1.8. Классификация погрешностей вычислений. Корректность вычислительных задач и алгоритмов. Понятия устойчивости и обусловленности. Причины возникновения погрешностей: 1) приближённость математической модели; 2) погрешность входных данных; 3) погрешность метода решения; 4) погрешность машинного округления. Первые два вида — устранимые, последние два — неустранимые. Пусть x — неизвестное точное значение, x* — приближённое значение. Def. 1. Δ(x*) = |x – x*| — абсолютная погрешность. Def. 2. δ(x*) = Δ(x*) / |x*| — относительная погрешность. Сами погрешности неизвестны, рассматривают их оценки сверху x* и x* . Пусть x* — приближённое условие задачи, y* — её приближённое решение. Def. 3. Задача называется вычислительно устойчивой, если >0 >0 | Δ(x*)≤ Δ(y*)≤ (непрерывность решения по входным данным). Здесь δ (не путать с δ из Def. 2), по существу, представляет собой x* , а ε — y* . Def. 4. Def. 5. x* y* — абсолютное число обусловленности. y* — относительное число обусловленности. x* Задача хорошо обусловлена, если число обусловленности порядка 1 или меньше. Если оно >> 1, то задача плохо обусловлена. Обусловленность задачи — «чувствительность» погрешности решения к погрешности входных данных. Бесконечно плохо обусловленная задача — вычислительно неустойчива. Def. 6. Задача называется корректной, если: 1) её решение существует и единственно; 2) она вычислительно устойчива. Пример 1. Задача вычисления ранга матрицы: 1 0 1 0 * A , A 0 . 0 0 rA 1, rA* 2. Задача вычислительно неустойчива. Пример 2. Нахождение корней многочлена (x – 1)4 – ε. Кратные корни снижают обусловленность (при ε = 0 есть один 4-кратный корень; при малых, но ненулевых ε есть 4 однократных корня). Пример 3. Пусть a — набор из N элементов (точный), a* — его приближение. N N n 1 * n 1 S an , S * an* . a nmax 1; N S S * S * S* an an* . N a S S * a* SS N an an* N a* N a a* S * . * n 1 a* S * . N , S* a* N N a S an n 1 N . an n 1 Пусть x 10, N 10, an 10 xn n! xn n! n 1 10 n 1 ex e x xn . n! e2 x e 20 плохая обусловленность. Пример 4. b b I f x dx, I f * x dx. * a * f xmax a;b I * a f x f*x . b I I I * f * * f f a * x dx b f x f x dx f * a b * a dx b a f * I * . b a. Задача хорошо обусловлена по абсолютному числу, но плохо — по относительному (пример входа с большим относительным числом обусловленности — sin).