Document 160230

Яремко Н.Н. Метод операторов преобразования для решения обратных задач теплопроводности. // Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике:
Сб. статей Междунар. научно-техн. конф.– Пенза: ПДЗ, 2010. – С. 54-58.
МЕТОД ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Н.Н. Яремко
Пензенский государственный педагогический университет
им. В.Г. Белинского,
г. Пенза, Россия
В работе найдено аналитическое решение обратной задачи теплопроводности.
Yaremko N.N. Operator transform method of solving the inverse heat conductivity problems. In the article the analytical solving of the inverse problems heat conductivity is considered.
Прямой J : f̂  f и обратный
следуя [1], равенствами:
J 1 : f  f̂
операторы преобразования определим,


f x     x,    e i fˆ  d

 
d ,



fˆ x    ei      ,   f  d d.

 

Здесь x,   и  x,  – собственные функции прямой и сопряженной задач
Штурма-Лиувилля для оператора Фурье на кусочно-однородной оси [1].
Теорема 1. При выполнении условий неограниченной разрешимости
(см.[1]) спектр обеих краевых задачи непрерывен и заполняет всю ось   ,  ,
каждому собственному значению  соответствует одна с точностью до постоянного множителя собственная функция.
Справедливы утверждения (см.[1]).
Теорема 2. Если вектор-функция f (x) определена, кусочно-непрерывна, абсолютно суммируема и имеет ограниченную вариацию на I n , то для каждого
x  I n справедливо интегральное представление
1
 f x  0  f x  0  1
2
2
где

  x,   f  d ,
~
(1)


~
f      x ,  f x dx .

Определим аналоги системы функций Эрмита на кусочно-однородной действительной оси:

  
H j , n  x      x,   H j 
d ,

2  



H *j , n x     * x,   H j 2   d.

здесь H j – система классических ортогональных функции Эрмита [2].
Лемма 1. Функции H j ,n x  H *j ,n x  образуют биортогональную систему функций на кусочно-однородной действительной оси.
Доказательство. Имеем равенство:



H j ,n x  H k*,n x dx  




  x,   H  d   

j



 * x,   H k  d dx.

Переставляя интегралы местами, получим:



H j ,n x H k*,n x dx  




H j      x,      * x,   H k  d  dx  d.
 
 
 
По теореме разложения имеем:


H k      x,     * x,   H k  d dx.

 

Следовательно,



H j , n x H k*, n x dx  


H j  H k  d   jk .
Функции Эрмита на кусочно-однородной действительной оси применяются
для решения обратной задачи теплопроводности [3]. В этой задаче неизвестным
является первоначальное распределение источников, порождающее заданное
распределение температуры в бесконечном кусочно-однородном стержне I n .
Математическая постановка указанной задачи состоит в поиске решения сепаратной системы (n+1) уравнений параболического типа

2 
(2)
 
 u j t , x   0 , t  0, x  I n ,
 t

x 2 
по начальным условиям
u j t , x   f j x , x  I n ,
t 0
(3)
по краевым условиям
(4)
u1 x  0, u n1 x  0
и условиям сопряжения
 k 
 k 
k 
k 
 m1 x   m1 u k   m 2 x   m 2 u k 1 ,
(5)
x  lk ,k  1,...,n;m  1,2,
здесь u(t,x) – неизвестная функция, f  x  – заданная функция,
n
u , x   k 2  x  lk 1  lk  x uk  , x   l1  x u1  , x    x  ln un 1  , x 
f x   k 2 x  lk 1  lk  x  f k x   l1  x  f1 x    x  ln  f n1 x ,
n
 kmi , kmi , kmi , kmi – заданные действительные числа, при которых выполнено условие
неограниченной разрешимости задачи (2) – (5) [1].
Как установлено в [1], решение задачи (2) – (5) имеет вид:
n 1 l
(6)
uk t , x    s 1  H ks t , x,    f s  d ,
l
s 1
s
где H ks t , x ,    k x ,    s ,   e  t d , k , s  1,..., n  1.
0
Пусть теперь неизвестным является f  x  – первоначальное распределение
источников, порождающее заданное распределение температуры в момент времени t   : u  , x  , тогда для определения f  x  имеем сепаратную систему интегральных уравнений:
n 1 l
s 1 l H ks  , x,   f s  d  uk  , x . k  1,..., n  1. (7)
2
s 1
s
Заметим, что в однородном случае система уравнений (7) принимает вид:
  x   2  ˆ
exp
 2    4   f  d  uˆ , x .

(8)
1
Как следует из [2], решение уравнения (8) выражается формулой

1
uˆ  j  0
 x 
(9)
fˆ x  
H j
.

n 1

j 0
2  
j!
2  
Для решения сепаратной системы интегральных уравнений (7) применим
метод операторов преобразования [1].
Теорема 3. Если функция u, x S / R (см.[5]) и для нее выполнено условие
 /2
e  1  2  u~ ,    L2 R ,
то система сепаратных интегральных уравнений (7) имеет единственное решение f x  H 2 I n  (определение H 2 I n  см.[5]), которое находится по формуле
2
1
 D u 
 n H j ,n x,
 j 0 2 j j!
1 
i  j u~ ,  d .
Dn u  
2  
(10)
f x  
где
Доказательство. Применим оператор преобразования J 1 к системе сепаратных интегральных уравнений (7). В результате придем к модельному интегральному уравнению (8). Подействуем оператором J на обе части полученного равенства (9); в итоге, учитывая непрерывность оператора J , найдем неизвестное распределение температуры:
j
f x  
Вычислим числа
û  j  0.
1


uˆ  j  0  2

j 0
2  
n 1
H j , n  x .
j!
Имеем:
uˆ  j  0 
1
2
 i   
j



e-i uˆ  d d ,


из определения оператора преобразования J следует равенство:


- i

e uˆ d    ,  u d .
Таким образом,
uˆ  j  0  
1
2

j
 i  u~ ,  d.

Библиографический список
1. Баврин И.И., Матросов В.Л., Яремко О.Э. Интегральные преобразования
и представления функций в действительной и комплексной областях. – М.:
Прометей, 2000. – 416 с.
2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены // Справочная математическая библиотека. – М.: Физматгиз, 1966. – 296 с.
3. Алифанов О.В. Обратные задачи теплообмена. – М.: Машиностроение,
1988. –280 с.
4. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. – М.: Наука,
1973.