, случаи 9 • 8 и 9 • 9, где в качестве
опорного выступает случай 9 • 7, который к этому времени большинством учащихся
уже усвоен. Таким образом, таблица умножения числа 9 является самой большой
по объему, и все случаи этой таблицы в «явном» виде включаются в установку на
запоминание, которая также распределяется во времени: сначала дается установка на запоминание трех табличных случаев, затем еще трех и напоследок — двух
табличных равенств.
Специальный подбор упражнений также способствует усвоению случаев табличного умножения с числом 9.
181
В огороде 6 грядок. С пяти грядок мама собрала по 9 огурцов, а с одной 8.
Сколько всего огурцов она собрала?
Выпиши в тетрадь выражения, которые могут быть решением этой задачи:
9+9+9+9+9+9+8
9-6
9+9+9+9+9+8
9-5+9
9-4+9+8
9-6-1
Значение какого выражения тебе легче вычислить, чтобы ответить на вопрос
задачи?
Как можно рассуждать, вычисляя значение выражения 9-4+9+8?
Какому рисунку соответствует каждое выражение:
9-4
4-9
[9-3
2-9
Как можно вычислить значение каждого произведения?
Поставь знаки <, >, = так, чтобы получились верные записи:
9-3 9+9+9
9-4 9+9+9+9
9-2 9-3
9-4 9-3
9-4-9 9-3
9-5+9 9-4
9-3+9 9-6-9
Не выполняя вычислений, найди «лишнее» выражение:
9-5
9-6-6
9-4+9
9-6-9
Как можно рассуждать,
9+9+9+2
9+9+9+9-7
9+9+9+9+9-15
вычисляя значения выражений:
9+9+6
9+9+9+9+9+9-18
9+9+9+9+9+8
Можно ли утверждать, что значения выражений в каждом столбце одинаковы?
9-7+9
9-7+18
9-6+18
9-9
9-(5+3)
(15-6) «9
9-8
9-5+9+9+9+9
182
Какие знаки действий нужно вставить в «окошки», чтобы получились верные
равенства:
17 4=70 2
9 7=9 6 9
8 4=8 5 8
9 3+9=9-4
6 7=6 8 6
8-2 8=8-3
5 8=5 7 5
9+9+9+9=9 4
Проверь себя вычислениями.
Использование приемов умственной деятельности при выполнении вышеприведенных упражнений (анализ, сравнение) активизирует смысловую память учащихся, что создает условия для запоминания табличных случаев. Помимо этого, так
же, как при усвоении случаев табличного сложения, находят применение карточки
для самоконтроля и взаимоконтроля.
Случаи табличного умножения числа 8 усваиваются учащимися в процессе изучения переместительного свойства умножения и понятия «увеличить в несколько
раз».
Для этой цели предлагаются задания:
Не выполняя вычислений, вставь в «окошки» знаки <, >, = так, чтобы получились верные записи:
8-3 3+3+3+3+3+3+3
8-6 6+6+6+6+6+6+6+6
8-6 8-5
8-9 8-7
8-4 8+8+8+8+8
8-5 5-8
Разгадай правила, по которым записаны ряды чисел, и продолжи каждый ряд.
Чем похожи и чем отличаются числовые ряды?
16,24,32,...
8-2,8-3,8-4, ...
2-8,3-8,4-8,...
Прочитай выражения, используя понятия: «увеличить в ...», «уменьшить на ... »,
«увеличить на... ». iv южно ли утверждать, что
одинаковы?
8-4
8-6
8-8
8-5-8
6-8
8-9-8
8-7-8
(13-9)-8
8-7+8
4-8
8-5+8
5-9+19
9-8-24
9-7+1
8-9-40
9-4-4
9-6-6
9-9-17
183
Вставь числа в «окошки», чтобы получились верные равенства:
8-6=8+8+8+ +
8-8=8- -8
8-7=8-6+
8-3=8+8+
8-9=9-98-5=8- +8
5-8= -5
8-5=8' -8
Замени сложение умножением и запиши верные равенства:
8+8 ... 2+2+2+2+2+2+2+2
8+8+8 ... 3+3+3+3+3+3+3+3
8+8+8+8 ... 4+4+4+4+4+4+4+4
8+8+8+8+8 ... 5+5+5+5+5+5+5+5
Чем похожи и чем отличаются выражения слева и справа?
Установка на запоминание табличных случаев с числом 8 также распределяется во времени и предлагается детям в таком виде:
Вычисли значения произведений в каждом столбце, пользуясь данным равен-
ством:
8 •3=24
8 •2
8 •4
8 •5=40
8 •6
5 •8
8 •7=56
8 •8
7 •8
Постарайся запомнить!
8-3=24
8-5=40
8-7=56
3-8=24 5-8=40
7-8=56
Вычисли значения произведений в каждом столбце, пользуясь данным равенством: ,
8-2=16
8-3
8-4
8-5
8-4=32
8-5
8-6
8-8
8-2=16
2-8=16
[8-6=48
8-7
8-5
8-4
8•8=64
8-9
8-5
8-6
Постарайся запомнить!
8-4=32
8-6=48 8-8=64
4-8=32
6-8=48
Таблица умножения с числами 7, 6 и 5 составляется и усваивается детьми в
процессе изучения темы «Площадь фигуры».
Знакомство с переместительным свойством умножения и его использование
при составлении таблиц умножения сокращает объем каждой следующей таблицы,
поэтому таблица умножения с числом 2 содержит всего один случай (2-2=4). Два
случая — в таблице умножения числа 3 (3-3, 3-2). Таблица умножения числа 4 содержит случаи: 4-4, 4-3, 4-2. Запоминание этого материала дается детям легко.
184
Если же учащиеся затрудняются при вычислении значений произведений 2-6,
2*7, 2*8, то, используя переместительное свойство умножения, они получают произведения, которые были включены в установку на запоминание: 6 • 2, 7 • 2, 8 • 2.
После составления и усвоения таблицы умножения школьники знакомятся с сочетательным свойством умножения и с правилом умножения числа на 10. Изучение
этих вопросов создает новые условия как для совершенствования навыков табличного умножения, так и для упражнений в записи и чтении трехзначных чисел.
Например, можно предложить задания:
Верно ли утверждение, что значения выражений в каждом столбце одинаковы?
а)4-70
6)7-90
в)8-20
4-(7-10)
7-(9-10)
8-(2-10)
(4-7)-10
(7-9)-10
(8-2)-10
Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, запиши
каждое выражение в виде произведения двух чисел.
а)6-10-6
6)10-7-7
в)8-10-9
4-2-10
6-3-10
3-7-10
5-10-4
6-10-5
4-10-4
Верно ли утверждение, что значения произведений в каждой паре одинаковы?
а)45-10
6)21-10
в)36-10
г)56-10
9-50
3-70
9-40
7-80
д)81-10
90-9
е)54- 10
60- 9
ж] 32- 10
8- 40
и)27-10
30-7
к)48- 10
50- 8
л) 63- 10
70- 8
Для проверки сформированности
ся таблица:
1 2
3 4
2
3
4
5
6
7
8
9
3)42 •10
6 •70
навыков табличного умножения использует5
6
7
8
9
«
35
Усвоение табличных случаев деления также распределено во времени и органически включается в содержательную линию курса.
Для этой цели в процесс усвоения смысла деления, правил о взаимосвязи компонентов и результатов действий умножения и деления, понятий «уменьшить в несколько раз» и кратного сравнения включены задания наделение чисел, при выполнении которых необходимо знание таблицы умножения.
Задание 75. Подберите или составьте сами задания, в процессе выполнения
которых учащиеся усваивают взаимосвязь умножения и деления.
§ 6. ПРИЕМЫ УСТНОГО УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ
При выполнении устного умножения и деления, также как при сложении и вычитании, учащиеся прибегают к различным вычислительным приемам. Овладение вычислительными приемами предполагает усвоение нумерации чисел в пределах 100
(разрядного состава двузначного числа), табличных случаев сложения (вычитания),
умножения (деления), переместительного, сочетательного и распределительного
свойств умножения, а также свойства деления суммы на число.
В начальном курсе математики приемы устного умножения и деления используются при умножении двузначного числа на однозначное, при делении двузначного
числа на однозначное и при делении двузначного числа на двузначное.
Усвоение распределительного свойства умножения позволяет детям высказать
догадку о возможном способе действий при умножении двузначного числа на однозначное.
Догадайся, как можно рассуждать, вычисляя значения произведений:
а)37-2
6)41-2
в)44-2
г)33-2
38-2
42-2
46-2
34-2
39-2
43-2
47-2
35-2
Я буду рассуждать так:
37•2=37+37=74,тогда 38•2=76 и 39•2=78.
А я — так:
37 • 2=(30+7) • 2=30 • 2+7 • 2=60+14=74
38 • 2=(30+8) • 2=30 • 2+8 • 2=60+16=76.
Объясни, как рассуждали Миша и Маша.
Вычисли значения всех произведений различными способами.
Вычисли значение произведения 13 • 7.
Маша вычисляла значение произведения так:
6-7+7-7=42+49=91
Миша —так:
10-7+3-7=70+21=91
Объясни, как рассуждали Миша и Маша.
Попробуй рассуждать также, вычисляя значения произведений:
14-5; 16-6; 15-4; 12-8.
186
По какому правилу составлены пары выражений? Верно ли утверждение, что
значения выражений в каждой паре одинаковы?
а) 21 «5
(20+1)-5
6)39-2
(30+9)-2
г) 28-3
(20+8)'
д)18-4
(10+8)-4
.
в)29-3
(20+9)-3
е)37-2
(30+7)-
Какое выражение «лишнее» в каждом столбце?
а) (8+6)-4
б)2-(37+24)
4-(8+6)
(37+24)-2
(8+6)+(8+6)+(8+6)+(8+6)
2-37+24
4-8+8
37-2+24-2
8-4+6-4
(37+24)+(37+24)
Верно ли утверждение, что значения выражений в каждом столбце одинаковы? Ответь на вопрос, не вычисляя значений выражений.
а) (7+5)+3
6)7-3+5-3
в) 3-7+3-5
(5+7)-3
3-(7+5)
7-(5+3)
7-3+5-3
7+(5+3)
(7+5)-3
Догадайся: по какому правилу подобраны выражения в каждом столбце?
а) 26-3
60+18
126-3
300+78
6)17-5
50+35
117-5
500+85
Составь по этому же правилу столбцы для выражений
в)38-2
60+16
160-2
200+120
2Т-2
В результате выполнения вышеприведенных заданий школьники делают вы-
вод:
При умножении двузначного числа на однозначное можно
представить двузначное число в виде суммы разрядных
слагаемых и воспользоваться распределительным
свойством умножения.
Задание 76. Подберите или составьте сами задания, в процессе выполнения
которых учащиеся овладевают умением умножать двузначное число на однозначное.
В основе вычислительного приема при делении двузначного числа на однозначное лежит свойство деления суммы на число.
Процесс формирования данного приема целесообразно сориентировать на
усвоение учащимися общего способа действий, при котором делимое представля-
ется в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых делится на данное число.
Владея этим способом, ребята смогут выполнять вычисления различных случаев
деления двузначного числа на однозначное.
Для организации деятельности учащихся можно использовать учебные задания:
Вычисли значение выражения 52:4.
Миша: Я думаю, нужно представить 52 в виде суммы двух слагаемых, каждое из
которых делится на 4. В этом случае можно разделить на 4 каждое слагаемое и полученные результаты сложить:
(28+24):4=28:4+24:4=7+6=13
(20+32):4=20:4+32:4=5+8=13
Подумай, какие еще выражения можно составить по этому правилу.
Догадайся! Как рассуждал Миша, вычисляя значения выражений:
72:6=(60+12):6=...
84:7=(70+14):7=...
52:4=(40+12):4=...
42:3=(30+12):3=...
85:5=(50+35):5=...
Чем похожи выражения в скобках?
Вычисли значения частных, рассуждая также:
56:4
88:8
24:2
99:3
91:7
57:3
39:3
86:2
70:5
96:8
75:5
84:4
63:3
80:5
Какие числа нужно вставить в «окошки», чтобы получились верные равенства:
(30+ ):3=30:3+ :3
( + ):5= :5+ :5
( + ):6= :6+ :
(32+16): =32: +16:
(17+16): =17: +16:
Запиши выражения в виде частного двух чисел. Найди значения всех выражении:
а) (30+15):3
(40+24):4
(60+24):6
(60+36):6
б) (30+9):3
(40+8):4
(50+5):5
(60+6):6
(30+36):6
(40+28):4
(50+15):5
(60+12):6
Чем похожи и чем отличаются выражения в каждой паре? Найди их значения,
а) 96:3
6)84:7
в) 36:3
г) 68:4
96:6
84:2
36:2
68:2
188
Д) 72:6
72:3
е)96:8
96:4
ж) 45:3
75:3
3)65:5
55:5
На какие группы можно разбить все выражения?
64:8
36:2
48:8
48:4
48:3
36:9
36:3
64:2
64:4
Маша выполнила задание так:
1-я группа
3-я группа
2-я группа
64:8
36:2
48:4
64:2
36:9
48:8
64:4
36:3
48:3
Миша — так:
1-я группа
2-я группа
3-я группа
36:2
64:8
36:3
48:4
36:9
48:3
48:8
64:2
64:4
Догадайся, по какому признаку разбила выражения Маша, по какому — Миша?
Задание 77. Приведите рассуждения учащихся при выполнении вышеприведенных заданий. Составьте свои задания, которые можно использовать для формирования у детей умения делить двузначное число на однозначное.
При делении двузначного числа на двузначное учащиеся пользуются приемом
подбора частного. В основе этого приема лежит взаимосвязь умножения и деления.
Для организации деятельности класса, направленной на «открытие» и усвоение
приема деления двузначного числа на двузначное, предлагается задание:
Составь верные равенства, используя данные числа:
96,6, 16
Для его выполнения учащиеся могут воспользоваться уже известными им вычислительными приемами и правилами о взаимосвязи компонентов и результатов
действий умножения и деления.
Возможны два способа действия:
1. Умножить меньшее двузначное число на однозначное и получить равенство:
16 • 6=96. Пользуясь переместительным свойством умножения, записать второе равенство: 6-16=96.
Теперь можно воспользоваться правилом: если значение произведения разделить на один множитель, то получим другой множитель, — и записать еще два
равенства, удовлетворяющие условию задания: 96:6=16, 96:16=6.
2. Разделить двузначное число на однозначное, пользуясь правилом деления
суммы на число, и записать равенство: 96:6=16. Теперь можно воспользоваться
189
правилами: а) если значение частного умножить на делитель, то получим делимое;
б) если делимое разделить на значение частного, то получим делитель, — и записать равенства: 16-6=96, 96:16=6.
В процессе обсуждения приведенных выше способов выполнения задания дети
приходят к выводу, что при делении двузначного числа на двузначное целесообразно пользоваться приемом подбора частного.
Приумножении разрядных десятков (сотен, тысяч) на однозначное число (90-4,
70-8, 800 • 4) и при делении разрядных десятков (60:20, 80:40, 90:30) также используются приемы устного умножения и деления.
Вычисление результата в первом случае сопровождается рассуждением:
9 дес. • 4=36 дес., 8 сот. • 4=32 сот.
Вычисление результата во втором случае объясняется так: нужно узнать, сколько раз 2 дес. содержится в 6 дес.
В более сложных случаях (560:80) ученики, пользуясь таблицей умножения или
деления, подбирают частное.
Задание 78. Подберите или составьте сами задания, в процессе выполнения
которых учащиеся овладевают умением делить двузначное число на двузначное.
§ 7. АЛГОРИТМЫ ПИСЬМЕННОГО СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ
При сложении многозначных чисел в основе действий учащихся лежит алгоритм
сложения, суть которого сводится к следующему:
1. Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.
2. Складывают цифры (этот термин используется для краткости, вообще здесь
речь идет об однозначном числе, обозначаемом цифрой) разряда единиц. Если
сумма меньше 10, ее записывают в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду.
3. Если сумма цифр единиц больше или равна 10, то представляют ее в виде:
10+С0, где Со — однозначное число; записывают Со в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к цифре десятков первого слагаемого, после чего переходят к разряду
десятков.
4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т. д. Процесс сложения заканчивается, когда произведено сложение цифр старших разрядов.
Алгоритм вычитания многозначных чисел можно представить в таком виде:
1. Записывают вычитаемое bn ЪпЛ ... b^b0 под уменьшаемым an апЛ ... а^ я о так,
чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.
2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей
цифры уменьшаемого, то ее вычитают из соответствующей цифры уменьшаемого,
после чего переходят к следующему разряду.
190
3. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, т. е.
а0 < Ьо, а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля, то уменьшают цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличивают цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитают из числа 10+а 0 число Ьо и записывают результат
в разряде единиц разности. Далее переходят к следующему разряду.
4. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, а
цифры, стоящие в разряде десятков, сотен и т. д. уменьшаемого, равны нулю, то
берут первую, отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц),
уменьшают ее на 1, все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличивают на 9, а цифру в разряде единиц — на 10, вычитают Ьо из 10+а0,
записывают результат в разряде единиц разности и переходят к следующему разряду.
5. В следующем разряде описанный процесс повторяется.
6. Процесс вычитания заканчивается, когда произведено вычитание из старшего разряда уменьшаемого.
Безусловно, младшие школьники не могут усвоить алгоритмы письменного
сложения и вычитания в общем виде. Но учителю знать их необходимо. Это позволит ему:
а) при ознакомлении учащихся с алгоритмом правильно организовать подготовительную работу;
б) управлять деятельностью школьников, направленной на усвоение алгоритма;
в) подбирать и составлять различные задания, нацеленные на усвоение операций, входящих в алгоритмы письменного сложения и вычитания.
Приведенные выше описания алгоритмов даются учащимся начальных классов
в упрощенном виде, где фиксируются только основные моменты:
• Второе слагаемое (вычитаемое) нужно записать под первым (под уменьшаемым) так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом;
• Сложение (вычитание) следует начинать с низшего разряда, т. е. складывать
(вычитать) сначала единицы.
Другие операции, входящие в алгоритмы, либо разъясняются младшим школьникам на конкретных примерах, либо осознаются ими в процессе выполнения специально подобранных упражнений.
Для формирования общего способа действий целесообразно познакомить учащихся с алгоритмами письменного сложения и вычитания после того, как они усвоят нумерацию чисел в пределах миллиона. При этом их деятельность должна быть
направлена не на отработку частных случаев сложения и вычитания, а на осознание
тех операций, которые входят в алгоритмы. Для этого уже при изучении нумерации
полезно обратить внимание детей на то, как изменяется цифра, стоящая в определенном разряде данного числа при его увеличении (уменьшении) на разрядные
единицы, десятки, сотни, тысячи и т. д.
В процессе этих упражнений дети осознают соотношение разрядов, их «переполнение» и значение каждой цифры в записи числа. Это способствует сознательному усвоению механизма письменного сложения и вычитания.
191
Приступая к изучению алгоритмов письменного сложения, учащимся полезно
предложить задания:
На сколько можно увеличить число 308287, чтобы изменились цифры, стоящие в разряде единиц и десятков, а цифры в других разрядах остались те же?
Маша записала свой ответ так:
,308287
Н
308287
308299
308298
Миша-так:
,308287
f
308290
308287
4
308291
На сколько увеличила Маша число 308287?
На сколько — Миша?
Как они рассуждали?
Возможны ли другие варианты ответа на поставленный вопрос?
Сколько однозначных чисел можно прибавить к числу 235438, чтобы изменились только цифры, стоящие в разряде единиц и десятков? Запиши ответы числовыми равенствами.
В результате обсуждения этих заданий дети самостоятельно делают вывод:
если получаем в соответствующем разряде 10 единиц или больше 10 единиц, то
изменяется цифра следующего высшего разряда. Этот вывод позволяет учащимся
выполнить задания:
Объясни, как выполнено сложение чисел. Догадайся, почему сложение многозначных чисел «в столбик» нужно начинать с разряда единиц.
31274
,3 1 2 7 4
+
3413
3416
34687
34690
,84246
1 2 87 8
97124
,46985
6754
53739
Вычисли значение суммы 3502+121346.
Маша выполнила задание так:
121346
+
3502
Миша -так:
192
124848
,1 21 346
3502
471546
Кто допустил ошибку и в чем ее причина?
Проверь свое предположение на калькуляторе.
Цифры, обозначающие число десятков, сотен, тысяч и т. д., переносимые
в высший разряд, можно фиксировать в записи сложения над соответствующим
разрядом:
1 11
38 7 5
1968
5843
Вряд ли целесообразно знакомить детей одновременно с алгоритмом письменного сложения и с алгоритмом письменного вычитания, используя для этой цели
взаимосвязь сложения и вычитания.
Например: 1 -\ 1
2 15 6
603 1
_6 0 3 1
3875
3875
2156
6031
2156
3875
В данном случае важно решить другую учебную задачу, а именно: помочь детям
овладеть сначала одним способом действия — алгоритмом письменного сложения,
а затем другим способом действия — алгоритмом письменного вычитания. Поэтому к знакомству с алгоритмом письменного вычитания следует приступить только
после того, как будет усвоен алгоритм письменного сложения.
Для подготовки учащихся к знакомству с алгоритмом письменного вычитания
также полезно предложить задания:
На сколько можно уменьшить число 28746, чтобы изменились цифры, стоящие в разряде единиц и десятков, а цифры в других разрядах остались те же?
Маша выполнила задание так:
_2 8746
28746
12
" 3 2
28734
А Миша —так:
_2 8 7 4 6
7
28739
28714
28746
8
28738
Кто верно выполнил задание: Маша или Миша? Можно ли выполнить это задание по-другому?
Попробуй объяснить: почему Миша записал в разряде десятков цифру 3?
Сравни свое объяснение с рассуждениями Маши и Миши.
Я думаю, он вычитал единицы из числа 16. Это 1 десяток и 6 единиц.
Верно. Я «взял» 1 десяток из разряда десятков, так как не мог из шести
вычесть семь и из шести вычесть восемь.
7-12726 Истомина
193
Запиши вычитание «в столбик» и выполни вычисления, рассуждая так же, как
Миша.
а) 37836-7417
6)984758-321639
в) 378836-74618
г) 465676-35129
На сколько можно уменьшить число 529384, чтобы изменились цифры, стоящие в разряде единиц, десятков и сотен, а цифры, стоящие в других разрядах, остались те же?
Маша ответила на вопрос так:
529384
1 52
529232
529384
271
5291 1 3
Миша -так:
5293 84
93
529291
529384
91
529293
На сколько уменьшила число 529384 Маша? На сколько — Миша? Как они рассуждали? Возможны ли другие варианты ответа на поставленный вопрос?
Сравни записи. Чем они похожи? Чем отличаются?
а) _3 8 4 5 6
б) _3 8 4 5 3
12345
12345
Выбери верную запись и найди значение разности 987654-73521.
а) _9 8 7 6 5 4
б) _9 8 7 6 5 4
73521
73521
При знакомстве с алгоритмом письменного вычитания целесообразно сначала
выполнить такую запись:
jif*^.
_3 7 4 1 8
5579
31 8 3 9
Затем можно использовать такую запись:
_3 7 4 i 8
5579
31 8 3 9
Для повторения ранее изученных понятий следует варьировать формулировки
заданий, при выполнении которых дети будут упражняться в письменных вычислениях.
Например:
Увеличь число 30875 в 3 раза и догадайся, как найти значение произведения.
194
Уменьши число 95004 на 4273. Верно ли утверждение, что значение разности
будет больше чем 90000?
Проверь ответ, выполнив вычитание «в столбик».
Выполни записи «в столбик» и вставь пропущенные цифры, чтобы получились
верные равенства:
а)
б)
в)
г)
3 86+ 2 7- 2093
1 6 8-5 4 -6669
308 24-3 521 = 7
3 57- 4 0=157
Не вычисляя значений выражений, поставь знаки < или >, чтобы получились
верные неравенства:
а)
б)
в)
г)
д)
9999+9999 63003+13004
384+1987 999+998
18007+270018 100004+180007
6002-5999 6002-599
80000-9999 800000-9999
Проверь ответы, выполнив вычисления «в столбик».
Запиши пять чисел, в которых 80 тысяч. Увеличь каждое на 8739. Вычисли значения сумм «в столбик».
Как ты можешь проверить свой ответ?
Задание 79. Подберите или составьте сами задания, при выполнении которых
дети повторяют ранее изученные вопросы в процессе усвоения алгоритмов письменного сложения и вычитания.
§ 8 . АЛГОРИТМ ПИСЬМЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
Из курса математики вам известно, что письменное умножение опирается на:
— запись числа в десятичной системе счисления;
— таблицу умножения однозначных чисел;
— законы сложения и умножения;
— таблицу сложения однозначных чисел.
Поэтому младшие школьники знакомятся с алгоритмом письменного умножения после изучения всех названных понятий. Применяя знание разрядного состава
числа и свойство умножения суммы на число, они могут умножать любое многозначное число на однозначное с помощью устных вычислений. Но большинство из них
легко справляются с этой задачей только в том случае, если нет перехода в другой
разряд: 324»2, 1233-3, 4232*2 и т. д.
195
При выполнении вычислений для случая с переходом в другой разряд возникает необходимость фиксировать промежуточные результаты в том или ином виде:
а) 426 • 3=(400+20+6) • 3=1200+60+18;
б)426•3=1200+60+18=1278.
Для более сложных случаев сложение промежуточных результатов выполняется «в столбик»:
9347•8=9000•8+300•8+40-8+7-8
72000
2400
+
320
56
74776
Это затрудняет вычислительную задачу, поэтому возникает необходимость познакомить детей с алгоритмом письменного умножения, или с умножением «в столбик».
Практика показывает, что дети с трудом понимают взаимосвязь между устными
и письменными вычислениями. В связи с этим нужно сопоставить запись в строчку
и «в столбик».
Например:
284-4 = (200+80+4)-(4 = 200-4+80-4+4-4 = 800+ 320+ 16 = 1136
800
320
16
1 1 36
31
284
4
1 1 36
х
Обучая ребят записи умножения «в столбик», надо обратить их внимание на то,
что при умножении, так же как при сложении, второе число (множитель) записывается под первым так, чтобы его разряды были под соответствующими разрядами
первого множителя:
,375
375
(375
284
' 31
Объясняя детям механизм умножения «в столбик», следует подчеркнуть, что:
1) умножение, так же как и сложение, начинаем с единиц низшего (первого) разряда; 2) записывая полученный результат, следим за тем, чтобы каждый разряд числа, полученного в значении произведения, записывался под соответствующим ему
разрядом.
Например, приступая к умножению чисел 426-3, важно прежде всего выполнить правильную запись «в столбик». (Второй множитель содержит 3 единицы, значит, цифру 3 нужно записать под разрядом единиц первого множителя):
х 426
3
1 278
Затем следует обратить внимание на то, что умножение начинаем с единиц низшего разряда: 6-3=18, 18 — это 1 дес. и 8 ед. Но так как в разряде единиц можно
196
записать только цифру, обозначающую единицы, то пишем в разряде единиц 8,
а 1 дес. запоминаем. Ученики легко справляются с этими операциями, так как они
уже выполняли их при сложении чисел «в столбик».
Тем не менее возможно появление такой ошибки: дети сначала прибавляют
к 2 десяткам первого множителя 1 д е с , который они запомнили, а после этого выполняют умножение десятков.
Причиной такой ошибки может быть та последовательность операций, которая имела место при сложении чисел «в столбик». А именно: некоторые учителя при сложении «в столбик» рекомендуют детям сразу прибавить ту разрядную
единицу, которую запомнили, к соответствующей разрядной единице первого
слагаемого, а затем уже к полученному результату прибавить единицы соответствующего разряда второго слагаемого. Обосновывается такая последовательность операций тем, что маленькие ученики могут забыть число, которое
запоминали, поэтому лучше его прибавить сразу. Это не совсем верно. Лучше
ориентировать их на такую последовательность операций: сначала складываем
разрядные единицы первого и второго слагаемого, затем прибавляем то число,
которое запомнили. Это поможет уменьшить количество ошибок при умножении
«в столбик».
После знакомства учащихся с алгоритмом умножения на однозначное число не
следует сразу приступать к выполнению умножения «в столбик», отрабатывая различные частные случаи умножения на однозначное число, т. е. умножение трехзначного числа на однозначное, четырехзначного числа на однозначное, случай, когда
в первом множителе отсутствуют разрядные единицы (408• 7, 40016-5). Гораздо
важнее, чтобы дети осознанно усвоили последовательность операций, входящих в
алгоритм. Для этой цели полезно предлагать такие задания:
Объясни, как выполнено умножение «в столбик»:
3851 4
30214
Х
7
269598
1 51070
Вставь пропущенные цифры, чтобы запись была верной:
3509
4008
570 1 2
Х
8
32 64
42
5 1
Догадайся! Как, не вычисляя значений произведений, выбрать из чисел, записанных справа, правильные ответы:
3907-7
5429-8
2078-7
8105-8
1976-4
7904
64840
14546
43432
27349
197
Так как умножение начинается с единиц низшего разряда, то для получения ответа достаточно проверить последнюю цифру, т. е. выполнить только умножение
единиц (табличное умножение).
При составлении таких заданий необходимо соответствующим образом подбирать выражения (в результате не должно получаться чисел, оканчивающихся одинаковой цифрой).
Найди ошибку в вычислениях. (Причина ошибки может быть связана с незнанием таблицы умножения, с умножением числа на нуль или с тем, что ученик не прибавил число, которое запомнил.)
v
Х
5006
7
35742
5006
7
35002
v
Х
5006
7
35812
Сделай прикидку. Сколько знаков будет содержать значение каждого произведения? Проверь себя, выполнив умножение «в столбик»:
724-3
9875-5
1428-4
4381-9
2095-6
6321-2
Учащиеся могут рассуждать так: в числе 724 содержится 7 сотен. Если 7 сотен
умножить на 3, то получится 21 сотня, а это четырехзначное число. Следовательно,
в значении первого произведения содержится четыре знака.
Важно, чтобы дети понимали, что способ записи, с которым они познакомились
на первом уроке изучения алгоритма, правомерен и для случая умножения чисел,
оканчивающихся нулями, на однозначное число:
„720
v 3 7 0 0
Х
х
6
6
Но для того, чтобы не выполнять лишних операций, которые связаны с умножением нуля на число, принято делать такую запись:
„7 20
Y 3 7 0 0
х
6
_6
Она позволяет нули, стоящие на конце первого множителя, перенести в ответ.
Для осознания этого факта можно предложить упражнения вида:
130-5
2300-4
13 дес. • 5=65 дес.
23 сот. • 4=92 сот.
Знание переместительного свойства умножения позволяет учащимся применять алгоритм умножения на однозначное число и для нахождения произведения,
в котором первый множитель — число однозначное, а второй — многозначное. Для
этого нужно только переставить множители и воспользоваться для вычисления результата алгоритмом умножения на однозначное число.
Знание сочетательного свойства умножения позволяет пользоваться алгоритмом письменного умножения на однозначное число и в том случае, когда второй
198
множитель можно представить в виде произведения однозначного числа и числа,
записанного единицей с нулями:
375•50=375• (5 • 10)=(375•5) • 10
375 • 500=375 • (5 • 100)=(375 • 5) • 100
375 • 5000=375 • (5 • 1000)=(375 • 5) • 1000
Для письменных вычислений в этом случае используется запись:
,375
,375
,375
50
500
5000
Алгоритм умножения на однозначное число можно также применить при вычислении произведения, в котором первый множитель — любое число, оканчивающееся нулями, а второй множитель — число, которое можно представить в виде произведения однозначного числа и числа, записанного единицей с нулями:
375000
х
700
Алгоритм письменного умножения на однозначное число — основа овладения
учащимися алгоритмом письменного умножения на двузначное и трехзначное числа. Это необходимо показать детям. Для этой цели второй множитель (двузначное
число) представляется в виде суммы разрядных слагаемых:
62 • 47=62 • (40+7)=62 • 40+62 • 7
Пользуясь алгоритмом умножения на однозначное число, ученики вычисляют
первое и второе произведения, затем складывают полученные результаты. После
этого учителю нужно только показать более компактную запись выполненных операций.
Можно предложить классу записи «в столбик» умножения на двузначное число, а
дети сами попробуют объяснить выполненные действия. В этом случае целесообразно подобрать пары записей и выяснить сначала, в чем их сходство и различие.
3785
3785
х 126
26
1Я
16
16
1 1 355
756
1 1 355
1 56
1 26
"3785
"26
49205
416
2016
Комментируя действия, связанные с выполнением записи «в столбик», следует
ввести понятия: «первое неполное произведение» (оно получается при умножении
данного числа на число, обозначенное цифрой, стоящей в разряде единиц второго
множителя), «второе неполное произведение» (оно получается при умножении данного числа на число, обозначающееся цифрой, стоящей в разряде десятков второго
множителя).
Для осознанного усвоения операций, входящих в алгоритм умножения на двузначное число, полезно предложить детям сравнить и проанализировать следую6 2
х 62
62
щие записи:
47
47
47
4
34
4
3
4
4
3
4
+
f
f
248
2480
248
682
2914
2914
199
В результате такого анализа делается вывод: какая запись неверная, какая —
верная и какой из верных записей удобнее пользоваться.
Алгоритм умножения на трехзначное число целесообразно рассматривать в
сравнении с алгоритмом умножения на двузначное число.
При знакомстве с умножением на трехзначное число можно также использовать
анализ выполненных действий в заданиях:
Объясни, как вычислено значение произведения слева и справа:
375
х 24
X
24
375
1 500
1 20
750
+1 68
9000
72
9000
Догадайся! Почему второе неполное произведение записано, начиная с раз507
234
ряда сотен?
х 304
2028
936
1 521
94068
154128
Подумай! Как удобнее записать вычисления «в столбик»? Найди значения
произведений:
4-9375
640-7
6380-26
80-1401
27-39300
1936-1001
470-6040
740-3215
Используя запись умножения «в столбик», найди значения выражений:
38
38-7
X
38-50
57
266+1900
266
2166-1900
"190
2166-266
21 66
Задание 80. Подберите или сами составьте задания, которые вы предложите
учащимся при изучении алгоритма письменного умножения.
§ 9. АЛГОРИТМ ПИСЬМЕННОГО ДЕЛЕНИЯ
Из курса математики вам известно, что письменное деление рассматривается как действие деления с остатком. Поэтому сознательное овладение алгоритмом
письменного деления во многом зависит от умения находить остаток при делении
одного числа на другое. Основа этого умения — осознание взаимосвязи между де200
лимым, делителем, неполным частным и остатком, которая находит выражение в
равенствах: a=b'q+r, r=a-bq, где а — делимое, b — делитель, q—неполное частное, г— остаток.
Как было ранее сказано (см. п. «Деление с остатком»), эта связь лучше осознается детьми в том случае, когда они выполняют деление с остатком, используя способ подбора частного, позволяющий сконцентрировать внимание на взаимосвязи
умножения и деления, на способе нахождения остатка и на том, что остаток должен
быть меньше делителя.
Помимо деления с остатком как одной из основных операций письменного деления, для успешного овладения алгоритмом ученики должны усвоить разрядный и
десятичный состав числа, взаимосвязь умножения и деления.
Успех во многом зависит от того, как будет построен процесс изучения нового
способа действия.
В методике начального обучения математике нашли отражение различные подходы к организации деятельности учащихся, нацеленной на овладение алгоритмом
письменного деления.
Возможен, например, подход, при котором последовательно рассматриваются различные частные случаи деления чисел. Так, при делении на однозначное
число сначала рассматривается случай, когда первое неполное делимое выражается однозначным числом, обозначающим количество сотен: 794:2, 984:4, 985:5,
681:3, затем отрабатывается умение делить числа для случая, когда первое неполное делимое — двузначное число, обозначающее количество десятков (376:4) или
сотен (1984:8).
Далее отрабатывается умение делить числа для случаев, когда в частном отсутствуют единицы какого-либо разряда: 4680:3, 432:4. После этого — случай деления
с остатком, затем — случай деления чисел, оканчивающихся нулями: 5130:90,
2580:30, 46800:600, 37600:400.
Отдельно отрабатывается умение делить на двузначные и трехзначные числа.
При этом сначала рассматривается случай, когда в частном получается однозначное
число; затем, когда в частном получается двузначное число; потом случай деления на
двузначное число с остатком; затем деление на двузначное число, когда в частном
получается трехзначное число, в котором отсутствуют единицы одного разряда. При
делении на трехзначное число сначала рассматривается случай, когда в частном получается однозначное число, затем, когда в частном получается двузначное число.
Таким образом, при данном подходе выделяются 12 частных случаев, каждый
из которых рассматривается по определенному плану:
1) Комментируется (объясняется) образец записи деления.
2) Пользуясь образцом, учащиеся решают аналогичные примеры (закрепляют
данный случай деления).
3) Выполняются упражнения, включающие решение примеров как нового случая деления, так и ранее рассмотренных.
Вряд ли целесообразно использовать описанный выше подход в системе развивающего обучения математике, основной целью которого является усвоение
201
школьниками общего способа действий и формирование умения самостоятельно и
осознанно использовать его в различных частных случаях.
Поэтому рассмотрим более подробно другой подход к изучению алгоритма
письменного деления, который сориентирован не на «отработку» частных знаний,
умений и навыков, а на развитие мышления детей и на усвоение ими общего способа действий.
Одна из особенностей этого подхода заключается в том, что подготовительная
работа к изучению алгоритма письменного деления начинается в теме «Деление с
остатком», где учащиеся знакомятся с записью деления «уголком», с механизмом
подбора цифры в частном и с делением многозначных чисел, когда в значении частного получается однозначное число. ( См. тему «Деление с остатком»). Подготовительная работа к знакомству с алгоритмом письменного деления продолжается
в теме «Деление многозначных чисел»
Для этой цели детям предлагаются задания, при выполнении которых актуализируются знания, умения и навыки, необходимые для осознания и усвоения нового
способа действия.
Сможешь ли ты без калькулятора проверить, какие записи верные, а какие
неверные?
а) 972:27=36
б) 324:62=5 (ост. 12)
581:7=83
526:74=7 (ост.8)
482:123=4
789:56=14 (ост.5)
384:4=97
257:8=31 (ост.9)
Используя знания о взаимосвязи компонентов и результатов деления (без
остатка и с остатком), ученики находят неверные равенства в столбце а) и неверные записи в столбце б). При этом в некоторых случаях они могут сделать вывод,
не выполняя умножения «в столбик». Например, в равенстве 384:4=97 достаточно
умножить 7-4 = 28, чтобы сделать вывод: данное равенство неверное, т. к. в разряде единиц делимого должна стоять цифра 8.
Проверяя другие равенства этого столбца, дети повторяют алгоритм письменного умножения. Аналогичная ситуация в записи 324 : 62 = 5 (ост. 12). Умножив 2
на 5 и прибавив к полученному результату остаток 12, они получают в разряде
единиц делимого цифру 2, а в записи дана цифра 4. Поэтому, не выполняя вычислений «в столбик», можно утверждать, что эта запись неверная. Анализируя
запись 257:8=31 (ост.9), учащиеся отмечают, что остаток не может быть больше
делителя.
Приведенное задание можно использовать и для постановки новой учебной задачи — овладеть способом действий при выполнении деления многозначных чисел.
В этом случае классу можно предложить придумать , например, верные равенства
на деление, в которых делитель — однозначное число, а значение частного — число
четырехзначное. Используя знания о взаимосвязи умножения и деления, дети придумывают любое четырехзначное число и умножают его на однозначное. В результате получают равенство, соответствующее условию задания.
202
Для постановки учебной задачи в этом случае достаточно вопроса: «А сможете ли вы найти значение частного, если делимое — четырехзначное число, а
делитель — однозначное?»
(Этому нужно научиться. Учебная задача поставлена.)
Выполни деление, используя запись «уголком»:
50:7
8:9
41:6
234:83
29:4
5:6
112:18
421:78
Задание нацелено на повторение записи деления «уголком», с которым ученики
познакомились в теме «Деление с остатком».
Вычисли значения выражений. По какому признаку можно разбить выражения
на две группы?
64:4
72:6
51:3
98:7
42:3
84:7
99:9
91:13
72:18
92:23
80:16
75:25
60:15
96:16
Цель задания — повторить приемы устного деления. При выполнении задания
важно, чтобы дети комментировали свои действия. А именно: при делений на однозначное число делимое нужно представить в виде суммы слагаемых, каждое из которых делится на это число. В одном случае эти слагаемые могут быть разрядными
(99 : 9), а в другом — нет (64 : 4). Подбирая слагаемые для второго случая, можно
ориентироваться на делитель. При делении двузначного числа на двузначное следует использовать способ подбора.
Вычисли значения частных в первом столбце. Пользуясь тем же способом вычислений, найди значения выражений во втором и третьем столбцах.
84:4
884:4
4884:4
42:2
642:2
4648:4
96:3
396:3
9396:3
64:2
264:2
4264:2
Ребята легко справляются с первым столбцом, представляя делимое в виде
суммы разрядных слагаемых и пользуясь правилом деления суммы на число.
Этот же способ они используют при вычислении выражений второго и третьего
столбцов. Возможен такой комментарий: делим сотни на число, затем десятки, затем единицы. В случае, например 884 : 4, в результате получаем 2 сотни, 2 десятка,
1 единицу.
Для самостоятельной работы можно предложить учащимся продолжить второй
и третий столбцы выражений по тому же правилу, т. е. придумать такие выражения
на деление трехзначного числа на однозначное (второй столбец), в которых разрядные единицы делимого делятся на однозначное число.
203
На подготовительном этапе к знакомству с алгоритмом письменного деления
полезны и такие задания:
Сравни записи деления слева и справа. Чем они похожи? Чем отличаются?
Догадайся: как выполнено деление справа?
а)_50|7
б)_504|7
Л П I "7
4_9_'7
49
72
1 ост.
_1 4
14
О
Сравни свой ответ с рассуждениями Миши.
Я думаю, что справа мы тоже сначала делим число 50 на 7. Только это не
50 единиц, а 50 десятков, поэтому цифра 7 в частном обозначает
7 десятков и в остатке получается 1 десяток. Но в числе 504 есть ещё
4 единицы. Поэтому мы должны разделить на 7 число 1 дес. и 4 ед. Делим
14 на 7, получаем 2. Остаток равен нулю. Значит,
504:7=72.
CM CM |
Попробуй сам объяснить, как выполнено деление:
291 4
96I |4
28lT
1 OCT.
3 84 [ 9
3 6 |4~2
24
18
6 OCT.
38I9
З6Г4
2 ост.
8 IГ74
16
16
0
3 843I 9
36 I427
24
18
63
63
0
Эти задания также можно использовать для постановки учебной задачи.
Их обсуждение окажется полезным и для восприятия, и для усвоения алгоритма
письменного деления.
Особенно важно уделить внимание соотнесению записи деления «уголком» с приемом устного деления, в основе которого лежит свойство деления суммы на число.
Главное, чтобы ученики поняли: делимое нужно представить в виде суммы двух
или трех слагаемых , каждое из которых делится на делитель.
Рекомендуем сначала фронтально обсудить возможные варианты представления делимого в виде суммы двух или трех слагаемых и сделать на доске записи.
Например:
275 : 5 = (250 + 25): 5
378: 6 = (360+18): 6
465: 5 = (450+15): 5
3792:6 = (3600+180
204
12):6
Применяя правило деления суммы на число, дети вычисляют значения выражений самостоятельно, выполняя записи в тетрадях, и сравнивают их с записями
деления «уголком»:
_46515_
,379216
_275|5_
_378|
378|6_
36
ГбЗ
45_193
36_ Г632
25_Г55~
36_Г
15
_19
25
18
18
12
Полученные результаты полезно проверить, выполнив в тетрадях умножение
«в столбик»:
55
63
632
х г-
Таким образом, задание не только предоставляет учащимся возможность
упражняться в устных и письменных вычислениях, но и перенести известный им
способ действия деления двузначного числа на однозначное на случаи деления
трехзначных и четырехзначных чисел на однозначное число. Естественно, большинство ребят не смогут легко справиться с этой задачей, поэтому возникает необходимость (так же, как при сложении, вычитании и умножении многозначных чисел)
познакомить детей с новым способом действия (алгоритмом деления многозначного числа на однозначное).
Усвоение нового способа действия и является той учебной задачей, которую
ученики решают с помощью учителя.
Приведем задание, ориентируясь на которое учитель может организовать деятельность класса при знакомстве с алгоритмом письменного деления.
На доске записано выражение: 384512:8.
1) Начиная с высшего разряда, выдели в записи делимого такое число, при
делении которого на данный делитель ты получишь однозначное число, не равное
нулю. Это число называется первое неполное делимое. Определи, какие разрядные единицы оно обозначает.
Миша: Я понял! Число 3 не подходит, так как
3:8=0(ост.З),
значит, первое неполное делимое 38. Оно обозначает десятки тысяч.
2) Определи количество цифр в значении частного. Это поможет тебе контролировать свои действия. Можешь обозначить эти цифры точками.
Маша: Я думаю, в частном получится число, в котором 5 цифр, так как первое
неполное делимое обозначает десятки тысяч.
Поэтому первая цифра в частном будет тоже обозначать десятки тысяч. Если
в числе есть десятки тысяч, значит, оно содержит и разряды тысяч, сотен, десятков
и единиц. Я выполню такую запись:
38451218
205
3) Подбирай первую цифру частного, т. е. дели 38 на 8 и находи остаток.
Помни, что остаток должен быть меньше делителя.
Маша: Это просто! 38:8=4 (ост. 6), 6<8. Я запишу это «уголком» так:
_38451218
32
\Л~~.
6
4) Запиши цифру следующего разряда рядом с остатком. Вот так:
38451218
32
U
64
У тебя получилось число 64. Это второе неполное делимое. Оно обозначает тысячи и состоит из остатка и единиц следующего низшего разряда.
Выполни со вторым неполным делимым те же операции 3) и 4), что и с первым
неполным делимым.
Миша: Нужно разделить 64 на 8 и найти остаток. Остаток равен нулю. Записываю рядом с остатком единицы следующего разряда. Получаю 05. Так как начиная с
нуля число не записывают, то цифру нуль в остатке можно не писать.
Третье неполное делимое равно числу 5. Оно обозначает сотни. Я запишу это так:
_38451218
32
|48 . ..
_64
64
Выполни с третьим неполным делимым такие же операции, как с первым и со
вторым неполным делимым.
Маша: Делю 5 на 8. Получаю 0 и в остатке 5. Записываю это так:
_ 38451218
32
64
64
Миша: Теперь нужно записать цифру следующего низшего разряда рядом с
остатком. Получим четвертое неполное делимое. Оно обозначает десятки. Его
опять делим на 8 и находим остаток:
_384512|8
32
64
64
5
0
51
48.
3
206
Маша: Последнее неполное делимое — 32. Оно обозначает единицы. Опять выполняю с ним операции 3) и 4).
Я запишу это так:
_384512|8
32
_64
64
_5
0_
_51
48_
_32
32
О
В остатке нуль. Деление закончено. Можно записать равенство:
384512:8=48064
Проверим умножением, верно ли вычислено значение частного:
48064-8=384512
Результаты проведенной работы можно обобщить в памятке:
1) Выделяю первое неполное делимое и объясняю, какие разрядные единицы
оно обозначает.
2) Определяю количество цифр в значении частного.
3) Подбираю первую цифру в значении частного.
4) Умножаю число, записанное этой цифрой, на делитель.
5) Вычитаю полученный результат из неполного делимого и нахожу остаток.
6) Записываю цифру следующего разряда делимого рядом с остатком. Получаю второе неполное делимое и повторяю пункты 3), 4), 5), 6).
При усвоении общего способа действия (алгоритма письменного деления)
учащиеся рассматривают различные случаи деления. Важно, чтобы задания были
направлены не только на получение результата, но и на анализ предлагаемых выражений с точки зрения тех операций, которые входят в алгоритм письменного деления.
Например:
Выпиши выражения, значения которых содержат: а) две цифры; б) три цифры;
в) четыре цифры.
125:5
6123:3
1635:5
2712:4
75:5
413:7
21007:7
1089:9
24516:9
Проверь свои ответы, выполнив вычисления.
Для определения количества цифр в частном школьники выделяют первое неполное делимое и, пользуясь знанием десятичного состава числа, называют коли207
чество цифр в частном (125:5. Первое неполное делимое 12 д е с , значит, первая
цифра в частном обозначает десятки. Частное содержит две цифры.)
Только после выполнения первой части задания ученики приступают ко второй
его части — вычислению результата способом деления «уголком».
Объясни, почему при делении одного и того же числа на однозначное число в
одном случае получается шестизначное число, а в другом пятизначное:
357675:3=119225
357675:5=71535
Выполни деление «уголком».
Последующие задания также требуют от детей прежде всего осмысления операций, входящих в алгоритм, а затем уже выполнения вычислений. Например:
Верно ли утверждение, что если в делимом в разряде единиц стоит цифра О,
то в значении частного в разряде единиц тоже получится О?
Проверь свой ответ, вычислив значения выражений:
5280:3
22680:9
6440:7
4680:8
8370:9
7490:7
17490:5
7110:6
Выполни деление: 1534:9
Маша действовала так:
153419
9 I 17
63
63
4 ост.
Миша — так:
1534 9
9 П70
63
63
4 ост.
Кто прав: Миша или Маша?
I- —
Догадайся! Какое из чисел, записанных справа, является значением каждого
выражения:
5742:638
7
6768:846
8
4256:532
9
7595:217
31
9858:318
14
208
5264:752
35
2002:143
25
9300:372
6
4788:532
21522:3587
Проверь себя, выполнив деление «уголком» и на калькуляторе.
Можешь ли ты записать значения всех выражений, не выполняя деления
«уголком»?
926926:926
574574:574
302302:302
565656:56
13451345:1345
18181818:18
Проверь себя, выполнив деление «уголком».
Не вычисляя значений выражений, разбей их на две группы:
18144:756
19920:83
10116:12
52140:395
93177:609
27744:68
24660:548
11999:13
Не вычисляя значений выражений, поставь знаки < или >, чтобы получились
верные неравенства:
77875:35 ... 89936:73
136576:44... 254877:53
77875:35... 254877:53
136576:44... 89936:73
Пользуясь записью слева, найди значения выражений справа:
_25623|34_
34-700
238 (753
34-50
_182
34-3+21
170
25623:753
_ 123
102
21
Задание 81. Подберите или составьте сами задания, которые вы можете предложить детям для овладения алгоритмом письменного деления.
8-12726 Истомина
209
ГЛАВА 6
ОБУЧЕНИЕ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
§ 1. ПОНЯТИЕ «ЗАДАЧА» В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
Любое математическое задание можно рассматривать как задачу, выделив в
нем условие, т. е. ту часть, где содержатся сведения об известных и неизвестных
значениях величин, об отношениях между ними, и требование (т. е. указание на то,
что нужно найти).
Рассмотрим примеры математических заданий из курса начальных классов:
Поставь знаки <, >, =, чтобы получились верные записи: 3 ... 5, 8 ... 4.
Условие задачи — числа 3 и 5, 8 и 4. Требование — сравнить эти числа.
Реши уравнение: х + 4 = 9.
В условии дано уравнение. Требование — решить его, т. е. подставить вместо х
такое число, чтобы получилось истинное равенство.
Выбери из данных фигур те, из которых можно сложить прямоугольник.
Здесь в условии даны треугольники. Требование — сложить прямоугольник.
Для выполнения каждого требования применяется определенный метод или
способ действия, в зависимости от которого выделяют различные виды математических задач: на построение, доказательство, преобразование, комбинаторные задачи, арифметические и т. д.
В начальном курсе математики понятие «задача» обычно используется, когда
речь идет об арифметических задачах. Они формулируются в виде текста, в котором находят отражение количественные отношения между реальными объектами.
Поэтому их называют текстовыми, сюжетными, вычислительными.
При обучении младших школьников математике решению этих задач уделяется
большое внимание, что обусловлено следующим:
• В сюжетах находят отражение практические ситуации, имеющие место в жизни ребенка. Это помогает ему осознать реальные количественные отношения между различными объектами (величинами) и тем самым углубить и расширить свои
представления о реальной действительности.
• Решение задач позволяет ребенку осознать практическую значимость тех
математических понятий, которыми он овладевает в начальном курсе математики.
• В процессе их решения у ребенка можно формировать общие умения: выделять данные и искомое, условие и вопрос, устанавливать зависимость между ними,
строить умозаключения, моделировать, проверять полученный результат.
210
§ 2. СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
Понятие «решение задачи» можно рассматривать с различных точек зрения:
решение как результат, т. е. как ответ на вопрос, поставленный в задаче, и решение
как процесс нахождения этого результата. С точки зрения методики обучения решению задач на первый план выступает процесс нахождения результата, который,
в свою очередь, тоже можно рассматривать с различных точек зрения. Во-первых,
как способ нахождения результата и, во-вторых, как последовательность тех действий, которые входят в тот или иной способ.
Рассмотрим различные способы решения текстовых задач на конкретном примере:
Восемь яблок разложили по 2 на несколько тарелок. Сколько понадобилось
тарелок?
Учащиеся могут решить эту задачу, не имея никакого представления о делении
и о записи этого действия, а только опираясь на свой жизненный опыт и владея счетом от 1 до 8. Для этого они отсчитают 8 яблок, положат 2 на одну тарелку, затем 2
на другую и т. д., пока не разложат все. Посчитав количество тарелок, ответят на поставленный вопрос. Такой способ решения можно назвать практическим, или предметным. Его возможности ограничены, так как дети могут выполнить предметные
действия только с небольшими количествами. Усвоив смысл действия деления и
его запись, можно решить эту задачу уже не практическим, а арифметическим способом, записав равенство: 8:2 = 4.
Решить эту же задачу можно алгебраическим способом, рассуждая так: «Число
тарелок не известно, обозначим их буквой х. На каждой тарелке 2 яблока, значит,
число всех яблок — это 2*х. Так как в условии известно, что число всех яблок 8, то
можно записать уравнение 2 Х = 8 И решить его: х- 8:2, х = 4.
Ту же задачу можно решить графическим способом, изобразив каждое яблоко
отрезком. Этот способ решения близок к практическому, но носит более абстрактный характер и требует специального разъяснения.
Ф
Задание 82. Решите различными способами (практическим, арифметическим, алгебраическим, графическим) следующую задачу: «В гараже стояло 10 машин. После того как несколько машин уехало, осталось 6. Сколько машин выехало
из гаража?»
Задачи, в которых для ответа на вопрос нужно выполнить только одно действие,
обычно называют простыми. Если для ответа на вопрос задачи нужно выполнить два
и более действий, то такие задачи называют составными. Составную задачу, так же
как и простую, можно решить, используя различные способы.
8*
211
Рыбак поймал 10 рыб. Из них 3 леща, 4 окуня, остальные — щуки. Сколько щук
поймал рыбак?
Практический способ
Обозначим каждую рыбу кругом. Нарисуем 10 кругов и обозначим пойманных
рыб: л — лещи, о — окуни.
Э000000ООО
Для ответа на вопрос задачи можно не выполнять арифметические действия, т. к.
количество пойманных щук соответствует тем кругам, которые не обозначены (их 3).
Арифметический способ
1) 3 + 4 = 7 (р.) — пойманные рыбы;
2) 10-7 = 3 (р.) —щуки.
Для ответа на вопрос задачи мы выполнили два действия.
Алгебраический способ
Пусть х — пойманные щуки. Тогда количество всех рыб можно записать выражением: 3 + 4 + х — все рыбы.
По условию задачи известно, что рыбак поймал всего 10 рыб. Значит: 3 + 4 + х=10.
Решив это уравнение, мы ответим на вопрос задачи.
Графический способ
лещи
окуни
»
щуки
»
«
Этот способ, так же как и практический, позволяет ответить на вопрос задачи,
не выполняя арифметических действий.
В числе способов решения задач можно назвать схематическое моделирование. В отличие от графического способа решения, который позволяет ответить на
вопрос задачи, используя счет и присчитывание, схема моделирует только связи и
отношения между данными и искомыми. Эти отношения не всегда возможно, а порой даже нецелесообразно представлять в виде символической модели (выражение, равенство). Тем не менее моделирование текста задачи в виде схемы иногда
позволяет ответить на вопрос задачи.
Покажем это на конкретных примерах:
В двух вагонах ехали пассажиры, по 36 человек в каждом вагоне. На станции
из первого вагона вышло несколько человек, а из второго вагона вышло столько,
сколько осталось в первом. Сколько всего пассажиров осталось в двух вагонах?
212
В данном случае схема выступает как способ и как форма записи решения задачи.
_ Вышло
Осталось
Осталось
Вышло
Ответ: в двух вагонах осталось 36 человек.
Если цену учебника уменьшить в 3 раза, то получим цену блокнота. Блокнот в
три раза дороже тетради. Краски в 9 раз дороже тетради. Хватит ли денег, которые
мама дала для покупки учебника, на покупку красок?
Ответ на вопрос задачи можно получить, если с помощью отрезков смоделировать данные в задаче отношения.
у. •
•
•
•
Б. •Т. •К. •-
Ответ: денег на покупку красок хватит.
Применяя знания о математических отношениях, маленькие школьники с удовольствием решают такие задачи.
Возможен и комбинированный способ. В этом случае для записи решения задачи могут быть использованы одновременно схема и числовые равенства.
Например:
Когда из гаража выехало 18 машин, в нем их осталось в три раза меньше, чем
было. Сколько машин было в гараже?
Решение этой задачи арифметическим способом довольно сложно для ребенка. Но если начертить схему, то от нее легко перейти к записи арифметического
действия. В этой задаче запись решения будет иметь вид:
Осталось
•
•
Было
1) 18:2=9 (м.)
2) 9-3=27 (м.)
Ответ: 27 машин было в гараже.
18м
В альбоме для раскрашивания 48 листов. Часть альбома Коля раскрасил.
Сколько листов осталось нераскрашенными, если Коля раскрасил в 2 раза больше,
чем ему осталось?
Решение задачи можно оформить так:
48:3=16 (л.)
Ответ: 16 листов.
Раскрасил •
•
Осталось
•
•
•
213
Задание 83. Подберите или сами составьте задачи, для которых схема является формой записи их решения.
§ 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ АРИФМЕТИЧЕСКИМ СПОСОБОМ
Начальный курс математики ставит своей основной целью научить младших
школьников решать задачи арифметическим способом, который сводится к выбору
арифметических действий, моделирующих связи между данными и искомыми величинами. Решение задач в этом случае оформляется в виде последовательности
числовых равенств, к которым даются пояснения, или числовым выражением.
В начальных классах используются различные формы записи решения задач
арифметическим способом: по действиям; по действиям с пояснением; с вопросами; выражением.
Например:
У мальчика было 90 книг. 28 он поставил на первую полку. 12 — на вторую,
остальные — на третью. Сколько книг на третьей полке?
а) Решение по действиям:
1)28+12=40 (к.)
2) 90-40=50 (к.)
Ответ: 50 книг на третьей полке.
б) По действиям с пояснением:
1) 28+12=40 (к.) — на первой и второй полках вместе,
2) 90-40=50 (к.) — на третьей полке.
Ответ: 50 книг.
в) С вопросами:
1) Сколько книг на первой и второй полках вместе? 28+12=40 (к.)
2) Сколько книг на третьей полке? 90-40=50 (к.)
Ответ: 50 книг на третьей полке,
г) Выражением:
90-(28+12)
При записи решения задачи выражением можно вычислить его значение. Тогда
запись решения задачи будет выглядеть так: 90-(28+12)=50 (к.)
Ответ: 50 книг на третьей полке.
Не следует путать такие понятия, как: решение задачи различными способами
(практический, арифметический, графический, алгебраический); различные формы записи арифметического способа решения задачи (по действиям, выражением,
по действиям с пояснением, с вопросами) и решение задачи различными арифметическими способами. В последнем случае речь идет о возможности установления
214
различных связей между данными и искомыми, а следовательно, о выборе других
действий или другой их последовательности для ответа на вопрос задачи.
Например, рассмотренную выше задачу можно решить другим арифметическим способом:
1) 90-28 = 62 (к.) — на второй и третьей полке,
2) 62-12 = 50 (к.) — на третьей полке.
Ответ: 50 книг на третьей полке.
В качестве арифметического способа можно рассматривать и такое решение
этой задачи:
1) 90-12 = 78 (к.) — на первой и третьей полке,
2) 78-28 = 50 (к.) — на третьей полке.
Ответ: 50 книг на третьей полке
Задание 84. Учитель предложил решить различными способами задачу:
Из двух городов, расстояние между которыми 520 км, вышли навстречу друг
другу два поезда и встретились через 4 часа. Один поезд шел со скоростью 60 км/ч.
С какой скоростью шел второй поезд?
Рассмотрите два варианта выполнения этого задания. Какой вы считаете верным? Ответ надо обосновать.
1-й вариант
1-й способ:
1)60-4=240 (км),
2) 520-240=280 (км),
3) 280:4=70 (км/ч).
2-й вариант
1-й способ:
1)60-4=240 (км),
2) 520-240=280 (км),
3) 280:4=70 (км/ч).
2-й способ:
(520-60-4):4.
2-й способ:
1)520:4=130 (км/ч),
2) 130-60=70 (км/ч).
Выполните это же задание по отношению к задаче:
У одной закройщицы было 15 м ткани, у другой — 12 м. Из всей ткани они скроили платья, расходуя на каждое по 3 м. Сколько всего платьев они скроили?
1-й вариант
1-й способ:
1) 15+12=27 (м),
2) 27: 3=9 (п.).
Ответ: 9 платьев скроили.
2-й способ:
15:3+12:3
Ответ: 9 платьев скроили.
215
2-й вариант
1-й способ:
1)15:3=5 (п.),
2) 12:3=4 (п.),
3)5+4=9 (п.).
Ответ: 9 платьев скроили.
2-й способ:
15:3+12:3
Ответ: 9 платьев скроили
Задание 85. Подберите задачи, которые можно решить различными арифметическими способами.
§ 4. РАЗЛИЧНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫ К ФОРМИРОВАНИЮ УМЕНИЯ
РЕШАТЬ ЗАДАЧИ
Вопросотом, как научить детей устанавливать связи между данными и искомыми в текстовой задаче и в соответствии с этим выбрать, а затем выполнить арифметические действия, решается в методической науке по-разному.
Тем не менее все многообразие методических рекомендаций, связанных с обучением младших школьников решению задач, целесообразно рассматривать с точки зрения двух принципиально отличающихся друг от друга подходов.
Один подход нацелен на формирование у детей умения решать определенные
типы задач, сначала простых, а затем составных. В русле этого подхода простая задача является основным средством формирования понятий (смысл сложения, увеличить на ..., уменьшить на ..., разностного сравнения). В связи с этим к решению
простых задач ребята приступают уже в первой четверти первого класса. На этом
этапе решение простой задачи происходит как выполнение предметной операции,
и ученик не осознает, что в данном случае он произвел то или иное арифметическое
действие. При этом следует отметить, что, соотнося данное учителем описание
(текст задачи) и его предметную иллюстрацию, дети могут ответить на вопрос задачи и не выполняя арифметического действия, а используя счет предметов. Другими
словами, выбор арифметического действия и запись решения задачи не воспринимаются ребенком как осознанная необходимость.
Поэтому главным способом организации деятельности младших школьников
является показ образца решения задачи и его закрепление в процессе выполнения
однотипных упражнений (задач).
В результате отводится много учебного времени процедуре оформления решения как можно большего количества текстовых задач в ущерб обсуждению процесса
их решения, к которому маленькие школьники пока не готовы. Не готовы учащиеся
и к выбору арифметического действия, которое является решением задачи, так как
представления о них только формируются в ходе решения простых задач. Другими
словами, дети должны выбирать арифметическое действие для решения задачи, не
имея о нем представления, а опираясь только на житейский опыт.
Следует отметить и другую противоречивую особенность данного подхода, суть
которой заключается в том, что, знакомя первоклассников со структурой задачи
216
(условие, вопрос, известные, неизвестные), используют однообразные текстовые
конструкции, которые всегда начинаются с условия, содержащего данные или известные, затем всегда следует вопрос, содержащий неизвестное.
Получается, что в основе механизма решения простых задач лежит опознание
ребенком образцов условий уже известных ему типов задач. Деятельность по решению простой задачи в таком случае носит репродуктивный характер. Отсюда не
случайно появление в методике такого термина, как «навык решения задач».
Преобладающим методом обучения решению составных задач также является
«показ способов решения определенных видов задач и значительная, порой изнурительная практика по овладению ими». Поэтому многие школьники решают задачи
лишь по образцу. А встретившись с задачей незнакомого типа (вида), заявляют:
«А мы такие задачи не решали»1.
Цель другого подхода — научить детей выполнять семантический и математический анализ текстовых задач, выявлять взаимосвязи между условием и вопросом,
данными и искомыми и представлять эти связи в виде схематических и символических моделей. Этот подход сориентирован на формирование обобщенных умений:
читать задачу, выделять условие и вопрос, устанавливать взаимосвязь между ними,
осознанно использовать математические понятия при выборе арифметических
действий для ответа на вопрос задачи.
Процесс решения задач (простых и составных) рассматривается при этом как
переход от словесной модели к модели математической или схематической.
Естественно, учащиеся должны быть подготовлены к такой деятельности. Отсюда следует, что знакомству с текстовой задачей должна предшествовать специальная работа по формированию математических понятий и отношений, которые
будут использоваться при решении текстовых задач.
Так как процесс решения задач связан с выделением посылок и построением
умозаключений, необходимо научить младших школьников (до знакомства с задачей) тем логическим приемам мышления (анализ и синтез, сравнение, обобщение),
которые развивали бы их мыслительную деятельность, связанную с предстоящей
работой.
К этому времени учащимся также необходимо приобрести определенный опыт
в соотнесении предметных, текстовых, схематических и символических моделей,
который они смогут использовать для интерпретации текстовой модели.
Таким образом, готовность школьников к знакомству с текстовой задачей предполагает сформированность:
а) навыков чтения;
б) представлений о смысле действий сложения и вычитания, их взаимосвязи,
понятий «увеличить (уменьшить) на ...», разностного сравнения (для этой цели используется не решение простых типовых задач, а соотнесение предметных, вербальных, графических, схематических и символических моделей);
в) основных мыслительных операций (анализ и синтез, сравнение, обобщение);
1
Фридман Л.М., Турецкий Е.И. Как научиться решать задачи. — М., 1989.
217
г) умения описывать предметные ситуации и переводить их на язык схем и математических символов;
д) умения чертить, складывать и вычитать отрезки;
е) умения переводить текстовые ситуации в предметные и схематические модели.
Задание 86. Подберите или сами составьте задания, в процессе выполнения
которых у детей формируется готовность к знакомству с текстовой задачей.
Задание 87. Подберите или сами составьте задания, при выполнении которых
учащиеся переводят а) текстовую модель в предметную, б) графическую модель в
символическую; в) текстовую модель в графическую; г) текстовую модель в схематическую.
§ 5. МЕТОДИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ ОБУЧЕНИЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ
РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Работа, проведенная на подготовительном этапе к знакомству с текстовой задачей, позволяет организовать деятельность учащихся, направленную на усвоение
структуры задачи и на осознание процесса ее решения.
При этом существенным является не отработка умения решать определенные
типы (виды) текстовых задач, а приобретение опыта в семантическом и математическом анализе различных текстовых конструкций задач и формирование умения
представлять их в виде схематических и символических моделей.
Средством организации этой деятельности являются специальные обучающие
задания, включающие методические приемы сравнения, выбора, преобразования,
конструирования.
Усвоению структуры задачи помогает прием сравнения текстов задач. Для этой
цели предлагаются задания:
Чем похожи тексты задач? Чем отличаются? Какую задачу ты можешь решить?
Какую не можешь? Почему?
а) На одном проводе сидели ласточки, а на другом — 7 воробьев. Сколько всего
сидело птиц на проводах?
б) На одном проводе сидело 9 ласточек, а на другом 7 воробьев. Сколько всего
сидело птиц на проводах?
Подумай! Будут ли эти тексты задачами?
а) На одной тарелке 3 огурца, а на другой — 4. Сколько помидоров на двух тарелках?
б) На клумбе росло 5 тюльпанов и 3 розы. Сколько тюльпанов росло на клумбе?
Сравни тексты задач. Чем они похожи? Чем отличаются? Верно ли утверждение, что решения этих задач будут одинаковыми?
218
а) Возле дома росло 7 яблонь и 3 вишни. Сколько фруктовых деревьев росло
возле дома?
б) Возле дома росло 7 яблонь, 3 вишни и 2 березы. Сколько фруктовых деревьев росло возле дома?
Сравни тексты задач. Чем они похожи? Чем отличаются?
а) Из бочки взяли 10 ведер воды. Сколько ведер воды осталось в бочке?
б) В бочке 40 ведер воды. Сколько ведер воды осталось в бочке?
В приведенных примерах использованы тексты задач: а) с недостающими и
лишними данными; б) с противоречивым условием и вопросом; в) с вопросом,
в котором спрашивается о том, что уже известно.
Эти задания позволяют школьникам сделать первые шаги в осмыслении структуры задачи.
Задание 88. Подберите или сами составьте задания, в процессе выполнения
которых дети учатся анализировать текст задачи.
С целью формирования умения выбирать арифметические действия для решения задач предлагаются задания, в которых используются приемы:
1) Выбор схемы
В портфеле 14 тетрадей. Из них 9 в клетку, остальные в линейку. Сколько тетрадей в линейку лежит в портфеле?
14
Маша нарисовала к задаче такую схему:
9
Миша
- такую:
Кто из них невнимательно читал текст задачи?
2) Выбор вопросов
От проволоки длиной 15 дм отрезали сначала 2 дм, потом еще 4 дм.
Подумай! На какие вопросы можно ответить, пользуясь этим условием:
— Сколько всего дециметров проволоки отрезали?
— На сколько дециметров меньше отрезали в первый раз, чем во второй?
— На сколько дециметров проволока стала короче?
— Сколько дециметров проволоки осталось?
3) Выбор выражений
На велогонках стартовало 70 спортсменов. На первом этапе с трассы сошли
4 велосипедиста, на втором — 6. Сколько спортсменов пришло к финишу?
219
Выбери выражение, которое является решением задачи:
6+4
6-4
70-6
70-6-4
70-4-6
70-4
4) Выбор условия к данному вопросу
Подбери условия к данному вопросу и реши задачу.
Сколько всего детей занимается в студии?
а) В студии 30 детей, из них 16 мальчиков.
б) В студии мальчики и девочки. Мальчиков на 7 меньше, чем девочек.
в) В студии 8 мальчиков и 20 девочек.
г) В студии 8 мальчиков, а девочек на 2 больше.
д) В студии занимаются 8 мальчиков, а девочек на 2 меньше.
5) Выбор данных
На аэродроме было 75 самолетов. Сколько самолетов осталось?
Выбери данные, которыми можно дополнить условие задачи, чтобы ответить на
поставленный в ней вопрос:
а) Утром прилетело 10 самолетов, а вечером улетело 30.
6) Улетело на 20 самолетов больше, чем было,
в) Улетело сначала 30 самолетов, а потом 20.
б) Изменение текста задачи в соответствии с данным решением
Подумай! Что нужно изменить в текстах задач, чтобы выражение 9-6 было
решением каждой?
а) На двух скамейках сидели 6 девочек. На одной из них 9. Сколько девочек сидело на второй скамейке?
б) В саду 9 кустов красной смородины, а кустов черной смородины на 6 больше.
Сколько кустов черной смородины в саду?
в) В гараже 9 легковых машин и 6 грузовых. Сколько всего машин в гараже?
7) Постановка вопроса, соответствующего данной схеме
Коля выше Пети на 20 см, а Петя выше Вовы на 7 см. Рассмотри схему и подумай, на какой вопрос можно ответить, пользуясь данным условием.
20 см
В. •-
220
8) Объяснение выражений, составленных по данному условию
Фермер отправил в магазин 45 кг укропа, петрушки на 4 кг больше, чем укропа, и 19 кг сельдерея. Сколько всего килограммов зелени отправил фермер в магазин? Что обозначают выражения, составленные по условию задачи:
45-19
45+19
45+4
45-4
9) Выбор решения задачи
Курица легче зайца на 4 кг, а заяц легче собаки на 8 кг. На сколько собака тяжелее курицы? На сколько курица легче собаки?
Маша решила эту задачу так: 8+4=12 (кг)
к.»
•
А Миша — так: 8-4 = 4 (кг).
3. •Кто прав: Миша или Маша?
Для самостоятельной работы учащихся можно использовать карточки с заданиями 1 , при выполнении которых у детей формируются умения анализировать условие задачи, устанавливать взаимосвязь между условием и вопросом и соотносить
различные виды моделей.
Например:
Карточка 1
а) Прочитай условие задачи:
В букете 3 красных розы, 4 белых и 2 жёлтых.
б) Используя данное условие, запиши выражением ответ на каждый вопрос.
1. Сколько красных и жёлтых роз в букете?
2. Сколько красных и белых роз в букете?
3. Сколько белых и жёлтых роз в букете?
4. На сколько меньше красных роз, чем белых?
5. На сколько больше красных роз, чем жёлтых?
6. На сколько больше белых роз, чем жёлтых?
7. На сколько меньше жёлтых роз, чем красных?
8. Сколько всего роз в букете?
Карточка 2
а) Рассмотри схему:
20
б) Используя данную схему, вставь пропущенные в задаче слова и числа.
На одной стороне улицы ... домов, а на другой на ... дом
Сколько всего домов на улице?
в) Запиши решение задачи:
Истомина Н.Б. Учимся решать задачи. 1—2 классы. — М., 2004.
221
Карточка 3
а) Рассмотри схему:
12
36
б) Используя схему, вставь пропущенные в тексте задачи слова и числа:
В автобусе ... мест. Детьми занято ... мест. Взрослыми занято ... мест.
Сколько свободных мест в автобусе?
в) Закончи решение задачи разными способами:
1-й способ:
2-й способ:
3-й способ:
1)12+8=
1)36-12=
1)36-8=
Ответ:
Ответ
Ответ
г) Используя условие данной задачи, ответь на вопросы:
1. Кого в автобусе больше — детей или взрослых — и на сколько?
2. На сколько свободных мест больше, чем мест, занятых детьми?
3. На сколько свободных мест больше, чем мест, занятых взрослыми?
Карточка 4
Вставь пропущенные в текстах задач числа, чтобы выражение 7-5 являлось
решением каждой задачи.
а) В вазе лежало ... яблок и ... груш. На сколько больше было яблок, чем
груш?
б) В вазе лежало ... яблок. Из них ... красных, остальные зелёные.
Сколько зелёных яблок в вазе?
в) В вазе лежало ... яблок и ... груш. За обедом съели все груши и ...
яблок. Сколько фруктов осталось в вазе?
Карточка 5
а) Прочитай задачу.
Собака пробежала от колодца до дома 40 метров, а потом в противоположном направлении пробежала 65 м. На каком расстоянии от колодца
находится собака?
б) Обозначь на схеме известные и неизвестные величины:
в) Запиши решение задачи:
222
Карточка 6
Вставь пропущенные в тексте числа и слова, используя решение данной задачи:
1)30+ 12 = 42 (д.)
2) 42+ 30 = 72 (д.)
Лесник посадил ... дубков, а елей — на ... . Сколько всего деревьев посадил лесник?
Карточка 7
а) Вставь пропущенные в задаче слова, чтобы она соответствовала схеме.
ч.
с. •
Б.
В хозяйстве у дедушки белые, серые и чёрные кролики. Чёрных кроликов на
чем серых, и на
, чем белых. Насколько
больше белых кроликов, чем серых?
б) Запиши решение задачи:
Задание 89. Подберите или составьте сами для самостоятельной работы учащихся задания, в которых используются различные методические приемы обучения решению задач.
Предлагая для самостоятельной работы на уроке решение задач, учитель может пользоваться различными сочетаниями методических приемов.
Например, детям нужно самостоятельно решить задачу:
За лето первоклассники собрали 8 кг лекарственных трав, второклассники — на
4 кг больше первоклассников, а третьеклассники — на 3 кг меньше второклассников. Сколько килограммов лекарственных трав собрали третьеклассники?
Прочитав задачу (это делает учитель или кто-то из детей), учащиеся приступают к ее решению. Учитель может ограничиться только одной рекомендацией: «Если
вы нарисуете схему, соответствующую данной задаче, то это поможет вам решить
ее». На самостоятельное решение задачи отводится время (7—10 мин). Учитель
только наблюдает за деятельностью класса, не давая при этом никаких указаний и
советов.
После того как истечет время самостоятельной работы, педагог говорит детям:
«Я наблюдала за вашей работой. Некоторые из вас нарисовали схемы, другие —
223
сразу записали решения. Давайте обсудим их». Учитель или ученики рисуют на
доске схемы. Среди них могут быть как верные, так и неверные; все верные или все
неверные.
Учащиеся отвергают или принимают каждую схему, обозначая на ней данные,
соответствующие условию задачи.
Можно записать на доске различные решения:
а) 1)8+4=12 (кг)
б) 1) 8-4=4 (кг)
в) 1) 8+4=12 (кг)
2) 4-3=1 (кг)
2) 12+3=15 (кг)
г) 1)8+4=12 (кг)
д) 1)8+4=12 (кг)
2) 12-3=9 (кг)
2) 8-3=5 (кг)
Анализируя каждое решение, дети выявляют допущенные ошибки.
Работу с задачей можно продолжить, используя для этой цели другие методические приемы: выбора и постановки вопросов к данному условию, изменения
условия в соответствии сданным решением.
В одном случае учитель предлагает выбрать вопросы, на которые можно ответить, используя данное условие:
— Сколько килограммов лекарственных трав собрали первоклассники и второклассники?
— Сколько килограммов лекарственных трав собрали все классы?
— На сколько меньше килограммов лекарственных трав собрали первоклассники, чем второклассники? (На вопрос можно ответить, не выполняя арифметического действия.)
— На сколько больше килограммов лекарственных трав собрали второклассники, чем первоклассники?
— Кто собрал трав больше, третьеклассники или первоклассники, и на сколько?
— Сколько килограммов лекарственных трав собрал первый класс? И т. д.
В другом случае дети формулируют эти вопросы сами.
Или учитель предлагает изменить условие задачи, чтобы она решалась, например, так:
а) 1)8-4=4 (кг)
б) 1)8+4=12 (кг)
в) 1) 8-4=4 (кг)
2)4+3=7(кг)
2) 12+3=15(кг)
2)4-3=1 (кг)
Рассмотрим возможные варианты фронтальной работы на примере конкретной
задачи.
В трамвае ехало 40 пассажиров. На каждой остановке выходило 7 человек, а
входило в 2 раза больше. Сколько пассажиров оказалось в трамвае после третьей
остановки?
Для осознания учащимися текста задачи учитель записывает на доске выражения и предлагает объяснить, что они обозначают.
224
40-7
7-2
40-7-7
(40-7)+7-2
40-7-7-7
7-2-2
7-2-3
Прием объяснения выражений можно дополнить или заменить приемом обсуждения решений. Для этого учитель записывает на доске различные варианты решения задачи (верные, неверные, полные, неполные) и обращается к детям с вопросом:
— На какие вопросы я отвечу, выполнив эти действия? (Действия записываются
на доске без пояснений.)
а) 1) 7-2=14(ч.) — входило на каждой остановке,
2) 40-7=33 (ч.) — осталось в трамвае после того, как вышло 7 человек,
3) 33+14=47 (ч.) — оказалось в трамвае после первой остановки.
б) 1) 7-3=21 (ч.) — вышел на трех остановках,
2) 40-21=19 (ч.) — осталось бы в трамвае, если бы люди только выходили на
каждой остановке.
в) 1) 7-2=14 (ч.) — входило на каждой остановке,
2) 14-3=42 (ч.) — вошло на трех остановках,
3) 7-3=21 (ч.) — вышел на трех остановках.
Далее учитель может предложить детям самостоятельно закончить один из вариантов решения задачи или подумать, как изменить вопрос задачи, чтобы ее решение можно было записать так:
1)40-7=33(4.)
2)7-2=14(ч.)
3)33+14=47(4.)
Ребята изменяют вопрос: «Сколько пассажиров оказалось в трамвае после первой остановки?»
Учитель может и сам изменить вопрос задачи, а детям предложить записать решение самостоятельно. Например, возможна постановка таких вопросов:
— Сколько пассажиров оказалось в трамвае после второй остановки?
— Сколько пассажиров оказалось в трамвае после четвертой остановки?
Можно организовать работу иначе. Учитель рисует на доске схему и предлагает
классу соотнести ее с условием данной зада4и.
. 7ч,
7ч.
7 ч.
Ответы учащихся:
— Вы сначала обозначили количество людей, которые ехали в трамвае, и показали, что 7 4еловек вышло. Затем на4ертили отрезок, который обозна4ает количество людей, оставшихся в трамвае после того, как вышло 7 4еловек. На третьем
отрезке показано, сколько людей оказалось в трамвае после первой остановки.
Делается вывод, что на первой остановке количество людей в трамвае увеличилось на 7 человек.
225
Далее выясняется, подходит ли данная схема к ситуации, которая возникла в
трамвае после второй остановки; после третьей остановки.
В результате запись решения задачи может получиться комбинированной.
А именно: схема и два действия:
1)7-3=21 (ч.)
2)40+21=61 (ч.)
Рассмотрим теперь на конкретном примере, как можно организовать самостоятельное решение задачи с последующим обсуждением.
В кинотеатре 300 мест. Сколько мест осталось свободными, если продано
90 билетов для взрослых, а для детей в 2 раза больше?
После чтения задачи вслух учащиеся приступают к ее самостоятельному решению, на которое отводится по меньшей мере 8—10 минут.
Учитель наблюдает за работой, выписывая на доске те способы решений, которые обнаружил в тетрадях. Хотя в некоторых случаях целесообразно записать и те
способы (или способ), которых в тетрадях не оказалось, но при этом сказать классу:
«Давайте обсудим решения, которые я увидела в ваших тетрадях». Например, на
доске запись:
1)90-2=180(6.)
2)300-180=120(6.)
Обсуждая этот способ решения, дети комментируют каждое действие, и большинство из них обнаруживает, что в решении не нашла отражения продажа еще
90 билетов для взрослых.
Учащиеся заканчивают решение задачи, выполняя третье действие:
1)90-2=180(6.)
2)300-180=120(6.)
3)120-90=30(6.)
Затем обсуждаются еще три способа решения. При этом учитель старается
привлекать тех детей, которые испытывали затруднение при самостоятельном решении задачи.
1)90-2=180(6.)
1)300-90=210(6.)
1)90-3=270(6.)
2)180+90=270(6.)
2)90-2=180(6.)
2)300-270=30(6.)
3) 300-270=30 (б.)
3) 210-180=30 (б.)
Для обоснования последнего способа необходимо начертить схему:
90
д. •
•
•
Используя ее, можно узнать, сколько продали взрослых и детских билетов:
90-3=270(6.)
Постановка различных заданий, в процессе выполнения которых ученики приобретают опыт анализа текста задачи, его преобразования и конструирования, оказывает положительное влияние на формирование умения решать задачи. Тем не
226
менее это не исключает возможности использования в некоторых случаях аналитического, синтетического и аналитико-синтетического способов разбора, краткой
записи или интерпретации задачи в виде таблицы.
Но каждый раз следует вдумчиво подходить к тому, какой методический прием
лучше применить, организуя деятельность учащихся, направленную на поиск решения задачи.
Рассмотрим задачу.
В коробке лежало 12 зеленых и 20 красных хлопушек. Все хлопушки раздали
детям, по 4 каждому. Сколько ребят получили хлопушки?
Вряд ли целесообразно использовать аналитический способ разбора при решении этой задачи, так как в данном случае вам придется начать с вопроса: «Что
нужно знать, чтобы ответить на вопрос задачи?» и дети будут вынуждены только
воспроизвести ее условие.
Тоже можно сказать и относительно синтетического способа разбора, который
связан с постановкой вопросов: «Что обозначает число 12? Число 20? Число 4?» Ребята легко ответят на вопросы, но это не поможет им в выборе действия.
Наверное, более эффективным окажется прием сравнения двух текстов, одним
их которых является данный текст, а другой отличается от него вопросом. «В коробке лежало 12 зеленых и 20 красных хлопушек. Все хлопушки раздали детям,
по 4 каждому. Сколько ребят получили зеленые хлопушки, а сколько — красные?».
Сравнение текстов поможет детям правильно сориентироваться в ситуации, описанной в задаче, и выбрать арифметическое действие для ее решения.
С этой же целью можно использовать прием преобразования текста, предложив ученикам такой вопрос: «Как нужно изменить условие данной задачи, чтобы ее
решением было равенство: 32:4=8?
Задание 90. Опишите подробно возможные варианты организации деятельности учащихся в процессе работы над задачами:
Люда собрала кленовых листьев в 6 раз больше, чем Аня, а Надя собрала листьев столько же, сколько Люда и Аня вместе. Сколько листьев собрала Аня, если
Надя собрала 56 листьев? Сколько листьев собрала Люда?
В библиотеку привезли 9 пачек книг, по 5 штук в каждой. На одну полку поставили 15 книг, на вторую — 6, а оставшиеся книги расставили поровну еще на три
полки. Сколько книг поставили на четвертую полку?
В соревнованиях по гребле участвовало 7 команд, по 5 человек в каждой, а в
соревнованиях по стрельбе — 6 команд, по 9 человек в каждой. В каких соревнованиях было участников больше и на сколько?
227
Приоритет обучающих заданий ни в коей мере не снижает контролирующую
функцию. Но контроль следует организовать таким образом, чтобы он не вызывал у
детей негативных эмоций и не создавал стрессовых ситуаций. Для этого со стороны
учителя достаточно одной фразы, типа: «Я соберу тетради и посмотрю, в каких вопросах нам необходимо еще разобраться».
Аналогично организуется работа с задачами, математическое содержание
которых связано с новыми понятиями и отношениями. В соответствии с курсом
начальной математики это понятия умножения и деления, «увеличить (уменьшить) в ...» и кратного сравнения. Для их усвоения также используются не простые
задачи, а способ установления соответствия между предметными, схематическими
и символическими моделями.
Тем не менее нельзя не учитывать, что, приступая к изучению нового блока понятий, дети уже знакомы со структурой задачи, с ее решением, приобрели некоторый опыт в анализе ее текста и в его интерпретации в виде схематической и символической моделей.
Поэтому в процессе усвоения новых понятий им предлагаются обучающие задания, связанные с решением задач, в которых используются различные методические приемы.
Например, после изучения переместительного свойства умножения можно дать
такое задание:
Вера и Надя сажали тюльпаны. Вера посадила 8 рядов, по 9 тюльпанов в каждом, а Надя — 9 рядов по 8 тюльпанов. Можно ли, не выполняя вычислений, утверждать, что Вера посадила столько же тюльпанов, сколько Надя?
Пользуясь данным условием, объясни, что обозначают выражения:
72+72,
72-2,
8-9-8,
8-7,
9-5,
9-6-9
В процессе усвоения смысла умножения и понятия «увеличить в несколько раз»
можно предложить учащимся решить задачи, используя для организации их деятельности различные методические приемы.
Например:
Тане 9 лет. Бабушка старше Тани в 7 раз. Сколько лет маме, если она моложе
бабушки на 36 лет?
Выбери схему, которая соответствует условию этой задачи:
а)
м.»б)
в)
228
Т. тБ. еМ.»Т. •Б. •-
Используя правильную схему, объясни разные способы решения данной задачи:
1-й способ:
2-й способ:
9-3=27 (л.)
1)9-7=63 (г.)
2) 63-36=27 (л.)
В гараже в 6 рядах стояло по 9 машин. Из каждого ряда выехало 8 машин.
Сколько машин осталось в гараже?
Объясни, что обозначают выражения, составленные по условию данной задачи:
9-3
9-5
9-6
8-2
8-3
8-6
9-8
(9-8)-2
(9-8)-3
(9-8)-6
В первый день магазин продал 4 ящика фруктовой воды, по 20 бутылок в каждом, и еще 7 бутылок. Во второй день — 3 таких же ящика и еще 2 бутылки. На какие
вопросы ты ответишь, выполнив действия:
20-4
4+3
20-(4+3)
20-4+7
7+2
20-3+2
4-3
При изучении смысла деления, понятий «уменьшить в ...» и кратного сравнения
возможно выполнение таких заданий:
В зоомагазине рассадили хомяков и кроликов по клеткам. Для хомяков понадобилось столько клеток: 21:7, а для кроликов — 54:9.
Сможешь ли ты, пользуясь этими выражениями, ответить на вопросы:
— Сколько хомяков было в магазине?
— Сколько хомяков посадили в одну клетку?
— Сколько кроликов было в магазине?
— Сколько кроликов посадили в одну клетку?
— На сколько больше было кроликов, чем хомяков?
На какие еще вопросы ты можешь ответить, используя эти выражения?
Папа нашел в лесу 56 опят. Лисичек — в 8 раз меньше, чем опят. Подосиновиков — в 6 раз больше, чем лисичек, а белых — на 12 меньше, чем подосиновиков.
На какие вопросы ты можешь ответить, не выполняя арифметических действий,
а на какие, выполнив арифметические действия:
— Во сколько раз опят больше, чем лисичек?
— Сколько лисичек нашел папа?
— Сколько подосиновиков нашел папа?
— На сколько больше подосиновиков, чем лисичек?
— Сколько опят и лисичек нашел папа?
— Сколько всего подосиновиков и белых грибов?
Дети собирали грибы. Коля нашел 24 белых гриба, Вова — 8, а Маша — 4.
На какие вопросы ты ответишь, выполнив следующие действия:
24:8
24-4
24:4
8-4
8+24
8+4
24+8+4
8:4
229
У Люды 5 значков. У Тани в 3 раза больше, чем у Люды. У Кати значков столько, сколько их у Люды и у Тани вместе. Во сколько раз у Кати значков больше, чем у
Люды?
Выбери схему, соответствующую условию, и ответь на вопрос задачи.
1)л.«—.
2) л . . — .
3) л . . — .
4)л.»
.
Т. • — •
К.»
«
•
«
•
»
•
•
Т. #—»
К. #
•
•
•
»
•
•
•
•
Т. •
•—• К. >
•
»
•
«
»
Т.#
» К.«-
«
«
•
При изучении правила порядка выполнения действий целесообразно предложить задания:
У всех учащихся второго класса 39 ручек. У шести учеников по одной ручке,
у пяти по три, у остальных по две. Сколько учеников имеют по две ручки?
Маша записала решение этой задачи выражением так: 39-1 • 6+3 • 5
Миша —так: 39-(1-6+3«5)
Кто прав: Миша или Маша?
В киоске до обеда было продано 57 журналов, по 45 рублей каждый, а после
обеда 17 таких же журналов. Сколько денег было получено от продажи журналов?
Запиши решение задачи выражением.
Миша выполнил задание так: 45-57+17
Маша — так: 45 • (57+17)
Кто прав: Миша или Маша?
Задание 91. Подберите или сами составьте задачи и определите методические приемы работы с ними, которые целесообразно использовать при усвоении
детьми смысла деления, понятий «уменьшить в несколько раз», «кратное сравнение», распределительного свойства умножения, деления суммы на число.
§ 6. ОРГАНИЗАЦИЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ ПРИ ОБУЧЕНИИ РЕШЕНИЮ
ЗАДАЧ С ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ
Особую сложность для младших школьников представляют задачи с пропорциональными величинами. Одна из причин возникающих у детей трудностей в процессе решения этих задач заключается в том, что понятие «пропорциональная зависимость» не является предметом специального изучения и усвоения в начальных
классах.
Связи между пропорциональными величинами раскрываются с помощью решения простых задач на нахождение одной из величин по данным, соответствующим значениям двух других величин (например, задача на нахождение стоимости
по известным цене и количеству).
Поэтому при решении простых задач с пропорциональными величинами целесообразно использовать как уже рассмотренные методические приемы, так и те,
230
которые способствуют формированию представлений о пропорциональной зависимости величин.
В числе этих приемов можно назвать:
а) изменение одного из данных задачи;
б) сравнение результатов решения задач, в которых изменяется одно из данных;
в) интерпретация задачи в виде схемы, запись задачи в таблице;
г) анализ текстов задач с недостающими и лишними данными.
Например, учащимся можно предложить задачи с недостающими данными, при
анализе которых они, пользуясь житейскими представлениями, сами употребляют
термин «зависит».
Миша купил на 100 р. кисточки и на 50 р. карандаши. Чего Миша купил больше: карандашей или кисточек?
Маша купила 5 тетрадей в клетку и 2 блокнота. За что она заплатила денег
больше, за тетради или за блокноты?
Анализируя тексты этих задач и поняв, что в них не хватает данных и что ответы
на вопросы, поставленные в задачах, зависят от цены предметов, дети отвечают:
«Это зависит от того, сколько стоит 1 блокнот, 1 тетрадь» и т. д. Чтобы разъяснить
учащимся математический смысл понятия «зависит», необходимо проследить, как
изменяется одна величина в зависимости от изменения другой при постоянной третьей. Для этой цели можно воспользоваться приведенными задачами, дополнив их
условие, или рассмотреть, например, простую задачу с недостающими данными.
В палатку привезли 6 ящиков апельсинов. Сколько килограммов апельсинов
привезли в палатку?
Ученики быстро обнаруживают, что ответить на вопрос задачи нельзя, так как
неизвестна масса одного ящика. Выделенные величины полезно зафиксировать в
таблице:
Масса одного ящика (кг)
Количество ящиков (ящ.)
6
Общая масса (кг)
?
Дети дополняют условие и решают задачу. Затем надо проследить, как будет изменяться общая масса в зависимости от изменения массы одного ящика при постоянном их количестве или в зависимости от изменения количества ящиков при постоянной
массе одного ящика. Для этого также целесообразно использовать таблицу:
Масса одного ящика (кг)
3
6
9
12
Количество ящиков (ящ.)
6
6
6
6
Общая масса (кг)
18
36
54
72
231
Анализ таблицы направляется вопросами:
— Какая величина не изменяется?
— Какие величины изменяются?
— Во сколько раз масса шести ящиков больше, чем масса двух ящиков? Почему?
— Во сколько раз масса четырех ящиков меньше, чем масса двенадцати ящиков?
Аналогичные наблюдения следует провести при условии изменения количества
ящиков, но при постоянной массе одного.
Затем полезно рассмотреть обратную ситуацию, предложив школьникам такую
задачу:
24 кг помидоров разложили в 2 ящика, в 4 ящика, в 6 ящиков, в 3 ящика,
в 8 ящиков. Сколько килограммов помидоров в одном ящике?
Масса одного ящика (кг)
?
?
?
?
?
Количество ящиков (ящ.)
2
4
6
3
8
Общая масса (кг)
24
24
24
24
24
При анализе данной таблицы выясняется:
— Какая величина не изменяется?
— Какие величины изменяются?
— Как они изменяются?
Зависимость между количеством ящиков и массой одного ящика при постоянной общей массе можно смоделировать с помощью схемы. Для этого в тетради
ученики изображают пять отрезков по 24 клетки, каждый из которых соответственно
делится на 2, на 4, на 6, на 3, на 8 одинаковых частей.
Анализ схемы позволяет детям осознать зависимость между количеством ящиков и массой одного ящика при постоянной общей массе.
Использование названных методических приемов при решении простых задач
подготавливает учащихся к решению составных задач с пропорциональными величинами.
Для того чтобы дети не подходили формально к решению этих задач, приходится варьировать в их сюжетах постоянную величину. Тогда запись задачи в таблице и
ее схематическая интерпретация будут восприниматься ребенком в качестве необходимых операций и активизировать его мыслительную деятельность. В противном
случае он будет ориентироваться на образец.
Естественно, такой подход к решению задачи с пропорциональными величинами возможен в том случае, если с самого начала знакомства с задачей велась
целенаправленная работа по формированию умений анализировать текст задачи,
выявлять в нем математические отношения, устанавливать взаимосвязь между
232
данными и искомыми величинами и соотносить текстовую и схематическую модель задачи.
Для выделения в тексте задачи пропорциональных величин удобно использовать таблицу, в которой верхняя часть может заменяться карточками с названиями
различных величин.
Например: длина одного куска проволоки, количество кусков, общая длина;
скорость, время, расстояние; время чтения одной страницы, количество страниц,
общее время; масса одного ящика, количество ящиков и т. д.
Цена (р.)
Количество (шт.)
Стоимость (р.)
Если такие карточки заготовлены заранее, то учащиеся могут сами выбрать те
из них, названия которых соответствуют величинам, рассматриваемым в задаче,
и приготовить таблицу к работе, а затем самостоятельно заполнить ее. (Конкретные
величины, представленные в задаче, записываются на доске мелом.)
Покажем возможность варьирования постоянной величины в задачах, которые
в методике обучения математике принято называть задачами на нахождение четвертого пропорционального.
Из 24 м ситца сшили 8 наволочек. Сколько таких же наволочек можно сшить
из 15 м ситца?
Расход ситца
на 1 наволочку (м)
одинаково
одинаково
Количество
наволочек (шт.)
8
?
Общий расход
материала(м)
24
15
Работая с таблицей, некоторые учителя часто ориентируют детей на внешние
признаки: в верхней строке две величины — находим третью. Теперь в нижней строке две величины — находим третью. Это не совсем верно. Особенно в том случае,
когда учащиеся решают большое количество однотипных задач. Некоторые из них
выполняют действия, «узнавая» расположение чисел в таблице, и не уделяют должного внимания анализу текста задачи.
При решении задач с пропорциональными величинами можно использовать
схемы.
Обозначаем отрезками общий расход материи — 24 м и 15 м (не нужно соблюдать какой-либо масштаб, важно только, чтобы ребята понимали, что один отрезок
должен быть больше другого). Далее обозначаем маленькими одинаковыми отрезками расход материи на одну наволочку.
24 м
15м
233
Анализируя схему, надо обратить внимание учащихся на то, что один и тот же
отрезок одновременно обозначает и количество метров, и количество наволочек.
(Чем больше материи, тем больше наволочек; чем меньше отрезок, тем меньше наволочек.)
Теперь можно проверить эти рассуждения вычислениями:
1) 24:8=3 (м); 2) 15:3=5 (н.).
Особое значение схематические модели имеют при решении задач с обратной
пропорциональностью величин.
Рассмотрим в качестве примера такую задачу:
На чтение 5 страниц Андрей тратит столько же времени, сколько папа на чтение 8 страниц. Сколько минут Андрей читает одну страницу, если папа прочитывает
одну страницу за 5 минут?
При анализе текста задачи полезно сначала задать детям вопросы:
— Кто быстрее читает, папа или Андрей? Почему вы так думаете?
— Кто больше (меньше) времени тратит на чтение одной страницы?
— Кто быстрее прочитает книгу в 9, 15, 20 страниц, папа или Андрей?
— Можно ли, пользуясь условием данной задачи, ответить на вопрос: сколько
времени папа будет читать 8 страниц? (Если на чтение одной страницы он тратит
5 минут, то на чтение 8 страниц времени уйдет в 8 раз больше.)
Если схема к задаче не дана в готовом виде, то необходимо обсудить с учащимися методику ее построения. В данном случае целесообразно обозначить отрезком одну страницу и зафиксировать над этим отрезком то время, за которое папа
е е прочитает:
^^
Повторив этот отрезок 8 раз, мы построим отрезок, который будет обозначать
8 страниц и то время, которое папа тратит на их чтение.
П. *
5 мин
»
т
»
т
«
»
в
»
Теперь можно обозначить страницы, которые прочитал Андрей.
— Какие есть варианты? — спрашивает учитель.
Важно обсудить все варианты, предлагаемые детьми, а если их не будет, то
предложить несколько своих: начертить отрезок длиннее или короче данного,
а школьники должны обосновать, почему эти варианты не подходят:
а) А. •
•
б) А. •
•
5 мин
П.
Учащиеся выбирают схему:
В) А.
234
5 мин
Итак, данные отрезки обозначают время, которое тратит папа на чтение 8 страниц и Андрей на чтение 5 страниц. Время одно то же, поэтому отрезки одинаковой
длины.
Теперь нужно на верхнем отрезке условно обозначить время, которое Андрей
тратит на чтение одной страницы (отрезок должен быть длиннее нижнего маленького отрезка, так как за одно и то же время папа читает 8 страниц, а Андрей только 5).
Следует обсудить с детьми и такой вопрос:
— На сколько частей надо разделить отрезок, чтобы показать на нем то время,
за которое Андрей читал одну страницу? (При этом не обязательно делить отрезок
на 5 равных частей, важно только выяснить — длиннее он будет или короче, чем тот
отрезок, который обозначает время, за которое папа читает одну страницу.)
Только после проведенной работы можно заполнить таблицу, чтобы дети лучше
осознали те величины, которые рассматриваются в задаче.
\Величины
ОтецХ.
и сын ^ \
Папа
Андрей
Время чтения
одной страницы(мин)
5
?
Количество
страниц (с)
8
5
Общее время
(мин)
одинаковое
одинаковое
Задание 92. Опишите подробно организацию деятельности учащихся в процессе решения задач:
Масса трех одинаковых коробок пряников равна 18 кг. Коробка зефира на 2 кг
легче коробки пряников. Чему равна масса шести коробок зефира?
В трех корзинах столько же килограммов огурцов, сколько килограммов помидоров в пяти ящиках. Сколько килограммов огурцов в одной корзине, если в
одном ящике 12 кг помидоров?
Задание 93. Пользуясь данной таблицей1, подберите или сами составьте задачи на нахождение четвертого пропорционального с различными величинами.
Опишите организацию деятельности учащихся при решении этих задач.
^\Величины
ТипыЧ.
задач
\ ^
1
2
1
Цена
Количество
Стоимость
Постоянная
Даны два значения
Дано одно значение,
а другое является искомым
Постоянная
Дано одно значение,
а другое является
искомым
Даны два значения
Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах. — М., 1984.
235
Окончание таблицы
^Величины
Типы^\.
задач
^\
Цена
Количество
3
Даны два значения
Постоянное
4
Дано одно значение,
а другое является
искомым
Даны два значения
Постоянное
5
6
Дано одно значение,
а другое является
искомым
Дано одно значение,
а другое является
искомым
Даны два значения
Стоимость
Дано одно значение,
а другое является
искомым
Даны два значения
Постоянная
Постоянная
Использование схем при решении задач на нахождение четвертого пропорционального поможет учащимся самостоятельно найти способ решения таких видов
задач с пропорциональными величинами, как задачи на пропорциональное деление
и задачи на нахождение неизвестного по двум разностям. Например:
На автозаправочной станции первый водитель залил в бак 25 л бензина, второй — 40 л такого же бензина. Сколько заплатил за бензин каждый водитель, если
вместе они заплатили 682 р. 50 к.?
На автозаправочной станции первый водитель залил в бак 25 л бензина, второй — 40 л такого же бензина. Первый заплатил на 157 р. 50 к. меньше, чем второй.
Сколько заплатил за бензин каждый водитель?
При решении этих задач, так же как и при решении задач на нахождение четвертого пропорционального, целесообразно использовать схему.
Предложив, например, две вышеприведенные задачи, учитель рисует на доске
три схемы и рекомендует учащимся самим догадаться, какой задаче соответствует
каждая из них. Обосновав свой выбор, дети «оживляют» схему, т. е. обозначают на
ней известные и неизвестные величины.
а) •
•
б) •
•
в)
Для продуктивного анализа схем важно понять, что один и тот же отрезок обозначает на схеме и количество литров бензина, и количество денег, которые за него
заплатили.
236
Обозначив на схеме данные в задаче величины, получаем:
25 л
25 л
40 л
682 р. 50 к.
25 л
40 л
40 л
682 р. 50 к.
Теперь необходимо обсудить с классом такие вопросы:
— Кто заплатил денег больше? Почему?
— Что обозначают выражения:
68250:25; 68250:40? (Эти выражения не имеют смысла.)
68250:(25+40)
По отношению ко второй задаче можно обсудить выражения:
15750:40
15750:25
15750:(40+25)
15750:(40-25)
Для организации самостоятельной работы с рассмотренными видами задач
можно использовать карточки.1
Карточка 1
а) Прочитай задачу.
Туристы взяли в поход 42 банки консервов. Первые три дня они съедали по 4 банки консервов, а в остальные дни — по 6 банок. Сколько дней
туристы были в походе?
б) Заполни таблицу.
Расходовали в 1 день
Количество дней
Всего израсходовали
в) Запиши решение задачи по вопросам:
1. Сколько банок консервов съели туристы за три дня?
2. Сколько банок осталось у туристов на остальные дни похода?
3. Сколько дней туристы съедали по 6 банок консервов?
4. Сколько дней туристы были в походе?
Истомина Н.Б. Учимся решать задачи. 3 класс. — М., 2004.
237
Карточка 2
а) Прочитай задачу
Шапка и шарф стоят 180 рублей. Шарф дешевле шапки в 2 раза. Сколько стоит шапка?
б) Выбери схему, соответствующую данному условию:
180
180
180
в) Используя схему, запиши решение задачи.
Карточка 3
а) Прочитай условие задачи.
В 4 одинаковых ящика разложили поровну 36 кг винограда.
б) Вставь пропущенные числа, исходя из условия задачи:
1. В одном ящике
кг винограда.
2. Масса винограда в двух ящиках
кг.
3. Чтобы разложить72 кг винограда, потребуется
ящиков.
4. В двух ящиках на
кг винограда меньше, чем в трёх.
5. Масса винограда в пяти ящиках
кг.
Карточка 4
а) Вставь пропущенные в задаче числа, используя решение:
(23-3): 5 = 4
Сколько метров ткани идёт на один костюм, если из куска ткани длиной
м сшили
одинаковых костюмов и ещё осталось
м ткани?
б) Проверь! Хватит ли этого куска ткани на пошив 8 платьев, если на каждое
расходовали бы по 3 метра?
Карточка 5
а) Используя данную схему, вставь пропущенные в условии задачи числа и
сформулируй вопрос задачи.
32
В куске
м ткани. Из этой ткани сшили
кресел, расходуя на каждый по
м.
одинаковых чехла для
б) Подумай: как по-другому можно сформулировать тот же вопрос задачи?
238
Карточка 6
Пользуясь данным решением, вставь пропущенные в задаче слова.' -,чга
1)33-22=11 (пл.)
2) 33:11=3 (раза)
За месяц в ателье сшили
женских платья, а детских
Во сколько раз
сшили женских платьев, чем
детских?
Карточка 7
а) Прочитай задачу.
В б ящиках столько же килограммов груш, сколько в трёх ящиках килограммов яблок. Какова масса яблок в одном ящике, если масса груш в
одном ящике — 8 кг?
б) Дорисуй схему так, чтобы она соответствовала данной задаче, и обозначь
на ней известные и неизвестные величины:
г. •-
я. •в) Запиши решение задачи по действиям с пояснениями.
г) Догадайся! Как, используя схему, можно записать решение задачи, выполнив одно действие?
д) Запиши к данному условию вопросы, на которые ты можешь ответить,
выполнив арифметические действия.
Карточка 8
а) Прочитай условие задачи.
Ш ирина прямоугольника 4 см , длина в 3 раза больше.
б) Дорисуй схему, если ширина прямоугольника обозначена отрезком АВ.
в
ill A
л
,
в) Запиши пояснение к каждому выражению:
4 •3
(4 •3 + 4)-2
4- 2
4- 3-2
4- 2+4-3-2
239
Карточка 9
Заполни пустые клетки таблицы.
Длина
15 см
Ширина
Периметр
прямоугольника
10 см
5 дм
(9 + 6 ) ' 2 с м
3 см
Площадь
35 дм 2
27 см 2
Задание 94. Продумайте и опишите организацию деятельности учащихся
в процессе работы над задачами. Какие методические приемы вы бы использовали?
В прямоугольнике одна сторона на 8 м больше другой. Найди площадь прямоугольника, если его периметр равен 28 м.
Света купила 6 м 50 см тесьмы, а Настя — на 4 м меньше. Сколько денег заплатила каждая девочка, если они вместе потратили на покупку 180 р.?
Мастер может отштамповать 480 деталей за 4 часа. А ученику на выполнение
этой работы потребуется времени в 3 раза больше. За сколько часов могут отштамповать 480 деталей мастер и ученик при совместной работе?
Макароны упаковали в одинаковые коробки. Масса 17 коробок на 32 кг больше, чем масса 9 коробок. Хватит ли 214 коробок для упаковки 970 кг макарон?
Задание 95. Пользуясь данной таблицей1, подберите или сами составьте задачи на пропорциональное деление с различными величинами. Опишите организацию деятельности учащихся при решении этих задач.
'
^
Величины
задач
1
1
1984.
240
Цена
Количество
Стоимость
\ ^
Постоянная
Даны два или
более значений
Дана сумма значений,
соответствующих количеству.
Найти слагаемые
Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах. — М.,
Окончание таблицы
Цена
задач
2
Количество
Стоимость
^ \
Постоянная
3
Даны два или
значений более
4
Дана сумма
значений,
соответствующих
количеству. Найти
слагаемые
Дана сумма значений, Даны два или более
значения
соответствующих
количеству. Найти
слагаемые
Постоянное
Дана сумма значений,
соответствующих
количеству. Найти
слагаемые
Постоянное
Даны два или более
значения
Задание 96. Пользуясь приведенной ниже таблицей1, подберите или составьте сами задачи на нахождение неизвестного по двум разностям. Опишите организацию деятельности учащихся при решении этих задач.
^^Величины
задач
^v.
1
2
Цена
Постоянная
Постоянная
Количество
Стоимость
Дана разность значений,
соответствую щих
количеству. Найти
каждое значение
Дана разность значений, Даны два значения
соответствующих
величины
количеству. Найти
каждое значение
Даны два значения
величины
Традиционно сложилось так, что задачи с пропорциональными величинами,
связанные с движением тел, выделяются в специальную тему: «Скорость. Время.
Расстояние».
Специфика этих задач обусловливается введением такой величины, как скорость движения, а также использованием при их решении схем, которые отражают
не отношения между величинами, а процесс движения.
1
Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах. — М.,
1984.
)-12726 Истомина
241
Опираясь на опыт ребенка при разъяснении понятия «скорость движения», следует иметь в виду, что, употребляя в своей речи слова «быстрее» и «медленнее», дети
связывают их смысл с такой величиной, как время. Поэтому знакомство с понятием
«скорость движения» можно начать с вопроса: «Как вы понимаете такую фразу: автомобилист едет быстрее, чем велосипедист; пешеход идет медленнее, чем лыжник?»
Возможно, отвечая на этот вопрос, некоторые ребята используют понятие «скорость», но, разъясняя его смысл, они так или иначе обратятся к словам: быстрее —
медленнее. (У одного скорость больше — он идет быстрее, у другого меньше — он
идет медленнее.) В этом случае следует обсудить, что значит быстрее и медленнее.
Дети обычно объясняют это так: «быстрее», значит, меньше времени; «медленнее»,
значит, больше времени.
В этом случае целесообразно предложить им проблемное задание: «Боря идет
до школы 10 минут, а Лена — 15. Подумайте, на какой вопрос вы можете ответить,
а на какой нет:
— Кто тратит на дорогу времени больше (меньше)?
— Кто идет быстрее, а кто медленнее?»
В процессе обсуждения выясняется, что ответить можно только на первый вопрос. Для ответа на второй вопрос необходимо знать расстояние, которое проходят
Боря и Лена.
Учитель дополняет условие: «Боря проходит расстояние 1 км, а Лена — 1500 м».
Важно, чтобы дети осознали обобщенную характеристику скорости как расстояния, пройденного за единицу времени, и в процессе решения задач использовали
различные единицы скорости.
Так, в данном случае нужно 1 км выразить в метрах и после этого найти скорость, с которой идет Боря: 1000:10=100 (м/мин), а затем скорость движения Лены:
1500:15=100 (м/мин).
Получается, что Лена и Боря идут в школу с одинаковой скоростью.
Дальнейшая работа связана с анализом конкретных ситуаций и их наглядной
интерпретацией.
Например:
Каждый час велосипедист проезжает 12 км, а пешеход проходит 4 км.
12 км
4 км 4 км
12 км
12 км
12 км
-г-г-
За сколько времени велосипедист преодолеет данное расстояние? За какое
время пройдет это расстояние пешеход?
Подготавливая детей к решению задач, связанных с движением, необходимо
повторить:
— единицы длины — 1 км, 1 м, 1 дм, 1 см, 1 мм;
— единицы времени — 1 ч, 1 мин, 1 с.
242
После этого познакомить с различными единицами скорости: 1 км/ч, 1 км/мин,
1 м/мин, 1 см/мин.
Так как задачи, связанные с движением, — это задачи с пропорциональными
величинами, внимание ребенка необходимо акцентировать на зависимости между
величинами: скорость, время, расстояние. Для этой цели можно нарисовать в тетради три отрезка, каждый длиною в 12 клеток. Один отрезок разделить на 2 части,
другой на 3, третий на 4 и использовать данную модель для анализа конкретной ситуации:
Например:
Один пешеход проходит расстояние 12 км за 2 часа, другой — за 3 часа,
третий — за 4 часа. Покажите отрезок, который обозначает скорость каждого пешехода.
Зафиксировав величины в таблице, можно проследить, как изменяется скорость в зависимости от изменения времени при постоянном расстоянии:
Скорость(км/ч)
6
4
3
Время (ч)
2
3
4
Расстояние(км)
12
12
12
Анализируя таблицу, нужно обратить внимание детей на два момента:
а) как связаны между собой величины, т. е. как, зная числовые значения двух
величин, найти третью;
б) как изменяется одна величина в зависимости от изменения другой, если третья величина постоянная (не изменяется).
9*
Скорость(км/ч)
8
16
32
64
Время (ч)
2
2
2
2
Расстояние(км)
16
32
64
128
Скорость(км/ч)
40
40
40
40
Время (ч)
2
4
6
8
Расстояние (км)
80
160
240
320
243
Очень важно, чтобы ученики не воспроизводили формально правила, в которых
находит отражение взаимосвязь величин: «Чтобы узнать время, нужно расстояние
разделить на скорость», «Чтобы узнать расстояние, надо скорость умножить на время» и т. д. Поэтому использование формул *S'=v • t; V— j; t—^ на данном этапе
нецелесообразно. Но при этом детям можно сказать, что скорость, время и расстояние условились обозначать специальными буквами.
С первых уроков изучения данной темы, основной целью которой является формирование у учащихся умения решать задачи с пропорциональными величинами — скорость, время, расстояние — следует включать задания (задачи), требующие перевода одних единиц скорости в другие.
Например:
Скорость одного пешехода 50 м/мин, а другого — 4 км/ч. За какое время первый пешеход пройдет 12 км? За какое время это расстояние пройдет второй пешеход?
Выделив имеющиеся в задаче величины (расстояние, скорость) и искомую
(время), необходимо обратить внимание на единицы, в которых выражена каждая
величина.
В связи с тем, что расстояние выражено в километрах, единицы скорости нужно преобразовать. Выполнение таких преобразований позволяет учащимся активно
использовать ранее усвоенные знания и представления о пропорциональных величинах. А именно: если сказано, что за 1 мин пешеход проходит 50 м, то выразить
данную величину в километрах младший школьник не может, поэтому он сначала
выясняет, сколько метров пройдет пешеход за 1час. Так как 1ч — это 60 мин, а за
1 мин пешеход проходит 50 м, значит, за 60 мин он пройдет расстояние в 60 раз
больше: 50-60=3000 (м).
Имеем скорость 3000 м/ч. Теперь можно расстояние выразить в километрах:
3000 м = 3 км. Получаем: 50 м/мин = 3 км/ч.
Для формирования у ребят представлений о скорости полезно предлагать задачи, в которых ответ на вопрос не нуждается в вычислениях.
Мальчики соревновались в беге на 100 м. Коля пробежал дистанцию за 16 с,
Боря — за 15 с, а Вова — за 18 с. Кто бежал с большей скоростью?
Таня и Лена живут на одной улице. Они одновременно выходят в школу:
Т
'
Я
Шк.
а) Догонит ли Таня Лену, если Таня идет со скоростью 4 км/ч, а Лена — 5 км/ч?
б) Догонит ли Таня Лену, если они идут с одинаковой скоростью?
Скорость полета сокола 23 м/с, а орла — 1800 м/мин. Сможет ли орел догнать
сокола, если между ними 15 м? 20 м? 10 м?
244
Каждая из приведенных задач решается устно и фронтально обсу«_^е~:- -ъ
уроке.
В последней задаче скорости нужно выразить в единицах одного »-а.".'ения. Решение задачи можно оформить в тетради в таком виде:
1 мин = 60 с; 23-60 = 1380 (м/мин);
1380 м/мин < 1800 м/мин
Ответ: у орла скорость больше, значит, он догонит сокола.
Из двух городов навстречу друг другу одновременно вышли две машины. На
каком расстоянии от одного и от другого города они встретятся, если их скорости
равны?
При решении задач на движение используются схемы, отражющие как отношения между величинами, так и процесс движения.
Например:
Два пешехода двигались с одинаковой скоростью. Первый прошел 20 км, а
второй — 12 км. С какой скоростью шли пешеходы, если один затратил на дорогу на
2 ч больше, чем другой?
20 км
12 км
за 2 ч
Два велосипедиста выехали навстречу друг другу в 10 ч утра и встретились в
13 ч. Сколько времени был в пути каждый велосипедист? Какое расстояние было между ними первоначально, если один ехал со скоростью 16 км/ч, а другой — 18 км/ч?
16 км/ч
18 км/ч
13ч
Помимо схем, целесообразно при решении задач на движение использовать
различные сочетания методических приемов: сравнения, выбора, преобразования,
конструирования.
Рассмотрим, как можно организовать деятельность учащихся, работая на уроке
с приведенной выше задачей.
1-й вариант
Классу предлагается текст задачи и готовая схема.
Дети самостоятельно читают задачу, анализируют схему и записывают решение по действиям.
Предположим, что большая часть класса не приступила к записи решения задачи. В этом случае учитель советует всем прочитать текст задачи, который записан на доске: «Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу и
встретились через три часа. Какое расстояние было между ними первоначально,
если один ехал со скоростью 16 км/ч, а другой — 18 км/ч?»
245
— Сравните тексты задач. В чем их сходство и в чем различие? (В условии первой задачи сказано, что велосипедисты выехали в 10 часов, а во второй задаче это
указание заменили словом «одновременно»; в первой задаче нужно узнать, через
сколько часов они встретились, а во второй это известно и т. д.)
— Но ведь во второй задаче не сказано, что каждый велосипедист был в пути
3 часа, а сказано так: через 3 часа они встретились. (Если они выехали одновременно и встретились через три часа, то это значит, что каждый был в пути три часа.)
— А какой велосипедист пройдет до встречи большее расстояние? (Тот, у которого скорость больше.)
— Прочитайте еще раз внимательно первую задачу и запишите ее решение.
Учитель дает детям время для самостоятельной работы.
После этого педагог или ученики записывают на доске различные способы решения данной задачи. При этом можно сказать, что эти способы решения он обнаружил в тетрадях у некоторых детей:
а) 1)13-10=3(ч)
б) 1)18-16=2 (км/ч)
2)18+16=34(км/ч)
2)16-6=96(км)
3)34-3=102(км)
3)2-3=6(км)
4)96+6=102(км)
— А теперь прочитайте другую задачу, ту, которая написана на доске. Чем эта
задача отличается от той, которая дана в учебнике? На доске текст: «Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу и встретились через 3 часа.
Какое расстояние было между ними через 2 часа, если один ехал со скоростью
16 км/ч, а скорость другого была на 2 км/ч больше?»
Учащиеся обсуждают внесенные в условие изменения и сравнивают задачу с
той, которую они решили.
— Подумайте, какие действия нужно выполнить в этой задаче, чтобы ответить
на поставленный вопрос, и запишите самостоятельно её решение.
2-й вариант
Предлагается сначала задача с недостающими данными.
Два велосипедиста выехали навстречу друг другу и встретились в 13 часов.
Сколько времени был в пути каждый велосипедист? Какое расстояние было между
ними первоначально, если один велосипедист ехал со скоростью 16 км/ч?
Текст обсуждается фронтально. Дети выдвигают свои предложения о решении
задачи. Обнаруживают, что в ней не хватает данных, обосновывают свое мнение.
Дополняют условие. После этого решают самостоятельно сконструированную ими
задачу.
Затем целесообразно обсудить другие способы решения, как это сделано в
первом варианте.
246
Для самостоятельной работы учащимся можно предложить задания на карточках:1
Карточка 1
а) Прочитай условие задачи.
Из двух городов одновременно навстречу друг другу вышли два поезда
и встретились через 3 часа. Скорость одного поезда 65 км/ч, скорость
другого — 53 км/ч.
б) Выбери схему, соответствующую данному условию, обозначь на ней известные и неизвестные в задаче величины:
© С——i
А в
'
А
1
£
1
и
В
—н
К-
в) Запиши, что обозначают на схеме отрезки:
АВCDг) Ответь на вопросы, выполнив арифметические действия:
1. Какое расстояние прошел до встречи первый поезд?
2. Какое расстояние прошел до встречи второй поезд?
Карточка 2
а) Прочитай условие задачи.
Из кинотеатра одновременно в противоположных направлениях вышли
Света и Никита. Скорость Светы 90 м/мин, Никиты — на 20 м/мин меньше.
б) Выбери схему, которая соответствует данному условию, и обозначь на
ней известные величины.
в) Ответь на вопросы, выполнив арифметические действия:
1. На каком расстоянии друг от друга окажутся Света и Никита через 1 минуту?
2. На каком расстоянии друг от друга окажутся Света и Никита через 6 минут?
г) Запиши условие задачи, соответствующее схеме©, если скорости
движения Светы и Никиты не изменятся.
д) Используя данное условие, ответь на вопрос: на каком расстоянии друг
от друга окажутся Света и Никита через 10 минут?
1-й способ
1
2-й способ
Истомина Н.Б., Малыхина В.В. Учимся решать задачи. 4 класс. — М., 2004.
247
Карточка 3
а) Прочитай условие задачи.
От городской площади одновременно отправились в одном направлении два мотоциклиста, один — со скоростью 60 км/ч, другой — 50 км/ч.
б) Используя условие данной задачи, вставь в предложения пропущенные
числа:
1. Скорость первого мотоциклиста на
км/ч больше скорости второго мотоциклиста.
2. Через один час расстояние между мотоциклистами будет равно км.
3. Через три часа расстояние между мотоциклистами будет равно км.
в) Используя данное условие, ответь на вопрос, выполнив арифметические
действия:
Какое расстояние будет между мотоциклистами, когда первый проедет 300 км?
Карточка 4
а) Вставь пропущенные в задаче числа, используя данную схему.
126
294
Теплоход был в пути
часа. После этого ему осталось проплыть
км. С какой скоростью плыл теплоход, если весь путь составил
км?
б) Запиши решение задачи выражением и найди его значение.
в) Ответь на вопрос, выполнив арифметические действия:
За сколько часов теплоход пройдёт весь путь?
Карточка 5
а) Прочитай задачу.
Машина едет со скоростью 2 км/мин. Какое расстояние она проедет за
3 часа?
б) Догадайся, что обозначает каждое выражение:
2-180
120-3
в) Если возникнут затруднения, вырази время и скорость в других единицах
1 час = 60 мин
3 часа =
2 км/мин =
км/ч
г) Заполни таблицу, выразив величины в соответствующих единицах.
Скорость (км/ч)
248
Время (ч)
Расстояние(км)
Карточка 6
а) Прочитай задачу.
За один день туристы прошли 30 км, а за второй день, двигаясь с той же
скоростью, — в 2 раза меньше. С какой скоростью шли туристы, если за
два дня они были в пути 9 часов?
б) Запиши решение задачи, пользуясь пояснениями:
1)
туристы прошли за второй день;
2)
туристы прошли за два дня;
3)
скорость туристов.
в) Рассмотри таблицу и ответь на вопрос.
Скорость(км/ч)
1-й день
2-й день
Расстояние(км)
30
Одинаковая
15
Время (ч)
}•
Верно ли утверждение, что данная схема соответствует задаче, если отрезком АВ обозначено время, которое туристы находились в пути?
[Эч
А"
"В
Ответь на вопрос, зачеркнув неверный ответ:
| да |
|нет|
г) Используя решение задачи и схему, поясни, что обозначают данные
выражения:
30:5
9-30:5
30:5:2
9:3.
9-9:3
Карточка 7
а) Прочитай задачу.
Два прогулочных катера двигались с одинаковой скоростью. Первый
прошёл 130 км, второй — 145 км. Найди скорость, с которой двигался каждый катер, если один из них был в пути на 20 минут больше, чем
другой.
б) Отметь на схеме расстояние, которое один катер прошёл за 20 минут:
145
130
в) Найди это расстояние, выполнив арифметическое действие.
г) Вырази это расстояние в метрах и найди скорость катера.
Проверь свой ответ! Скорость равна 750 м/мин.
км/ч
д) Вырази скорость в других единицах. 750 м/мин =
м/ч = _
Если возникнут трудности, вспомни, что 1 ч в 60 раз больше, чем 1 мин,
а 1 км = 1000 м.
е) Запиши ответ задачи.
Ответ:
км/ч — скорость одного и другого катера.
249
Карточка 8
а) Прочитай условие задачи.
Из автобусного парка одновременно выехали в одном направлении два
автобуса, один — со скоростью 40 км/ч, другой — 50 км/ч.
б) Нарисуй схему, которая соответствует данному условию:
в) Используя условие данной задачи и схему, вставь в предложения пропущенные числа:
1. Скорость первого автобуса на
км/ч меньше скорости второго автобуса.
2. Через один час расстояние между автобусами будет равно
км.
3. Через три часа расстояние между автобусами будет равно
км.
г) Используя данное условие, ответь на вопрос, выполнив арифметические
действия:
Какое расстояние будет между автобусами, когда первый проедет 80 км?
Задание 97. Подберите или сами составьте задачи с величинами «скорость»,
«время», «расстояние» на нахождение четвертого пропорционального, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестного по двум разностям. Опишите
возможные варианты работы с этими задачами.
250
ГЛАВА У
УРОК МАТЕМАТИКИ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
§ 1. РАЗЛИЧНЫЕ ПОДХОДЫ К ПОСТРОЕНИЮ УРОКА МАТЕМАТИКИ
В курсе дидактики вы познакомились с основными требованиями к современному уроку, с типами уроков и их структурой.
В методике конкретного предмета, в частности, в методике начального обучения математике все обстоит значительно сложнее, особенно со структурой урока.
Это обусловлено тем, что при построении конкретного урока необходимо учитывать не только определенные этапы обучения, такие как актуализация знаний,
объяснение нового, закрепление, контроль, повторение; не только специфику математического содержания, но и основную цель курса, его логику, и соответственно
те методические подходы и приемы, которые способствуют ее достижению и находят отражение в школьных учебниках математики.
Характеризуя урок с методической точки зрения, необходимо иметь в виду не
только его внешнюю, но и внутреннюю структуру.
Поясним различие между этими понятиями.
Когда в дидактике говорят, что структура урока может быть различной, то имеется в виду его внешняя структура, т.е. этапы урока, на которых решаются те или
иные дидактические задачи.
Например, один и тот же тип урока изучения нового может иметь различную
внешнюю структуру:
1-й вариант: а) проверка домашнего задания (подготовка к изучению нового);
б) работа над новым материалом; в) закрепление нового материала; г) проверка
прочности ранее усвоенных знаний, умений и навыков.
2-й вариант: а) проверка домашнего задания (повторение пройденного); изучение нового материала; в) закрепление нового материала; г) проверка результатов
усвоения темы.
3-й вариант: а) устный счет; б) изучение нового; в) проверка домашней работы;
г) подготовка к выполнению домашней работы.
Внутренняя же структура урока математики определяется содержанием и последовательностью учебных заданий, взаимосвязью между ними, отражает процесс
усвоения учащимися математического содержания и характер их деятельности.
С точки зрения внутренней структуры каждый урок — это определенная система
заданий, в процессе выполнения которых ученик овладевает знаниями, умениями,
навыками, продвигаясь в своем развитии. От того, какие задания подбирает учитель для данного урока, в какой последовательности их выстраивает, как организует деятельность класса, зависит достижение целей обучения, степень активности
и самостоятельности учащихся.
Учебные задания являются основным средством организации учебной деятельности школьников в процессе обучения математике. В них находят отражение цели,
содержание, методы (приемы) и формы обучения.
251
Через учебные задания реализуются мотивационные, развивающие, дидактические и контролирующие функции обучения.
Как известно, в дидактике учебные задания классифицируют по различным
основаниям.
В зависимости от этапов обучения выделяют задания:
— на актуализацию знаний, умений и навыков;
— связанные с изучением нового материала;
— на закрепление знаний, умений, навыков;
— на применение знаний , умений, навыков;
— на повторение;
— контролирующие.
В зависимости от характера познавательной деятельности школьников задания
подразделяются на:
— репродуктивные,
— тренировочные,
— частично-поисковые,
— творческие.
В зависимости от содержания материала задания могут включать:
— решение задач,
— вычисление значений выражений,
— сравнение выражений,
— решение уравнений и т. д.
В зависимости от той функции, которая придается заданиям в процессе обучения, их можно разделить на два вида: обучающие и контролирующие.
В рамках обучения, направленного на отработку знаний, умений и навыков,
где процесс усвоения материала строится по схеме: объяснение (показ образца) — закрепление — применение — контроль, приоритет обычно отдается контролирующим заданиям. Они предлагаются учащимся обычно сразу после объяснения
нового материала. Эти задания включаются в этапы закрепления, применения, повторения. Приоритет контролирующих заданий создает дискомфорт для тех детей,
которые по тем или иным причинам не включились в этап объяснения или не поняли
то, что говорил учитель. Такой же результат можно наблюдать и на этапе актуализации знаний, когда учитель предлагает так называемые задания на повторение.
В большинстве случаев они носят репродуктивный характер и выполняют опять же
контролирующую функцию. Тем самым процесс усвоения знаний, умений и навыков
превращается фактически в контроль.
Это оказывает негативное воздействие на мотивационную сферу учащихся. Познавательная мотивация отступает на второй план, а на первый план выдвигаются
позиционные мотивы (мотивация благополучия или престижа), что отрицательно
влияет на развивающий эффект обучения.
В зависимости от характера познавательной деятельности учебные задания в
этом случае выстраиваются на уроке обычно в такой последовательности:
1) задания на подражание, когда учитель дает образец выполнения, сопровождая свои действия необходимыми пояснениями, а ученики следят за показом этого
252
образца и затем воспроизводят его, стремясь при этом достичь наибольшего сходства с ним;
2) тренировочные задания, требующие от школьников самостоятельного применения знаний, умений и навыков, приобретенных под руководством учителя,
в условиях аналогичных тем, в которых они формировались;
3) тренировочные задания, требующие от учащихся применения ранее приобретенных знаний (умений, навыков) в условиях, в большей или меньшей степени
отличающихся от тех, которые имели место при их формировании;
4) частично-поисковые или творческие задания, требующие от школьников активной мыслительной деятельности и самостоятельности в выборе способа действий.
Если соотнести эти виды заданий с этапами обучения, то объяснение нового в начальном курсе математики обычно связано с показом образца действий,
закрепление — с выполнением тренировочных заданий второго типа, этап применения — с тренировочными заданиями третьего типа. На этом же этапе иногда
включаются творческие (их называют нестандартными) задания, которые обычно
предлагаются некоторым учащимся для самостоятельной работы или выполняются
фронтально.
Критерии оценки таких уроков в школьной практике: количество решенных примеров и задач, объем записей, выполненных учащимися в тетрадях, правильные и
быстрые ответы детей на вопросы, которые задает учитель, разнообразие средств
наглядности, дидактических игр и форм обучения.
В развивающем курсе математики типы заданий, связанные с познавательной
деятельностью учащихся, выстраиваются, можно сказать, в обратной последовательности, т. е. частично-поисковые и творческие задания предлагаются детям на
этапе введения новых понятий и способов действий (этап объяснения). Они выполняются в совместной деятельности учителя и учащихся, которая направлена на обсуждение возможных способов действий, на выделение существенных признаков
изучаемого понятия, на осознание его взаимосвязи с ранее изученными вопросами. Результатом выполнения этих заданий является постановка новой учебной задачи, ее принятие и осознание школьниками.
Затем предлагаются задания, которые нацелены на решение поставленной
учебной задачи. В этом случае вряд ли можно говорить о тех тренировочных заданиях, которые описаны выше, так как при закреплении нового материала дети
ориентируются не на образец, данный учителем, а на те существенные признаки
и способы действий, которые они «открыли» в совместной деятельности. Это тоже
частично-поисковые задания. Ученики могут выполнить их самостоятельно или с
помощью учителя, но каждое из них создает условия для активной мыслительной
деятельности школьников и способствует пониманию учащимися нового вопроса.
Тренировочные задания в развивающем курсе математики характеризуются
вариативностью формулировок. Это могут быть задания: а) на сравнение (выделение признаков сходства и различия); б) на классификацию; в) на выявление закономерности; г) на установление причинно-следственных связей; на соотнесение
различных видов моделей. В вычислительных заданиях специально подбираются
253
числовые выражения, при анализе которых дети активно используют математические понятия и приемы умственной деятельности.
Задания на этапах постановки и решения учебной задачи носят обучающий характер. Их цель - создать методические условия не только для понимания и усвоения нового материала, но и для повторения ранее изученных вопросов. Основным
средством, обеспечивающим эти условия, являются различные методические приемы: это может быть неверный способ выполнения задания, который коллективно
обсуждается; сравнение данного задания с другим; выбор способа действия, который соответствует данному условию и др.
Обучающие задания можно предложить детям и для самостоятельной работы,
с последующим обсуждением ее результатов. Для этого учитель (или дети) выписывает на доске различные варианты выполнения задания, которые он выявил в процессе наблюдения за самостоятельной работой учащихся. Эти варианты обсуждаются, отклоняются или принимаются. В результате делается вывод о правильном
способе действия. Даже в том случае, если все ребята справятся с обучающим заданием, учитель не должен отказываться от его обсуждения. Он может написать на
доске неверный вариант выполнения задания, а дети, сравнив этот вариант со своим, находят допущенную ошибку.
В развивающей системе обучения на этапах постановки и решения учебной задачи используются обучающие задания, в которых: а) на первый план выдвигается
их познавательная, развивающая и дидактическая функции; б) учитываются особенности восприятия младшего школьника (использование элементов игры, догадки,
занимательности, «ловушки»); в) имеется возможность выполнять задания различными способами; г) максимально включаются в процесс выполнения заданий ранее
изученные понятия и способы действий, что позволяет не заниматься повторением
ранее пройденного материала в виде специального этапа обучения.
Структура развивающих уроков может быть различной.
Вполне возможны такие уроки, на которых учебная задача будет только поставлена, а решение ее станет целью последующих уроков ( двух, трех, а может быть,
и более). Например, приступая к изучению нумерации четырехзначных чисел, учитель предлагает детям задания:
v
По какому признаку можно разбить числа на две группы?
а) 33, 84, 75, 22, 13, 11,44, 53
6)91,81,82,95,87,94,85
в) 45, 36, 25, 52, 5 4 , 6 1 , Ш.
2
м
ш ип л> енныечиславпо
^SSSss?sss^ ««« ™ ° "
"
i число второго ряда на 7 сотен и запиши п о ч т — ™ола в по_ . _ , число последнего ряда на 9 сотен и запиши числа в порядке
возрастания.
254
По какому правилу записан ряд чисел?
991,992,993,994,...
Продолжи ряд, записав в нем еще 8 чисел. Если возникнет затруднение, воспользуйся калькулятором. По какому признаку можно разбить числа, записанные в
ряду, на две группы?
Знаешь ли ты, как называется самое маленькое четырехзначное число?
Набери на калькуляторе 1 тысячу. Какие клавиши ты нажимал? Проверь: на
экране должно быть число 1000. Прибавь к этому числу 1 тысячу, еще 1 тысячу, затем еще 1 тысячу... Наблюдай! Что происходит на экране?
Запиши в ряд числа, которые ты получал на экране калькулятора. Чем похожи
все эти числа?
Догадайся: как называется новый разряд, который стоит на четвертом месте
справа?
По какому правилу составлен каждый ряд чисел? Продолжи ряды, записав в
каждом еще шесть чисел. Прочитай по-разному каждое число,
а) 10, 20,30,40, ...
6)100,200,300,400,...
в) 1000, 2000, 3000, 4000, ...
г) 1001, 1002, 1003, 1004, 1005, ...
В результате выполнения заданий учащиеся осознают новую учебную задачу — научиться читать и записывать четырехзначные числа. Но к ее решению они
приступят только на следующем уроке.
Возможны уроки и с такой структурой: на первом этапе учитель подготавливает
своих учеников к восприятию новой учебной задачи, на втором этапе урока ставит
учебную задачу, а на третьем этапе дети приступают к ее решению, продолжая эту
деятельность на последующих уроках.
Наконец возможны уроки, на которых учебная задача будет поставлена и решена.
Таким образом, структура урока математики определяется: целями обучения,
содержанием того материала, который учащиеся должны усвоить, и способами организации их деятельности, которыми владеет учитель.
В развивающем курсе математики начальных классов урок сориентирован на
внутреннюю структуру. Ее основные компоненты: учебные задачи и те учебные задания, которые способствуют их решению. Они носят частично-поисковый характер
и выполняют прежде всего обучающую и развивающую функцию.
Критериями оценки развивающих уроков являются логика их построения, направленная на решение учебной задачи, вариативность предлагаемых заданий и
взаимосвязь между ними, которая обеспечивается различными методическими
приемами; продуктивная мыслительная деятельность учащихся, активное высказывание детьми самостоятельных суждений и способов их обоснования.
255
§ 2. ОБЩИЙ СПОСОБ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧИТЕЛЯ
ПРИ ПЛАНИРОВАНИИ УРОКА
В результате изучения методического курса вы должны научиться планировать,
проводить и анализировать уроки математики. Для этого необходимо:
— усвоить те вопросы, которые рассматривались в предшествующих главах
данного учебного пособия;
— приобрести умение ориентироваться в учебниках математики для начальных
классов, научиться видеть за их иллюстрациями, упражнениями, задачами математические понятия и взаимосвязь между ними, «переводить» эти понятия на язык,
доступный, понятный и интересный маленькому школьнику;
— разобраться в том, что такое развивающее обучение математике, и научиться
организовывать продуктивную деятельность учеников с помощью таких логических
приемов, как сравнение, анализ и синтез, классификация, аналогия, обобщение;
— овладеть развивающим подходом к обучению решению задач и умением использовать различные методические приемы, активизирующие мыслительную деятельность учащихся.
Готовясь к своим первым урокам, вы, конечно, будете советоваться с учителями, работающими в классе, и ориентироваться на тот учебник математики, по которому учатся дети. Ведь именно в учебнике находят отражение логика построения
курса и методические подходы к формированию у младших школьников математических понятий, свойств и способов действий.
Тем не менее независимо от программы, учебника, особенностей класса и учителя вы можете ориентироваться на общий способ деятельности, который позволит
вам обдумать логику предстоящего урока на основе знаний, умений и навыков, приобретенных в процессе изучения методического курса.
Этот общий способ деятельности, связанный с планированием урока, можно
представить в виде следующей последовательности вопросов.
1. Какие понятия, свойства, правила, вычислительные приемы рассматриваются на данном уроке?
2. Что я сам о них знаю?
3. С какими из них дети знакомятся впервые? С какими уже знакомы? Когда они
познакомились с ними? (Найдите соответствующие страницы в учебниках и изучите содержание тех заданий, которые учащиеся выполняли после знакомства с этими понятиями, свойствами, способами действий.)
4. Какова функция учебных заданий данного урока (обучающая, развивающая,
контролирующая)? Как учащиеся могут рассуждать при выполнении этих заданий?
5. Какова дидактическая цель данного урока?
6. Какие задания, предложенные в учебнике, по вашему мнению, можно исключить
из урока? Какими заданиями можно его дополнить? Какие задания преобразовать?
7. Как можно организовать продуктивную, развивающую деятельность школьников, направленную на восприятие нового материала, его осознание и усвоение?
Какие методические приемы и формы организации деятельности учащихся, известные вам из курса педагогики, можно для этого использовать?
256
8. Какие трудности могут возникнуть у детей при выполнении каждого задания,
какие ошибки они могут допустить в процессе их выполнения; как вы организуете
деятельность класса по предупреждению или исправлению ошибок?
Возможно, что ответы на эти вопросы потребуют от вас много времени, так
как придется возвращаться к материалам предыдущих глав учебного пособия, к
лекциям по математике (например, для ответа на второй вопрос), к статьям в журнале «Начальная школа» и к другим методическим материалам, к анализу учебников
математики для начальных классов. Но, ориентируясь на данные вопросы, вы сможете научиться планировать содержательные, выстроенные в определенной логике уроки, и ваша деятельность, направленная на развитие младших школьников в
процессе обучения математике, будет осознанной, обоснованной и творческой.
Исходя из содержания урока, вы можете не отвечать развернуто на некоторые
вопросы, например, на второй. Вы можете также изменить их последовательность
или, обдумывая урок, объединить некоторые вопросы, например первый и третий,
первый и четвертый.
Планируя урок необходимо продумать и такие вопросы:
— что вы заранее напишете на доске;
— что будете писать на доске вы, а что — дети в процессе обсуждения заданий;
— какую работу на уроке вы организуете фронтально, какую — индивидуально;
— какие задания дети будут выполнять самостоятельно, а какие — с вашей помощью;
— как вы организуете обсуждение самостоятельной работы;
— какие вопросы вы зададите детям, если они допустят ошибки в вычислениях;
— какие наглядные пособия используете на уроке.
Оформляя конспект урока, вы записываете его тему, цель, содержание всех заданий и организацию деятельности учащихся в процессе их выполнения, а также
предполагаемые ответы детей.
Приведем примерные варианты конспектов уроков.
Урок 1 (2-й класс)
Тема: Сложение двузначных и однозначных чисел с переходом в другой разряд.
Цель: Познакомить детей с приемом сложения двузначных и однозначных чисел с переходом в другой разряд. ( Постановка учебной задачи и овладение способом ее решения.)
1. Постановка учебной задачи
На доске записано название темы: «Сложение двузначных и однозначных чисел».
— Посмотрите, дети, как называется тема нашего урока (ребята читают название темы).
— Придумайте выражения, в которых складываются однозначные и двузначные
числа.
257
Дети приводят примеры выражений. Я записываю их на доске. Если некоторые
ученики будут ошибаться, то другие их поправят. (Предполагаю, что выражения будут как на нахождение суммы без перехода в другой разряд, так и с переходом.)
Записываю на доске 10—12 выражений. Например:
32+4
64+9
37+5
42+6
64+3 и т. д.
Слежу за тем, какие выражения предлагают дети. Если их предложения включают только случаи без перехода в другой разряд (а такое вполне возможно, т. к.
они эти случаи уже изучили), то говорю: «А можно я тоже придумаю выражение?»
и предлагаю выражения на сложение двузначных и однозначных чисел с переходом
в другой разряд.
— Значения каких выражений вы могли бы вычислить?
Предполагаю, что со сложением без перехода в другой разряд большинство
второклассников должно справиться.
По мере того как дети вычисляют значения выражений, я записываю их на доске
в два столбца (в один — случаи без перехода в другой разряд, в другой — с переходом):
32+4
64+9
42+6
37+5
64+3
и т.д.
Вполне возможно, что некоторые смогут найти значения выражений и во втором столбце. Я записываю ответы.
При вычислении спрашиваю каждый раз: «У кого другое мнение?» Если есть
другое мнение, предлагаю его обосновать.
Затем обращаюсь к классу с вопросом:
— Может быть, кто-нибудь догадался, почему я записала равенства в два
столбца?
Обсуждаем высказывания детей. Все зависит от того, как они справятся с вычислением выражений.
а) Если значения выражений во втором столбце никто не сможет найти, то итог
обсуждения может быть таким: «В первом столбце я записала выражения, значения
которых вы все быстро вычислили. Выражения второго столбца вызвали у вас затруднения. Вот мы и будем учиться вычислять значения таких выражений».
б) Если дети (некоторые) вычислят значения выражений второго столбца, то попробую выяснить, как это им удалось сделать (наверное, возможны варианты):
64+9=64+(6+3)=(64+6)+3=73
64+9=(60+4)+9=60+(4+9)=60+13=73
Эти записи не выполняются, учащиеся объясняют способ действия устно.
В этом случае обращаю внимание на то, что в первом столбце изменилась только цифра, обозначающая единицы, а цифра, обозначающая десятки, не изменилась — (32+4=36), а во втором случае изменились цифры, обозначающие единицы
и десятки — (64+9=7_3).
Опять предлагаю детям попытаться объяснить, почему так происходит (возможно обращение к моделям десятков и единиц).
258
Подвожу итог первому этапу: «Ну что ж, давайте будем все вместе разбираться
в этом вопросе».
2. Решение учебной задачи
(Все задания включаются в конспект и даются предполагаемые ответы детей)
Предлагаю задания из учебника:
Можно ли утверждать, что значения выражений в каждой паре одинаковы?
29+1+6
46+4+5
57+3+5
29+7
46+9
57+8
68+2+5
87+3+6
36+4+2
68+7
87+9
36+6
Какое свойство сложения ты можешь использовать для обоснования своего ответа?
Найди значения выражений:
29+1+8
46+4+5
34+6+1
57+3+4
45+5+4
58+2+3
58+2+7
29+1+7
46+4+4
34+6+2
57+3+6
45+5+2
Подумай! Какие равенства ты можешь использовать для вычисления значений
выражений:
58+5
34+8
45+7
57+9
29+8
46+8
В случае необходимости использую наглядные модели десятков (зеленый треугольник с десятью красными кружками) и единиц (красный кружок), а также задание: «Дополни до разрядных десятков числа: 39, 45, 78, 24 и т. д.».
Делаем вывод — как прибавлять однозначное число к двузначному с переходом
в другой разряд.
Чтобы дети лучше поняли новый прием (прибавление по частям) и его взаимосвязь с ранее изученными приемами, предлагаю им устно найти значения выражений:
36+3
47+1
54+3
36+4
47+2
54+5
36+5
47+3
54+6
36+6
47+4
54+7
Дети выполняют самостоятельно в тетрадях с печатной основой задание:
Вставь числа в
17+8=17+(3+
84+9=84+(6=
69+4=69+(1+
38+7=38+(2+
«окошки», чтобы получились верные равенства:
)
56+9=56+(4+ )
)
72+9=72+(8+ )
)
83+8=83+(7+ )
)
48+6=48+(2+ )
259
Обсуждаем результаты самостоятельной работы.
Предлагаю учащимся самостоятельно (с последующим обсуждением) выполнить задание:
Разгадай правила, по которым составлены ряды чисел. Запиши в каждом ряду
еще 4 числа:
а) 19, 23, 27, 31 ...
6)83,78,73,68...
в) 54, 50, 46, 42, 38...
Подвожу итог урока и записываю на доске номера домашнего задания.
Урок 2 (3-й класс)
Тема: Порядок выполнения действий в выражениях (первый урок по теме).
Цель: Познакомить учащихся с правилами порядка выполнения действий в выражениях.
На доске заранее записаны выражения:
3-7+(5+8)-4
3+7-(5+8)+4
(3+7)-5+8-4
— Сравните выражения. Чем они похожи? Чем отличаются друг от друга? (Числа одинаковые во всех выражениях, а действия с этими числами выполняются разные.)
— Сегодня в центре нашего внимания будут те арифметические действия, которые выполняются с числами. Думаю, что вы сможете ответить: сколько действий
выполняется в каждом выражении? (4! Этим тоже выражения похожи!)
— Думаю, что вы сможете ответить и на такой вопрос: «Какое действие нужно
выполнять в каждом выражении первым?» (То, которое записано в скобках.)
— Верно. Но вот какое действие нужно выполнять в каждом выражении вторым,
третьим, четвертым — это как раз тот вопрос, на который мы должны ответить в
конце урока.
Итак, цель нашего урока — ответить на вопрос: в каком порядке надо выполнять
действия в данных выражениях? Пока я закрою эти выражения шторкой.
Выполняем устно задания из учебника.
Сравни выражения в каждой паре. Чем они похожи? Чем отличаются? Чем похожи все вторые выражения в каждой паре? Чем похожи первые выражения в каждой паре?
а)72-9-3+6
б)48-6+7+8
в)27-3+2-7
72:9-3:6
48:6-7:8
27:3-2:6
260
Чем отличаются друг от друга выражения в каждом столбце?
а) 56-(8+9)-7
6)72:9-3:6:2
56-8-9-7+24
72:9-3:(6:2)-7
56-8-9-(7+24)
72:9-3:6:2-7
Чем похожи и чем отличаются выражения в каждой паре?
а) 35:7+8
б) 18+24:8-2
в) 63:7+8 • 4
35:7-8
18+24:(8-2)
63+7-8+4
Цель этих заданий — акцентировать внимание детей на количестве действий в
каждом выражении и на самих арифметических действиях.
Подвожу итог:
— Молодцы! Вы очень зоркие. Думаю, что теперь мы можем перейти к самому
главному. Дело в том, что в математике существуют определенные правила, которые определяют порядок выполнения действий в выражениях. Давайте прочитаем
первое правило. Читаем правило вслух.
А теперь откройте тетради и выпишите из заданий, которые мы выполняли,
три выражения, соответствующие этому правилу. Можете выбрать их из любого
номера.
Дети работают самостоятельно. Я хожу по классу и наблюдаю за ними. Некоторых вызываю к доске, чтобы они перенесли на нее те выражения, которые записали
в тетради. (Буду вызывать тех, кто допустит ошибки.)
Если ученики не допустят ошибок, сама запишу на доске выражение:
72 : 9 • 3 : (6 : 2) • 7. (Оно неверное.)
После обсуждения этого выражения и проверки самостоятебльной работы переходим к чтению второго правила (в учебнике), и дети опять самостоятельно выписывают выражения, которые соответствуют этому правилу.
Ученики работают. Я хожу по классу и помогаю тем, кто испытывает затруднения.
Предлагаю самостоятельно расставить порядок действий в каждом выражении
так, как это сделано в образце, который дан в учебнике.
Пока дети выполняют задание, записываю на доске те выражения, с которыми
они работают: 35:7+8; 18+24:8-2; 63:7+8-4.
Вызываю к доске троих учеников, чтобы они расставили порядок выполнения
действий, остальные проверяют, верно ли они справляются с заданием.
Предлагаю вычислить самостоятельно значения выражений. Ответы лучше записать простым карандашом, вдруг кто-то ошибется.
Наблюдаю за работой класса. Вызову к доске тех, кто допустит ошибки. Познакомлю детей с записью:
18 + 2 4 : 8 - 2
\/
\
261
Читаем третье правило. Выписываем выражения, вычисляем их значения.
— А теперь вернемся к тому, с чего мы начали наш урок. Кто помнит, какую цель
мы ставили? (Открываю шторку, за которой скрыты выражения, записанные в начале урока.)
Ребята по очереди выходят к доске, расставляют порядок действий в выражениях и вычисляют их значения.
Затем выполняю на доске записи:
+ • + • ( - ) : + • :
— Представьте, что вместо «окошечек» стоят числа и вы должны выбрать правило порядка выполнения действий, которое соответствует данной записи.
Вызываю к доске желающих, они расставляют порядок действий, затем обсуждаем всем классом результаты их работы.
Самостоятельная работа (Задания из Тетради с печатной основой.)
Задание на дом.
§ 3. МЕТОДИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УРОКА МАТЕМАТИКИ
С понятием «анализ урока» вы познакомились в курсе педагогики. Методический анализ урока, включая в себя все компоненты педагогического анализа, имеет
свою специфику, которая прежде всего обусловливается содержанием предмета.
На каких же аспектах урока следует сосредоточить внимание, анализируя его
с методической точки зрения?
Особенность методического анализа заключается в том, что он должен проводиться в два этапа.
На первом этапе учитель сам оценивает, удалось ли ему реализовать намеченный план на практике. Для этого он формулирует цель урока и обосновывает логику
своих действий, которые спланировал для достижения этой цели. Затем сравнивает логику запланированных действий с логикой проведения реального урока. Для
этого целесообразно остановиться на следующих вопросах:
— Какие моменты урока оказались для учителя неожиданными?
— Чего он не смог учесть при планировании урока?
— На какие ответы учащихся не смог отреагировать?
— Пришлось ли ему отступить от запланированных им действий и почему?
— Заметил ли он свои речевые ошибки, недочеты, неудачно сформулированные вопросы?
— Считает ли учитель, что урок достиг поставленной цели? Что является критерием этой оценки? (Активная работа школьников, их интерес к уроку, успешное
выполнение самостоятельной работы и т. д.)
На втором этапе все эти вопросы — предмет дальнейшего обсуждения урока
коллегами (методистом, студентами), присутствующими на уроке.
План этого обсуждения можно представить в виде следующей последовательности вопросов:
262
1. Соответствует ли логика урока его цели? (При обсуждении данного вопроса
полезно остановиться не только на реальном уроке, но и на той логике, которая лежала в основе его планирования.)
2. Какие виды учебных заданий использовал учитель на уроке: тренировочные,
частично-поисковые, творческие? Какие из них заслуживают положительной оценки? Почему?
3. Соответствуют ли учебные задания, подобранные учителем, цели урока?
4. Какие функции выполняли задания, предложенные учителем: обучающую,
развивающую, контролирующую? Что заслуживает положительной оценки?
5. Грамотно ли учитель использовал математическую терминологию, предлагал учащимся вопросы и задания?
6. Какие методические приемы, используемые учителем на уроке, заслуживают
положительной оценки — при работе над отдельными заданиями, при изучении нового, при закреплении материала, проверке?
7. Какие формы организации деятельности учащихся (индивидуальная, фронтальная, групповая), применяемые учителем на уроке, заслуживают положительной
оценки?
8. Удалось ли учителю установить контакт с детьми (обратная связь), успешно осуществлять коррекцию их действий, создавая ситуации успеха, реализовать
идею сотрудничества? Какие моменты урока заслуживают положительной оценки с
этой точки зрения?
Если ваш урок соответствует поставленной цели, если вы сможете обосновать
его логику, если дети будут активно работать на вашем уроке и вы получите запланированный результат, то можете быть уверенными в правильности своих действий!
263
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ,
РЕКОМЕНДУЕМОЙ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ
Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах. Под
ред. М.И. Моро, A.M. Пышкало. — М., 1977.
Артемов А.К., Истомина Н.Б. Теоретические основы методики обучения математике
в начальных классах. — Москва — Воронеж, 1996.
Амонашвили Ш.А. В школу — с шести лет. — М., 1986.
Амонашвили Ш.А. Единство цели. — М., 1987.
Амонашвили Ш.А. Здравствуйте, дети! — М., 1988.
Амонашвили Ш.А. Какживете, дети? — М., 1987.
Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных
классах. — М., 1984.
Бугрименко Е.А., Микулина Г. Г. и др. Руководство по оценке качества математических и лингвистических знаний школьников. Методические разработки. Под ред.
В.И. Слободчикова. — М., 1993.
Выготский Л. С. Избранные психологические исследования. — М., 1956.
Выготский Л. С. Педагогическая психология. — М., 1991.
Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении. — М., 1972.
Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения. — М., 1986.
Давыдов В.В. Психическое развитие в младшем школьном возрасте (Возрастная
и педагогическая психология). Под ред. А.В. Петровского. — М., 1973.
Депман И.Я. Рассказы о старой и новой алгебре. — Л., 1967.
Ершов АЛ., Букатов В.М. Режиссура урока, общения и поведения учителя. — М.,
1995.
Загвязинский В.И. Методология и методика дидактического исследования. — М.,
1982.
ЗакА.З. Развитие умственных способностей младших школьников. — М., 1994.
Занков Л, В. Беседы с учителями. (Вопросы обучения в начальных классах.) — М.,
1975.
ЗанковЛ.В. Избранные педагогические труды, — М., 1990.
Истомина Н.Б. Активизация учащихся на уроках математики в начальных классах. — М., 1985.
Истомина Н.Б. Методические возможности калькулятора при обучении младших
школьников математике. — М., 1993.
Кабанова-Меллер Е.Н. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся. — М., 1968.
Каплан Б.С., Рузин Н.К., Столяр А.А. Методы обучения математике. — М., 1981.
Кордемский Б.А. Математическая шкатулка. — М., 1991.
КостюкГ.С. Избранные педагогические труды. — М., 1988.
Крутецкий В.А. Психология математических способностей. — М.,1968.
Макаренков Ю.А., Столяр А.А. Что такое алгоритм? — М., 1989.
Маркова А.К., Орлов А.Б., Фридман Л.М. Мотивация учения и ее воспитание у
школьников. — М., 1983.
264
Маркова А. К. Формирование мотивации учения в школьном возрасте. — М., 1983.
МатюшкинА.М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. — М., 1977.
МенчинскаяН.А., Моро М.И. Вопросы методики и психологии обучения арифметике
в начальных классах. — М., 1965
Менчинская Н.А. Проблемы обучения, воспитания и психического развития ребенка. — Москва—Воронеж, 2004.
Метельский Н.В. Пути совершенствования обучения математике. — Минск, 1989.
Методика начального обучения математике. Под ред Л.Н. Скаткина. — М., 1972.
Методика начального обучения математике. Под ред. А.А. Столяра и В.Л. Дрозда. — Минск., 1988.
Моро М.И. Пышкало A.M. Методика обучения математике в 1—3 классах. — М.,
1978.
Овчинникова B.C. Методика обучения решению задач в начальной школе.
Части 1,2 — М . , 1998.
Овчинникова B.C. Методика обучения решению задач в начальной школе. Учебное
пособие. — М, 2003.
Новое время — новая дидактика. Сборник к 100-летию Л.В. Занкова. — М., 2001.
Обучение и развитие. Под ред. Л.В. Занкова. — М., 1975.
Пиаже Ж. Избранные психологические труды. — М., 1969.
Пидкасистый П.И. Самостоятельная познавательная деятельность школьников в
обучении. — М., 1980.
Рубинштейн С.Л. Проблемы общей психологии, — М., 1973.
Средства обучения математике в начальных классах. (Сборник статей). — М., 1981.
Стрезикозин В.П. Актуальные проблемы начального обучения. — М., 1976.
Суворова Г.Ф. Совершенствование учебного процесса в малокомплектной начальной школе. — М., 1980.
Талызина Н.Ф. Формирование познавательной деятельности младших школьников, — М., 1988.
Труднее В. П. Внеклассная работа по математике в начальной школе. — М., 1975.
Ушинский К.Д. Человек как предмет воспитания.— С-Пб., 1881.
ФридманЛ.М., Волков К.Н. Психологическая наука — учителю. — М., 1985.
ФридманЛ.М., Кулагина И.Ю. Психологический справочник учителя, — М., 1991.
Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. — М.,
1977.
ФридманЛ.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. — М.,
1983.
Фридман Л.М. Сюжетные задачи по математике. История, теория, практика. — М.,
2002.
Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. — М., 1982.
Цукерман Г.А. Виды общения в обучении. — Томск, 1993.
Чуприкова Н.И. Умственное развитие и обучение. Психологические основы развивающего обучения. — М., 1995.
Шарыгин И.Ф. Наглядная геометрия. — М., 1992.
Эльконин Д. Б. Избранные психологические труды. Под ред. В.В. Давыдова,
265
В.П. Зинченко. — М., 1989.
Эрдниев П.М. Взаимообратные действия в арифметике. — М., 1969.
Эрдниев П.М. Обучение математике в начальных классах. Опыт обучения методом
укрупнения дидактических единиц. — М., 1979.
Эрдниев П.М., Эрдниев Б. П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. — М., 1986.
Якиманская И.С. Развивающее обучение. — М., 1979.
Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьников. — М., 1980.
266
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОМУ
КОМПЛЕКТУ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ
1. Истомина Н.Б. Математика. 1 класс. Учебник. — Смоленск: Ассоциация XXI век,
2004.
2. Истомина Н.Б. Тетради №1, 2 по математике для 1 класса. — Смоленск: Ассоциация XXI век, 2004.
3. Истомина Н.Б. Методические рекомендации к учебнику «Математика. 1 класс» —
Смоленск: Ассоциация XXI век, 2004.
4. Истомина Н.Б. Математика. 2 класс. Учебник. — Смоленск: Ассоциация XXI век,
2004.
5. Истомина Н.Б. Тетради №1, 2 по математике для 2 класса. — Смоленск: Ассоциация XXI век, 2004.
6. Истомина Н.Б. Методические рекомендации к учебнику «Математика. 2 класс» —
Смоленск: Ассоциация XXI век, 2004.
7. Истомина Н.Б. Математика. 3 класс. Учебник. — Смоленск: Ассоциация XXI век,
2004.
8. Истомина Н.Б., Клецкина А.А. Тетради №1, 2 по математике для 3 класса. — Смоленск: Ассоциация XXI век, 2004.
9. Истомина Н.Б. Методические рекомендации к учебнику «Математика. 3 класс» —
Смоленск: Ассоциация XXI век, 2004.
10. Истомина Н.Б. Математика. 4 класс. Учебник. — Смоленск: Ассоциация XXI век,
2004.
11. Истомина Н.Б., Городниченко О.Э. Тетради №1, 2 по математике для 4 класса. — Смоленск: Ассоциация XXI век, 2004.
12. Истомина Н.Б. Методические рекомендации к учебнику «Математика. 4 класс» —
Смоленск: Ассоциация XXI век, 2004.
В ДОПОЛНЕНИЕ К КОМПЛЕКТУ ИЗДАНЫ:
1. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. — Смоленск:
Ассоциация XXI век, 2005.
2. Истомина Н.Б. Учимся решать задачи. Тетрадь по математике, 1—2 кл. — М.:
Линка-Пресс, 2004.
3. Истомина Н.Б. Учимся решать задачи. Тетрадь по математике, 3 кл. — М.: Линка-Пресс, 2004.
4. Истомина Н.Б., Малыхина В.В. Учимся решать задачи. Тетрадь по математике,
4 кл. — М.: Линка-Пресс, 2004.
5. Истомина Н.Б., Шадрина И.В. Наглядная геометрия. 1 класс. — М.: ЛинкаПресс, 2004.
6. Истомина Н.Б. Наглядная геометрия. 2 класс. — М.: Линка-Пресс, 2004.
267
7. Истомина Н.Б., Подходова Н.С. Наглядная геометрия. 3 класс. — М.: ЛинкаПресс, 2004.
8. Истомина Н.Б., Редько З.Б. Наглядная геометрия. 4 класс. — М.: Линка-Пресс,
2004.
9. Истомина Н.Б., Воителева Г.В. Комплект наглядных пособий по математике.
Состав однозначных чисел. 1 класс. — М.: Линка-Пресс, 2002.
10. Истомина Н.Б., Горина О.П. Комплект наглядных пособий по математике. Разгадай правило. Целое и части. — М.: Линка-Пресс, 2005.
11. Истомина Н.Б., Горина О.П. Комплект наглядных пособий по математике. Убери лишнюю карточку. Двузначные числа. — М.: Линка-Пресс, 2005.
12. Истомина Н.Б., Горина О.П. Комплект наглядных пособий по математике. Увеличить (уменьшить) на ... На сколько больше (меньше?) — М.: Линка-Пресс, 2005.
13. Истомина Н.Б., Тажева М.У. 110 задач с сюжетами из сказок. — М.: ACT, 2002.
14. Истомина Н.Б., Муртазина Н.А. Готовимся к школе. Тетради по математике
№1, № 2. — М.: Линка-Пресс, 2003.
15. Истомина Н.Б., Шмырева Г.Г. Карточки с математическими заданиями для
1,2,3,4 классов. — Тула: Родничок, 2002.
16. Истомина Н.Б., Виноградова Е.П., Редько З.Б. Учимся решать комбинаторные задачи (1—2 классы). — Смоленск: Ассоциация ХХ1век, 2003.
17. Истомина Н.Б., Виноградова Е.П. Учимся решать комбинаторные задачи
(3 класс). — Смоленск: Ассоциация ХХ1век, 2004.
18. Истомина Н.Б., Виноградова Е.П., Редько З.Б. Учимся решать комбинаторные задачи (4 класс). — Смоленск: Ассоциация ХХ1век, 2004.
19. Попова СВ. Уроки математической «Гармонии» (1 класс. Из опыта работы).
Под ред. Н.Б. Истоминой. — Смоленск: Ассоциация XXI век, 2003.
20. Попова СВ. Уроки математической «Гармонии» (2 класс. Из опыта работы).
Под ред. Н.Б. Истоминой. — Смоленск: Ассоциация XXI век, 2004.
2 1 . Истомина Н.Б., Шмырева ГГ. Контрольные работы по математике, 1 класс. —
Смоленск: Ассоциация XXI век, 2004.
22. Истомина Н.Б., Шмырева ГГ. Контрольные работы по математике, 2 класс. —
Смоленск: Ассоциация XXI век, 2004.
23. Истомина Н.Б., Шмырева ГГ. Контрольные работы по математике, 3 класс. —
Смоленск: Ассоциация XXI век, 2004.
24. Истомина Н.Б., Шмырева ГГ. Контрольные работы по математике, 4 класс. —
Смоленск: Ассоциация XXI век, 2004.
25. Истомина Н.Б. Программа по математике для начальных классов. — Смоленск: Ассоциация XXI век, 2004.
268
ПРЕЕМСТВЕННОСТЬ НАЧАЛЬНОЙ И ОСНОВНОЙ
ШКОЛЫ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ ОБЕСПЕЧИВАЕТСЯ
УЧЕБНО-МЕТОДИ^
1М КОМПЛЕКТОМ ДЛЯ 5™6 КЛАССОВ
1. Истомина Н.Б. Математика. 5 класс. Учебник. — Смоленск: Ассоциация XXI век,
2001.
2. Истомина Н.Б. Математика. 6 класс. Учебник. — Смоленск: Ассоциация XXI век,
2001.
3. Истомина Н.Б., Воителева Г.В. Тетрадь по матаметике № 1 «Натуральные
числа». 5 класс. — Смоленск: Ассоциация XXI век, 2001.
4. Истомина Н.Б., Воителева Г.В. Тетрадь по матаметике № 2 «Обыкновенные
дроби». 5 класс. — Смоленск: Ассоциация XXI век, 2001.
5. Истомина Н.Б., Воителева Г.В. Тетрадь по матаметике № 3 «Десятичные дроби». 5 класс. — Смоленск: Ассоциация XXI век, 2001.
6. Истомина Н.Б., Редько З.Б. Тетрадь по матаметике № 1 «Обыкновенные и
десятичные дроби». 6 класс. — Смоленск: Ассоциация XXI век, 2001.
7. Истомина Н.Б., Редько З.Б. Тетрадь по матаметике № 2 «Рациональные числа».
6 класс. — Смоленск: Ассоциация XXI век, 2001.
8. Истомина Н.Б. Методические рекомендации к учебникам «Математика. 5 класс»,
«Математика. 6 класс». — Смоленск: Ассоциация XXI век, 2001.
9. Истомина Н.Б., Мендыгалиева А.К. «Учимся решать задачи». Тетрадь по математике № 1 . 5 класс. — Смоленск: Ассоциация XXI век, 2005.
10. Истомина Н.Б., Мендыгалиева А.К. «Учимся решать задачи». Тетрадь по математике № 2. 5 класс. — Смоленск: Ассоциация XXI век, 2005.
11. Истомина Н.Б., Горина О.П. Контрольные работы по математике. 5 класс. —
Смоленск: Ассоциация XXI век, 2005.
269
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
3
ГЛАВА 1. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ КАК
ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ НАУКА И КАК УЧЕБНЫЙ ПРЕДМЕТ
§ 1. Наука об обучении математике
§ 2. Общая характеристика развития начального математического
образования
§ 3. Задачи методики обучения математике как учебного предмета
9
14
ГЛАВА 2. УЧЕБНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ МЛАДШЕГО ШКОЛЬНИКА
В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
§ 1. Понятие учебной деятельности и ее структура
§ 2. Учебная задача и ее виды
§ 3. Постановка учебной задачи при обучении математике
§ 4 . Виды учебной деятельности
19
19
20
22
26
ГЛАВА 3. РАЗВИТИЕ МЫШЛЕНИЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ
В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
§ 1. Приемы умственной деятельности и их формирование
при обучении математике
§ 2. Способы обоснования истинности суждений
§ 3. Взаимосвязь логического и алгоритмического
мышления школьников
ГЛАВА 4. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ НАЧАЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ
И ОСОБЕННОСТИ ИХ УСВОЕНИЯ МЛАДШИМИ ШКОЛЬНИКАМИ
§1. Натуральное число. Счет. Взаимосвязь количественных и порядковых
чисел. Цифра
§ 2. Отрезок натурального ряда. Присчитывание и отсчитывание по 1
§ 3. Сравнение чисел
§ 4. Смысл действий сложения и вычитания
§ 5. Свойства сложения
§ 6. Взаимосвязь компонентов и результатов действий сложения
и вычитания
§ 7 . Число и цифра 0
§ 8. Десятичная система счисления. Нумерация чисел
§ 9 . Величины
§ 10. Смысл действия умножения
§ 11. Свойства умножения
§ 12. Смысл действия деления
§ 13. Деление суммы на число
§ 14. Порядок выполнения действий в выражениях
270
6
6
28
28
44
50
57
57
66
71
72
79
82
86
87
99
115
120
125
131
134
§ 15. Деление с остатком
§ 16. Уравнения
§ 17. Геометрические фигуры
138
144
147
ГЛАВА 5. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ
В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
-..156
§ 1. Устные и письменные вычисления в начальном курсе математики
156
§ 2. Таблица сложения и соответствующие случаи вычитания
160
§ 3. Сложение однозначных чисел с переходом в другой разряд
и соответствующие случаи вычитания (Таблица сложения и вычитания
в пределах 20)
165
§4. Приемы устного сложения и вычитания чисел
170
§ 5. Таблица умножения (соответствующие случаи деления)
178
§ 6. Приемы устного умножения и деления
186
§ 7. Алгоритмы письменного сложения и вычитания
190
§ 8. Алгоритм письменного умножения
195
§ 9. Алгоритм письменного деления
200
ГЛАВА 6. ОБУЧЕНИЕ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
§ 1. Понятие «задача» в начальном курсе математики
§ 2. Способы решения задач в начальном курсе математики
§ 3. Решение задач арифметическим способом
§ 4 Различные методические подходы к формированию умения
решать задачи
§ 5. Методические приемы обучения младших школьников
решению задач
§ 6. Организация деятельности учащихся при обучении решению задач
с пропорциональными величинами
210
210
211
214
ГЛАВА 7. УРОК МАТЕМАТИКИ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
§ 1. Различные подходы к построению урока математики
§ 2. Общий способ деятельности учителя при планировании урока
§ 3. Методический анализ урока математики
251
251
256
262
Список литературы, рекомендуемой для изучения
Список литературы к учебно-методическому комплекту по математике
для начальной школы
В дополнение к комплекту изданы:
264
216
218
230
267
267
271
Учебники, выпускаемые издательством «Ассоциация
XXI век», можно приобрести в издательстве по минимальным
ценам. Издательство отгружает книги напрямую любым
покупателям: Управлениям образования Российских регионов, книготорговым организациям, школам. Отгрузка
книг осуществляется контейнерами, почтово-багажными
вагонами, почтовыми посылками со складов в Смоленске и
Москве.
За дополнительной информацией обращайтесь по
адресу издательства в Интернете.
Адрес издательства «Ассоциация XXI век»
Для корреспонденции: 214000, г. Смоленск, а/я 214
Адрес в Интернете: www.ass21vek.ru
E-mail: info@ass21vek.ru
Тел./факс (0812) 32-74-57
Истомина Наталья Борисовна
МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
Развивающее обучение
Издательство «Ассоциация XXI век»
Подписано в печать 15.09.05. Формат 60x90/16. Печать офсетная.
Бумага офсетная. Гарнитура «Прагматика». Усл. печ. л. 17,0.
Тираж 5000 экз. Заказ № 12726 ш-по.
Отпечатано с диапозитивов на Федеральном государственном унитарном
предприятии Смоленский полиграфический комбинат Федерального агентства по
печати и массовым коммуникациям. 214020, г. Смоленск, ул. Смольянинова, 1.